2024年高考数学押题预测模拟卷6（新高考九省联考题型）（解析版）

决胜2024年高考数学押题预测卷06

数学

（新高考九省联考题型）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己

的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知样本数据为芯、巧、无3、％、/、4、/，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来

的数据相比，下列数字特征一定不变的是（）

A.极差B.平均数C.中位数D.方差

【答案】C

【解析】样本数据为为、巧、七、％、％、/、巧，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原

来的数据相比，假设从小到大就是从看到与，极差可能变化，故A错；

平均数为「=々+%3+1+匕+工6,可能变，故B错；

中位数还是按从小到大排序中间位置的数，故C正确；

方差为S2=g［（z-丁『+（£-丁）?+（--可?+（匕-丁『+（4-可［，有可能变，故D错.

故选：C

2.已知全集。=1<,集合/,囱茜足A=（AcB）,则下列关系一定正确的是（）

AA=BB.BcAC.Ar\（CvB）=0D.（C［/A）nfi=0

【答案】C

【解析】因为集合4礴足B）,故可得ACB，

对A：当A为8的真子集时，不成立；

对B：当A为8的真子集时，也不成立；

对C：4c（QB）=0,恒成立；

对D：当A为8的真子集时，不成立；

故选：C.

3.p:m=2,q：（mx+y）5展开式中/丁项的系数等于钠，则。是q的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】A

【解析】（ax+y）5的展开式中含Yy3项为C；（如）2y3=C；m2fy3,

故=40,解得m=+2,

故“加=2”是"加=±2”的充分不必要条件.

故选：A

4.若cos[]+2a]—4sin2a=—2,则tan2o=（）

1

A.-2B.——C.2D.

22

【答案】C

【解析】由8$[+2“一4511120=-2,得-sin2a-4sin2a=-2,

22

Rn2sinorcos+4sina.Rn2tanor+4tana.

即----「-------2-----=2，即-------2---------2，

sina+cosatan。+1

所以2tana+4tan2a=2tan2a+2,所以tana=1-tan2a，

2tana

则tan2a==2

1-tan2a

故选：C.

5.在平面直角坐标系中，已知向量OA与05关于H由对称，向量〃=（。」），若满足

Q^+G.ABMO的点2的轨迹为其则（）

A.£是一条垂直于行由的直线B.£是一个半径为1的圆

C.废两条平行直线D.£是椭圆

【答案】B

【解析】设A（x,y）,由题有。4=（x,y）,OB=（x,—y）,

所以3（羽—y）,AB=（O-2yy

所以OA+a-AB=x2+y2-2y=0>即.f+（y—1）2=1,

所以点A（x,y）的集合是以（0,1）为圆心，1为半径的圆.

其轨迹E为半径为1的圆，

故选：B.

6.夹弹珠游戏是儿童特别喜欢的游戏，夹弹珠能有效提高参与者的注意力与协调性，调整逻辑思维判

断和空间控制平衡能力，锻炼小肌肉，增强手眼协调，培养敏捷的反应能力，从而提高参与者的适应

能力.如图，三个半径都是J8cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器（不计厚度）中，每颗弹珠的

顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的表面积（包括容器的内部和外部两部分）是

（）

A,（5+A/^T）兀cn?B,2（5+A/^T）兀cm?。4（5+V^l）兀cn?D,8（5+V^I）兀cm?

【答案】D

【解析】。在面上的投影为为大球球心，。，。2，03为小球球心•

。02=。2。3=003=2百,。1"=岸X2百=2,0M=百，大球半径为R，

(R-百)2=4+3=7,=77+6，

S表=4兀△2=4兀•(10+2®)=8兀(5+®),

故选：D.

7.已知函数/(jr)=sin°xcos0+cosssin"(0〉O,O<0<3,〃%)=0,/伍)=1，若

人—司的最小值为方且则〃x)的单调递增区间为()

兀7571

A.—+2E,一兀+24兀,keZB.——兀+24兀,一+24兀,A;eZ

6666

37兀7„兀2

C.------兀+左兀,-----FK71,KGZD.-------------------12kit,—兀+2左兀，左wZ

121233

【答案】B

【解析】因为/(x)=sinG%cos0+cosGxsin°=sin(0x+0),

又/(石)=0,/(%2)=1,且上一百的最小值为I",

T712兀

所以———，即丁=2兀，又G>0,所以。=—=1,

42T

所以〃x)=sin(x+0),又了(卜;，所以sin1'+O1

即cos°=一,

2

ITTT

因为。<夕<3，所以°=§,

所以/(x)=sin[x+耳J,令―/+2AJI«%+9<5+2AJI,k£Z,

5兀71

解得----F2kit<%<—F2kit,kwZ,

66

5jr

所以函数/(x)的单调递增区间为一石兀+2也,％+2版,ksZ.

故选：B

8.已知耳，工是椭圆和双曲线的公共焦点，P,9是它们的两个公共点，且产，供于原点对称,

e；3四……

若椭圆的离心率为双曲线的离心率为02,则.」，+,，2；的最小值是（)

e-+l纥+3

A2+若R1+6「2超

3333

【答案】A

【解析】如图，设椭圆的长半轴长为由,双曲线的实半轴长为外，

则根据椭圆及双曲线的定义得：|尸司+|P&|=M，|PG|—|P^|=2a2,

2兀

=4+局二%—%,设闺周=2c,ZP&Q=，

71

根据椭圆与双曲线的对称性知四边形PFQF2为平行四边形，则/RPF2

则在△尸4耳中，由余弦定理得，4c2=（1+%『+（q-g）--2（q+。2）（。1一。2）85"|，

13

化简得a；+3靖=4c之，即-y+”■=4,

eie2

f、

则…1313113、11

+i~r+3,—+1H--^-+1X—

i~r3,ee6

?+?+\\2>

7

-7

3134+i43+i34A1+i

,2

1

=—X4+-^——+4+2&_)

61131

7+1~2+1~2+1

e\,2qe2

1（4+2省卜耳।

=­x

6

23A/3+4

e,=---------<1

当且仅当JUi2)111

L时等号成立,

3_24+90]

=4

8-373-37

故选：A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知复数2在复平面内对应的点为-；,弓，贝U()

2224

A.|z|=lB.z+z=1C.z+z+l=OD.z°=2

【答案】ACD

【解析】由题可知，z=—；+#i，|z|=F1J+与=1，故A正确；

z=———,z+~z=—1>故B错误；

22

z2=-----F-^-i=----——i=------——i,所以z2+z+1=—1+1=0，C正确;

2244222

所以z2024=z2022.z2=z2022.z2=(z3)674-z2=z2=z,故D正确.

故选：ACD

I7-3

10.设A3是一个随机试验中的两个事件，且尸(A)=—,P(B)=—,P(A+B)=—,则()

234

B.(而

A.P(AB)=—P)=g

12

_3

C.P(B\A)=-D.P(A|

6

【答案】ACD

--11-3-1

【解析】P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=-+——P(AB)=-,P(AB)=—,故A对.

23412

P(B)=P(AB)+P(AB),.-.-=P(AB)+—,P(AB)=-,故B错.

3124

]

P(匈4)=冬瓯=早=,，故CM

P(A)16

2

P(B)=P(AB)+P(AB)=P(AB)+P(A)-P(AB),

_J.

-=P(AB)+P(AB)=-,P(A|=l故口对

32124P(B)28

3

故选：ACD.

11.已知定义在R上的函数/(%),1?(%)，其导函数分别为

/,(x),g,(x),/(l-x)=6-g,(l-x),/(l-x)-g,(l+x)=6,且g(x)+g(r)=4,

则()

A.g'(x)的图象关于点(0,1)中心对称B.g'(x+4)=g'(x)

c.r⑹=/gD./⑴+"3)=12

【答案】BCD

/(1—x)=6—g'(1—x)，/、/\

【解析】由题意可得《［八1-二=6+,1+:’两式相减可得g'0+止―/(1)①，

所以g'(x)的图象关于点(1,0)中心对称，A错误；

由g(x)+g(-x)=4②，②式两边对x求导可得g'(x)=g'(—x),可知g'(x)偶函数,

以1+尤替换①中的x可得g'(2+x)=—g'(-x)=-g'(x),

可得g'(4+x)=—g'(2+x)=g'(x),所以g'(x)是周期为4的周期函数，B正确；

因为〃x)=6—g'(x),可知〃x)也是周期为4的周期函数，即〃x+4)=/(x),

两边求导可得了'(x+4)=/'(%),所以/⑹=/12),C正确;

因为g'(l+x)=—g'(l—x),令尤=0,则g'(l)=—g'⑴，即g'(l)=0,

又因为g'(x)是偶函数，所以g'(-L)=g'(l)=0,

又因为g'(x)是周期为4的周期函数,则g'⑶=^(-1)=0,

由心…⑺可得愕:m

所以/'(1)+/(3)=12,D正确.

故选：BCD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.等差数列｛4｝的首项为1,公差不为0,若外,%，小成等比数列，则｛%｝的前5项的和为

【答案】-15

【解析】设等差数列｛%｝的公差为d且dHO,且q=1,

因为的，。3，。6成等比数列，可得片=/4,即(1+24)2=(1+4)(1+54),

即d=-2或&=0(舍去)，

5x4

所以S5=5xl+^-x(-2)=-15.

故答案为：-15

13.已知圆锥的母线长为2,则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为时，圆锥的体积最

大，最大值为.

【答案】逅16A/3

71

327

【解析】设圆锥的底面半径r,母线为1,高为力,

设母线与底面所成的角为«（0<«<!）,

丁

则cosa=—(0<cosa<1),

贝ijr=2cosa，

贝U%=A//2-r2=2^1-cos2a，

则圆锥的体积为V=^7r-r2-h

令尤=cose(0vx<l),贝ljV(x)=g乃

令=x4-x6,求导得fr(x)=4x3-6x5=2X3(2-3X2),

令r(x)=0,则x=Y5或一

舍去）,

3

f'(x)>0/（无）单调递增,

当,1时，r（x）<o/（X）单调递减,

所以当x=Y6时，A©取得极大值，也是最大值.

3

此时V（x）=|m/xJf最大,匕砥=丫（4）=3，万，

即圆锥的母线与底面所成的角的余弦值cos1=@时，

3

圆锥的体积最大，最大值为更赵不

27

故答案为：渔；巫兀.

327

14.在J\BC中，角A,瓦C所对的边分别为a,b,c,若a=2,c=3,cosB=bcosC,P,Q分别在边AB

和CB上，且PQ把_A3C的面积分成相等的两部分，则尸。的最小值为.

【答案】石

A

由cosB=bcosC,得0*T=b•°I

laclab

即任一.生z

解得b=

2x2x32x2b

a2+c2-b2636

cosB==-x2x3x

lac2x2x323'2

c_3上&RP一RC_l君_3百._3

Sp-——，?BP=x,BQ=y.—x-y-——=-xy=3,y=—^

,BQ4224x

0<x<3

39l

令<3，得一<%<3,PQ2=~2xycosB=-\—--322,9—3=3,

0<—<22x

Lx

所以P&n=G，当且仅当Y=N即％=百时等号成立.

故答案为：百.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.为了开展“成功源自习惯，习惯来自日常”主题班会活动，引导学生养成良好的行为习惯，提高

学习积极性和主动性，在全校学生中随机调查了100名学生的某年度综合评价学习成绩，研究学习成

3

绩是否与行为习惯有关.已知在全部100人中随机抽取一人，抽到行为习惯良好的概率为g，现按''行

为习惯良好”和“行为习惯不够良好”分为两组，再将两组学生的学习成绩分成五组：［50,60）、

［60,70）、［70,80）、［80,90）、［90,100］,绘制得到如图所示的频率分布直方图.

（1）若规定学习成绩不低于80分为“学习标兵”，请你根据已知条件填写下列2x2列联表，并判断

是否有99%的把握认为“学习标兵与行为习惯是否良好有关”；

行为习惯良好行为习惯不够良好总计

学习标兵

非学习标兵

总计

（2）现从样本中学习成绩低于60分的学生中随机抽取2人，记抽到的学生中“行为习惯不够良好”

的人数为X,求X的分布列和期望.

n^ad-bc^

参考公式与数据：力2其中〃=a+Z?+c+d.

(〃+b)(c+d)(Q+c)(Z?+d)

尸（土训0.1000.0500.0250.0100.0050.001

k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

Q

【答案】（1）列联表见解析，有（2）分布列见解析，E（X）=-

3

【解析】（1）已知在全部100人中随机抽取一人，抽到行为习惯良好的概率为

32

则100名学生中，行为习惯良好的有100x1=60人，行为习惯不够良好的有100x1=40人.

由频率分布直方图可知，行为习惯良好组中不低于80分的学生有（0.025+0.045）x10x60=42人,

行为习惯不够良好组中不低于80分的学生有（0.010+Q030）xl0x40=16人

则2x2列联表为：

行为习惯良好行习惯不够良好总计

学习标兵421658

非学习标兵182442

总计6040100

2

,2=100(42x24—18x16)2=1800工,P(z>6.635)=0.01,

60x40x42x58203

因为8.867>6.635,所以有99%的把握认为“学习标兵与行为习惯是否良好有关”.

（2）行为习惯良好组中低于60分的学生有0.005x10x60=3人，

行为习惯不够良好组中低于60分的学生有0.010x10x40=4人，则X的可能值为0、1、2,

2

P(X=0)=^c°c=1,尸(X=l)=0器1014P(X=2)=「§2r9o=)*

X的分布列为:

X012

£42

P

777

1428

期望£(X)=Ox—+lx—+2x—=—.

v77777

1

16.已知/(%)=ln%+5%9~cix(aeR).

1°1

(1)若/(%)«一炉——在工+8)恒成立,求a的范围;

22x

(2)若/(九)有两个极值点s,3求/⑺+/(s)的取值范围.

【答案】⑴[-,+«)(2)(-oo,-3)

2

1丫21

【解析】(1)由函数〃x)=lnx+一/一以，因为——L在[1,8)上恒成立,

222x

InxI

即a2——+「在工+8)恒成立，

x2x2

人，/、Inx1-,/、x-xlnx-1

令h(x)=—+—-,可得"(x)=----------,

x2x'x

令t(x)=x-xlnx—1,可得f'(x)=-InxM0,

所以f(x)在［1,+«))单调递减，所以f(x)<«)=0,

所以“(X)W0恒成立，所以丸⑴在口,+<»)单调递减，所以//(X)max=久1)=；，

所以所以实数。的取值范围为己,+8).

22

(2)因为/(x)有两个极值点取，

可得S,t是尸(x)=L+X_a=XiX+1=0的两不等正根,

XX

A=/—4>0

即s"是兄2—Q%+1=0的两不等正根，则满足Vs+/=〃>0,解得〃>2,

st=1

则f(%)+f(s)=In%+Ins++—,y2—(i(j+5)—ln(s/)+—(Z+5)2—ts—+s)

—ln(s%)H—Q+s)2~ts—a(t+s)=—/_1<—x22—1——3,

222

所以/⑺+/(s)的取值范围为(—8,—3).

17.如图，在三棱锥A—BCD中，和△BCD都是正三角形，£是5。的中点，点用黄足

DF=2EA(2^0).

A

F

C

（1）求证：平面ABC1平面ADF；

（2）若|AD|=|3C|=2jL且跖〃平面AGO,求QP的长.

【答案】（1）证明见解析（2）6

【解析】（1）如图，连接QE,因为。k=/LEA，所以DF//AE.所以4E,D,硒点共面.

因为在三棱锥A—3CD中，和△BCD都是正三角形，破3C的中点，

所以AEL2C,DE±BC.因为平面A"，AEDE=E,所以工平面A",

又3Cu平面ABC,所以平面ABC1平面ADF.

（2）如图，记△BCD的中心为。，连接。4,由（1）得AO人BC.同理可证AOLCD,

且3CcCC>=C，所以40,平面BCD,以妫坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

因为aBCD是正三角形，忸。|=26，所以|如=2,|。目=1,|。4|=2也.

所以4。,0,20）,B（-A-l,0）,C（A-1,O）,£>（0,2,0）,E（0,-l,0）.

所以C4=（—6,1,20）,CD=（-^,3,0）.

nCA=0—yfix+y+2\[^z=0

设平面ACD的一个法向量为"=（九,y,z）,则，即《

n-CD=0—>/3x+3y=0

令y=丘,则X=A/^，z=1>所以”=(J^,1).

因为丽=倒,1,2匈,BD=(A3,0),

所以3/=30+£>/=3D+/IEA=(6,3,0)+%(0,1,20)=(石,X+3,2a).

因为5尸〃平面4CD,所以a.3尸=0，

即出x逐+(4+3)&+2a=0,解得X=—2,

此时|DF|=2|EA|=6.故)=的长为6.

z

18.已知抛物线C：V=4x的焦点为尸,△「色?各顶点均在。上，且「尸+。/+氏/=0.

（1）证明：/是，PQR的重心；

（2）PQR能否是等边三角形？并说明理由；

（3）若RQ均在第一象限，且直线尸。的斜率为画，求-PQR的面积.

3

【答案】（1）证明见解析（2）不肯能，理由见解析（3）三匡

98

【解析】（1）设尸。的中点为M，QR的中点为N,

因为PF+Qb+RF=O，所以尸P+JFQ=2K0=RE,

又尸为公共端点，所以三点共线，

同理可得2FN=P7,又歹为公共端点，所以£N,P三点共线，

所以RM,PN是PQR的两条中线，

所以厂是,PQR的重心；

（2）由题意尸（1,0）,设P（石,另）,。（无2，%），氏（&，%），

则尸尸=（1_石,乂）,0尸=（1_%2，%），即=（1_/，%），

由PT7+。/+RF=0,可得%+%+%3=3,%+%+%=°，

由抛物线的定义可得1PH=石+1,依/曰氏+1,|即=七+1,

若-PQR是等边三角形，则由⑴知|PF|=|QF|=|RF|,

^\PF\=\QF\,可得西=々，

又因RQ不重合，所以％=—%/0,

所以%=—（%+%）=0，

3

所以退=。,％=%=］，尺（0,0）,

故附=|叫=>1=牙呼|=1,这与附=|QF|=|RF|矛盾,

所以PQR不可能是等边三角形；

（3）设直线尸。的方程为y=叵％+人，

3

,=叵+1

联立《"亍，化简得7f+（2同?-12卜+3/=0,

y2=4x

△=（2^0—12）2—4x7x302=48（3—后。）>0,所以匕〈浮,

由韦达定理得xl+x2=12；b,石々=三,

+,、后/\9+2421b

由（2）有七=3—（玉+工2）=-----------，