上海市宝山区2024届高三年级下册二模试题 数学含答案

上海市宝山区2024届高三下学期二模试题

2023学年第二学期期中

高三年级数学学科教学质量监测试卷

考生注意：

1.本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟；

2.本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；

3.在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；

4.可使用符合规定的计算器答题.

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5分）,

要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.

1.抛物线/=4〉的焦点坐标为.

2.已知tana=3,则tan^a一（J=_____-

3.将八二万（其中a>0）化为有理数指数幕的形式为.

4.已知向量a=（2加,2）,3=（1,加+1）,若a-Z=10,则实数加=.

5.设实数x、y满足（x+yi）i—2+4i=（x-yi）（l+i）（i为虚数单位），则x+y=.

6.有一组数从小到大排列为：3,5,X,8,9,10.若其极差与平均数相等，则这组数

据的中位数为.

7.已知集合/={2,|a+l|,a+3},且leZ,则实数a的值为.

8.在数列{4}中，％=2,且=a,i+lg/—（〃22）,则％oo=____.

"n-1

9.某公司为了了解某商品的月销售量y（单位：万件）与月销售单价x（单位：元/件）之

间的关系，随机统计了5个月的销售量与销售单价，并制作了如下对照表：

月销售单价X（元/件）1015202530

月销售量y（万件）1110865

由表中数据可得回归方程y=ax+b中。=-0.32,试预测当月销售单价为40元/件时，月

销售量为_______万件.

22

10.已知双曲线与一与=i（a>0,6>0）,以双曲线的右顶点Z为圆心，6为半径作圆，圆Z

ab

与双曲线的一条渐近线交于M、N两点，若/腿4N=60°,则双曲线的离心率为

11.某区域的地形大致如下左图，某部门负责该区域的安全警戒，在哨位。的正上方安装探

照灯对警戒区域进行探查扫描.

假设1：警戒区域为空旷的扇环形平地444片；

假设2：视探照灯为点且距离地面20米；

假设3：探照灯M照射在地面上的光斑是椭圆.

当探照灯M以某一俯角从44+1侧扫描到22+1侧时，记为一次扫描，此过程中照射

在地面上的光斑形成一个扇环耳优=1,2,3,…）.由此，通过调整M的俯角，逐次扫描形成

扇环耳、§2、53L.

第一次扫描时，光斑的长轴为斯，1=30米，此时在探照灯/处测得点尸的俯

角为30。（如下右图）.记144+/=，，经测量知1441=80米，且｛〃｝是公差约为01

米的等差数列，则至少需要经过次扫描，才能将整个警戒区域扫描完毕.

12.空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量£、加满足：a-b=2,\b\=l,且存在实

数/,使得I句-21Z+）上0成立，则由a构成的空间几何体的体积是.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13〜14题每题4分，第15〜16题每题5

分），每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的

正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分.

13.已知a〉6〉0,贝1I（）.

Ij_

A.a2>b2B.2a<2bC.a2<b2D.log]a>log]b

22

14.已知随机变量X服从正态分布N（0,cr2）-若P（XWa）=9，则尸（|x|Va）=（）.

15.已知直线/、机、〃与平面a、/3,则下列命题中正确的是（）.

A.若a〃尸，Iua,nuB，则/〃〃B.若Iua,贝!

C.若/_La,/〃尸，则“_1_〃D.若/_L〃，加，〃，则/〃加

16.数列｛4｝中，5“是其前〃项的和，若对任意正整数"，总存在正整数机，使得

5„=am,则称数列｛a“｝为“某数列”.现有如下两个命题：

①等比数列｛2"｝为“某数列”；

②对任意的等差数列｛4｝,总存在两个“某数列”也,｝和｛%｝,使得4="+c”.

则下列选项中正确的是（）.

A.①为真命题，②为真命题B.①为真命题，②为假命题

C.①为假命题，②为真命题D.①为假命题，②为假命题

三、解答题（本大题共有5题，满分78分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对

应的题号）内写出必要的步骤.

17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

在AABC中，角2、B、C的对边分别为a、b、c,

已知sin2A+sin12*5C=sin2B+smAsinC

（1）求角5的大小；

（2）若AZBC的面积为由，求a+c的最小值，并判断此时A45C的形状.

18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，已知点尸在圆柱的底面圆。的圆周上，48为圆。的直径.

（1）求证：BP1AXP；

（2）若CM=2,NBOP=60°,圆柱的体积为16缶,求异面直线AP与A{B所成角的

大小.

19.（本题满分16分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分）

在课外活动中，甲、乙两名同学进行投篮比赛，每人投3次，每投进一次得2分，否则

得0分.已知甲每次投进的概率为工，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为

2

1从第二次投篮开始，若前一次投进，则该次投进的概率为3二，若前一次没投进，则该

25

2

次投进的概率为一.

5

⑴求甲投篮3次得2分的概率；

⑵若乙投篮3次得分为X,求X的分布和期望；

⑶比较甲、乙的比赛结果.

20.(本题满分16分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分)

2

已知双曲线2L=1的左、右顶点分别为2、B,设点尸在第一象限且在双曲线上,

2

。为坐标原点.

(1)求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值；

(2)若方•丽W9,求丽的取值范围；

(3)椭圆C的长轴长为2拒，且短轴的端点恰好是2、8两点，直线AP与椭圆的另一

个交点为。.记APC%、A048的面积分别为S2.求S；-S22的最小值，并写出取

最小值时点尸的坐标.

21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)

函数y=g(x)的表达式为g(x)=sin(ox)(。〉0).

(1)若。=1,直线/与曲线y=g(x)相切于点(?」)，求直线/的方程；

(2)函数y=g(x)的最小正周期是2兀，令〃(x)=x,g(x)-Inx,将函数y=〃(x)的零

点由小到大依次记为国,马，…,Z，…(〃21,〃WN),证明：数列｛sin%｝是严格减数列；

(3)已知定义在R上的奇函数歹=/(%)满足f(x+2a)=-f(x)(a>0),

对任意XE[0,2Q],当XWQ时，都有/(x)</(a)且/(a)=1.

记F(x)=/(x)+g(x),G(x)=/(x)+g(x+；).

当。=兀时，是否存在再、x2G7?,使得尸(M)=G(%2)+4成立？若存在，求出符合

题意的Xpx2;若不存在，请说明理由.

参考答案

]-

1.（0,1）2.-3.a44.25.26.7.5

..2A/3,「8兀

7.08.49.1.610.----11.1512.—

39

12.解:由已知得后2"]+"|2,所以3|升+8/73+4/2⑻240

一4

所以存在实数/,使得不等式4『+16/+3］。『40有解，则ANO,解得区耳

又因为a年=2且|”=1,所以。在6方向上的数量投影是2,

所以，a围成的空间几何体是以原点为顶点，高为2,母

4

线长为国的圆锥（如图）

-18兀

故由a构成的空间几何体的体积一兀・

3~9

13.A14.A15.C16.C

17.解：（1）由正弦定理得力+02b~+ac2分

又由余弦定理得COSB=D"=—=_4分

laclac2

7T

因为5是三角形内角，所以3=—6分

3

（2）由三角形面积公式

171

^\ABC=万sinB=—acsin—=8分

234

得ac=410分

因为Q+C>2，前=4，当且仅当。=c=2时取等号,12分

所以a+c的最小值为4,此时A45c为等边三角形14分

18.解：（1）证明：圆柱。a中，易知48,圆。，从而4P是4。在圆。上的投影.....2分

又幺8为圆。的直径，可得BP上4P......................4分

由三垂线定理，就得5尸，4尸...........6分

（2）延长尸。交圆。于点。，连接8。、4。、AQ,

易知BQHAP,N&BQ（或其补角）即为所求的角............8分

由题知％=乃•CM?.44尸4乃•Z&=16及万

解得幺4=4行................10分

A4BQ中，QB=273,42=6,AXB=473

由余弦定理得

,…八12+48-36]_

cosZA5O=-------产------产.......................13分

12.2V3-4V32

从而N4BQ=60°

所以异面直线AP与AXB所成角的大小为60°................................14分

19.1?：（1）甲投篮3次得2分，即只投中1次，概率°=c；；x[-：]=|

................3分

（2）由题意知X的所有可能取值为0,2,4,6

则尸(x=o)=1x3xN=2.................4分

'725550

1231221328

P(X=2)=—x—x—+—x—x—+—x-x—=——.................5分

v,25525525525

p(^=4)ax^2+lx2x2+lx2x2=A.................6分

,,25525525525

P(X=6)」X，L2.................7分

'725550

r0246

889

98分

随机变量X的分布为---

I一

50252550

noon

期望E（X）=0x—+2x—+4x—+6x——=39分

v750252550

(3)设甲三次投篮的得分Y,则y=0,2,4,6

’02461

可求得随机变量y的分布为1231_

Is8

88>

133

所以E（y）=0x—+2x—+4x—+6x-=3.11分

''8888

r）（y）=02x-+22x-+42x-+62x--32=3....12分

'"8888

又可算得。⑺=X2+22X色+42X色+62x2-32=区.…]3分

'，5025255025

因为£（X）=E（y）,£＞（x）＞£＞（y）

所以甲最终的得分均值等于乙最终的得分均值，但乙赢得的分值不如甲稳定…..…16分

另解：设甲三次投篮的次数为J,J=0,1,2,3

1q

则£田=3X5=5

设甲的投篮得分为y,则y=2j,从而E(y)=M2j)=2E®=3

20.解：(1)两条渐近线方程为J5x±y=0...............1分

设两条直线夹角为8,贝h05。='三1=L............2分

|V3-V3|3

所以双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为』...............3分

3

(2)设尸&，%)(X］〉1,必〉0),由已知得2(—1,0)、5(1,0).........4分

西=(一1—项，一%)，PB=(l-xl-yl),则西•丽=x；_i+%2V9

得%j2+v/＜10...............6分

又点尸在双曲线上，有X；—21_=1即/2=2卜2—])

从而x；+2(x；Wx/<4.

又点尸是双曲线在第一象限的点，所以x；e(l,4].

OP=x；=x；+2(%/-1)=3x,2-2G(1,10]

所以OPe(l,Vio]

(3)椭圆。中。=JI,b=l,焦点在y轴上，标准方程为与+/=1

设Q&，%)，(%>0,%>°)，直线AP的斜率为k,(k>0)

则直线AP的方程为y=k(x+1)

广曲x+1)\A

联立方程组F得--------

(2+左2卜2+2左2%+左2—2=0

r\7,2?.”2

该方程的两根分别为-1和超=二7同理可得X,=--y

所以X]“2=1

-x2xy2=j/2

2_

则S；—S?2=弥-=ax2k-l)-2(l-x2)=^x1*+2x/

当且仅当工=三即x：=2时取等号，..........15分

2xx

所以S；—s；的最小值为—g,此时点P的坐标为（72,72）.......16分

另解:上3=1^,左

西+1°x2+l

/X2/、2

因为七所以号=上、即七=三

X［+lx2+1（匹+1）x2+1）

又必2=2。；—1）,%2=2（1—超2）,代入上式化简得

五匚=匕三，整理得再“2=1

2+1x2+1

21.解(1)①=1时，g(x)=sinx,则g'(x)=cosx........1分

从而左=g，g=cos］=0........3分

所以直线/的方程是歹=1........4分

(2)由——二2兀，可知①=1,贝!I)(x)=xsinx-lnx(x>0),..........5分

CD

当h(x)=0时sinx=....6分

x

①当0<x<l时，sinx>0,---<0,此时函数y=〃（x）没有零点；...........7分

x

②当XN1时，

因为（一）'=二^,可知y=—在［l,e］上严格增，在［%+8）严格减

XXX

7T兀

又y=sinx在工^］上严格增，在［^，司严格减，

所以x£［1,e］时，y=sinx在x=e时有最小值sine，

Inx,Q-口,/士1ne1

y=---在x=e时有取大值----=-

xee

IInx

因为sine＞—所以sinx=——在工0上没有交点,

X

即〃(x)=xsinx-Inx在[1,e]上没有零点9分

所以函数y=〃(x)的零点x"满足e＜X］＜》2＜…＜马＜…，

EdInx.Ue”In%lnxlnx

因为y=