深圳南山区六校联考2024届八年级数学第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析

深圳南山区六校联考2024届八年级数学第二学期期末学业质量监测模拟试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.正比例函数y=-2x的图象向上平移1个单位后得到的函数解析式为（）

A.y=-2x+lB.y=-2x-lc.y-2x+lD.y=2x-l

2.三个连续自然数的和小于15,这样的自然数组共有（）

A.6组B.5组C.4组D.3组

3.如图，一个长方体铁块放置在圆柱形水槽容器内，向容器内按一定的速度均匀注水，60秒后将容器内注满.容器内

水面的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的函数关系图象大致是（）

A.AB//CD,AB=CDB.AB=CD,AD=BC

C.AD=BC,NA=NCD.AB//CD,NB=ND

5.一个直角三角形斜边上的中线为5,斜边上的高为4,则此三角形的面积为（）

A.25B.16C.20D.10

x+8<4-x—1

6.如果不等式组的解集是％>3,那么加的取值范围是（）

x>m

A.m>3B.m<3C.m=3D.m<3

7.下列条件中能构成直角三角形的是（)

A.a=3,b=4,c=6B.a=5,b=6,c=7

C.a=6,b=8,c=9D.a=5,b=12,c=13

8.如图，E、尸分别是平行四边形ABC。的边AO、BC上的点，旦BEIIDF,AC分别交BE、DF于点G、H.

下列结论：①四边形5EDE是平行四边形；②AAGENACHF；③BG=DH；④5AAGE：乂⑺”=GE:,其中

正确的个数是（）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

9.如图所示，已知点C（l,0）,直线y=-x+7与两坐标轴分别交于A,B两点,D,E分别是线段AB,Q4上的动

点，则△C0E的周长的最小值是（）

C.472+4D.12

10.如图，在△ABC和4DEF中，NB=NDEF,AB=DE,若添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABCgADEF,则这个

条件是（）

A.ZA=ZDB.BC=EFC.ZACB=ZFD.AC=DF

11.数据1,3,5,7,9的方差是().

A.2B.4C.8D.16

3k

12.如图，点A在反比例函数，丁=二(％>0)的图像上，点3在反比例函数y='(尤>0)的图像上，轴于点

xx

M.且MB=2AM,则上的值为()

A.-3B.-6C.2D.6

二、填空题(每题4分，共24分)

13.如图，四边形048c是平行四边形，对角线在y轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在

kkAK/TkI

双曲线山=」和”=」的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M和N,则有以下的结论:①

xxCMK2|

②阴影部分面积是L(ki-kz)③当NAOC=90°时，隹|=|初；④若四边形OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴

2

对称，也关于y轴对称.其中正确的结论是.

14.如图，已知矩形ABCD的边AB=3,AD=8,顶点A、D分别在x轴、y轴上滑动，在矩形滑动过程中，点C到原

点O距离的最大值是.

2016

4

15.计算：（一0.75）2015x

16.当x时，二次根式」2x-3有意义.

17.若三角形的三边a,b,c满足a：b：c=l：l：后，则该三角形的三个内角的度分别为.

18.如图，在RtaABC中，ZACB=90°,D、E、F分另U是AB、BC、CA的中点，若CD=6cm,贝!JEF=cm.

19.(8分)如图，一次函数>=履+6的图像过点4(0,3)和点3(2,0),以线段A5为边在第一象限内作等腰直角

△ABC,使/胡。=90°

(1)求一次函数的解析式；

(2)求出点C的坐标

(3)点p是y轴上一动点，当PB+PC最小时，求点p的坐标.

20.(8分)如图所示，有一长方形的空地，长为X米，宽为12米，建筑商把它分成甲、乙、丙三部分，甲和乙为正方

形.现计划甲建筑成住宅区，乙建成商场丙开辟成公园.

(1)请用含x的代数式表示正方形乙的边长；

(2)若丙地的面积为32平方米，请求出x的值.

21.(8分)求/+6+白-百的值・

解：设尸，3+。+/3-6，两边平方得：V="3+君）2+（,3—际y+2j（3+君）（3-石），即

必=3+石+3-君+4,x2=10

•*.x=±V10.

J3+石+b逐>0>，3+6+，3-5=屈•

请利用上述方法，求，4+«+74-77的值.

22.（10分）如图，已知ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD,AD与BE相交于点F.

（1）求证：BE=AD；

（2）求NBFD的度数.

23.（10分）在一次晚会上，大家做投飞镖的游戏.只见靶子设计成如图的形式.已知从里到外的三个圆的半径分别

为1,2,3,并且形成A,B,C三个区域.如果飞镖没有停落在最大圆内或只停落在圆周上，那么可以重新投镖.

⑴分别求出三个区域的面积；

⑵雨薇与方冉约定：飞镖停落在A、B区域雨薇得1分，飞镖落在C区域方冉得1分.你认为这个游戏公平吗？为什

么？如果不公平，请你修改得分规则，使这个游戏公平.

24.（10分）如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将4ABE沿BE折叠，点A的对应点为点G.

（1）填空：如图1,当点G恰好在BC边上时，四边形ABGE的形状是___________形；

（2）如图2,当点G在矩形ABCD内部时，延长BG交DC边于点F.

G求证：BF=AB+DF；

6）若AD=y/3AB,试探索线段DF与FC的数量关系.

25.(12分)如图，在平行四边形A3c。中，NA5C的平分线与CD的延长线交于点E,与交于点尸，且点尸恰

好为边4。的中点.

(1)求证：AAB尸丝

(2)若AG_L5E于G,BC=4,AG=1,求BE的长.

26.如图，在矩形ABCD中，AB=16,AD=12,E是AB上一点，连接CE,现将E>3向上方翻折，折痕为CE,

使点B落在点P处.

(1)当点P落在CD上时，BE=;当点P在矩形内部时，BE的取值范围是.

(2)当点E与点A重合时：①画出翻折后的图形(尺规作图，保留作图痕迹)；②连接PD,求证：PD//AC；

AD

BC

(3)如图，当点P在矩形ABCD的对角线上时，求BE的长.

A

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、A

【解题分析】

根据“上加下减”的平移原理，结合原函数解析式即可得出结论.

【题目详解】

根据“上加下减”的原理可得：

函数y=-2x的图象向上平移1个单位后得出的图象的函数解析式为y=-2x+l.

故选A

【题目点拨】

此题考查一次函数图象与几何变换，解题关键在于掌握平移的性质

2、C

【解题分析】

解：设这三个连续自然数为：x-1,X,X+1,

贝!]0<x-l+x+x+l<15,

即0<3x<15,

•*.0<x<5,

因此x=l,2,3,1.

共有1组.

故应选C.

3、D

【解题分析】

根据图像分析不同时间段的水面上升速度，进而可得出答案.

【题目详解】

已知一个长方体铁块放置在圆柱形水槽容器内，向容器内按一定的速度均匀注水，60秒后将容器内注满.因为长方体是

均匀的，所以初期的图像应是直线，当水越过长方体后，注水需填充的体积变大，因此此时的图像也是直线，但斜率

小于初期，综上所述答案选D.

【题目点拨】

能够根据条件分析不同时间段的图像是什么形状是解答本题的关键.

4、C

【解题分析】

根据平行四边形的判定，A、B、D均能判断是平行四边形，唯有C不能判定.

【题目详解】

因为平行四边形的判定方法有：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故5正确；

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A正确；

由A3〃CZ>,NB=ND,可求得NA=NC,根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可以判定，故。也可以判

定.

连接3。，利用“SSA”不能判断与△COB,C不能判定四边形A3c。是平行四边形，

故选C.

【题目点拨】

此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况.平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四

边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;

（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形.

5、C

【解题分析】

根据直角三角形的性质可得出斜边的长，进而根据三角形的面积公式求出此三角形的面积.

【题目详解】

解：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知：此三角形的斜边长为5x2=10；

所以此三角形的面积为：-xl0x4=l.

2

故选：C.

【题目点拨】

本题考查直角三角形的性质以及三角形的面积计算方法.掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的

关键.

6、B

【解题分析】

先用含有m的代数式把原不等式组的解集表示出来，由题意不等式的解集为x>L再根据求不等式组解集的口诀：同

大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）来求出m的范围.

【题目详解】

x>m

由（1）得，X>1

由（2）得，x>m

根据已知条件，不等式组解集是X>1

根据“同大取大"原则m<l.

故选B.

【题目点拨】

本题考查一元一次不等式组解集的求法，将不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小

找不到（无解）逆用，已知不等式解集反过来求m的范围.

7、D

【解题分析】

由勾股定理的逆定理，判定储+人2=c2的是直角三角形.

【题目详解】

A.32+42/62,故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；

B.52+62^72,故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；

C.62+82/92,故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；

D.52+122=132,故符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故正确.

故选D.

【题目点拨】

本题考查勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a,b,c满足/+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

8、D

【解题分析】

根据平行四边形的性质即可判断.

【题目详解】

•.•四边形ABCD为平行四边形，

：2〃BC区BEUDF,

•••四边形BED石是平行四边形①正确；

AE=CF,ZEAG=ZFCH,XZAGE=ZBGC=ZCHF,

：.^AGE=ACHF,②正确；

EG=FH,故BE-EG=DF-FH,故BG=DH,③正确；

AAGE=ACf/F,S.GE-S、CDH=^ACHF-*^ACDH=HF:DH=GE:DH,故④正确

故选D.

【题目点拨】

此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知平行四边形的性质与全等三角形的判定与性质.

9、B

【解题分析】

点C关于。4的对称点。(-1,0),点C关于直线4B的对称点C”(7,6),连接OC”与AO交于点E,与4B交于

点D,此时AOEC周长最小，可以证明这个最小值就是线段。C”.

【题目详解】

解：如图，点C(l,0)关于y轴的对称点O(-1,0),点C关于直线A5的对称点C",

V直线AB的解析式为j=-x+7,

直线CC”的解析式为y=x-l,

y=-x+l

由＜

y=x-l

x=4

解得

[y=3

二直线A3与直线CC”的交点坐标为K(4,3),

是CC"中点，C(l,0),

设C”坐标为(m,n),

1+m,

-------=4

2m=7

八，解得：

0+ncn=6

-------=3

[2

：.C"(7,6).

连接。C”与AO交于点E,与AB交于点O,此时AOEC周长最小,

△DEC的周长=0E+EC+CD=ECCE0+CC"=OC"=J(7+if+(6-0、=10

故答案为1.

【题目点拨】

本题考查轴对称-最短问题、两点之间距离公式等知识，解题的关键是利用对称性在找到点。、点E位置，将三角形的

周长转化为线段的长.

10>D

【解题分析】

解：,:NB=/DEF,AB^DE,二添加NA=N。，利用ASA可得△A3C名△OEF；

添力口BC=EF,利用SAS可得△ABC^ADEFi

二添力口/尸，利用AAS可得AABC丝△OE尸；

故选D.

点睛：本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS和HL是解题的关键.

11,C

【解题分析】

先计算出平均数，再根据方差公式计算即可.

【题目详解】

Vl>3、5、7、9的平均数是(1+3+5+7+9)+5=5,

.,•方差=gx[(L5)2+(3-5)2+(5-5)2+(7-5)2+(9-5)2]=8；

故选：C.

【题目点拨】

_1

考查方差的定义与意义：一般地设"个数据，Xi,X2,…X"的平均数为％,则方差S2=—[(XI-X)2+(X2-%)2+…+

n

(XM-X)”它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.

12、B

【解题分析】

k3k

先根据反比例函数一的比例系数后的几何意义，可知SzXAOM=7，S^BOM=\—\f贝!ISABOM=3：I川，再根据同底

x22

的两个三角形面积之比等于高之比，得出S.OM：S^BOM=AM：MB=1：2,则3：|川二1：2,然后根据反比例函数的图

象所在的象限，即可确定左的值.

【题目详解】

3h3

•.•点A在反比例函数y=—(x>0)的图象上,点5在反比例函数y=—(x>0)的图象上,A5_Lx轴于点M,.\S^AOM=一,

xx2

S^BOM=\—\fS^AOM：S^BOM——：|一|=3：|川.

222

■:SAAOM：S^BOM=AM：MB=1：2,.\3：\k\=l：2,|*|=1.

•.•反比例函数幺的图象在第四象限，1.

X

故选B.

【题目点拨】

k

本题考查了反比例函数y=—的比例系数左的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难度中等,

x

得到3：|*|=1：2,是解题的关键.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、①②④.

【解题分析】

作AELy轴于点E,CFLy轴于点F,根据平行四边形的性质得SAAOB=SACOB,利用三角形面积公式得到AE=CF,则

有OM=ON,再利用反比例函数k的几何意义和三角形面积公式得到SAOM=-|ki|=-OM«AM,

A22

1AMIk,I11

SAcoN=-|k2|=ON«CN,所以有二7=昌；由SAAOM=一|ki|,SACON=一收|,得到S阴影

2CN|k2|22

=SAAOM+SACON=-(|ki|+|k|)=-(ki-k)；当NAOC=90°,得到四边形OABC是矩形，由于不能确定OA与OC相等，

2222

则不能判断△AOM丝△CNO,所以不能判断AM=CN,则不能确定同|=附|；若OABC是菱形，根据菱形的性质得

OA=OC,可判断RdAOMgRt^CNO,则AM=CN,所以凤|=阮|,即如=永2,根据反比例函数的性质得两双曲线

既关于x轴对称，也关于y轴对称.

【题目详解】

作AEJ_y轴于E,CFLy轴于F,如图，

V四边形OABC是平行四边形，

：•SAAOB=SACOB,

.\AE=CF,

AOM=ON,

VSAAOM=-|ki|=一OM・AM,SCON=一|k|=-ON*CN,

222A22

.AM_|kj

故①正确;

"CN

•SAAOM=一|ki|,SACON——|kz|,

22

**•SSKBP^=SAAOM+SACON=—(|ki|+|k2|),

2

而ki>0,k2<0,

，S阴影部分=’(ki-k2),故②正确；

2

当NAOC=90°,

二四边形OABC是矩形，

•••不能确定OA与OC相等，

而OM=ON,

工不能判断△AOM之△CNO,

二不能判断AM=CN,

.•.不能确定的|=闷,故③错误；

若OABC是菱形，贝！JOA=OC,

而OM=ON,

:.RtAAOM^RtACNO,

/.AM=CN,

/.|ki|=|k2|,

•*.ki=-k2,

...两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称，故④正确,

【题目点拨】

本题考查了反比例函数的综合题，涉及了反比例函数的图象、反比例函数k的几何意义、平行四边形的性质、矩形的

性质和菱形的性质等，熟练掌握各相关知识是解题的关键.

14、1

【解题分析】

取AD的中点E,连接OE,CE,OC,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出OE,然后根据勾股定

理即可求CE,然后根据两点之间线段最短即可求出OC的最大值.

【题目详解】

如图，取AD的中点E,连接OE,CE,OC,

.♦.RtaAOD中，OE」AD=4,

2

又；NADC=10°,AB=CD=3,DE=4,

；.RtZ\CDE中，CE=y/cD2+DE2=5

XVOC<CE+OE=1（当且仅当O、E、C共线时取等号）,

AOC的最大值为1,

即点C到原点O距离的最大值是1,

故答案为：1.

【题目点拨】

此题考查的是直角三角形的性质和求线段的最值问题，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、利用勾股定理

解直角三角形和两点之间线段最短是解决此题的关键.

4

15、

3

【解题分析】

根据积的乘方的逆用进行计算求解.

【题目详解】

2016

4

解：（一0.75）2015x

/,\20154

（ff

_4

一§

【题目点拨】

本题考查积的乘方的逆用使得运算简便，掌握积的乘方公式正确计算是本题的解题关键.

3

16、x>-

2

【解题分析】

分析：根据二次根式的定义，形如&（。20）的式子叫二次根式，列不等式解答.

详解：由题意得

2x-3>0,

•••

2

故答案为定:3.

2

点睛：本题考查了二次根式有意义的条件，明确被开方式大于且等于零是二次根式成立的条件是解答本题的关键.

17、45°,45°,90°.

【解题分析】

根据勾股定理的逆定理可知这个三角形是直角三角形，然后根据等腰三角形的判定得到这个三角形是等腰直角三角形,

于是角度可求.

【题目详解】

解：•.•三角形的三边满足a：b：c=l:l:0，

...设a=k,b=k,c=y[2k,

:.a=b,

...这个三角形是等腰三角形，

a2+b2=k2+k2=2k2=（2=c2,

这个三角形是直角三角形，

/.这个三角形是等腰直角三角形，

，三个内角的度数分别为：45°,45°,90。.

故答案为：45°,45°,90°.

【题目点拨】

本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理的运用，熟记勾股定理的逆定理是解题的关键.

18、1

【解题分析】

根据直角三角形的性质求出AB,根据三角形中位线定理计算即可.

【题目详解】

解：,.,ZBCA=90°,D是AB的中点，

，AB=2CD=12cm,

；E、F分别是AC、BC的中点，

1

/.EF=—AB=lcm,

2

故答案为1.

【题目点拨】

本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是

解题的关键.

三、解答题(共78分)

19、(1)y=kx+b.(2)C的坐标是(3,5)；(3)P(0,2).

【解题分析】

(1)根据待定系数法确定函数解析式即可；

(2)作CDLy轴于点D,由全等三角形的判定定理可得出^ABOgACAD,由全等三角形的性质可知OA=CD,故

可得出C点坐标；

(3)求得B点关于y轴的对称点B，的坐标，连接B，C与y轴的交点即为所求的P点，由B，、C坐标可求得直线

B1C的解析式，则可求得P点坐标.

【题目详解】

解：

(1)设直线的解析式为：y=kx+b,

b=3

把(0,3),(2,0)代入可得：,

乙K।u—U

必=3

解得：L3，

k=—

[2

3

所以一次函数的解析式为：y=--x+3；

(2)如图，作轴于点。

"AC=90°，

:.ZOAB+ZCAD^9Q）,

在ABO与C4O中

ZBAO=ZACD

ZBOA=ZADC=90°,

AB=AC

ABO=^CAD（AAS）,

：.OB=AD^2,OA^CD=3,OD=OA+AD^5,

则C的坐标是（3,5）；

（3）如图2中，作点3关于y轴的对称点3',连接CB'交无轴于P,此时PB+PC的值最小,

B（2,0）,C（3,5）,

.•・9（-2,0）,

把（一2,0）,（3,5）代入y=如+以中,

3m+n=5

可得：＜9

—2m+n—G

m=l

解得:,

n=2

二直线的解析式为y=x+2,

令x=0,得到y=2,

・•.P（0,2）.

【题目点拨】

本题考查的是一次函数的综合题，根据待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，以及轴对称-最短

距离，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键.

20、(1)(x-12)米；(2)%的值为20或1.

【解题分析】

(1)由甲和乙为正方形，且该地长为x米，宽为12米，可得出丙的长，也是乙的边长；

(2)由(1)求得丙的长，再求出丙的宽，即可得出丙的面积，由此列出方程，求解即可.

【题目详解】

解：(1)因为甲和乙为正方形，结合图形可得丙的长为：(x-12)米.

同样乙的边长也为(x-12)米，

故答案为：(x-12)米；

(2)结合(1)得，丙的长为：(x-12)米，丙的宽为12-(x-12)=(24-x)米，所以丙的面积为：(x-12)(24-x),

列方程得，(x-12)(24-x)=32

解方程得xi=20,X2=l.

答：x的值为20或1.

【题目点拨】

本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是表示出有关的线段的长，难度不大.

21、V14

【解题分析】

根据题意给出的解法即可求出答案即可.

【题目详解】

设x=,4+々+“-近,

两边平方得：好=("+S)2+(“—刀)2+24+77，

即3=4+J7+4-J7+6,

x2=14

•*.x=±714-

,*'《4+币+14_布＞。,•"•x=^/14•

【题目点拨】

本题考查了二次根式的运算，解题的关键是正确理解题意给出的解法，本题属于中等题型.

22、(1)见解析；(2)60°

【解题分析】

(1)根据等边三角形的性质可得AB=AC,ZBAC=ZC=60°,然后根据SAS可证aABE义ACAD,再根据全等三角

形的性质即得结论；

(2)由全等三角形的性质可得NABE=NCAD,然后根据三角形的外角性质和角的和差即可得出结果.

【题目详解】

解：(1)•.'△ABC是等边三角形，

/.AB=AC,ZBAC=ZC=60°,

又TAE=CD,

.,.△ABE^ACAD(SAS),

/.BE=AD；

(2)VAABE^ACAD,

；.NABE=NCAD,

:.ZBFD=ZABE+ZBAD=ZCAD+ZBAD=NBAC=60°.

【题目点拨】

本题考查了等边三角形的性质、三角形的外角性质以及全等三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握上述基本

知识是解题的关键.

23、(1)5死；(2)这个游戏不公平，见解析；修改得分规则：飞镖停落在A、B区域雨薇得5分，飞镖停落在C区域

方冉得4分，这样游戏就公平了.

【解题分析】

(1)从面积比得到概率；(2)通过概率大小进行判定，只要概率相等就公平.

【题目详解】

(1)SA=7r*l2=7t,SB=7t*22-7r*l2=37t,Sc=7t*32-n*22=5n；

/、/、兀1/、3»3,、5〃5

(2)P(A)=——二—,P(B)=——二=一,P(C)=—=-

9〃99〃99

P（雨薇得分）=[xl+'|xl=g,P（方冉得分）=^xl=^

99999

VP（雨薇得分）/P（方冉得分）

,这个游戏不公平.

修改得分规则：飞镖停落在A、B区域雨薇得5分，飞镖停落在C区域方冉得4分，这样游戏就公平了.

【题目点拨】

考核知识点：求几何概率.理解概率意义和公式是关键.

24、正方形

【解题分析】

分析：（1）如图1,当点G恰好在5c边上时，四边形ABGE的形状是正方形，理由为：由折叠得到两对边相等，三

个角为直角，确定出四边形A3EG为矩形，再由矩形对边相等，等量代换得到四条边相等，即邻边相等，即可得证；

（2）①如图2,连接E尸，由为矩形，得到两组对边相等，四个角为直角，再由E为AD中点，得到AE=OE,

由折叠的性质得到BG=AB,EG=AE=ED,且NEGB=NA=90。，利用HL得到直角三角形EFG与直角△即F全等，

利用全等三角形对应边相等得到DF=FG,由BF=BG+GF,等量代换即可得证；

②C尸=。/，理由为：不妨假设AB=£）C=a,DF=b,表示出AZ>=5C,由①得：BF=AB+DF,进而表示出5尸，CF,在

直角ABC尸中，利用勾股定理列出关系式，整理得到”=2儿由。。-。歹=歹。，代换即可得证.

详解：（1）正方形；

（2）①如图2,连结EF,

AI------------------------|D

在矩形ABCD中，AB=DC,AD=BC,ZA=ZC=ZD=90°,

•••E是AD的中点,

,\AE=DE,

VAABE沿BE折叠后得到aGBE,

.\BG=AB,EG=AE=ED,ZA=ZBGE=90°

/.ZEGF=ZD=90o,

在RtZkEGF和RtZ\EDF中,

；EG=ED,EF=EF,

ARtAEGF^RtAEDF,

/.DF=FG,

/.BF=BG+GF=AB+DF；

②不妨假设AB=DC=a,DF=b,

***AD=BC=y/3ci)

由①得：BF=AB+DF

.".BF=a+b,CF=a-b,

在Rt^BCF中，由勾股定理得：

BF-=BC2+CF-

(a+6)2=(ga)>

4ab=3a2，

44

：.a=-b,即：CD=-DF,

33

4

VCF=-DF-DF,

3

.*.3CF=DF,

点睛：此题属于四边形综合题，涉及的知识有：矩形的性质，折叠的性质，正方形的判定，全等三角形的判定与性质,

勾股定理，熟练掌握图形的判定与性质是解本题的关键.

25、(1)证明见解析；(2)4月

【解题分析】

(1)根据平行四边形的性质得到AB〃CD,根据平行线的性质得到NABF=NE,根据全等三角形的判定定理即可得

到结论；

(2)根据平行四边形的性质和角平分线的定义可求出AB=AF,再根据等腰三角形的性质可求出BG的长，