2024重庆市普通高等学校招生高三第一次联合诊断检测（康德卷）数学试题含答案

重庆市

2024年普通高等学校招生全国统一考试

高三第一次联合诊断检测数学

数学测试卷共4页，满分150分。考试时间120分钟。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合/={1,2,3,4,5},8=*|2聚-15+12<0},则405=

A.{1,2}B.{2,3}C.{3,4}D.{4,5}

2.已知复数z=a+bi,若彳=i-z,则

A.a+b=0B.a-b=0C.ab=0D.ab=1

3.对一个样本进行统计后得到频率分布直方图如图所示，并由此估计总体集中趋势，则。"可以分别大致反映

这组数据的

A.平均数，中位数B.平均数，众数

C.中位数，平均数D.中位数，众数

4.若4cos2a+sin(兀+2a)=2,则tan2a=

c1

A.-2B.C.1D.2

2

5.在经济学中，常用Logistic回归模型来分析还款信度评价问题.某银行统计得到如下Logistic模型：

-0.97+0.127.V

其中X是客户年收入(单位：万元)，如)是按时还款概率的预测值.如果某人年

收入是10万元，那么他按时还款概率的预测值大约为(参考数据：In1.35yo.3)

A.0.35B.0.46C.0.57D.0.68

6.已知/(x)=ln(l+x)—ln(a—bx)是奇函数，则/(x)在点(0,7(0))处的切线方程为

A.y-2xB.y=xC.y=0D.y=-2x

7.将一副三角板拼接成平面四边形Z8CZ)(如图)，BC=1,将其沿8。折起，使得面，面8C。，若

三棱锥Z-BCO的顶点都在球。的球面上，则球。的表面积为

7兀

A.2nB.—

3

8兀

C.—D.371

3

8.已知函数/(x)满足/(x+y)=/(x)+/(y)-2,/(1)=4且当x〉0时，f(x)>2,若存在2],

使得/(⑪2一4幻+/(2幻=1,则。的取值范围是

第一次联合诊断检测(数学)第1页共9页

/cLl5521l21

A-（（），?]弓r，g]nC.r-]D.弓r,-]

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对

的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

7T

9.下列函数中，其图象关于点（2,0）对称的是

A.y=sin(2x+§)B.y-sin(2x-y)

/一兀、兀、

C.=cos(2x+—)D.y-tan(2x+—)

222222

10.已知椭圆g：x+4y=a(a>0)ff£2：y+4x==4a(a>0),贝ij

A.&与马的长轴长相等B.g的长轴长与段的短轴长相等

C.d与马的离心率相等D.&与邑有4个公共点

11.己知三棱柱/8C-4gG，D,E,厂分别是棱N8,BC,C4的中点，记三棱柱N8C-44a的体积为

V,则

A.棱锥同―DEP的体积为

24

B.棱锥4—/DER的体积为,厂

6

C.多面体的体积为

'112

D.多面体所的体积为

12.若不相等的两个正数。，b满足/+从+油=4+6,则

,4

A.a+h>\B.a+b<—

3

,1,1

C.ah>—D.ah<—

32

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.一个袋子中有5个大小相同的球，其中有编号为1,2的黑球和编号为1,2,3的白球，从中随机取出两个球,

在取出的球颜色不同的条件下，球的编号之和为奇数的概率为.

14.若向量a,〃满足|a|=l,|"=2,若〃与。的夹角为锐角，则a•（4+/＞）的取值范围是.

15.记数列｛为｝的前〃项和为S,,若S“=2%+/1,且、6=252,则2=.

第一次联合诊断检测（数学）第2页共9页

16.已知6，g分别是双曲线C：一一/=/(。〉0)的左、右焦点，过g作一直线交。于加，N两点,若

居耳=120。，且△〃明的周长为1,则。的焦距为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)

已知数列｛4｝是等差数列，且%=1，％+%o=—2.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)国表示不超过x的最大整数，如口.7]=国=1,[-1.5]=[-2]=-整若〃=2小】，7；是数列也｝的

前〃项和，求[1J.

18.(12分)

2024年1月18日是中国传统的“腊八节”，“腊八”是中国农历十二月初八(即腊月初八)这一天.腊八

节起源于古代祭祀祖先和神灵的仪式,后逐渐成为民间节日，盛行于中国北方.为调查不同年龄人群对“腊八节”

民俗文化的了解情况，某机构抽样调查了某市的部分人群.

(1)在100名受调人群中，得到如下数据：

了解程度

年龄

不了解了解

30岁以下1624

50岁以上1644

根据小概率值a=0.1的72独立性检验，分析受调群体中对“腊八节”民俗的了解程度是否存在年龄差异;

(2)调查问卷共设置10个题目，选择题、填空题各5个.受调者只需回答8个题：其中选择题必须全部回

答，填空题随机抽取3个进行问答.某位受调者选择题每题答对的概率为0.8,知道其中3个填空题的答案，但

不知道另外2个的答案.求该受调者答对题目数量的期望.

参考公式：①/=-----〃(ad-如z-----------

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

独立性检验常用小概率值和相应临界值：

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

第一次联合诊断检测(数学)第3页共9页

②随机变量x,丫的期望满足：E(x+y)=E(x)+E(y)

19.(12分)

在△N8C中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知△/8C的面积S=巴‘1"smc

cosJ

(1)求tan4；

(2)若cosBcosC=,a-\,求Z^+c-

20.(12分)

如图，四棱锥尸-NBC。中，底面/BCD为平行四边形，AB=e,BC=2,ABAD=45°,PA=PD.

(1)证明：PB上BC；

(2)若P4=3,PC=J15,求二面角N—PB—C的余弦值.

21.(12分)

已知4(2,2),B,。是抛物线£：丁=2加上的三点，且直线力8与直线NC的斜率之和为o.

(1)求直线8C的斜率；

(2)若直线N3,ZC均与圆/：/+3—2)2=/(0<厂<JJ)相切，且直线go被圆河截得的线段

j,,2^/30£1vl省

长为一--,求r的值.

22.(12分)

已知函数/(x)=e'+(1-a)x—Inax.(e为自然对数的底数)

(1)当a=1时，证明/(x)存在唯一的极小值点与，且/(x0)>2；

(2)若函数/(x)存在两个零点，记较小的零点为玉，s是关于x的方程上(1+幻-85'=。芯-2的根，

证明：S>X].

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2024年普通高等学校招生全国统一考试

高三第一次联合诊断检测数学参考答案

一、单选题

1-8BAADCACD

8题解析：易证/(x)是增函数，/(ax1-4x)+/(2x)=f[(ax2-4x)+2x]+2=/(ax1-2x)+2=1,所以

/(ar2-2x)=-1.令x=y=0,得/(0)=2；令x=l,y=-l,得/(-I)=0；令x=-l=T,

33

得/(—2)=—2；令I=—2,y=—1,得/(—3)=-4；令x=y=—2，得所以

ax2-2x=--.原问题即2a=曳?在[1,2]有解.令，=工，则2a=-3/+射在1]时有

2xx2

解，从而g],

二、多选题

9.BCD10.BC11.BC12.ABD

12题解析：由。2+从+。6=。+6,得(a+b)2-(a+b)=Qb.因为a,b是正数，所以。6>0,从而

(a+b)2-(a+b)〉0,解得a+b>l.因为awb,所以ab<<♦+'」•,

4

从而(a+h)2一(a+力)V("+"),解得a-vb<—.因为l<a+b<3,

433

,41

所以ab=(a+b>-(Q+b)E(0,§),从而ab〈万.故选ABD.

三、填空题

1J2

13.-14.(1,3)15.-416.——

26

16题解析：设双曲线的焦距为2c,点M(W，M),N(X,,%),贝+=二区+》2)—2a

〜a"

=A/2(XJ+x2)-2a.由题意，直线MN的方程为y=y/3(x-c),代入Y-y?="得

22

2x-6y[2ax+la=0,所以x1+x2=3y/2a，从而|MV|=4a./\MNFy的周长为

1J7

\MFX\+\NFX\+\MN\=4a+2|W|=12tz,由题意，a=—.所以焦距2c=2缶=丫-.

126

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四、解答题

17.（10分）

解：（1）设｛4｝的公差为d,由题意，得q+4d=l,2a,+16t/——2.

iI,

所以q=3,</=--,^Lan=3--(M-1)=~~~■.......5分

(2)由题意,[aj=3,[幻=⑷=2,[a4]=[a5]=l,……，[al0]=[an]=-2.

32-2

7；1^b}+b2+b3+bA+b5+---+bl0+bn=2+2(2+2+---+2)=23^.

所以[7]J=23.……10分

18.（12分）

解：（1）零假设”°：对“腊八节”民俗的了解程度与年龄相互独立.

由题意’得上嘴黑离嗒＜2.706.

根据小概率值e=0.1的独立性检验，没有充分证据推断Ho不成立,

即认为对“腊八节”民俗的了解程度没有年龄差异.……5分

（2）设选择题部分和填空题部分答对题目分别为x和y.

因为X服从8（5,0.8）,所以£¥=5x0.8=4.

由题意，丫的可能取值为1,2,3.

223

「(丫=1)=C9'C.=3上，"=2)=C二C'1=3±p(y=3)=WC=-!1-

C；10Cl5Cj10

341

所以Ey=±+2x1+3x-!-=1.8.

10510

该受调者答对题目数量的期望为E(X+y)=E¥+Ey=4+1.8=5.8个.……12分

19.（12分）

a2sin5sinC1‘.「

解：（1）由题意，5=----------------=—tzpsinC,

cosA2

因为〃w0,sinC0,所以asin5=」bcos4.

2

山正弦定理，WsinJsin5=—sin5cosA,

2

因为sinBwO,所以sinZ='cos/,故tan/=’.

5分

22

(2)山(1)得sin4=cosA—,所以cos(8+C)=—cos?l=-,

由cos(8+C)=cos8cosC-sin8sinC,及cos8cosc=-手,sin5sinC=~~

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be

由正弦定理，得，所以6c=逐.

sinBsinCsin2A

由余弦定理,得〃+c)=(?+26ccosZ=5.12分

20.(12分)

解：取力。中点O,连接06,OP.

中，因为PA=PD,所以。尸_LZO.

△/。8中，因为48=应，AO^-BC^l,NBAD=45°,

2

由余弦定理，得08=1,所以。82+4。2

=ZB2,OBLAD

因为OP,。8是平面30P上的两条相交直线，所以4DJL平面3OP.

因为P8u平面80。，所以4D上PB.

因为AD//BC,所以PB上BC.……5分

(2)由(1)知，PBLBC,所以PB?=PC2—BC?,则P6=3,

又PO=20,PO2+OB-=9=PB2,所以POLOB,则POL面力BCD,

如图，建立空间直角坐标系。-中z,

则」(1,0,0),5(0,1,0),C(一2,1,0),7)(-1,0,0),尸(0,0,20.

则荏=(一1,1,0),方=(0,1,-2五)，BC=(-2,0,0)

设平面PAB的法向量为nt=(x,y,z),则

AB-m-0,1r+y=0，1—r-

_即《广取股二(2隹261).

PB-m—0.y~2V2z=0.

设平面P8C的法向量为n=(x,y,z),则

BC-m=0,—2x=0,

即4厂取〃=(0,-2V2,-l).

PB-m=0.y-2y/2z=0.

/、mn-93>/1~7

cos(m,n)=---------=——=----------

''\m\\n\47x317

所以，二面角4—-C的余弦值为一土叵

12分

17

21.(12分)

第一次联合诊断检测(数学)第7页共9页

解：因为点4(2,2)在抛物线E：犬=2⑷上，所以p=l.

E的方程为：x2=2^.

(1)设8(须，一^),C(x2,—),王。2,且玉/吃•

由题意，上一+二一=0,化简得玉+工2=-4.

玉一2/一2

x；%；

所以，直线5c的斜率为上一2_=±±±=_2

x{-x22

(2)由(1),设直线8C的方程为歹=-2x+〃?，代入/=2N，

2

消去y得：x+4x-2m=0.则A=16+8加>0,x,+x2--4,x(x2=-2m.

因为直线8C被圆A/截得的线段长为2等，所以(27工=产-(半月，

化简得：(加—2)2=5/-6①.由0<r<G，则一1〈加<5

x+2

宜线的方程为丁一2=七一(x-2),BP(x1+2)x-2y-2x1=0.

因为直线48与圆M相切，所以IF"=「，化筒得(+2)2=业］.

Ja+2>+44-r

4尸2

同理，2

(X2+2)=——R.

2

4r

X1,%2是方程f+4x+4-----=0的两根，所以玉X?=4-4f2

故—2根=4----®.

4-r72

山①②解得加=0(〃z=±J幅舍)，则r=J5....12分

22.(12分)

解：(1)当a=1时，/(x)=e'-Inx,x>0.

因为r(x)=e、-L在(0,+oo)上单调递增，且/'d)<0，/'⑴>0,

第一