2024年九年级中考数学复习-二次函数之面积最值问题（学生版）

中考数学压轴题专项练习

二次函数之面积最值问题

L（2023秋•庐阳区校级月考）如图，抛物线y=-；/+云+。经过点A®,2）、点C（4,0）,且交x轴于

另一点B.

（1）求抛物线的解析式;

（2）在直线AC上方的抛物线上有一点求AACM面积的最大值及此时点M的坐标;

（3）航点坐标为（2）中的坐标，若抛物线的图象上存在点P,使AACP的面积等于AACM面积的一

半，则P点的坐标为.

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2.（2022秋•营山县校级期末）已知抛物线y=-/+加:+。0、c为常数），若此抛物线与某直线相交

于A（-1,0）,C（2,3）两点，与y轴交于点N,其顶点为D.

（1）求抛物线的函数解析式和顶点。的坐标；

（2）若点尸是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求AAPC的面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）点”（〃,/）为抛物线上的一个动点，/关于y轴的对称点为“J当点区落在第二象限内，取

得最小值时，求”的值.

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3.（2023秋•薪春县期中）如图，抛物线y=（x+iy+左与x轴交于A、5两点，与y轴交于点C（0,-3）.

（1）求抛物线的对称轴及k的值；

（2）抛物线的对称轴上存在一点P,使得P4+PC的值最小，求此时点尸的坐标；

（3）点M是抛物线上一动点，且在第三象限.

①当/点运动到何处时，AAM5的面积最大？求出AAM3的最大面积及此时点M的坐标；

②过点M作PMx轴交线段AC于点P,求出线段PM长度的最大值.

4.（2023秋•江南区校级期中）如图，抛物线丁=。》2一4依—12。与x轴交于A、3两点（点A点3点

的左边），与y轴交于点C.直线/与抛物线交于A、。两点，与y轴交于点E,点。的坐标为（4,3）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点尸是抛物线上的点且在直线/上方，连接以、PD,求当APAD面积最大时点P的坐标及该

面积的最大值；

（3）若点。是y轴上的点，且NADQ=45。，求点。的坐标.

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5.（2023秋•滨城区期中）如图，已知抛物线丁=加+（+4的对称轴是直线x=3,且与x轴相交于

A、3两点（3点在A点的右侧），与y轴交于C点.

（1）求A点、B点坐标；

（2）求直线3c的解析式；

（3）点P是直线上方的抛物线上的一动点（不与3、。重合），是否存在点P,使AP5C的面积

最大？若存在，请求出AP5C的最大面积；若不存在，试说明理由.

6.（2023秋•福清市期中）如图，抛物线y=—/—加:+。与％轴交于A（—4,0）,3两点，与y轴交于点

C（0,—4）,作直线AC.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为线段AC上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点。，连接OD,当四边形

ADBP的面积最大时.

①求证：四边形。CPD是平行四边形；

②连接AD,在抛物线上是否存在。，使NADP=NDPQ,若存在求点Q的坐标；若不存在说明理由.

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7.(2023•临淄区一模)如图，抛物线丁二^^―％—4与x轴交于点A和3,与y轴交于点C.

(1)求A、B、C三点坐标；

(2)如图1,动点P从点A出发，在线段A3上以每秒1个单位长度向点3做匀速运动，同时，动

点。从点3出发，在线段上以每秒正个单位长度向点C做匀速运动，当其中一点到达终点时,

另一点随之停止运动，连接P。，设运动时间为/秒，问P、。两点运动多久后APBQ的面积S最大，

最大面积是多少？

CF

(3)如图2,点。为抛物线上一动点，直线AD交y轴于点E,直线3。交y轴于点R求上一的值.

8.(2023秋•包河区期中)如图，已知抛物线y=-必+2》+3与x轴交于点A,3两点，与y轴交于点

C,点尸是3C上方抛物线上的一动点，作轴于点〃，点〃的横坐标为《0＜。＜3),交BC于

点D.

(1)求A,3的坐标和直线3C的解析式；

(2)连接3尸，求ACP5面积的最大值；

(3)已知点Q也在抛物线上，点。的横坐标为f+2,作QEJ.X轴于点R交BC于点E,若P,D,

Q,E为顶点的四边形为平行四边形，求才的值.

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9.（2023秋•鲤城区校级期中）如图，抛物线y=--2ax+c的图象与x轴分别交于点A、B,与y

轴交于点C（0,3）,且50=C0.

（I）求抛物线的解析式；

（2）点E在线段上，过点E作x轴的垂线交抛物线于点P,连接以，若垂足为点E

求OE的长;

（3）在（2）的条件下，直线AP上方的抛物线上是否存在一点°,使四边形AQP3面积最大，若存

在，求出点。坐标，若不存在，说明理由.

10.（2023秋•鹤山市期中）如图1在平面直角坐标系中，二次函数丁=/+法+°的图象与％轴交于4、

3两点，点A在原点的左侧，点3的坐标为（4,0）,与y轴交于点C（0,-4）,点P是直线3C下方的抛

物线上一动点.

（1）求这个二次函数的解析式？

（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？并求出此时点P的坐标和四边形A3PC

的最大面积.

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11.（2023秋•东丽区期中）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线丁=⑪2+加；+44/0）的顶点坐

标为C（3,6）,并与y轴交于点3（0,3），点A是对称轴与x轴的交点.

（1）求抛物线的解析式;

（2）如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接3P,AP,求AA3P的面积的最

大值;

（3）如图②所示，在对称轴AC的右侧作448=30。交抛物线于点。，直接写出。点的坐标.

12.（2023•平远县一模）如图1,若二次函数丁=。/+法+4的图象与x轴交于点A（-1,0）、B（4,0）,

与y轴交于点C,连接AC、BC.

(1)求二次函数的解析式;

(2)若点尸是抛物线在第一象限上一动点，连接尸3、PC,当AP5C的面积最大时，求出点P的坐

标;

(3)如图2,若点。是抛物线上一动点，且满足NQ5C=45。-NAC。，请直接写出点Q坐标.

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13.（2023秋•天山区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线、=必+胆+〃经过点4（3,0）,

3（0,-3）,点尸是直线A3上的动点，过点尸作x轴的垂线交抛物线于点设点尸的横坐标为人

（1）分别求出直线A3和这条抛物线的解析式；

（2）若点P在第四象限，求线段最长时点P的坐标.

（3）连接A般、BM,求AA3M面积最大值是多少？

14.（2023•白塔区一模）综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+6与x轴交于点A（4,0）,与y轴交于点3,过A,3两点的抛

物线交x轴于另一点C,且。4=2OC,点R是直线A3下方抛物线上的动点，连接网，FB.

(1)求抛物线解析式;

(2)当点R与抛物线的顶点重合时，AABF的面积为

(3)求四边形FAOB面积的最大值及此时点F的坐标.

(4)在（3）的条件下，点。为平面内y轴右侧的一点，是否存在点。及平面内另一点“，使得以

A,F,Q,M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点。的坐标；若不存在，说明理由.

＜篇川尽j

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15.（2023秋•和平区校级月考）如图，已知抛物线丁=以2+法+5经过A（—5,0）,夙―4,—3）两点，与x

轴的另一个交点为C,顶点为。，连接CD.

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点尸为该抛物线上一动点（与点3,C不重合），设点P的横坐标为九

①当点P在直线BC的下方运动时，求AP5C的面积的最大值及点P的坐标；

②该抛物线上是否存在点P,使得NP3C=/BCD?若存在，求出所有点尸的坐标；若不存在，请说

明理由.

16.（2023秋•越秀区校级月考）如图，抛物线丁=L/+法+。与％轴交于4、3两点（点A在点3左

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边），与y轴交于点C,直线2经过5、C两点，点P是抛物线上一动点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当抛物线上的点P的在3c下方运动时，求ABCP面积的最大值；

（3）连接OP,把AOCP沿着y轴翻折，使点P落在P的位置，四边形CPOP能否构成菱形，若能，

求出点P的坐标，如不能，请说明理由.

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17.(2023秋•江汉区月考)如图1,已知二次函数y=-—V+—%+4的图象与y轴交于点A,与x轴

-42'

交于点3,C,连接A3、AC.

(1)判断AA5C的形状，并说明理由；

(2)如图2,过点3作BAmAC交抛物线于点N,点M为抛物线上位于AC上方一点，求四边形AMCN

面积的最大值及此时点M的坐标；

(3)如图3,将抛物线沿着射线A3平移2君个单位，若点P为新抛物线对称轴上一点，当以点A,

P,C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点P的坐标.

18.(2023秋•南岗区校级月考)在平面直角坐标系中，。为坐标原点，直线y=-3x-3交x轴于A,

交y轴于C,经过A、C两点的抛物线y=/+0x+c交%轴于另一点用

(1)求抛物线的解析式；

(2)P为抛物线上第四象限上一点，连接PC、PB、BC,设点尸的横坐标为f,AP3C的面积为S,

求S与/的函数关系式；

(3)在(2)的条件下，点。为抛物线上一点，当AP3C的面积S最大时，ZACP+ZPBQ=130°,

求点Q的坐标.

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19.（2023•铜梁区校级一模）如图，抛物线丁=必—2x-3交x轴于A,3两点（点A在点3的左侧）

交y轴于点C.

（1）求AA5C的面积；

（2）如图1,若BD=