排列数第一课时教学设计高二下学期数学人教A版选择性

教学设计

课程基本信息学科（数学）年级（高二）学期(春季)课题(排列数（第一课时）)教学目标1.能在排列基础上给出排列数的定义和表示，并能区别排列与排列数。2.通过利用计数原理分析和解决具体的排列问题，得到排列数公式，并能利用公式求具体问题的排列数。3.通过借助具体问题的分析，提升学生的逻辑推理能力和数学运算能力.教学内容教学重点：1.排列数公式。

教学难点：1.排列数公式的推导和应用。

教学过程一.公式引入前面我们学习了排列的概念，那么从n个不同的元素中任取m个（m≤n)元素的排列总数是多少呢？我们不妨先从一些特殊的问题开始探究.问题1：从甲、乙、丙三名同学中选出2人参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？.师生活动：可以分两个步骤：第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人，有3种选法；第2步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从剩下的2人中去选，有2种选法.根据分步乘法计数原理，不同的选法种数为3×2=6.这6种不同的选法如图所示：3种2种第1位第2位3种2种第1位第2位3种2种上午下午问题2：从1,2,3,4这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的三位数？师生活动：可以分三个步骤来解决这个问题：第1步，确定百位上的数字，从1，2，3，4这4个数字中任取1个，有4种方法；第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有3种方法；第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的2个数字中去取，有2种方法.根据分步乘法计数原理，从1，2，3，4这4个不同的数字中，每次取出3个数字按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，不同的排列方法种数为4×3×2=24.因而共可得到24个不同的三位数.如图所示.由此可写出所有的三位数：123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432.（位置分析法）4种3种2种4种3种2种百位十位个位4种3种2种第1位第2位第3位问题3：以上涉及到的这些具体问题有什么共同特征？3种2种第1位第2位3种2种第1位第2位4种3种2种第1位第2位第3位师生活动：共同特征：问题1中提炼：从3个不同的元素中任取2个元素的排列总数为6.问题2中提炼：从4个不同的元素中任取3个元素的排列总数为24.一般地：从n个不同的元素中任取m个（m≤n)不同元素的所有排列个数：排列数定义排列数的定义和表示：把从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，并用符号表示.A是英文arrangement(排列)的第一个字母.追问:排列数与排列有何区别？排列数与排列的区别:排列：从个不同元素中取出个元素，并按照一定的顺序排成一列，它不是数；排列数是所有排列的个数，它是一个数.设计意图：结合6.2.1节已解决的问题1、问题2，在排列基础上给出排列数的定义和表示，并与相似的排列概念作对比，为引入排列数公式作铺垫.突出位置分析法，为推导排列数公式作铺垫.二．公式推导问题4：一般地，从个不同元素中取出个元素的排列数是多少呢？从特殊情况开始探究，请结合2个具体实例说明你的研究思路和结果.师生活动：研究思路和结果：1.假定有排好顺序的两个空位.2.从3个不同元素中取出2个元素去填空,一个空位填上一个元素.3种2种第1位第2位3种2种第1位第2位4.反之，任何一种排列总可以由这种填法得到.因此，所有不同填法的种数就是排列数，同理问题5：如何从两个特殊排列数推广到和？师生活动：：教师先引导学生根据前面求排列数的经验,求出排列数,解决问题的关键是：假定有排好顺序的两个空位，从n个不同元素中取出2个元素去填空,一个空位填上一个元素,每一种填法就对应一个排列；反之，任何一种排列总可以由这种填法得到.因此，所有不同填法的种数就是排列数，利用分布乘法计数原理计算填法的种数，得到.再让学生按照同样的方法，发现求排列数，可以按依次填3个空位来考虑，得出.追问：你能类比求排列数和的方法，求排列数吗?师生活动：教师先引导学生根据前面求排列数和的经验，得到:假定有排好顺序的m个空位，从n个不同元素中取出m个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就对应一个排列.因此，所有不同填法的种数就是排列数.利用分步乘法计数原理计算填法的种数，得到排列数公式.设计意图:通过利用计数原理求出具体问题的排列数，从特殊到一般，将具体排列数的结果归纳为一般形式，从而得出排列数公式.三.公式的辨析问题7：上述排列数公式有什么特点?师生活动：教师引导学生进行以下活动:(1)观察公式的右边，共有几个因数？各因数的大小有什么规律？公式的右边是m个连续正整数的连乘积；(2)比较与的大小关系，并说明公式右边的最后一个因数有什么特点?连乘积中最大因数为n，后面依次减1，最小因数是(n－m＋1).(3)利用排列数公式，计算并由此给出阶乘的概念.1.全排列：把n个不同元素全部取出的一个排列叫做n个元素的一个全排列.全排列数为:2.阶乘：正整数1到n的连乘积称为n的阶乘，用表示,即，规定设计意图：通过辨析公式，把握公式的特点，以便更好地记忆公式，加深对公式的理解.并给出全排列和阶乘的概念.四.公式的应用例3.计算：(1);(2);(3)(4).师生活动：教师引导学生思考:(1)利用排列数公式求各排列数时，和的值分别是多少?右边的因数分别有几个?最后一个因数是几?（2）如何求？师生共同计算出结果:;，即问题8：观察这两个结果，从中发现它们的共性了吗?能否将它进行推广?师生活动：推广得到公式，并加以证明.排列数公式的连乘形式排列数公式的阶乘形式设计意图：通过利用公式求排列数，以把握公式的结构，加深对公式的理解，并通过对所求结果共性的归纳总结，得到排列数公式的另一种形式.追问：能否以现实生活为背景，以例3的或或为所研究问题的方法数，编几道应用题？（分4个小组讨论，每组一个代表发言）师生活动：可能得到如下应用题（1）从个同学中任选出3个人站一排拍照，有多少种不同的排法？（）（2）一个火车站有7股岔道，如果每股道只能停放1列火车，现要停放3列不同的火车，共有多少种不同停放方法（）（3）个人排成一列，其中甲乙丙丁4人从矮到高顺序不变，有多少种不同的排法？（）（4）从7人中选出3个人排第一排，剩下4个人排第二排，有多少种不同的排法？（）注意：多排采用单排法设计意图：数学来源于生活，用于生活，通过自己编题更加理解公式和巩固公式，提高分析和解决问题的能力，发展数学运算和数学建模的素养.例4．用这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？追问：（1）这是不是一个排列问题?是师生活动：（1）分析：在这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊的元素.一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题.（2）解题思路：引导学生分别=1\*GB3①按“百位数字不能是0”=2\*GB3②“0是否出现及出现的位置”=3\*GB3③“用从10个数中取出3个数的排列数减去其中百位是0的排列数”，给出三种解法，其中前两种是直接法，第三种是间接法.解法1：由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成：第1步，确定百位上的数字，可以从这9个数字中取出1个，有种取法；第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取出2个，有种取法.根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为：解法2：如图所示，符合条件的三位数可以分成三类：第1类，每一位数字都不是0的三位数，可以从1~9这9个数字中取出3个，有种取法，第2类，个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和十位，有种取法，第3类，十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位，有种取法.根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为解法3：从0~9这10个数字中选取3个的排列数为,其中0在百位上的排列数为，它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求三位数的个数为追问：根据例4，你能归纳出求排列问题的一般步骤吗？步骤:①判断排列问题;②根据计数原理给出用排列数符号表示的运算式子；③利用排列数公式求出结果.追问：根据例4，你能总结排列问题的一般方法吗？方法归纳：带有限制条件的排列问题：“特殊”优先原则位置分析法：以位置为主，优先考虑特殊位置.直接法元素分析法：以元素为主，优先考虑特殊元素.间接法：先不考虑限制条件，计算出来所有排列数，再从中减去全部不符合条件的排列数，从而得出符合条件的排列数设计意图：通过应用公式解决问题，及时巩固排列数公式，形成解决排列问题的一般方法.变式1：用这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数且是偶数有多少种？变式2：用这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数且是奇数有多少种？五．课堂小结教师引导学生回顾本节课学习的主要内容