2023-2024学年湖北省荆州市高考数学模拟密押卷 含解析

2023-2024学年湖北省荆州市高考数学模拟密押卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数/。）=届11%-03%的图像的一条对称轴为直线》=^，且■/'a）"（x2）=-4,则上+%|的最小值

6

为（）

712%

A.一B.0c.-D.——

333

2.下列函数中，值域为尺的偶函数是（）

xx

A.y-x2+1B.y=e-e~c.y=ig\x\D-y=

3.近年来，随着4G网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的。即相继出世，其功能也是五花八门.某大学为

了调查在校大学生使用a即的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如

图所示，现有如下说法：

①可以估计使用。即主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数；

②可以估计不足10%的大学生使用。勿主要玩游戏；

③可以估计使用。加主要找人聊天的大学生超过总数的

4

其中正确的个数为（）

[445。I行礼区、新闻.晓讯

[-.----□玩游我

「2川I磐直妆、出片

「储曲）I听行乐

A.0B.1C.2D.3

4.已知点片是抛物线C：%2=2py的焦点，点工为抛物线C的对称轴与其准线的交点，过B作抛物线c的切线，

切点为A,若点A恰好在以耳，耳为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）

A.近二立B.V2-1C.逅MlD.V2+1

22

5.已知函数/(x)=lnx—2ar,g(x\=^L2x,若方程/（x）=g（x）恰有三个不相等的实根，则。的取值范围

Inx

为（）

A.(0,e]B.

C.(e,+oo)0,-

e

6.过抛物线y2=4x的焦点P的直线交该抛物线于4,B两点,。为坐标原点.若=3,则直线A3的斜率为（）

A.±72B.-V2C.2A/2D.±272

7.港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55

千米.桥面为双向六车道高速公路,大桥通行限速100«"〃瓦现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查.画

出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间［85,90）的车辆数和行驶速度超过

的频率分别为（）

A.300,0.25B.300,0.35C.60,0.25D.60,0.35

8.已知函数/（x）=F+6的一条切线为y=a（x+l）,则。匕的最小值为（）

1112

A.----B.----C.——D.——

2e4eee

J

9.已知耳，尸2是双曲线c：j-y2=l（〃〉0）的两个焦点，过点片且垂直于X轴的直线与C相交于两点，若

a

|AB|=V2,则AABF2的内切圆半径为（）

A.立B.BC.迪D.正

3333

10.设抛物线y2=4x上一点尸到y轴的距离为4,至u直线/:3x+4y+12=0的距离为4，则4+4的最小值为

()

A.2B.—C.—D.3

33

11.已知x=0是函数/（x）=M^-tanx）的极大值点，则a的取值范围是

A.（―℃,—1）B.（-0°,1]

C.[0,+oo）D.[1,-K»）

12.某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香，6盆盆栽，现将这6盆盆栽摆成一排，要求郁金香不在两边,

任两盆锦紫苏不相邻的摆法共（）种

A.96B.120C.48D.72

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.设定义域为R的函数〃尤）满足了'（x）＞/（x）,则不等式1）的解集为.

14.设集合A={-1,a},B=1,2（其中e是自然对数的底数），且AC3W0,则满足条件的实数a的个数为.

15.已知tan[夕+z]=3,贝！Jtan8=,cos[26—1]=,

16.某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧

起坐”测试数据（单位：个），并绘制了如下频率分布直方图，贝!11分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有

个.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

V2V21

17.（12分）设椭圆C：二+2=1（。〉万〉0）的右焦点为尸，右顶点为4,已知椭圆离心率为J,过点E且与x轴

垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.

（I）求椭圆C的方程；

（II）设过点a的直线/与椭圆c交于点3（3不在》轴上），垂直于/的直线与/交于点"，与y轴交于点〃，若

BF±HF,且NMQ4WNM4O,求直线/斜率的取值范围.

1

x=­m

2

18.(12分)已知在平面直角坐标系龙。y中，直线/的参数方程为〈为参数)，以坐标原点为极点，X轴

y=----m

2

‘2岳2万'

非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为"-2"cos6-2=0,点A的极坐标为E司

(1)求直线/的极坐标方程;

(2)若直线/与曲线。交于3,C两点，求ABC的面积.

19.(12分)如图，直三棱柱ABC—A4c中，D,E分别是A3,6用的中点，AA、=AC=CB.AB=近.

2

(1)证明：BC1平面4。。；

(2)求二面角。一A。—E的余弦值.

20.(12分)在如图所示的几何体中，四边形ABC。为矩形，平面ABE尸，平面ABC。，EF//AB,ZBAF=90°,AD

=2,A3=4F=2EB=2,点P在棱。尸上.

(1)若「是。歹的中点，求异面直线3E与CP所成角的余弦值；

(2)若二面角O-AP-C的正弦值为逅，求尸产的长度.

3

21.(12分)已知椭圆C:9d+y2=加2(根〉0),直线/不过原点。且不平行于坐标轴，/与。有两个交点A,B,线

段AB的中点为

(I)证明：直线的斜率与/的斜率的乘积为定值；

rrj

(II)若/过点(],加)，延长线段与C交于点P,四边形Q4PB能否为平行四边形？若能，求此时/的斜率，若

不能，说明理由.

22.(10分)己知A4BC的内角A,瓦C的对边分别为“，4c.设变出+%£=金曰_+4行

sinCsinBsinBsinC

(1)求tanA的值；

(2)若&sinB=3sinC，£5加©=2叵，求。的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

运用辅助角公式，化简函数/(九)的解析式，由对称轴的方程，求得。的值，得出函数/(%)的解析式，集合正弦函数

的最值，即可求解，得到答案.

【详解】

由题意，函数/(x)=asinx—6cosx=Ja?+3sin(x+6)(。为辅助角)，

*皿5万口兀、a3

由于函数的对称轴的方程为x=且/(丁)二7+7，

6622

即E+；=J/+3,解得4=1,所以F(x)=2sin(x—K),

223

又由/&)•/(9)=T,所以函数必须取得最大值和最小值，

_57r7i一

所以可设％=2K兀7----,k[eZ,x=2k?兀,k?eZ,

626

所以卜]+々|=24]»+2左2乃+飞-,左eZ,

rs

当仁=履=。时，卜+々|的最小值T，故选D.

【点睛】

本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函

数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

2、C

【解析】

试题分析：A中，函数为偶函数，但y21,不满足条件；B中，函数为奇函数，不满足条件；C中，函数为偶函数且

ywR,满足条件；D中，函数为偶函数，但＞20,不满足条件，故选C.

考点：1、函数的奇偶性；2、函数的值域.

3、C

【解析】

根据利用。即主要听音乐的人数和使用。加主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断①的正误；计算使用

。加主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用勾中主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断③

的正误.综合得出结论.

【详解】

使用a即主要听音乐的人数为5380,使用。加主要看社区、新闻、资讯的人数为4450,所以①正确；

Q130

使用WP主要玩游戏的人数为8130,而调查的总人数为56290,-------«0.14,故超过10%的大学生使用。即主

56290

要玩游戏，所以②错误；

使用。即主要找人聊天的大学生人数为16540,因为皎^＞工，所以③正确.

562904

故选：C.

【点睛】

本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题.

4、D

【解析】

根据抛物线的性质，设出直线方程，代入抛物线方程，求得上的值，设出双曲线方程，求得2“=|AF2|-|AFi

I=(V2-DP，利用双曲线的离心率公式求得e.

【详解】

直线F2A的直线方程为：y—kx——,Fi(0,—),尸2(0,~~),

222

代入抛物线C：好=2外方程，整理得：x2-Ipkx+p2^,

AA=4A:2p2-4p2=0,解得：k=±l,

22

.•.A(p,K),设双曲线方程为：二—二=1,

2a2b2

IAFiI=p,IAF2I=个p?+p?=0p,

2a=IAF2I-IAFiI=(V2-DP>

2c=p9

/.离心率e————i=——A/2+1,

a72-1

故选：D.

【点睛】

本题考查抛物线及双曲线的方程及简单性质，考查转化思想，考查计算能力，属于中档题.

5、B

【解析】

由题意可将方程转化为叱-2a=出-2,令《％)=皿，xe(O,l)(1,+8),进而将方程转化为

xInxx

[?(%)+2][r(x)-2a]=0,即()=-2或r(x)=2a,再利用，(x)的单调性与最值即可得到结论.

【详解】

由题意知方程/(x)=g(力在(0,1)1(1,-+W)上恰有三个不相等的实根，

_4左

即In九一lax=------2x①.

Inx9

Inx4/7Y

因为x>0,①式两边同除以x,得-----2a=-----2.

xInx

所以方程-InV-2〃-4丁/7Y二+2=0有三个不等的正实根.

xInx

记—,xe(O,l)(1,”)，则上述方程转化为f(x)—2a-西+2=0.

即[f(x)+2][(x)-2a]=0,所以Z(x)=-2或r(x)=2a.

因为«无)=上手，当尤«0,1)(l,e)时，t'(x)>0,所以/(%)在(0,1),(l,e)上单调递增，且％.0时，

0-^0.

当x£(e,+oo)时，/(%)<0,1X)在(e,+8)上单调递减，且兄—”时，0.

所以当x=e时，/(力取最大值L当心)=—2,有一根.

e

所以《％)=2。恰有两个不相等的实根，所以0<。<L.

2e

故选：B.

【点睛】

本题考查了函数与方程的关系，考查函数的单调性与最值，转化的数学思想，属于中档题.

6、D

【解析】

根据抛物线的定义，结合|AF|=3,求出A的坐标，然后求出AE的斜率即可.

【详解】

解：抛物线的焦点厂(L0),准线方程为x=-1,

设A(x,y),贝！]IAF|=x+l=3,故x=2,此时y=±2j^,即A(2,±2，^).

则直线AF的斜率k=竺亚=±2A/2.

2-1

故选：D.

【点睛】

本题考查了抛物线的定义，直线斜率公式，属于中档题.

7、B

【解析】

由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)的频率即可得到车辆数，同时利用频率分布直方图能

求行驶速度超过90km/h的频率.

【详解】

由频率分布直方图得：

在此路段上汽车行驶速度在区间［85,90）的频率为Q06x5=0.3,

在此路段上汽车行驶速度在区间［85,90）的车辆数为：0.3x1000=300，

行驶速度超过90k”/〃的频率为：（0.05+002）x5=0.35.

故选：B.

【点睛】

本题考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

8、A

【解析】

求导得到/5）=靖，根据切线方程得到b=alna,故"=/lna，设g（尤六三卜］,求导得到函数在0,”上

IJ

c口

单调递减，在e2,+oo上单调递增，故8（力加=ge2,计算得到答案.

I）\7

【详解】

x

f(x)=e+b,贝!J/'(x)=",取e%=a，(a>0),故x()=lna,f^x0)=a+b.

故a+b=a(lna+1),故b=alna,ab=a2lna•

设g(%)=%21nx,g'(x)=2xlnx+x=x(21nx+l),取g'(x)=0,解得毛

（、口1

故函数在上单调递减，在2

0,e—5e-5,+s上单调递增，故g（x）1nhi=ge

2e

I）I）/

故选：A.

【点睛】

本题考查函数的切线问题，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

9、B

【解析】

首先由|A5|=行求得双曲线的方程，进而求得三角形的面积，再由三角形的面积等于周长乘以内切圆的半径即可求

解.

【详解】

由题意6=1将％=代入双曲线C的方程，得'=±4则2=四,“=点,0=追,由

aa

\AF2\-\AFl\=\BF2\-\BFl\=2a=2y/2,^^ABF2的周长为

\AF2\+\BF2\+\AB\=2a+\AF1\+2a+\BFl\+\AB\=4a+2\AB\=672,

设AABK的内切圆的半径为广，则工x6四厂=、2抬\应,厂=且,

223

本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查了转化的思想，属于中档题.

10、A

【解析】

分析：题设的直线与抛物线是相离的，4+4可以化成4+1+4-1，其中4+1是点p到准线的距离，也就是p到

焦点的距离，这样我们从几何意义得到4+1+4的最小值，从而得到4+4的最小值.

y2=

详解：由①得到3/+16y+48=0,A=256-12x48<0,故①无解，

[3x+4y+12=0

所以直线3x+4y+12=0与抛物线是相离的.

由4+人=4+1+4-1，

而4+1为p到准线x=—1的距离,故4+1为P到焦点b(1,0)的距离，

11x3+0x4+121

从而4+1+%的最小值为F到直线3尤+4y+12=0的距离J一厂_丁1=3,

"A/32+42

故4+4的最小值为2,故选A.

点睛：抛物线中与线段的长度相关的最值问题，可利用抛物线的几何性质把动线段的长度转化为到准线或焦点的距离

来求解.

11、B

【解析】

方法一：令gO)=or-tanx,则/(x)=此g(x),g'(x)=a——二，

cosX

当〃01,万)时，g(JT)<0,g(%)单调递减，

7T

Axe(——,0)时，g(x)>g(0)=0,f(x)=x-g(x)<0,且「(尤)=xg'(x)+g(x)>。，

2

TT

广。)>0,即/(X)在(一耳,0)上单调递增，

兀

xe(0,—)时，g(x)<g(0)=0,f(x)=x-g(x)<0,且/(x)=xg'(x)+g(x)<0,

2

7T

.•.广(x)<0,即f(x)在(0,耳)上单调递减，.•.xnO是函数/(尤)的极大值点，满足题意；

711

当。>1时,存在re(0,5)使得cosr=区，即g⑺=0,

177

又g3=a-一J在(0,7)上单调递减，...xee/)时，g(x)>g(O)=O,所以/(尤)=*超。)>。，

cosx2

这与X=0是函数的极大值点矛盾.

综上，a<l.故选B.

方法二：依据极值的定义，要使％=0是函数/(尤)的极大值点，须在x=0的左侧附近，/(%)<0,即方-tanx>0；

在％=0的右侧附近，f(x)<0,即ox—tanx<0.易知，。=1时，V=四与y=tan尤相切于原点，所以根据'

与丁=1311尤的图象关系，可得aWl,故选B.

12、B

【解析】

间接法求解，两盆锦紫苏不相邻，被另3盆隔开有看看，扣除郁金香在两边有2M出，即可求出结论.

【详解】

使用插空法，先排2盆虞美人、1盆郁金香有国种，

然后将3盆锦紫苏放入到4个位置中有A：种，

根据分步乘法计数原理有用团，扣除郁金香在两边，

排2盆虞美人、1盆郁金香有2尺种，

再将3盆锦紫苏放入到3个位置中有用,

根据分步计数原理有2月国，

所以共有用团-2&制=120种.

故选:B.

【点睛】

本题考查排列应用问题、分步乘法计数原理，不相邻问题插空法是解题的关键，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、(1,+℃)

【解析】

根据条件构造函数F(x)=△»,求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论.

ex

【详解】

设厂(x)=旦0,

ex

则F，G)J—”

ex

r(x)>/(x),

：.F'(x)>0,即函数尸(x)在定义域上单调递增.

•••/〃力<“21)

于(——,—■——,即F(x)<F(2x-l)

•*-x<2x-l,即x>l

二不等式ex-xf(x)</(2x-l)的解为(1,+s)

故答案为：(1,内)

【点睛】

本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键.

14、1

【解析】

可看出“W。，这样根据4'、5。0即可得出。=2,从而得出满足条件的实数。的个数为L

【详解】

解：AfB丰0,

."=2或〃一,

Cl—t-

在同一平面直角坐标系中画出函数V=x与尸院的图象,

〃无解，则满足条件的实数〃的个数为1・

故答案为：1.

【点睛】

考查列举法的定义，交集的定义及运算，以及知道方程无解，属于基础题.

人一C

15、I¥

【解析】

利用两角和的正切公式结合tan，+：=3可得出tan。的方程，即可求出tan。的值，然后利用二倍角的正、余弦公

式结合弦化切思想求出cos2。和sin2。的值，进而利用两角差的余弦公式求出cos2，-?的值.

【详解】

tan0+1

tan18+巳J=3n=3。ntan0八=—1

1一tan。29

222

八八2八.2八cos0-sin01-tan03

cos2,=cos6/-sin，=--------------=----------=一

cos26^+sin201+tan205

.”c.八八2sin6^cos<92tan84

sin2,=2sin<9cos，=——--------；-=——-----=—

sin0+cos3tan0+15

7

二.cos126一(=(cos20+sin26)=—&.

故答案为：—；7版

210

【点睛】

本题主要考查三角函数值的计算，考查两角和的正切公式、两角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、余弦公式以及弦

化切思想的应用，难度不大.

16、325

【解析】

根据数据先求出九=0.02,再求出1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生人数即可.

【详解】

解：(0.015+x+0.035+x+0.01)-10=1,

x=0.02.

则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生人数为[1-(0.015+0.02)-10]-500=325.

故答案为:325.

【点睛】

本题主要考查频率分布直方图，属于基础题.

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

【解析】

2b之c

(I)由题意可得里=3,e=—,a2^b2+c2,解得即可求出椭圆的C的方程;

aa

(II)由已知设直线/的方程为产《(x-2)，(际0),联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根

与系数的关系求得B的坐标，再写出所在直线方程，求出H的坐标，由解得yH.由方程组消去y,解

得为，由NMQ4WNM4O,得到xM21,转化为关于k的不等式，求得k的范围.

【详解】

(I)因为过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为3,

2b1

所以且=3,

a

11

因为椭圆离心率e为不，所以c一=彳，

2a2

又〃=廿+，

解得a=2,c—ltb=6,

22

所以椭圆C的方程为L+匕=1；

43

（II）设直线/的斜率为左亿。0）,则丁=4（％-2）,设8（4,力），

y=攵(％-2)

2

由/y_得(4K+3)尤2—16汰2^+16汰2—12=0,

[43

解得尤=2,或X=咚、，由题意得％

4左2+34左2+3

u*T2k

从而为=*'

由（I）知，F（l,0）,设〃（0,%）,

所以切=（-1,%）,“=（]—Q-4P,£]），

因为3尸，彼，所以B户-HF=0,

所以W+禺"解得

19一4"2

所以直线的方程为丫=-+

k12k

y=左(％-2)

2042+9

设/国，坨），由,2消去儿解得X"=

19-4k12(42+1)'

y=——x+

'k12k

在AM4O中，ZMOA<ZMAO\MA\<\MO\,

222

即(与-2)+yMxM+yM,

20k2+9,

所以与'I'即可臼

解得小4或T

所以直线/的斜率的取值范围为-8,-,+8.

7

【点睛】

本题考查在直线与椭圆的位置关系中由已知条件求直线的斜率取值范围问题，还考查了由离心率求椭圆的标准方程,

属于难题.

18、(1)6>=y(pe7?)(2)

【解析】

(1)先消去参数根，化为直角坐标方程>=氐，再利用丁=Q5由。,％=。(：056求解.

F一2「cos8-2=0

(2)直线与曲线方程联立｛5，得P2—夕一2=0,求得弦长

、一§

忸q=|q—闻=］屹+夕2)2—4pg和点A浮到直线/的距离d=2誓sin(q£—再求，45C的

面积.

【详解】

(1)由已知消去加得y=则夕sin。=JWpcos。，

TTJT

所以6=1,所以直线/的极坐标方程为。=§(夕eR).

「2一2「cos8-2=0

(2)由<JI,得夕~一夕一2=0,

、一§

设3,C两点对应的极分别为01，02，则夕1+夕2=1，P\P［=-2,

所以忸。|=|夕1_夕21=，(21+夕2)2-4夕10=3，

又点A［3£,2?［到直线/的距离［=2些sin(22—工］=行

I33J3I33J

所以SABC=^\BC\d=

【点睛】

本题主要考查参数方程、直角坐标方程及极坐标方程的转化和直线与曲线的位置关系，还考查了数形结合的思想和运

算求解的能力，属于中档题.

19、(1)证明见解析⑵旦

3

【解析】

(1)连接AG交4。于点歹，由三角形中位线定理得BG//D/，由此能证明3£//平面4CD.

(2)以C为坐标原点，C4的方向为x轴正方向，CB的方向为，轴正方向，CG的方向为z轴正方向，建立空间直

角坐标系孙z.分别求出平面的法向量和平面ACE的法向量，利用向量法能求出二面角。-4C-E的余

弦值.

【详解】

证明：证明：连接AC交4c于点口，

则r为AG的中点.又。是AB的中点，

连接则尸.

因为。尸u平面A。。，Bq/平面4。。，

所以3£//平面A。。.

(2)由惧=AC=C3=*A5=0,可得：AB=2,即AC?+=.2

所以AC_L3C

又因为ABC-451cl直棱柱，所以以点C为坐标原点，分别以直线C4、CB、CQ为工轴、y轴、z轴，建立空间直

角坐标系，则C(0,0,0)、4(3,0,3))、D与，号,0、E0,0,£),

CA=(V2,0,V2),CD=—,—,0,CE=0,V2,—

I22JI27

设平面4。的法向量为"=(x,y,z),贝！|〃.C£)=0且止区=。，可解得丁=一工=2,令％=1,得平面人。。的

一个法向量为n=(1,-1,-1),

同理可得平面ACE的一个法向量为加=(2,1，-2),

贝！Icos<n,m>-

3

所以二面角D-A.C-E的余弦值为1.

3

本题主要考查直线与平面平行、二面角的概念、求法等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

20、(1)汉I0.(2)0.

15

【解析】

(1)以A为原点，A3为x轴，AZ)为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，则BE=(-1，0,2),CP=(-2,

-1,1),计算夹角得到答案.

2%

(2)设EP=/IED，0<2<1,计算尸(0,22,2-22),计算平面APC的法向量“=(1,-1,---------),平面AOf

2-22

的法向量机=(1,0,0),根据夹角公式计算得到答案.

【详解】

(1)'：BAF=90°,：.AF±AB,

又•..平面A8E尸_L平面ABCD,且平面A3E歹n平面ABCD=AB,

尸工平面A5CZ),又四边形A5CD为矩形，

；•以A为原点，A3为x轴，为y轴，A尸为z轴，建立空间直角坐标系，

,：AD=2,AB=AF=2EF=2,尸是。尸的中点，

：.B(2,0,0),E(1,0,2),C(2,2,0),P(0,1,1),

BE=(T，0,2),CP=(-2,-1,1),

设异面直线BE与CP所成角的平面角为e,

BECP\42A/30

则COSO-------।=—F=一斤='

BE\\CFyV5-V615

二异面直线BE与CP所成角的余弦值为2叵.

15

(2)A(0,0,0),C(2,2,0),F(0,0,2),D(0,2,0),

设P(a,b,c),FP=AFD>0<2<l,即(a,b,c-2)=2(0,2,-2),

解得a=0,b=21,c=2-27,：.P(0,2A,2-2A),

AP=(0,2A,2-24),AC=(2,2,0),

设平面APC的法向量〃=（x,y,z）,

n-AP=22y+(2-22)z=0,24)

则"7,取x=L得”=(1,

n-AC=2x+2y=02-24

平面AOP的法向量加=（1,0,0）,

•.•二面角D-AP-C的正弦值为逅,

/.\cos<m,ri>\

解得人;，(0,1,1),

PF的长度|PF|二J(0-0)2+(1—0)2+(1—2)2=y/2.

z

X

【点睛】

本题考查了异面直线夹角，根据二面角求长度，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

21、（I）详见解析；（II）能，4-币或4+币.

【解析】

试题分析：（1）设直线/：y=H+b（左力。//0）,直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并

表示直线的斜率，再表示［.：:；

9

（2）第一步由（1）得。河的方程为丁=-7%.设点尸的横坐标为修，直线与椭圆方程联立求点尸的坐标，第

k

二步再整理点一的坐标，如果能构成平行四边形，只需一-二.，，如果有值，并且满足左＞0,k/3的条件就说

明存在，否则不存在.

试题解析：解：⑴设直线/：y=H+人（左wO,bw。），AU，%）,B（x2,y2）,

y=kx+bcc

工由,(^2+9)x2+2kbx+b2-m2=0

9x9+y9=m99

x+x9kb779b

%M二=Q,yK/f-k^M+b=-z•

M2k~+9MMk2+9

直线OM的斜率=