2022-2023学年上海市杨浦区高二年级下册期末考试数学考试卷含详解

杨浦区2022学年第二学期高二年级数学期末区统考

2023.6

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题

纸的相应位置直接填写结果.

1.抛物线V=4x的焦点坐标是.

2.抛掷一颗质地均匀正方体骰子，得点数6的概率是.

3.半径为1厘米的球的表面积为平方厘米.

4.如图，正方体相。。―44G3中，异面直线A3与4G所成角的大小是,

5.双曲线24渐近线方程为.

6.以CO」）为圆心，且经过加仅3）的圆的方程是.

7.如图所示，靶子由一个中心圆面I和两个同心圆环II、m构成，射手命中I、II、in的概率分别为

0.35、0.30、0.25,则不命中靶的概率是

8.“若直线平面a,直线A在平面a上，则直线a“直线万"是命题（填“真”或“假，，）.

9.已知一个圆锥的体积为3兀，高为3,则该圆锥的母线与底面所成角的大小是.

10.已知A与5是独立事件，3。4尸（功=。3给出下列式子：①尸（力。Q②—（Ac3）=（M2；③

P（AuB）=0.7P（Ac国=0.28

其中正确的式子是.（填序号）

11.如图，正三棱柱ABC-44G的各条棱长都相等，线段43、8c和GA是该正三棱柱的三条面对角线，直线

/与这三条面对角线所在直线所成的角大小相同，则这个角的大小是（写出所有可能的值）.

12.已知数列为,出，°3,…，％。1的各项均为正整数，其中勾=4。1=4999,对于每个正整数z（2WzW100）,

ai-l+ai+l

-----------------------------Qj

2为相同的正整数，则％。。的值是.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只

有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.在长方体ABC0—A4G2中，与AB相等的向量是（）

A.CDB.BAC.DCD.4A

14.如图，已知球。的半径为5,球心。到平面々的距离为3,则平面々截球。所得的小圆J的半径长是（）

A.2B.3C.3也D.4

15.下列命题：

①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；

②各侧棱的长都相等的棱锥是正棱锥；

③各侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥.

其中真命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

16.小李购买了一盒点心，点心盒是长方体，长、宽、高分别为30厘米、20厘米和10厘米，商家提供丝带捆扎服

务，有如图所示两种捆扎方案（粗线表示丝带）可供选择，免去手工费，但丝带需要按使用长度进行收费.假设丝带

紧贴点心盒表面，且不计算丝带宽度以及重叠粘合打结部分.为了节约成本，小李打算选择尽可能使用丝带较短的

方案，则小李需要购买的丝带长度至少是（）

点心自(未拥扎)捆扎方案捆扎方案

A.80厘米B.100厘米C120厘米D.140厘米

三、解答题

17.设等比数列｛4｝的前几项和为S“，己知%=4,4=一32.

(1)求公比q的值；

(2)求S5的值.

18已知meR,直线4:2x+y—1=0,直线“：蛆+y+1=0.

(1)若〃〃2,求人与4之间的距离；

(2)若乙与。的夹角大小为arccos、5,求直线，的方程.

-5~

19.某校高二年级共有学生200人，其中男生120人，女生80人.为了了解全年级学生上学花费时间(分)的信息，

按照分层抽样的原则抽取了样本，样本容量为20,并根据样本数据信息绘制了茎叶图和频率分布直方图.由于保存

不当，茎叶图中有一个数据不小心被污染看不清了(如图)，频率分布直方图纵轴上的数据也遗失了.

89

3,565678

124

O102030405060时间/分

(1)根据茎叶图提供的有限信息，求频率分布直方图中x和y的值，指出样本的“中位数、平均数、众数、方差、

极差”中，哪些已经能确定，并计算它们的值；

(2)通过对样本原始数据的计算，得到男生上学花费时间的样本均值为30(分)，女生的样本均值为27.75

(分)，试计算被污染的数值，并根据样本估计该年级全体学生上学花费时间的“中位数、平均数、方差”.

20.如图，正四棱柱ABC。-A4C］。的底面边长为1,高为2,点M是棱CG上一个动点(点M与C,G均不

重合).

（1）当点M是棱CG的中点时，求证：直线川以工平面用MD1；

（2）当DXM±ABX时，求点Dx到平面AMB,距离;

（3）当平面人与“将正四棱柱ABC。-A4GR分割成体积之比为1：2的两个部分时，求线段MC的长度.

21.如图，己知点A（"l）是椭圆「1+1=1（°＞方＞0）上的一点，顶点0（—2,0）.

（1）求椭圆「的离心率;

（2）直线3D交椭圆r于两点（A。与A不重合），若直线AB与直线A。的斜率之和为2,直线3D是否

过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

（nJ?Y

（3）点E、点G是椭圆r上的两个点，圆/：x——1―+/=/（厂〉0）是_（^6的内切圆，过椭圆r的顶点

■（。力）作圆/的两条切线，分别交椭圆r于点p和点。，判断直线P。与圆/的位置关系并证明.

杨浦区2022学年第二学期高二年级数学期末区统考

2023.6

一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)考生应在答题

纸的相应位置直接填写结果.

1.抛物线V=4x的焦点坐标是.

【答案】(1,0)

【详解】抛物线V=4x的焦点在x轴上，且p=2,，g=l,所以抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),故答案为

(L0).

2.抛掷一颗质地均匀的正方体骰子，得点数6的概率是.

【答案】I

6

【分析】根据古典概型的公式计算即可.

【详解】由题意，丢一次质地均匀的正方体骰子，有6种实验结果，即点数为1,2,3,4,5,6,根据古典概型的计算

公式，投到点数6的概率为

6

故答案为：—

6

3.半径为1厘米的球的表面积为平方厘米.

【答案】4兀

【分析】利用球的表面积公式将半径代入计算即可.

【详解】将半径为厂=1代入球的表面积公式可得5=4兀/=4兀.

故答案为：4兀

4.如图，正方体ABC。-A4GR中，异面直线A3与AG所成角的大小是.

【分析】根据题意，由异面直线所成角的求法，即可得到结果.

由题意可得，AC//AG，则异面直线A3与AC所成角即A5与AC所成角,

即为/C4B,且为等腰直角三角形，所以NC45=45°.

故答案为：45°

22

5.双曲线土-2-=1的渐近线方程为.

24

【答案】y=+42x

【分析】

根据方程得出。=行,6=2,即可得出该双曲线的渐近线方程.

【详解】根据双曲线的方程得0=虚,6=2

则其渐近线方程为y=+-x=土缶

a

故答案为：y=+'Jlx

【点睛】本题主要考查了求双曲线的渐近线方程，属于基础题.

6.以C(l,l)为圆心，且经过“(2,3)的圆的方程是.

［答案］(1)2+(,_1)2=5

【分析】设出圆的标准方程，把“(2,3)代入圆方程即可求出参数，从而得圆的标准方程.

【详解】因为圆心。(1』)，故可设圆的标准方程为(％—1)2+(y—1)2=产，

因为点“(2,3)在圆上，所以r=(2—I7+(3—1)2=5,

所以所求圆的方程为(x—Ip+(y—1)2=5.

故答案为：(x-l)2+(y-l)2=5

7.如图所示，靶子由一个中心圆面I和两个同心圆环II、HI构成，射手命中I、II、III的概率分别为

0.35、0.30、0.25,则不命中靶的概率是.

、\

I■

【答案】0.10

【详解】令“射手命中圆面I”为事件A,“射手命中圆环II”为事件B,“射手命中圆环III”为事件C,“不中

靶”为事件〃则4B、。彼此互斥，

故射手中靶的概率为P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)=O.35+O.3O+O.25=O.9O.

因为中靶和不中靶是对立事件，

故不命中靶概率为P(r>)=l-P(AUBU0=1—0.90=0.10.

答案：0.10

点睛：

求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概

率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式

P(X)=1—P(A)计算.

8.“若直线a//平面a,直线b在平面u上，则直线a//直线。”是命题(填“真”或“假”).

【答案】假

【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系即可得到结果.

【详解】因为直线a//平面a,直线Z?在平面a上，则可得直线a//直线h或直线。与直线b异面.

故答案为：假

9.已知一个圆锥的体积为3兀，高为3,则该圆锥的母线与底面所成角的大小是.

兀

【答案】一##60°

3

【分析】根据题意，由圆锥的体积公式即可得到其底面圆的半径，从而得到结果.

设圆锥底面圆半径==母线为=高SO=3,

因为圆锥的体积为3兀，即3兀=；*兀厂2*3,解得厂=6，

SO3LTT

则tan/SAB-.....=—f=—J3,所以Z.SAB——.

OAV33

TT

故答案为：一.

3

10.已知A与B是独立事件，P(A)=0.4,P(B)=0.3,给出下列式子：①尸(Z)=0.6；②P(AcB)=0.12；③

P(AuB)=0.7；@P(AnB)=0.28；

其中正确的式子是.(填序号)

【答案】①②④

【分析】由事件间关系的概率公式计算即可判断.

【详解】因为A与B是独立事件，则A与8也是独立事件.

又P(A)=0.4,P(B)=0.3,所以P(豆)=1-P(B)=0.7,

P(A)=l-P(A)=0.6,故①正确；

P(AnB)=P(A)P(B)=0.4x0.3=0.12,故②正确；

P(AoB)=P(A)+P(B)-P(AnB)=0.4+0.3-0.12=0.58,故③错误；

P(AnB)=P(A)P(B)=0.4x0.7=0.28,故④正确.

故答案为：①②④

11.如图，正三棱柱A3C-4与G的各条棱长都相等，线段43、耳。和GA是该正三棱柱的三条面对角线，直线

/与这三条面对角线所在直线所成的角大小相同，则这个角的大小是(写出所有可能的值).

【答案】:或arccos------

434

【分析】建立空间直角坐标系，由求线线角的向量方法即可求解.

【详解】以2为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

设正三棱柱ABC-44G的各条棱长都为2,则

5(0,0,0),A(0,2,0),C(73,l,0),旦(0,0,2),A(0,2,2),g(6,1,2),

明=(0,2,2),4。=(G,L-2),。A=(-73,1,-2),

设直线/的方向向量为/=(%,%z),直线/与直线48、用。和GA所成的角为e,

IBA|2y+2z|

则有COS0=

瓜Qx。+/+z2

|石x+y-2z|

IB{C

y/Syjx2+y2+z2

I-CjAI—^5%+y-2zl

cos0=—ri------=1,',

/八GA我/2+y2+z2

所以|2y+2z|=|7^x+y_2z|,①

|A/3X+y-2z|=|-A/3X+y-2z|,②

由②可得y/3x+y—2z=—y[3x+y-2z或>/3x+y—2z=—(—■+y-2z),

即x=0或y=2z,

⑴当x=0时，由①可得|2y+2z|=|y-2z],

则2y+2z=y—2z或2y+2z=-(y-2z),即y=—4z或y=。,

若丁=72,令Z=1得/=(0,—4,1),

•明|2y+2z|_/8+2|_3取

此时COS0=pI-j-i------r=r

[网|瓜x2+y2+z2一氐/万—34

因为。e(0,二],所以6=arccosK^;

234

若y=。，令z=l得，=(0,0,1)，

/•M||2y+2z|

此时cos0=_且_也

|/|瓜M+y2+Z2一盛一三'

TTTT

因为9e(0,—],所以6=—；

24

(2)当y=2z时，由①可得|6z|=|百耳，

令z=l得/=(2代,2,1)或/=(—26,2,1),

|2y+2z|_|6|_3A/34

所以cos3=

lx2+y2+z2-A/8A/17

因为。e(0,=],所以6=arccos3y.

234

综上所述，=巴或夕=arccos3y.

434

故答案为：色或arccos

434

12.已知数列为，%,%，.•.，％oi的各项均为正整数，其中6=4()1=4999,对于每个正整数12W*100),

为相同的正整数,则见。。的值是

【答案】4900

【分析】构造4=4+1—%(i=L2,,100),可得4=4+21—l)c(z,=l,2,,，100),则

4=2j=i("j+i一%)+%=4+("1)[4+('—2)。],由%iwZ*可得c=l,从而可求.

【详解】设则『，……「<+2',

令4=%]—6(2=1,2,…,100),则4=4T+2c(i=2,3,…JOO),

故4=4+2(i—l)c(i=l,2,,100),当,22时,

i-1i-1i-1

ai=£(%+i_%)+卬=£4+q=%+£|~4+2(j_l)c"|=q+(，_l)|"4+(，-2)c"|,显然，生也满足上式,

j=iJ=Ij=i

由的0】二q+100(4+99c)=〃],知4=-99c于是，at+(z-l)(z-101)c.

4999

又见।=6一2500c=4999—2500cEZ+,贝ijc«------<2nc=l.

5112500

于是，4=4999+(，—l)(i—101),600=4999+99(—1)=4900.

故答案为：4900.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只

有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.在长方体ABC。—中，与AB相等的向量是（）

A.CDB.BAC.DCD.4A

【答案】c

【分析】由向量相等的定义即可判断.

【详解】由相等向量的定义：方向相同且大小相等的两个向量是相等向量，

故在长方体ABC。—A与G，中，与AB相等的向量是DC、44、DiG，

故选：C

14.如图，已知球。的半径为5,球心。到平面々的距离为3,则平面々截球。所得的小圆J的半径长是（）

A.2B.3C.372D.4

【答案】D

【分析】根据球的几何性质，利用截面距及球半径由勾股定理计算即可求得截面圆半径.

【详解】如图所示，C为球面上一点，则OC=5,

球心。到平面a的距离为3,即OOj=3,且OOi_LOC，

则小圆。1的半径长即为QC,

在中，由勾股定理可得002=00：+002,解得。。=4.

故选：D

15.下列命题：

①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；

②各侧棱的长都相等的棱锥是正棱锥；

③各侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥.

其中真命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】由正棱锥满足的条件即可判断.

【详解】是正棱锥必须满足两个条件：（1）底面是正多边形（2）过顶点作底面垂线，垂足为底面正多边形中心，即

侧面是全等的等腰三角形.

对于①，底面是正多边形的棱锥，但侧面不是全等的等腰三角形时不满足条件（2）,故错误；

对于②，比如一个四棱锥满足各侧棱的长都相等，但其底面可以为矩形，此时不满足条件（1）,故错误；

对于③，比如一个四棱锥满足各侧面是全等的等腰三角形，但其底面可以为菱形，此时不满足条件（1）,故错误.

故选：A

16.小李购买了一盒点心，点心盒是长方体，长、宽、高分别为30厘米、20厘米和10厘米，商家提供丝带捆扎服

务，有如图所示两种捆扎方案（粗线表示丝带）可供选择，免去手工费，但丝带需要按使用长度进行收费.假设丝带

紧贴点心盒表面，且不计算丝带宽度以及重叠粘合打结的部分.为了节约成本，小李打算选择尽可能使用丝带较短的

方案，则小李需要购买的丝带长度至少是（）

点心盆（未捆扎）捆扎方案捆扎方案

A.80厘米B.100厘米C.120厘米D.140厘米

【答案】B

【分析】在捆扎方案一中，把点心盒各个面依次展开，则两点间线段最短可算出此时所需丝带的最短长度；在捆扎

方案二中，所需丝带长度为两个矩形的周长之和，算出长度与方案一中所需丝带的最短长度比较即得结果.

【详解】在捆扎方案一中，设点心盒是长方体ABCD-4耳弓。1，如图:

丝带从棱AD上的点G出发，沿着长方体的各个表面绕行一圈回到G点进行捆扎，现把长方体

ABC。-A4G2从面A3CD开始，按照丝带绕行的顺序把长方体的各个面展开，如图所示：

则线段GG1即为最短路径，即为所需丝带的最短长度，

易知〃G]=80,HG=60,所以GG]=+60?=100，

所以在捆扎方案一中，丝带长度最短为100厘米；

在捆扎方案二中，所需丝带长度为矩形A3CD和矩形ABBJA的周长之和，

易得矩形A3CD和矩形ABB^的周长之和为2x(10+20)+2x(10+30)=140厘米,

即在捆扎方案二中，所需丝带长度最短为140厘米；

由上可知，小李需要购买的丝带长度至少是100厘米.

故选：B

三、解答题

17.设等比数列｛%｝的前几项和为S“，已知%=4,a6=-32.

(1)求公比夕的值；

(2)求S5的值.

【答案】(1)q=-2

(2)11

【分析】(1)根据题意，由等比数列的性质即可得到心

(2)根据题意，由等比数列的前九项和公式，即可得到结果.

【小问1详解】

由题意可得，＞4-8,所以公比”2

【小问2详解】

%41lx1-(-2)5

由题意可得,%丁西=1，贝电=11.

1-(-2)

18.已知meR,直线I:2x+y—l=0,直线6：如+y+1=0.

(1)若〃〃2,求4与4之间的距离;

（2）若4与，2的夹角大小为arccos好，求直线4的方程.

5

【答案】（1）—

5

（2）4x-3y-3=0或y+l=O.

【分析】（1）根据两直线平行可得2,再由两平行线之间的距离公式即可求得结果；

4

（2）利用直线法向量夹角与直线夹角之间关系，由平面向量夹角公式即可解得加=—-或加=0,即可求出直线

3

4的方程.

【小问1详解】

因为丸〃。，所以加=2,

乙与12之间的距离d=尸一”=—

【小问2详解】

设直线4的一个法向量为勺=（2,1）,

直线/2的一个法向量为巧=（私1），

因为4与4的夹角大小为arccos>

-5

/--\|2m+l|J54

所以（2。$（々,%）=亍■-=—,解得根二一一或根=0,

'''V5-V1m2+153

因止匕直线4的方程为4x—3y—3=0或y+l=0.

19.某校高二年级共有学生200人，其中男生120人，女生80人.为了了解全年级学生上学花费时间（分）的信息,

按照分层抽样的原则抽取了样本，样本容量为20,并根据样本数据信息绘制了茎叶图和频率分布直方图.由于保存

不当，茎叶图中有一个数据不小心被污染看不清了（如图），频率分布直方图纵轴上的数据也遗失了.

（1）根据茎叶图提供的有限信息，求频率分布直方图中x和y的值，指出样本的“中位数、平均数、众数、方差、

极差，，中，哪些已经能确定，并计算它们的值；

（2）通过对样本原始数据的计算，得到男生上学花费时间的样本均值为30（分），女生的样本均值为27.75

（分），试计算被污染的数值，并根据样本估计该年级全体学生上学花费时间的“中位数、平均数、方差”.

【答案】（1）x=O.OO5,y=0.045,众数和极差可以确定，分别为：众数为25,极差为36

（2）中位数为26.5,平均数为29.1,方差为82.39.

【分析】（1）结合茎叶图，直方图的数据先可以确定乂丁，众数，极差信息均可以从茎叶图中看出；

（2）先根据男生女生的平均数算出被污染的数据，由两组数的平均值可以得到合成后的平均值，然后直接根据方差

的定义进行计算.

【小问1详解】

根据直方图可以看出，组距为10,[50,60）的频数为1,频率为0.05,x=0.005,

[20,30）的频数为9,频率为0.45,y=0.045

涂抹的数不确定大小，因此不能确定中位数

众数和极差可以确定，

无论被涂抹的数字是多少，不影响众数为25,

极差为51-15=36

【小问2详解】

30x12+27.75x8-（10x3+5+8+9）-（20x9+2+3+5x3+6+7+8）

—(30x5+1+1+2+4+6)—(40x2+2+7)—51=5

被污染的数值为5,

30x12+27.75x8

样本平均数7==29.1

20

(15-29.1)2+(18—29.1『+(19—29.1『+(22—29.1『+(23—29.1『+4x(25—29.1『+

(26-29.1)2+(27-29.1)2+(28-29.1)2+2x(31-29.1)2+(32-29.1)2+(34-29.1)2+于是样本方差

(36-29.1)2+(42-29.1)2+(47-29.1)2+(51-29.1)2=1647.8

,1

52=1647.8X—=82.39

20

由于涂抹的数字是5,故可以确定第10,11个数是26,27,则中位数为26.5

于是可估计该年级全体学生上学花费时间的中位数为26.5,平均数为29.1,方差为82.39.

20.如图，正四棱柱ABC。-A4GR的底面边长为1,高为2,点M是棱CG上一个动点（点M与C,G均不

重合）.

(1)当点M是棱CG的中点时，求证：直线川以工平面4MR；

(2)当D[M±AB,时，求点2到平面AMB｝的距离；

(3)当平面人与“将正四棱柱ABC。-A4G2分割成体积之比为1：2的两个部分时，求线段MC的长度.

【答案】(1)证明见解析

(2)迫i

21

(3)MC^-1+45

【分析】(1)由线面垂直判定定理，通过证AM，与M,AM1DXM,即可证得直线川以上平面用町，其

中法一用勾股定理证AM，4/,AM±DXM.法二用向量法证AM，4/,AM±DtM；

(2)用点到面的距离的向量求法即可得答案；

(3)法一由匕=%-ABCN+九一A四，列方程求解可得的长度；

法二由V棱台NMC—A^B二唳御一曲3-唳锥P—TVMC，列方程求解可得MC的长度.

【小问1详解】

证法一：因为又是棱CG的中点，

所以AM=y/AC2+CM2=S/AB2+BC2+CM2=Jl+1+1=百，

2

BXM=J4G?+CM==亚，B]A=,BlA+M=A/T+4=逐，

由勾股定理8/2=4/2+A"2,得AM,用M,同理可得，AM1DXM,

又BiMcRM=M,B[M、2〃u平面用MD1,

所以直线川欣1平面用MR；

法二：如图，以A为原点，AB，AD^A&的方向为％，％2轴的正方向，

建立空间直角坐标系.得A(0,0,0),M(1,1,1),4(1,0,2),R(0,1,2),

AM=(1,1,1),B]M=(O,l,-l),RM=(l,O,-l),

由AMD1M=O,得AM1D.M,

又BMCRM=M,BXM,平面4MD1,

所以直线AMI平面

【小问2详解】

如图，以A为原点，AB，AD>A&的方向为x，％z轴的正方向，建立空间直角坐标系.

得4(0,0,0),1)4(1,0,2),4(0,1,2),做=(1,0,2),

设点M=(1,1,/1),(0</?<2),则RM=(l,0,/i-2),

3

由。以・股=0,即1+2(—-2)=0,得力=5，

得AM=[,1,,设平面的法向量为〃=(〃,%⑼，

3

由〃・AM=(),〃•AB1=0,^u+v+—w=0,u+2w=0,

可取w=2,得v=l,沈=一4,

从而得到平面AMBj的一个法向量是〃=(T,1,2),因为A"=11,0,—g1,

1—4+0-115s/21

所以点2到平面AMBI的距离为d=''='=――.

HJ(-4)2+l2+2221

作MN平行于旦A,交CD于点N,连接AN,得截面片AW,

连接设线段CM的长为秋0</?<2)

CN1妨h„_1C/Ci.1h

由丁=不俗CN=3，S梯形ABCN=5义1+-xl=-+->

n222ZJ24

i(1hyhh2

可用%TBCN=§x[e+]Jx/zr=d+石，

又由%-ABB[=2X(^2X2X1}X1=3,可得匕'NM-B明=2+g+g，

由题意C+2+L=」x(lxlx2),整理的好+2/7—4=0,解得/?=—1+J?，

12633v'

所以线段MC的长度为-1+J?.

另解：连接gM并延长，交BC的延长线于点P,连接Q4,交CD于点N,连接肱V,

得截面AB}MN,因为平面M0C平行于三棱锥P-的底面AB】B,

得棱台NMC-ABiB,

设线段MC的长度为。（0〈内＜2）,线段CP长度为彳则忘=g,得x=£

/、

=；xlx(%+l)-\Sxx=L1-h-21

7343I4J

,、12

由题思,%台可此一453=(1x1x2)=

](我2、]2

所以「X1---+—=—,整理得〃3_8丸+8=0,

3433

由函数y=必和丁=8〃—8图像可知，点(2,8)是两个函数图像的一个交点,

即〃=2是方程/?_8〃+8=0的一个解,

因式分解，可得(/z—2)俨+2//—4)=0,得〃=2或/?=—1+6或/?=—1—

由/ze(O,2),得力=一1+痛，即MC=—l+6.

21.如图，己知点A("l)是椭圆「]+、=1(°>6>0)上的一点，顶点0(—2,0).

(1)求椭圆「的离心率；

(2)直线3。交椭圆「于两点(A£)与A不重合)，若直线AB与直线AD的斜率之和为2,直线BD是否

过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

(nJ??

(3)点E、点G是椭圆「上的两个点，圆/:[x--J+/=/(厂〉0)是_CEG的内切圆，过椭圆「的顶点

〃(03)作圆/的两条切线，分别交椭圆F于点P和点Q,判断直线尸。与圆/的位置关系并证明.

【答案】(1)也

2

(6、

(2)直线过定点尸—1+J5,一二三一1

2

(3)直线尸。与圆/相切，证明见解析

x

【分析】(1)根据题意可得,a=2,二1求解曲线方程，进而求解;

(2)分直线不垂直于1轴和直线3。垂直于1轴两种情况，将直线方程与曲线方程联立，利用韦达定理即可证明;

2

（3）设圆/半径为厂，圆心/（七0）,由相似三角形可得产+4厂+〃2—4=0,解之可得厂

设点P（内，丁］）,0（X2，y2），直线"P的方程为（%-&）x=%（y-&）,利用点到直线得距离公式即可证明.

【小问1详解】

22

由题意可知，a=2,将A（友,1）代入±+2=1，

V'4b-

得Z?2=2,/=—62=2（Q>0〃>0,c>0）,c_^2,

所以离心率

a2

【小问2详解】

当直线3D不垂直于x轴时，设直线的方程为丁=阳+〃，

直线的方程为y—1=左卜一四），

y=mx+n

、-「中―⑹整理得—叵—

由AB,。不重合，可知加工左，得x…="®_n①，

-m-k

y-l=k^x-y/2^