课时1.5（考点讲解）全称量词和存在量词-高一数学教材全讲与完整版练（人教A版2019）

课时1.5全称量词和存在量词本节预览课标解读1理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词.2了解含有量词的全称命题和特称命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题及判断命题的真假性.3能正确地对含有一个量词的命题进行否定,理解全称命题与特称命题之间的关系.本节重点重点：通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定.难点：全称命题和特称命题的真假的判定，以及写出含有一个量词的命题的否定.01知识点梳理知识点1全称量词和全称命题1.全称量词与全称命题的概念（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“__∀__”表示.（2）常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”等.（3）全称量词命题：含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”可用符号简记为x∈M，p（x）.2.全称命题真假的判断(1)要判定全称命题“,p（x）”是真命题,需要对集合M中的每个元素x,证明p(x)成立;(2)要判定全称命题“,p（x）”是假命题,只需举出一个反例,即在集合M中找到一个元素x,使得p(x)不成立,那么这个全称命题就是假命题知识点2存在量词与特称命题1.存在量词与特称命题的概念（1）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.（2）常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某些”“有的”等.（3）存在量词命题：含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的元素x，使p（x）成立”可用符号简记为∃x∈M，p（x）.2.特称命题真假的判断(1)要判定特称命题“”是真命题,只需在集合M中找到个元素,使p()成立即可;(2)要判定一个特称命题是假命题,需对集合M中的任意一个元素x,证明p(x)都不成立.知识点3含有一个量词的命题的否定(1)全称命题的否定全称命题p:,p(x),它的否定.全称命题的否定是特称命题.(2)特称命题的否定特称命题p:,它的否定.特称命题的否定是全称命题02考点解读考点1全称量词命题及真假判断【例1】下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是()A.每个二次函数的图象都开口向上 B.存在一条直线与已知直线不平行C.对任意实数a，b，若a－b≤0，则a≤b D.存在一个实数x，使等式x2－2x＋1＝0成立【答案】C【解析】B，D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象开口向下，故选项A不是真命题，也应排除，故应选C.【跟踪训练】下列命题中，是全称量词命题的是()A.至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立；B.对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；C.对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；D.存在x，使x2＋2x＋1＝0成立．【答案】BC【解析】因为“至少有一个”“存在”是存在量词，“任意的”为全称量词，所以AD为存在量词命题，BC为全称量词命题．考点2存在量词命题及真假判断【例2】下列命题是存在量词命题且为假命题的是()A.存在两个全等三角形,它们的周长不相等 B.所有的三角形都不是钝角三角形C.存在一个四边形的四个顶点不共圆 D.∃m∈R,方程mx2+mx+1=0无实根【答案】A【跟踪训练】下列命题是否为存在量词命题？若是，请指出存在量词，并判断其真假．(1)存在一个实数对(x，y)，使2x＋3y＋3<0；(2)∃x∈R，(2x－3)2≥0；(3)有些整数既能被2整除，又能被3整除．【答案】解(1)是，存在量词是“存在一个”；因为存在一个实数对(－1，－2)，使得2×(－1)＋3×(－2)＋3<0，所以存在量词命题“存在一个实数对(x，y)，使2x＋3y＋3<0”是真命题．(2)是，存在量词是“∃”；因为∀x∈R，(2x－3)2≥0，所以存在量词命题“∃x∈R，(2x－3)2≥0”是真命题．(3)是，存在量词是“有些”；因为存在整数6，既能被2整除，又能被3整除，所以存在量词命题“有些整数既能被2整除，又能被3整除”是真命题．考点3含有一个量词的命题求参问题【例3】若命题“∃x∈R，使得x02＋mx0＋2m＋5<0”为假命题，则实数m的取值范围是(A.{m|10≤m≤6} B.{m|6<m≤2} C.{m|2≤m≤10} D.{m|2<m<10}【答案】C【解析】由命题“∃x∈R，使得x02＋mx0＋2m＋5<0”为假命题，则命题“∀x∈R，使得x02＋mx0＋2m＋5≥0”为真命题．所以Δ＝m2－4(2m＋5)≤0【跟踪训练】命题p：任意x∈R，x2－2x－3m>0成立；命题q：存在x∈R，x2＋4x＋m<0成立．(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题q为假命题，求实数m的取值范围；(3)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围．【答案】解(1)由题意得，Δ＝4－4(－3m)<0，解得m<－13，故实数m的取值范围是{m|m<-(2)由题意得，Δ＝42－4m≤0，解得m≥4，故实数m的取值范围是{m|m≥4}.(3)当q是真命题时，由(2)可得m<4，∴若命题p，q至少有一个为真命题，则需满足m<－13或m<4∴若命题p，q至少有一个为真命题，则实数m的取值范围是{m|m<4}．考点4全称量词命题、存在量词命题的否定【例4】命题“∀n∈N*，2n∈N*且2n－n2≤n”的否定形式是()A.∀n∈N*，2n∉N*且2n－n2>n B.∀n∈N*，2n∉N*或2n－n2>nC.∃n∈N*，2n∉N*且2n－n2>n D.∃n∈N*，2n∉N*或2n－n2>n【答案】D【解析】全称量词命题的否定为存在量词命题，∴命题的否定是“∃n∈N*，2n∉N*或2n－n2>n”．【跟踪训练】若命题p：∃n∈N，n2>2n，则命题p的否定为()A.∀n∈N，n2>2n B.∃n∈N，n2≤2n C.∀n∈N，n2≤2n D.∃n∈N，n2＝2n【答案】C【解析】因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，¬p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．03易错考点易错点1对含有一个量词命题的否定不完全致错【例1】命题“∀x，y<0，x＋y≤－2xy”的否定为()A.∃x，y<0，x＋y>－2xy B.∃x，y<0，x＋y≤－2xyC.∃x，y≥0，x＋y>－2xy D.∃x，y≥0，x＋y≤－2xy【答案】A【解析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，得到命题“∀x，y<0，x＋y≤－2xy”的否定为“∃x，y<0，x＋y>－2xy”.【跟踪训练】命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则p的否定是()A.存在实数m，