张家口市2023届高三年级下册三模考试数学试卷(含答案)

张家口市宣化第一中学2023届高三下学期三模考试数学试卷

学校：___________姓名：班级：考号：

一'选择题

1.已知集合S={s|s=2〃+1,"eZ},T=卜［=472+1,”eZ},则ST=（）

A.0B.SC.TD.Z

2.复数满足|z—5|=|zT=|z+i|,则目=（）

A.VioB.而C.3&D.5

3.如图，一种工业部件是由一个圆台挖去一个圆锥所构成的.已知圆台的上，下底面直径

分别为2cm和4cm,且圆台的母线与底面所成的角为四,圆锥的底面是圆台的上底面，顶

4

点在圆台的下底面上，则该工业部件的体积为（）

C-3a兀D.9缶

4.如图1所示，古筝有多根弦,每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根

据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x轴,相邻两根弦

间的距离为1,雁柱所在曲线的方程为＞=1.1，，第〃根弦（“cN，从左数第1根弦在V轴上,

称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线I:y=x+l交于点An（为“,%）和纥则

20

2yH=（）

n=0

参考数据:取1.产=8.14・

图1图2

A.814B.900C.914D.1000

5.如图，将正方体沿交于同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个

三棱锥，截取后的剩余部分称为“阿基米德多面体”，它是一个24等边半正多面体.从它的

棱中任取两条，则这两条棱所在的直线为异面直线的概率为()

6.已知c,，均为锐角，且cos(a+夕)=-则tana的最大值是()

sinp

A.4B.2C.正D.正

45

7.已知正方形ABCD的边长为2,是它的外接圆的一条弦，点p为正方形四条边上的

动点，当弦的长度最大时,PM.PN的取值范围是()

A.[-1,O]B.[0,qC.[l,2]D.[-l,l]

8.已知X]是函数/(x)=x+l-ln(x+2)的零点是函数g(x)=必-2ox+4a+4的零点,

且满足|药-々区1，则实数。的最小值是()

A.—1B._2C-2-2&D-1-V2

二、多项选择题

9.将函数/(x)=sin[0x-2](O<0<6)的图象向右平移巳个单位长度后，得到函数

g(x)的图象.若，是g(x)的一个单调递增区间，则以下结论正确的为()

A.小)的最小正周期为兀B.小)在营署]上单调递增

C.函数/(x)=/(x)+g(x)的最大值为百D.方程/(x)=一;在[0,2兀]

上有4个实数根

10.如图,正方体ABCD-A4GA棱长为2/是直线4。上的一个动点，则下列结论中

正确的是()

小

A

A.5P的最小值为6

B.PA+PC的最小值为2曲—拒

C.三棱锥4-ACP的体积不变

D.以点3为球心，夜为半径的球面与面AB。的交线长半兀

11.已知函数/(%)及其导函数/'(x)的定义域都为R,对于任意的x,yeR,都有

/(司+/(村=2/［三］/［亍］成立，则下列说法正确的是()

A./(O)=l

B.若"1)=(,贝U〃2)=T

C「(x)为偶函数

D.若"1)=0,则/由+/［?+/阴+L+/(言"［智］=。

22

12.设耳工为椭圆工+匕=1的左,右焦点，直线/过及交椭圆于A,5两点，则以下说法

43

正确的是()

的周长为定值8的面积最大值为26

C.|A与与「的最小值为8D.存在直线/使得△AB"的重心为

三、填空题

202321

13.^(2x-3)=aQ+a^x-1)+a2(x-I)++4023(%_1)2侬，贝J43=-

14.已知正实数x,y满足e23+3-3x=,则上+工的最小值为.

xy

15.如图，在正方体ABCD-A4GA中，AB=4,若R为棱A2上动点，E为线段

5.上的点，且用F.若AE与平面A4F所成角的正切值为|,则三棱锥

A-4男尸的外接球表面积为.

22

16.已知耳，尺分别为椭圆。：=+4=1(。〉〃〉0)的左，右焦点，P,。是椭圆上两

ab

点，线段PQ经过点片，且PQ，P%|P0=jp闾，则椭圆C的离心率为.

四、解答题

17.在二角形ABC中，角A,B,C的对边为a7,c,已知sjn(j+asinA=bsinB+csinC-

(1)求A;

(2)若。=&,求BC边上的高AD的最大值・

vV1

18.记Sn为数列｛%｝的前n项和，已知的=1,---=.

an+la”2

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)令%=2%,记数列也｝的前n项和为T“，试求《小除以3的余数.

19.如图，已知在四棱锥p—ABCD中，。为A3中点，平面POCJ_平面

ABCD,AD//BC，AB±BC，PA=PB^BC=AB=2,AD=3-

(1)求证:平面PAB_1_平面ABCD;

(2)求二面角O—PD—C的余弦值.

20.市教育局计划举办某知识竞赛，先在A,B,C,。四个赛区举办预赛，每位参赛

选手先参加“赛区预赛”，预赛得分不低于100分就可以成功晋级决赛.赛区预赛的具体

规则如下：每位选手可以在以下两种答题方式中任意选择一种答题.方式一：每轮必答

2个问题，共回答6轮，每轮答题只要不是2题都错，则该轮次中参赛选手得20分，

否则得0分，各轮答题的得分之和即为预赛得分；方式二：每轮必答3个问题，共回

答4轮，在每一轮答题中，若答对不少于2题，则该轮次中参赛选手得30分，如果仅

答对1题，则得20分，否则得0分.各轮答题的得分之和即为预赛得分.记某选手每个

问题答对的概率均为/?（0<

（1）若。=』，求该选手选择方式二答题晋级的概率；

2

（2）证明：该选手选择两种方式答题的得分期望相等.

22

21.已知片，工分别为椭圆C：=+*=1（。〉6〉0）的左,右焦点4为椭圆上的动点（异

于C的左，右顶点）△耳4工的周长为6,且△K面积的最大值为73•

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若3为直线&耳与椭圆C的另一个交点，求AAB工内切圆面积的最大值.

22.已知函数/（力=7加-如-

（1）若“X）的导函数为g（力,试讨论g（X）的单调性；

（2）若/（X）+?〉1对任意的%G（1,y）恒成立，求实数m的取值范围.

e

参考答案

1.答案：c

解析：当〃是偶数时，设”=2攵，则s=2〃+l=44+1，

当〃是奇数时，设〃=24+1，则s=2〃+l=4k+3,左eZ，则7。5,

则SiT=T，

故选:C.

2.答案：C

解析：设2=。+加3北2，上一5|=卜—1|=归+中

则(°一5)2+/=(a-Ip+/=/+s+Ip，解得a=3，b=—3,

所以|z卜西+(—3)2=372'

故选:C.

3.答案：A

解析：根据题意，该圆台的轴截面为等腰梯形,如图，

所以NZMB即为圆台母线与底面所成角，即兀，

ZDAB=-

4

因为圆台的上，下底面直径分别为2cm和4cm，所以，过。作DE_LAB，垂足为瓦则

AE=1，DE=1，

所以，圆台，圆锥的高均为DE=1，

所以,该工业部件的体积为

V=%台一十锥=gxlx(兀+J兀x4,+4兀)一;x兀xFxl=2兀

故选:A.

4.答案：C

2020

解析：由条件可得2yM=X(n+l)l.l"=lxl.lO+2xl.r++2Oxl.ll9+21xl.l20@,

n=0n=0

20

所以=lxl.l1+2xl.l2++20x1.120+21x1.121(2),

n=0

2011l21

①一②得：—0.1X2%W=1.1°+1.T++1.120-21X1.121=^-^-—21x1.121,

〃=o1-1.1

=1-1.1^0.1x21x1.1^=1±1^=1±8：14=_91%所以/=914.故选C

-o.i-o.i-o.iM

5.答案：B

解析：当一条直线位置于上(或下)底面，另一条不在底面时，共有10x8=80对异面直线，

当两条直线都位于上下底面时，有4x2=8对异面直线，当两条直线都不在上下底面时，有

80+56+812

7x8=56对异面直线，所以，两条棱所在的直线为异面直线的概率为2=

23

故选:B

6.答案：C

解析：

/小sina

COS(6Z+^)=——,

smp

cos(a+P)sin/3=sina=sin[(cr+=sin(cr+/7)cos0-cos(cr+4)sin0,即

tan(a+/?)=2tan/?Jan"\1anB_2tan0，即2tanatan2B-tanB+tana=0,又因为

1一tanatanp

为锐角，所以该方程有解,即A=1一8tan?。20，解得-也<tanaV也.又a为锐

44

角,.0<tanaV-

4

所以tana的最大值是克.(也可以利用均值定理求最大值)故选:C

4

7.答案：A

解析：当弦MN的长度最大时，弦MN过正方形ABCD的外接圆的圆心。，因为正方形

ABCD的边长为2,所以圆0的半径为V2，如下图所示：

贝1PM=PO+OM，PN=PO+ON=PO—OM，

所以,尸河.啪=任0+0町.仍0-0町=「02-0〃2.因为点。为正方形四条边上的动

点，所以1Wpo|<血,又"M=逝,所以P”PNe［―1,0上故选:A.

8.答案：A

解析：/(x)=x+l-ln(x+2),x>-2,.\f\x)=1-----=^^-,当-2<%<-1

时,/'(%)<0,/(%)单调递减，当x>-l时，/'(X)>0,/(%)单调递

增"3min=/(T)=0,.•.％=T为方程〃%)=o的根，即石=T.故1%_々|K1，即为

|一1一百<1,解得一24%2<。,二％是函数g(x)=f-2or+4a+4的零点，，方程

f_2ox+4a+4=0在［-2,0］上有解,即(2%-4)4二炉+4在［-2,0］上有解,

%2+4

—8<2x—4<4.==在［-2,0］上有解.令

x-2

2

/、_必+4vcr_9n］(、x+4(f—4)+8g8)设

S{x)—不，％£L2,0J，g(x)=-----=----------=X+2H------=(x—2)H------1-4，收

x—Zx-2x-2x-2x-2

/=x—2(TW/W—2),贝|J/?(/)=/+；+4,易知//⑺在［—4,—20］上单调递增，在［-272,-2］

上单调递减.又/z(T)=—2/(—2)=—2,；.丸⑺而口=一2•:.2a>-2,a>-l-故实数a的

最小值是—1.

9.答案：ACD

解析：函数图象右移巳个单位后为g(x)=sin］小图-看=sin"-等-因为

日,£|是g(x)的一个单调递增区间，所以g(0)=-1,即-学4=2®-］"0,解得

。=-12k+2,因为0<口<6，以<9=2,故/。)=511112%-看］,/(%)的周期为三=兀,故A

正确；

令2E—］<2x-^<2kn+^,k^Z得尿-%〈xWkit+gkwZ，即故/(%)在上

单调递增，故B错误;又

F(x)=sinI2x-j-cos2x

=—sin2x--cos2x=6—sin2x-cos2x=0sinf2%-^-L

22(22J

所以尸（x）的最大值为由，故C正确;当xw［0,2兀］时2%-已£7i23兀

6，~6~7

.C兀、1IThlc兀兀百C兀7兀急c兀1171-f--兀19兀音

sin2x—=—2x—=—或2%—=——或2%—=或2%—=---或

k6J266666666

2x—，即〃尤）与直线y=」在［0,2兀］上有5个交点，又」＞-!所以〃龙）与直

66232

线y=—；在［0,2河上有4个交点，即方程/（X）=-；在［0,271］上有4个实数根，故D正确.

故选:ACD.

10.答案：ACD

解析：对于A,在中，46=5£）=40=2也，即△%。是边长为2夜的等边三角

形,二.BP的最小值为△%。的高，，地nin=J'8-2=&，A正确;

对于B,将ZVL41n与矩形A与CD沿翻折到一个平面内，如图所示,

DC

则K4+PC的最小值为AC;又==在&ACD中，由余

弦定理得:AC?=4+4-83手=8+40,,40=2亚工后，即

（PA+PC）^=2,2+0，B错误;对于C,4及_L平面ADD^,ADXu平面

ADDX\4用±AD}；-四边形ADDX\为正方形,AD,，弓。,又

4O=4，A片，4Ou平面4gCQ,.^.AD],平面

[1111ll4

V^_=-QD

A^BXCD；/.V^_ACP=BCP5ABJCP,AD]=%S"B[C♦=%x2x2ypix母=个,

即三棱锥Bx-ACP的体积不变,C正确;对于D,设点B到平面AB.C的距离为

BABC-%-A3c=；x2x2x2

d，^-X，/.'d——S^ABC.BB、同;乂26乂2近d，解

得:8=半，，以点5为球心,0为半径的球面与平面ABC的交线是以E=当为

半径的圆，，交线长为27rx逅=侦兀,D正确.

33

故选:ACD.

11.答案：BD

解析：令x=y=O,则/（0）+/（0）=2尸（0）,解得"0）=1或/⑼=o,故A错误;

令x=y=l,2〃1）=2/⑴/（0）,所以"0）=1,

令％=2,y=0,贝1]/（2）+/（0）=2/^1）,解得〃2）=-g,故B正确；

当/(0)=0时，令l=丁，则有2/(x)=2/(x)/(O)=O,

所以〃%)=0,广⑺=0,

当/（0）=1,令x=-y,则有〃劝+/（。）=2〃0）〃力,

所以〃x）=〃—x）,所以r（x）=—r（—x）,所以广（司为奇函数,

综上，r（x）为奇函数，故c错误；

令x=y+2,则/(y+2)+/(y)=2/(y+l)〃l)=0,

111520192023

所以/+/+L+/+f=0,故D正确.

22

故选：BD.

12.答案：ACD

22

解析：由椭圆5+/=1，可得a=2,6=g，c=l，所以△ABB为

|四|+|隹|+忸4|+忸闾=4。=8,故人正确;因为

2

8,当且仅当|前|=|9|取等号，故C正

x=my—1

确;由题可设直线/的方程为了=的-1,由＜22

-元------+1--'-------1f

[43

6m

可得(3■+4);/-6冲-9=0,设人(%,％),5(孙%)，则%+%=9

-5——，X%=-----7——，

3m2+43m2+4

6m29可"'+i，所以AABF?

所以1%一%|=+=I-4

3m2+43m2+43m2+4

由,令则.

的面积为S=g闺阊|%-叩=,4=产—1,因为

i„_Wm2+1_12t_12

d1,3/+?4,所以S=3疗+4=口1=口—3,故B错

IJlH

、口6m/、高一高'又四⑼'所以

年；%+、2=3.2+4，演+方=「（/+%）―2=

181

△ABF,的重心为己"82m,33m2+4解得机

，令V6,=2,

3m2+4)'3m2+4,2m1

37』+44

所以当直线/的方程为x=2y-1时△AB"的重心为故D正确.故选:ACD.

2023

13.答案：2

：(2%—3)2°23=[2(%—1)—=%+q(冗一1)+〃2(%—1)2++^2023~1)2°23?

・・・玛23+1=/3[2(冗一1)产(—I)。".023.故答案为：22。23.

14.答案：1

3

解析：由e2-3x+3—3x=e>T+y,得e2-3jc+2-3x=e^l+y-l,

令/(x)=e'+x,则/(x)在R上单调递增，所以2-3%=丁-1,即3%+尸3,又因为利是正

实数，

所以2+工=2+主土1=t+4+工)2口当且仅当即x=y=3时等

xyx3jxy3xy33xy4

号成立.

15.答案：41兀

解析：由题，连接AE,/AE4,即为AE与平面4片口所成角，且

tanNAEA=^='，当tanZA吗=g时，得4石=三，设=x(0<x<4),

,即4X=W><JX2+16,解得x=3,所以4尸=3,易知三棱锥

A-ABZ的外接球即为分别以3,4,4为棱长的长方体的外接球，设其半径为凡则

R=1732+42+42=殍,所以三棱锥A-4用厂的外接球表面积S=4位2=41K.

16.答案:手

解析：根据题意，不妨设归闯=4女传>0),那么|PQ|=3左,

因为PQLPg,所以|Q闾=53

因为“+|/+|PQ|=|M+“+|Q凰+逊|=4a,得k=g

所以|Pg|=ga，则|P6|=2a_ga=ga,

因为尸0，尸居,则孙『+L=］耳阊②，即［I,+停=（2c）2，

所以9a2=。2,即e2=9,解得e=好.

993

故答案为：见.

3

17.答案：（1）A=-；

4

⑵1+正.

2

解析：（1）根据正弦定理可得后C=02+C2./,又

b2+c2-a2-2bccosA^:.cosA=-Ae（0,7t）,A=—.

24

（2）a2=2=b1+C1-2bccosA=b2+c2-行企2。-应及小二^0+^/^当且仅当

b=c时取等

5

京ABC=-besinA,：,（S^ABC）max=S^ABC=；xaxAD=gx后xADW立;,

-A£）＜1+正,，AD的最大值为i+正.

22

18.答案：（1）a〃="

（2）2

解析：⑴由工_&=_g有^^=，即9_&=1,又q=l,故工=1,

a

4+1n2all+lan2an+ian2%

所以数列（鸟L］是以1为首项」为公差的等差数列,所以凡=安,即§=四。，故

5=巴吆%+i，两式相减得4+i=巴吆。“+1—巴口4,即2a〃+i=巴已。”,所以

n+i12n-riTi+i2n+i2〃?〃十i2鹿

—=%==幺=1,因此a”=〃.

n+\n1

(2)由(1)及a=2%,有a=2",所以

5,1=22"—2=4"—2,4"=(3+1)"=C：3"+C；3"T++C/31+1,因为C：,C：,,C：T均为

正整数，所以存在正整数k使得邛=3k+1，故=22"-2=4"-2=3左-1,所以耳—除以

3的余数为2.

19.答案：（1）见解析;

⑵B

4

解析：（1）证明：.AD//BC，AB±BC,BC^AB=2,AD^3,

:.OC=^，OD=M，CD=5OD2=OC-+DC?,:.OCLCD,平面POC±平面

ABC。,两平面的交线为oc，；.CD，平面POC,；.C£＞，PO，・，Q4=P3=AB，。为AB中

点,PO，AB,梯形中AB与CD相交,：,P01底面ABCD,平面尸9，平面ABCD.

⑵如图建立空间直角坐标系O-孙z,则P（0,0,@,£）（-l,3,0）,C（l,2,0）,

OP=(0,0,V3),C)D=(-l,3,0),CP=(-1,-2,^),CD=(-2,1,0),

设平面OPD的一个法向量为m=a，%zj,平面PCD的法向量为〃=(%,%，Z2%则由

OPm=0力/曰"r一°,取必=1,得尤]=3,Z]=0,即7〃=(3,1,0),同理

，可得4

OD•m=0一西+3%=0,

前=需%=¥.故二面角°一如一0的余弦值为

n=(0,2"5),•••cos(m,"

20.答案：（1）竺；（2）证明见解析.

128

解析：

（1）该选手选择方式二答题，记每轮得分为X,

则X可取值为0,20,30,

r131

且P（X=0）=—，P（X=20）=--P（X=30）=-

882

记预赛得分为r,

p（y>100）=P（Y=120）+P（Y=110）+P（Y=100）

唱

•••该选手所以选择方式二答题晋级的概率为—.

128

（2）该选手选择方式一答题：

设每轮得分为则。可取值为0,20,

且p（J=0）=（l_p『，尸（4=20）=l_P（J=0）=2p一2?

•••石⑷=20以2_0,

设预赛得分为耳，则乂=63

E（K）=E（6＜）=6E©=120p（2-p）.

该选手选择方式二答题：

设每轮得分为？，则？可取值为0,20,30,且

P«=O））=（l-77）3-

P《=20）=3p（l—"，

P（7=30）=3p2（—p）+p3,

E（?）=60p（l_p）2+30[3p2（i_p）+p3]=30p（2_p）.

设预赛得分为打，则为=47

矶切=石（47）=4矶？）=120夕（2—夕），

因为E（K）=E（、），所以该选手选择两种方式答题的得分期望相等.

22

21.答案：（1）土+乙=1

43

16

解析：（1）设椭圆的焦距为2c,因为A为椭圆上的动点（异于C的左，右顶点）鸟的

周长为6,所以2a+2c=6①，因为△KA互面积的最大值为由,所以由椭圆性质得当A为

短轴端点时，△耳峭面积的最大，即5寸此=；x2cx匕=&②，因为32=1-2③，所以，由

22

①②③解得a=2,c==百，所以，椭圆C的标准方程为土+乙=1.

43

（2）设AAB月内切圆的半径为，所以，根据等面积法

=^\AF2\+\BF2\+\AB\）-r=4r,

所以,内切圆面积的最大时,的面积最大，由题知耳（-1,0｝设=1,

f22

、工+匕=1

与椭圆C联立方程<43得（3〃?2+4）y2-6相^-9=0,设4（%,%）,5（%2，%），则

x=my-1

6m-9r-r-

123m2+4123m2+4

„11„„IIIr3~~36m236-12dm2+1

以‘2Mxz=加+乂）-49'由口+藐。=3"+>],

令仁"Hgl），则小监一3『+1-3/+i,设/⑺=3/+%训,则由对勾函数单调性