2024年高考数学：在网格背景下的面积和周长计算

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在网格背景下的面积和周长计算

修炼内功

网格背景格点和圆心建立关系

化普通为特殊

y

1.如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为1,点4B,C,E,尸在同一条圆弧上,

且点C,E,尸在格点（小正方形的顶点）上，若/B/C=15。,44c8=45。，则阴影部分的

面积为.

【分析】根据网格的特点找到过点C,尸,E的圆的圆心，进而根据已知条件与圆周角定理求得

ZCOB,ZAOB,关于阴影部分面积面积等于S扇形-凡函+S扇形"B即可求解.

【详解】如图，

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根据网格的特点找到C尸的垂直平分线与E尸的垂直平分线，交于点。，连接。

OC=Vl2+32=Vio，

■：NBAC=15。,乙4cB=45。,

ZBOC=30°,ZAOB=90°,

阴影部分面积面积等于S扇形-Sv。"+S扇形0cB-S70CB

=--(?SxOCxsin30°--xOAxOB

360'2360>2

生田方二

故答案为：1015.

【我思故我在】本题考查了圆周角定理，求扇形面积公式，确定圆心是解题的关键.

2.如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的边长为1,10上的点4B,C,

。均为格点，加上有一点E,且NC/E=15。，则图中阴影部分的面积为.

【分析】线段和线段8c的垂直平分线相交于点。，则点。即为力。所在的圆得的圆心,

连接。C,OE,由圆周角定理得NCOE=2NC4E=30。，过点C作CH1OE于点H,则N0TC

=90°,在RtAOCH中，求得CH=goC=6,利用S阴影部分=$扇形3一$根改即可求出图中

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阴影部分的面积.

【详解】解：如图，线段48和线段8C的垂直平分线相交于点O,则点。即为力。所在的

圆得的圆心，连接OC,0E,

■.■ZCAE=15°,

：.^COE=2^CAE=30°,

过点C作CHLOE于点H,贝ikO〃C=90。，

由勾股定理得OC=0E=V42+22=a=2右，

在上△OC"中，ZO//C=90",乙COH=30。,OC=275,

：.CH=y0C=45，

S阴影部分=S扇形COE-S&COE

30^x(275)

——xOExCH

2

_30^-x(2V5)21

故答案为：y-5

【我思故我在】此题考查了圆周角定理、判断三角形外接圆的圆心位置、扇形的面积公式、

勾股定理、直角三角形的性质等知识，利用圆周角定理得到NCO£=2NC/£=30。是解题的

关键.

3.如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1,V/8C的三个顶点均在格点上，点。

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是边的中点，格点£在红）上，则图中阴影部分的面积为

【答案】3+好万

24

【分析】取8。中点尸，连接DR由中位线的性质得到。/〃/C,Ob=g/C,

SVBDF：SV,4BC=1:4,利用勾股定理分别解得/C,BC,N2的长，证明VNBC为等腰直角三角

形，继而得到V2Z）尸也是等腰直角三角形，解得V/8C的面积及扇形CD尸的面积即可解

答.

【详解】解：如图，连接

B

是边的中点，尸是边5c的中点，

:.DF//AC,DF=-AC

2

-S\!BDF：S'ABC=1：4

CMC=722+42=V20,BC=V22+42=720,AB=A/22+62=屈

AB2=AC2+BC2

：MABC是等腰直角三角形，

.23〃尸也是等腰直角三角形，

ZDFC=90°

7r

，扇形的=M2+2?)=9n

QSv/BC=gX回义回=10

=W=5

一\BDF42

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•二s阴影部分=]"+一"万

故答案为：-+—7T.

24

【我思故我在】本题考查网格与勾股定理、扇形的面积、中位线性质、勾股定理的逆定理等

知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键.

4.如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1,点B,C均为小正方形的顶点，且点

3在无C上，则阴影部分的面积为

【分析】点。为过2点的纵轴和过C点的横轴的交点，连接。4,根据题意求出04,0B,

0c的长，确定圆心和半径，从而求出弓形8c的面积，进而解答；

【详解】解：如图，点。为过8点的纵轴和过C点的横轴的交点，连接。点为小正

方形的顶点，

根据题意由图可得：CM=,32+42=5，OB=OC=5,

-.O为\1ABC的外接圆的圆心，

AD为底边，则VABC的面积=gx40x(1+4)=10,

■.OCLOB,圆的半径为5,则扇形3c的面积为!外接圆的面积,

4

112525

二弓形BC的面积=7^x5?--x5x5=----,

4242

■，口r八上心一、t,25万2525万5

•••阴影部分的面积为：10+-------—-->

4242

故答案为：.

42

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【我思故我在】本题考查了求不规则图形的面积，勾股定理，三角形外接圆的性质，扇形面

积的计算；找出圆心的位置是解题的关键.

5.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，一条弧经过格点（网格线的交点），，

B,D,点C为弧BD上一点.若/C4D=30。，则弧。的长为.

【答案】叵兀

3

【分析】作线段40和线段/C的垂直平分线交于点。，即格点。为弧4D所在圆的圆心,

连接0C、0D,根据题意，结合勾股定理，得出的长，再根据圆周角定理，得出

ZCOD=2NCAD=60°,再根据弧长公式进行计算即可.

【详解】解：如图，作线段和线段NC的垂直平分线交于点O,即格点。为弧所在

圆的圆心，连接OC、OD,

根据题意，可得：OD=V22+32=V13，

ZCOD=2ZCAD=60°,

・•.弧CD的长为：60兀乂5=叵加.

1803

故答案为：边^乃

3

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【我思故我在】本题考查了线段的垂直平分线、勾股定理、圆周角定理、弧长公式，根据题

意并结合图形添加适当的辅助线是解本题的关键.圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所

对的圆心的角的一半；弧长公式：/=覆(〃为弧所对的圆心角的度数；7•为半径)

loO

6.如图，平面直角坐标系中有一段弧，弧上三点，，B,C均在格点上.则为C的长为

【答案】巫乃

2

【分析】直接利用圆的性质得出圆心位置进而利用勾股定理以及勾股定理逆定理得出

ZAPC=90°；再利用弧长公式计算得出答案.

【详解】解：如图所示：圆心P的坐标为：(-2,1),

•.•AP=PC=Vi0,AC=2逐，

.•.AP2+PC2=AC2,

••.△APC是等腰直角三角形,

••.ZAPC=90°,

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的长度为：90—厢=叵一

1802

故答案为边^■万

2

【我思故我在】此题主要考查了弧长的计算以及勾股定理以及勾股定理逆定理，正确得出圆

心位置是解题关键.

7.如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1,点/、B、C、D、E、尸均在小正方形

的顶点上，且弦2G上有4个正方形的格点（包括端点），则阴影部分的面积为

【分析】连接BE、C尸交于点O,连接OG,由圆周角定理可得BE,CF是圆的直径，。为

圆的圆心，由勾股定理可得圆的半径为由NC2M=45。可得扇形圆心角为90。，再由阴影

面积=扇形COG面积-aCOG面积计算求值即可；

【详解】解：如图，连接3£、C尸交于点O,连接OG,设BG、CE交于格点

B、C、E、尸均在小正方形的顶点上，则EC8尸是矩形，

•••Z5C£=9O°,乙CBF=9。。,

.■.BE,C尸是圆的直径，O为圆的圆心，

BC=3,BF=4,则尸0=,32+42=5,圆的半径为

■：BC=CM=3,ZJBCM=90°,

.•ZCW=45°,即NC5G=45°,

••ZCOG=90°,

900，八2i

・・・阴影面积二扇形COG面积-△COG面积=士-gOC・OG

360°12)2

2525

=---71------,

168

2525

故答案为：-;

16X

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【我思故我在】本题考查了圆周角定理，勾股定理，扇形面积计算等知识；正确作出辅助线

是解题关键.

8.如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1.点aB,C均在小正方形的顶点上,

且点4B,C在同一条弧上，则阴影部分的周长为

【答案】y+5V2

【分析】设施C的圆心为。，DC的中点为河，与2C的交点为N,根据表格得出

BC=6,MN=1,CN=；BC=3,设圆。的半径为R,利用勾股定理得出R=5,由勾股定理逆

定理得出440C为直角三角形，NCO4=90。，结合图形应用弧长公式及勾股定理即可得出结

果.

【详解】解：设施C的圆心为。，DC的中点为M,（W与2c的交点为N,

由图可知，BC=6,MN=1,CN=~BC=3,

2

设圆。的半径为A,

由图可得：OC2=CN2+ON2,即笈=32+（尺一1）2,

解得：R=5,

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-'-OC=OA=5f

"AC=V72+l2=5V2，

■■OC2+OA2+AC2,

.•.A40C为直角三角形，NCCM=90。，

阴影部分的周长为：岂密+4。=苧+5后，

1o(J2

故答案为：-^-+5^2.

【我思故我在】题目主要考查不规则图形的周长，包括扇形弧长、勾股定理及其逆定理，理

解题意，作出相应辅助线是解题关键.

9.如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点4,B,C,格点

。的连线交圆弧于点E,则图中阴影部分面积为一.

【分析】连接/C,取NC中点尸，连接斯，可得NC为直径，尸为圆心，再由勾股定理逆

定理可得/尸=所=」/，△NCD是等腰直角三角形，且乙48=90。，从而得到

2

NAFE=90。,结合图形利用三角形面积与扇形面积之间的关系求解即可.

【详解】解：如图，连接/C,取NC中点凡连接ER

•，8C=90°,

:/C为直径，尸为圆心,

AF=EF=-AC,

2

；"AE=dEA,即NC4£)=ZFE4,

网格中，由勾股定理得：

AC2=AB2+CB2=22+32=13,0c2一守+必=22+32=13,协=5?+F=26,

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・・・ZC=CD=屈，AC2+CD2=AD2=26,

；.AF=EF=L用,A4CQ是等腰直角三角形，且乙4CD=90。,

2

・•・乙C4D=45°,

・・・4。。="£/=45°,

••・ZAFE=180°-ACAD-ZFEA=90°，

•••S阴影=SnACD-SnAFE-S扇形EFC

90%户

=-ACCD--AFEF-

22360

78—13万

-16

391371

39137

故答案为:

TIT

【我思故我在】本题主要考查了圆周角定理，求扇形面积，勾股定理逆定理的应用，熟练掌

握圆周角定理，扇形面积，勾股定理逆定理是解题的关键.

10.如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1,点/,C均在小正方形的顶点上，点

8在弧NC上，且々C8=15。，则阴影部分的周长为.

【答案】6+6A/2+7i

【分析】先确定出圆心位置根据弧长公式求出弧的长度，根据等边三角形性质得2C的

长度，再利用勾股定理求出线段/C的长度，即得答案.

【详解】解：由题意知圆心。位置如图所示，

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•••乙4C5=15°,

.­.ZL4O5=30O,

.“0060°,

即△50。为等边三角形，OC=BC=OB=6,

・•・弧43的长度为："容乃=%,

IOU

由勾股定理得："=46+62=6人,

阴影部分的周长为6+6痣+万，

故答案为：6+6A/2+7i-

【我思故我在】本题考查了弧长的计算公式、勾股定理求格点中线段的长度、等边三角形的

判定等知识点.解题关键是：确定出弧所在圆的圆心位置.

11.如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1,点/,B,C,。均在小正方形的顶点

上，且点C在28上，与40交于点H,则在5的长为.

【答案】子

4

【分析】连接NC、BC、AB、BD、取N8的中点O,连接。打，首先利用A48。求出

4BAD=45。,结合△CM"求出圆心角的度数和半径长，再求出45。〃=90。，继而利用弧长公

式即可求出弧长.

【详解】解：连接ZC、BC、AB、BD、取48的中点。，连接0H,

•■•ZJC5=90°,

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■.AB为圆O的直径,0是圆心,

•■AB=yjAC2+BC1=V32+42=5,

同理50=5,

3=々+72=5也，

•••AB2+BD2=AD2,

.*.Z^5Z)=90o,

又,；AB=BD,

；ZBAD=45°,

又・・・OA=OH,

.*.^40/7=90°,

9OH=9b,

的长为川万!一5,

------——71

1804

【我思故我在】本题考查弧长公式、圆周角定理以及勾股定理以及逆定理，解决问题的关键

是求出圆心角和半径.

12.如图，在5x4的网格图中，每个小正方形的边长均为1点/,B,C,。均在格点上，

点。在28上线段8c与方8交于点£，则图中阴影部分的周长为.（结果保留万）

【答案】字+用

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【分析】先连接/c,AE,可说明"8C是等腰直角三角形，进而得出乙8D4=90。，得出N8

是圆的直径及A48E是等腰直角三角形，然后根据特殊角三角函数求出再根据弧长公

式求出弧长，即可得出答案.

【详解】连接NC,AE,如图所示，

丁AC—阳=V22+32=Vl3，BC=Ji?+52=V26，

.•・AB2+AC2=BC2,

・•.A45C是等腰直角三角形，

;BC=^ACB=45°.

・4DA=90°,

是直径，

・・・乙瓯4=90°,

.•・ZU5E为等腰直角三角形，

：.BE=也AB=返,乙BAE=45°,

22

・•・跖所对的圆心角度数为90°,

・•・M的长为907rx工=幽，

180-4

・•・阴影部分的周长是生+生=，电+逅.

42

故答案为：晅+叵.

42

【我思故我在】本题主要考查了圆周角定理及推论，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定

理，弧长公式等，构造直角三角形是解题的关键.

13.如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1,点/、B、。均在小正方形的顶点上,

且点8、C在/。上，乙B4c=25°,则51c的长为.（结果保留乃）

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【分析】如图，圆心为O,连接ON,OB,OC,0D.利用弧长公式求解即可.

【详解】解：如图，圆心为。，连接。1,OB,OC,0D.

0

■.OA=OB=OD=5,ABOC=2^BAC=50°,

故答案为：--71.

18

【我思故我在】本题考查弧长公式，解题的关键是正确寻找圆心。的位置，属于中考常考题型.

14.如图，在5x7的网格图中，每个小正方形的边长均为1,点A,B,。三点都在格点上,

线段NC与2c交于点则图中红）的长度为.（结果保留万）

【分析】连接AD,由网格图得到5D=CD和8c长，再利用圆周角定理得到D8所对的圆心

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角，最后利用弧长公式代值求解即可.

【详解】解：连接AD,如图所示：

由图可知和8。均是2x3的网格构成的矩形的对角线，则BD=CD,

BC是半圆的直径，

由圆周角定理可知/3DC=90。，

，ASS是等腰直角三角形，

NBCD=45。,

£)B=£)B，

，由圆周角定理可知DB所对的圆心角为2ZBCD=90°,

90。4

DB的长度为C,

在网格中，5C=V12+52=V26>

.•.小8的长度为叵力，

4

故答案为：也^%.

4

【我思故我在】本题考查网格中线段长求解及弧长求解，通过网格找到线段关系及相应线段

长度、角度是解决问题的关键.

15.如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1,点4,B,C均在小正方形的顶点上,

且点。在为8上，480=30。，则力。的长为.

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r答案】

6

【分析】连接NC,确定弧所对的圆心O,可知/C为直径，连接。8、OD,利用勾股定理

求得NC=2右，AB=BC=M,则O3L/C,根据圆周角定理可得/3。。=60。，从而求得

ZAOD=30°,即可求解.

【详解】解：连接NC,确定弧所对的圆心O,连接08、OD,如下图：

由勾股定理可得：/C=也一?=2右，BC=AB=Vl2+32=V10>

■-BC1+AB2=AC2

・•.V48c为直角三角形，ZABC=90°

.BC为直径，OB工AC,OA=-AC=4i,

2

；.NAOB=9(T

■：ZBCD=30°

ZBOD=60°,

ZAOD=30°,

3OXTTXyfS#!兀

所以2。的长为

故答案为：工”

【我思故我在】此题考查了弧长的计算，涉及了勾股定理，圆周角定理等性质，解题的关键

是确定圆心的位置，正确求得半径以及圆心角，熟记弧长公式.

16.如图，A42C的三个顶点都在5x5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的

格点上，将△4BC绕点2逆时针旋转到的位置，且点4、。仍落在格点上，则图中

阴影部分的面积是.

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【答案】丁13万一3

【分析】首先求得扇形的半径和圆心角，然后根据扇形面积公式求得扇形的面积，然后计算

出V4O2的面积，相减即可得出阴影部分面积.

【详解】解：由题意得，

A'B=AB=M+22=岳，

旋转角NHBA=ZC'BC^90°,

.90。%（后＞_13

,扇形z'3/360°4万，

・•.Sv=9'C"C'=gx3x2=3,

13

S阴影=S扇形⑷BX-Sv/BC=I万-3.

13

故答案为：-3.

4

【我思故我在】本题主要考查了扇形面积的计算、勾股定理等，牢固掌握扇形面积公式是做

出本题的关键.

17.如图，在4x5的网格图中，每个小正方形的边长均为1