专题23椭圆的简单几何性质10种常见考法归类（原卷版）

专题23椭圆的简单几何性质10种常见考法归类1、椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长短轴长＝2b，长轴长＝2a焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)离心率e＝eq\f(c,a)(0<e<1)注：（1）如图所示，椭圆中的△OF2B2，a＝|F2B2|，b＝|OB2|，c＝|OF2|，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(|OF2|,|F2B2|)＝cos∠OF2B2(或sin∠OB2F2)．（2）eq\f(b,a)或eq\f(c,b)的大小能刻画椭圆的扁平程度．①当eq\f(b,a)→1时，b→a，椭圆越圆；当eq\f(b,a)→0时，b→0，椭圆越扁．②当eq\f(c,b)→0时，c→0，此时b→a，椭圆越圆；当eq\f(c,b)→＋∞时，b→0，此时c→a，椭圆越扁．2、点P(x0，y0)与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1；点P在椭圆内部⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)<1；点P在椭圆外部⇔eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)>1.3、直线与椭圆的位置关系直线y＝kx＋m与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系判断方法：联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消元得到一个一元二次方程.位置关系解的个数Δ的取值相交两个解Δ>0相切一个解Δ＝0相离无解Δ<04、直线与椭圆相交所得的弦长问题设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b为常数)与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则线段AB叫做直线l被椭圆截得的弦，线段AB的长度叫做弦长．此时有以下弦长公式成立：|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)，或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(y1＋y22－4y1y2).5、由椭圆的标准方程研究几何性质（1）已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．（2）焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是2a,2b,2c.6、利用椭圆的几何性质求标准方程的思路利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：(1)确定焦点位置；(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝eq\f(c,a)等．7、求椭圆离心率或其取值范围的基本方法（1）当题中出现焦点三角形三边关系时，可以直接利用定义e＝eq\f(c,a)求解.另外，易求b，c或b，c的关系时，可利用e＝eq\f(c,\r(b2＋c2))求解；易求a，b或a，b的关系时，可利用e＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(\f(a2－b2,a2))求解.（2）根据条件及几何图形建立a，b，c，e满足的关系式，化为a，c的齐次方程或不等式，列式时常用b＝eq\r(a2－c2)代替式子中的b，然后将等式或不等式两边同时除以a的n次方（一般除以a或a2），从而利用e＝eq\f(c,a)转化为含e的方程或不等式，解方程或不等式即可，此时要注意0<e<1.8、直线与椭圆的位置关系判定判断直线与椭圆的位置关系时，一般的解法是：联立椭圆的方程与直线的方程，由Δ的符号判断它们的交点个数，但是这样的计算量是比较大的，所以我们可以利用直线的某些特征，如过定点等，把“直线与椭圆的位置关系”问题转化为“点与椭圆的位置关系”，这样就能简化问题，同学们可以比较一下上述两种解法，试试谁更简单.9、弦长问题将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x的一元二次方程，然后运用韦达定理，找到根与系数的关系，再求弦长.不必具体求出方程的根，即不必求出直线与椭圆的交点.这种方法是求弦长常采用的方法.10、解决椭圆的中点弦问题的两种方法（1）联立方程法，通过联立直线方程与椭圆方程得方程组，利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式求解.（2）点差法，设直线与椭圆的交点（弦的端点）坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），将这两点分别代入椭圆的方程，两方程作差，得到一个与弦AB的中点（x0，y0）和斜率kAB有关的式子，这种方法可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为“点差法”，事实上就是椭圆的垂径定理.利用kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2,a2)·\f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq\f(b2,a2)·\f(x0,y0)，转化为中点（x0，y0）与直线AB的斜率之间的关系，这是处理弦中点轨迹问题的常用方法.11、解决椭圆的实际问题的基本步骤(1)认真审题，理顺题中的各种关系，如等量关系．(2)结合所给图形及题意建立适当的平面直角坐标系．(3)利用椭圆知识及其他相关知识求解．12、求与椭圆有关的最值、范围问题的方法(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解．(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围．考点一由椭圆的标准方程研究几何性质考点二由椭圆的几何性质求标准方程考点三点和椭圆的位置关系考点四求椭圆的离心率(或范围)（一）求椭圆的离心率（二）求椭圆离心率的取值范围（三）由椭圆的离心率求参数的取值考点五直线与椭圆的位置关系判定考点六弦长问题考点七中点弦问题考点八椭圆的实际应用问题考点九与椭圆有关的最值问题考点十椭圆的定点定值问题考点一由椭圆的标准方程研究几何性质1．（2023·全国·高二专题练习）椭圆和（

）A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．顶点相同2．（2023·全国·高二随堂练习）求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率：(1)；(2)；(3).3．（2023秋·江西南昌·高二南昌县莲塘第二中学校考阶段练习）已知椭圆的焦点在轴上，若椭圆的焦距为4，则的值为．4．【多选】（2023秋·高二课时练习）关于椭圆，以下说法正确的是（

）A．长轴长为4 B．焦距为C．离心率为 D．左顶点的坐标为5．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考三模）已知椭圆：，为椭圆的左焦点，为椭圆的右顶点，为椭圆上一点．若，则．6．（2024秋·广东广州·高三统考阶段练习）已知椭圆的方程为，则椭圆（

）A．长轴长为16 B．短轴长为C．焦距为2 D．焦点为7．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为点、，若椭圆上顶点为点，且为等腰直角三角形，则.考点二由椭圆的几何性质求标准方程8．（2023·全国·高二专题练习）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程是（

）．A． B．C． D．9．（2023秋·天津西青·高二天津市第九十五中学益中学校校考期中）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为.10．（2023秋·高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点；(2)经过两点和；(3)经过两点.(4)过点且与椭圆有相同焦点.11．（2023秋·广东梅州·高二校考阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在轴上，长轴长为4，焦距为2；(2)经过两点.(3)经过点，且与椭圆有共同的焦点；12．（2023秋·四川绵阳·高二四川省绵阳实验高级中学校考阶段练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点；(2)经过两点和；(3)过点且与椭圆有相同焦点.13．（2023·高二单元测试）求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴在x轴上，长轴长为12，离心率为；(2)椭圆过点，离心率；(3)在x轴上的一个焦点与短轴上的两个顶点的连线互相垂直，且焦距为8；(4)与椭圆有相同的焦点，且短轴长为2．考点三点和椭圆的位置关系14．（2023·江苏·高二专题练习）已知椭圆，则下列各点不在椭圆内部的是（

）A． B．C． D．15．（2023·江苏·高二专题练习）若点在椭圆上，则下列说法正确的是（

）A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系16．【多选】（2023·全国·高二专题练习）点在椭圆的内部，则的值可以是（

）A． B． C．1 D．17．（2023·江苏·高二专题练习）点在椭圆的外部，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．18．（2023秋·河北邯郸·高二校考阶段练习）直线与椭圆总有公共点，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．19．（2023秋·辽宁葫芦岛·高三校联考期中）函数（，且）的图象恒过定点，若点在椭圆（，）上，则的最小值为（

）A．12 B．14 C．16 D．18考点四求椭圆的离心率(或范围)求椭圆的离心率20．（2023·全国·高三专题练习）与椭圆有相同的焦点且与直线相切的椭圆的离心率为.21．（2023·河南·校联考模拟预测）已知椭圆的左焦点为F，下顶点为A，AF的延长线交C于点B，若，则C的离心率为.22．（2023·全国·高二专题练习）已知右焦点为的椭圆：上的三点，，满足直线过坐标原点，若于点，且，则的离心率是（

）A． B． C． D．23．（2023·浙江·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别是，过的直线交椭圆于两点，若（为坐标原点），，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．24．（2024·全国·高三专题练习）已知是椭圆的左焦点，若过的直线与圆相切，且的倾斜角为，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．25．（2024·全国·高三专题练习）如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．26．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上位于第一象限的一点，且与轴平行，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．27．（2023秋·江西上饶·高二江西省广丰中学校考阶段练习）椭圆：的左顶点为，点，是上的任意两点，且关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则的离心率为（

）A． B． C． D．28．（2023秋·湖南·高三雅礼中学校联考阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与交于A，B两点．若的面积是面积的2倍，则的离心率为．29．（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）在中，，，以为焦点且经过点的椭圆离心率记为，以为焦点且经过点的椭圆离心率记为，则.求椭圆离心率的取值范围30．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（

）．A． B． C． D．31．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知点是椭圆上的一点，是的两个焦点，若，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．32．【多选】（2023秋·广西玉林·高二博白县中学校考阶段练习）已知为椭圆()的两个焦点，B为椭圆短轴的一个端点，，则椭圆的离心率的取值可以是（

）A． B．C． D．33．（2024·全国·高三专题练习）已知圆与椭圆，若在椭圆上存在一点，使得由点所作的圆的两条切线的夹角为，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B．C． D．34．（2023秋·山西大同·高三校联考阶段练习）已知椭圆，偶函数，且，则椭圆的离心率的取值范围是．35．（2023秋·江苏泰州·高二泰州中学校考阶段练习）若、为椭圆：的左、右焦点，焦距为4，点为上一点，若对任意的，均存在四个不同的点满足，则的离心率的取值范围为.36．（2023秋·江苏盐城·高二校考阶段练习）已知点P是椭圆C：上动点，点A是椭圆C的上顶点．当P为下顶点时，取到最大值，则椭圆C的离心率的取值范围为．由椭圆的离心率求参数的取值37．【多选】（2023·全国·高二专题练习）若椭圆的离心率为，则实数的值可能为（

）A． B． C． D．438．（2023秋·江苏南通·高二校联考阶段练习）若椭圆的离心率为，则的值为．39．（2023秋·江苏连云港·高二连云港高中校考阶段练习）已知椭圆的焦点在轴上，离心率，则.40．（2023·全国·统考高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（

）A． B． C． D．41．【多选】（2023秋·高二课时练习）椭圆的离心率为，若直线与椭圆的一个交点的横坐标，则的值可以为（）A． B．C． D．考点五直线与椭圆的位置关系判定42．（2023秋·全国·高二期中）椭圆与直线的位置关系是（

）A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定43．（2023·全国·高二课堂例题）对不同的实数，讨论直线与椭圆的公共点的个数.44．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知直线和椭圆．m为何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个公共点？(2)有且只有一个公共点？(3)没有公共点？45．（2023·全国·高三专题练习）若直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．46．（2023·全国·高二专题练习）已知直线：与椭圆：有公共点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．47．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：，若椭圆C上有不同的两点关于直线对称，则实数m的取值范围是.考点六弦长问题48．【多选】（2024·全国·高三专题练习）已知过点的直线与椭圆交于、两点，则弦长可能是（

）A．1 B． C． D．349．【多选】（2023秋·高二课时练习）已知椭圆与直线交于两点，且，则实数＝（

）A． B．C． D．50．【多选】（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，过点可作直线与曲线交于，两点，使，则曲线可以是（

）A． B．C． D．51．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考阶段练习）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，且点在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程；(2)过且斜率为的直线交椭圆于，两点，求弦的长.52．（2023·全国·高三专题练习）直线与圆相切，并与椭圆交于两点，若，求的值．53．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆的左焦点为，直线l：与椭圆C交于A、B两点．(1)求线段AB的长；(2)求的面积．54．（2023秋·高二课时练习）过椭圆的焦点的最长弦的长为，最短弦的长为．55．（2023秋·广东江门·高三校联考阶段练习）在直角坐标系xOy中，动点P到直线的距离是它到点的距离的2倍，设动点P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)直线与曲线C交于A，B两点，求面积的最大值．考点七中点弦问题56．（2023秋·贵州黔东南·高三天柱民族中学校联考阶段练习）已知椭圆以及椭圆内一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（

）A． B． C．4 D．457．（2024·全国·高三专题练习）若椭圆的弦被点平分，则所在直线的方程为（

）A． B．C． D．58．（2023·全国·高三专题练习）过点作斜率为的直线l与椭圆相交于A，B两点，则线段AB的中点坐标为.59．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（

）A． B． C． D．60．（2023秋·高二课时练习）已知斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，直线（为坐标原点）的斜率为，则（

）A． B． C． D．61．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆，直线依次交轴、椭圆轴于点四点．若，且直线斜率．则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．考点八椭圆的实际应用问题62．（2023·全国·高二专题练习）如图是一个椭圆形拱桥，当水面在，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（

）A． B． C． D．63．（2023·全国·高二专题练习）椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都经过椭圆的另一焦点．电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分，灯丝（看成一个点）在椭圆的右焦点处，灯丝与反射镜的顶点的距离，过焦点且垂直于轴的弦，在轴上移动电影机片门，将其放在光线最强处，则片门应离灯丝（

）A． B． C． D．64．（2023秋·河北衡水·高二衡水市第二中学校考阶段练习）某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为，设地球半径为，该卫星近地点离地面的距离为，则该卫星远地点离地面的距离为（

）A． B． C． D．65．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆C：上、下顶点分别为，且短轴长为，T为椭圆上（除外）任意一点，直线的斜率之积为，，分别为左、右焦点．(1)求椭圆C的方程．(2)“天眼”是世界上最大、最灵敏的单口径射电望远镜，它的外形像一口“大锅”，可以接收到百亿光年外的电磁信号．在“天眼”的建设中，用到了大量的圆锥曲线的光学性质，请以上面的椭圆C为代表，证明：由焦点发出的光线射到椭圆上任意一点M后反射，反射光线必经过另一焦点．（提示：光线射到曲线上某点并反射时，法线垂直于该点处的切线）考点九与椭圆有关的最值问题66．（2023秋·吉林长春·高二长春市第二实验中学校考阶段练习）在椭圆上求一点，使点到直线的距离最大时，点的坐标为（

）A． B．C． D．67．（2023·江苏·高二专题练习）设、分别是椭圆的左、右焦点，若是该椭圆上的一个动点，则的最小值为（

）A．2 B．1 C． D．68．（2023秋·河南南阳·高二统考阶段练习）已知点为椭圆上任意一点，是圆上两点，且，则的最大值是.69．【多选】（2023秋·江苏南京·高二南京市秦淮中学校联考阶段练习）已知椭圆，若在椭圆上，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（

）A．若，则 B．面积的最大值为C．的最大值为 D．满足是直角三角形的点有个70．（2023秋·北京·高三北师大实验中学校考阶段练习）已知椭圆的一个焦点为，椭圆与y轴的一个交点的坐标为．(1)求椭圆方程；(2)过点且斜率为的直线与椭圆交于两点(点A在点B左侧)，点A关于轴的对称点为，求面积的最大值．71．（2023秋·浙江·高三浙江省春晖中学校联考阶段练习）已知是椭圆的左焦点，过作直线交椭圆于两点，则的最小值为．72．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离之比为．(1)求点的轨迹的方程；(2)对，曲线上是否始终存在两点，关于直线对称？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．73．（2023秋·湖南岳阳·高三校考阶段练习）已知椭圆经过点，左，右焦点分别为，，为坐标原点，且．(1)求椭圆的标准方程；(2)设A为椭圆的右顶点，直线与椭圆相交于，两点，以为直径的圆过点A，求的最大值．74．（2023秋·广东佛山·高二佛山市三水区三水中学校考阶段练习）已知椭圆C的中心在坐标原点，若椭圆C焦点在轴上，焦距为，且经过点．(1)求椭圆C的标准方程.(2)若直