江西省南昌市2023-2024学年高二年级上册册期中考试数学试题（附答案）

o

江西省南昌市2023_2024学年高二上册期中考试数学试卷

一、选择题

1.已知直线4：x+，+7=O和幺（机-2）x+3y+2〃=0互相平行，则

A.加二-3B.加=TC.加=1或冽=3D.加=T或机=3

122

2.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为2,且它的长轴长等于圆C：x'+>-2x-15=°的半

径，则椭圆的标准方程是（）

2222

oXVxy1

而——+—=1——+—=1

43

抑A.B.1612

1-1

—+/=1

C.4D.164

3.直线乙=行）与曲线/一/=1。>°）相交于A、8两点，则直线/倾斜角的取值范

围是（）

喙

A.根夕）

o

4.在三棱锥/「BCD中，M是平面上一点，且=++则片（）

教

j_2

A.1B.2C.5D.5

5.已知尸为抛物线°：V=4x的焦点，过厂的直线/与C相交于A、B两点，线段的垂

直平分线交x轴于点加，垂足为£,若M冏=6,则忸的长为

o

A.2亚B.后C.2D.G

CZ+£=i,,,,

6.已知耳，工是椭圆59的两个焦点，P为椭圆上一点，且下用=1耳项，则

K△尸与鸟的内切圆的半径r=（）

后

A.1B.石C.5D.2

O

7.已知双曲线。/一记的两个顶点为&4,双曲线C上任意一点P（与

5

4,4不重合）都满足P4,P4的斜率之积为则双曲线c的离心率为（）

221Vs

A.4B.2c.3D.2

8.已知M是/=8y的对称轴和准线的交点，点"是其焦点，点尸在该抛物线上，且满足

卢叫叫叫，则实数"的最大值为（）

3

A.2B.6C.2D.^2

二、多选题

9.已知空间向量"=（-2厂1，1）,'=。，4,5）,则下列结论正确的是（）

c.al（5a+60D.%在B上的投影向量为〔io'（以

10.已知椭圆C：2516,与分别为它的左右焦点，A,B分别为它的左右顶点，点

尸是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（）

TT

A.存在尸使得

7

B.c°s”大秋的最小值为不

ZFPF=—A16y

C.'23,则△耳尸片的面积为3

16

D.直线尸/与直线尸5斜率乘积为定值25

11.已知抛物线C：/=12丫，点尸是抛物线C的焦点，点尸是抛物线C上的一点，点

.（4,3）,则下列说法正确的是（）

A.抛物线C的准线方程为-3

B.若归制=7,则△PMF的面积为2"一3

c.附T吗的最大值为痴

D.Am?的周长的最小值为7+.

12.已知耳、耳分别为双曲线/一炉」（">°'>°）的左、右焦点，且I"卜a，点尸为双

曲线右支一点，/为鸟的内心，若％屿=$，%+K即i成立，则下列结论正确的有

（）

1+V5

A.当P尸2,X轴时，/尸耳尸2=30。B.离心率e2

7V5-1

X=--------

C.2D.点/的横坐标为定值°

三、填空题

13.抛物线C：V=2px（P>0）的焦点为凡点尸（2,加）为。上一点，若|尸产|=3,则加=

14.经过点尸GT）,且被圆C：无2+/一6》-2了-15=0所截得的弦最短时的直线/的方程为一

22

15.已知匕丹分别为双曲线C：/一屏一乂">°'>°）的左、右焦点，内司=4.以线段

71

片£为直径的圆与双曲线在第一象限交于点4双曲线C的一条渐近线的倾斜角为3,则直

线片”的斜率为.

2222

-y+与=1（。>6>0）—2~^~T=Km>0,«>0）Fp

16.已知椭圆。b2和双曲线/n2有相同的焦点么，力,尸为

ji

e9,Z-F.PE.——

椭圆与双曲线的一个公共点，椭圆与双曲线的离心率分别为3,且

%c［几百］,则G的取值范围为.

四、解答题

17.已知空间三点/（一2，°，2）,双T』,2）,C（-3,0,4）,设标&,AC=b.

⑴求Z与3的夹角夕的余弦值；

⑵若向量炀+刃与筋-2族互相垂直，求后的值.

18.已知直线/经过两条直线2无一"3=0和4x_3y_5=0的交点，且与直线x+y-2=0垂

直.

(1)求直线/的一般式方程；

(2)若圆C的圆心为点G，°),直线/被该圆所截得的弦长为2a，求圆°的标准方程.

f273V6

1+4=1(°>6>0)A

19.已知椭圆。b2“过点.其左、右两个焦点分别为耳、工，短

轴的一个端点为S且6

(1)求椭圆的标准方程：

7C

AMON&

(2)设直线/：了=h+2与椭圆交于不同的两点M,N,且。为坐标原点，若5"

求实数上的取值范围.

20.己知双曲线a的离心率为3

(1)求双曲线C的方程.

(2)直线V=+M.-°)与该双曲线°交于不同的两点河、N,且〃、N两点都在以点

为圆心的同一圆上，求优的取值范围.

2

21.已知抛物线C：丁=2px经过点尸(1,2).过点0(0,1)的直线/与抛物线C有两个不

同的交点B,且直线尸/交了轴于直线尸2交/轴于N.

(I)求直线/的斜率的取值范围；

11

----------------1------

(II)设。为原点，QM=2QO,QN=/°,求证：2〃为定值.

22

C：—+A-=l(a>6>0)F尸p

22.己知椭圆。b2的左、右焦点分别为《、F2,过心且垂直于x轴的直线

OU

与C交于两点，且M的坐标为I2人

(1)求椭圆°的方程；

(1)过&作与直线“乂不重合的直线/与C相交于P,0两点，若直线尸用和直线0N相交于点

T,求证：点7在定直线上.

1.D

根据两条平行直线的斜率相等，且截距不等，解方程即可求得加的值.

【详解】因为直线4：x+磔+7=。和々(%-2)x+3y+2加=0互相平行

当7〃=0时两条直线不平行，即N°

1m—27工2m

则加3,且加3

化简可得力-2加-3=0

解方程可得，"=T或机=3

经检验％=T或仅=3都满足题意

故选:D

本题考查了直线平行时的斜率关系，根据平行关系求参数的值，属于基础题.

2.A

【分析】求出圆C的半径，可得出。的值，结合离心率可得出。的值，进而可求出6,结合椭

圆焦点的位置可得出椭圆的标准方程.

【详解】圆C的标准方程为。一1)一+/=16,圆C的半径为4,则2a=4,即a=2,

c_c_\

又因为。一/一］,则c=l,所以，b£a°一c2=N2K,

IT

因为椭圆的焦点在X轴上，因此，该椭圆的标准方程是43.

故选：A.

3.B

【分析】联立直线方程和双曲线方程，利用判别式和韦达定理可求斜率的范围，从而得到倾斜

角的范围.

y=kQ-血)

【详解】由i-2=l(x>0)可得⑸=i(x>0),

整理得到0-H)/+2岳2X_2FT=0在(0,+8)上有两个不同的根,

-2F-1

>0

\-k2

<8rt+4（1-左2）G后2+1）>0

>0

故〔1-H,解得上<T或后>1,

故直线的倾斜角的范围为:

故选：B

4.B

【分析】结合向量的减法运算对已知关系进行变形，结合向量四点共面结论列方程求看.

UUUULAUUUU

【详解】根据向量的减法运算可得九少=/。-

又5而=3万+/就+砺，

所以5而=3万+t就+而-而，

所以6万7=39+/就+五5,

AM=-AB+-AC+-AD

所以266,

又M是平面8。上一点，所以3初=》就+＞前,

AM-AB=x(AC-ABy-y(AD-AB^

所以

所以/A/=(l-x-y^AB+xAC+yAD

11

1-X-y=-x=—y=-

所以266

21

x=-y=—

所以6,6,t=2.

故选：B.

5.B

【分析】设直线/的方程为％=叼+1,设“石，%），8（%，%）/6，%），M+歹2=4加，利用“设

而不求法”表示出“（2"2+1'2心），再求出河（2疗+3,0）,禾U用两点间的距离公式求出阿.

【详解】由尸为抛物线C：V=4x的焦点得尸（1,0）.

设直线/的方程为、=叩+1,并与V=4x联立得-4=0

设/（XQi）I（X2，%），E（/，%）/i+y2=4m,则%=2=2冽,/=2/+1,

/、21

（2加2+1,2加）又［4同=玉+%2+2=加（必+%）+4=4加2+4=6解得机=2

线段的垂直平分线为一加=-加々-2/_1）,令…，得M（W+3,0）,

\ME\=^（2m2+3-2m2-+（0-2w）2="+4加？=而

从而

故选：B.

6.C

【分析】根据椭圆方程求出。、b、c的值，即可得到阳四、忸闾、声用的值，从而求出

△尸片外的面积，再利用等面积法求出内切圆的半径.

22

。・上+匕=1

【详解】解：椭圆59中，力=9,按=5,则/=02_尸=4,j=3,c=2,

...闺闾=2c=4.J呐+|尸闾=2a=6,附上闺周，，|尸闾=2,

^=1x2x74^7=715邑呻=:《尸£|+|尸闾+由村＞=而

,•,2.，•,•2.，

V15

r=-----

解得5.

故选：C.

7.B

222

k.k=上.上=♦上一匕=i

【分析】首先设尸（X/）,根据题意直接求出时x+ax-a再由/b2代

,,b25

入可得"/4,再利用。2=/+〃，即可得解.

【详解】设尸（X/）,由4（一。,0），4（。,0）,

2222

上一匕=1丫2二”.

由//，所以b2,

k.k=工.j=/二生=）

P1P2

可得X+Qx-ax2-a2a24,

所以5Q2=4〃=4（c2-a2）,

c2_9_c_3

即9/=4H,所以/一^,所以离心率e-Z-，.

故选：B

8.D

【分析】利用抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系计算即可.

【详解】

易知N(0,2),M(0,-2),如图所示，过p作于准线，垂足为A点，

\PM\\PM\1

J____L-=-____L=___________

由抛物线定义知网中M,则|即一K-^APMA

易知当直线尸M与抛物线相切时NPMA最小，则m取得最大值，

不妨设勒：了=履-2,与抛物线方程联立得f-8区+16=°nA=(-8A-)--16x4=°n左=土1,

ZPMA=45°n加=--------=V2

此时可知smZPMA

故选：D

9.BCD

【分析】利用空间向量的坐标表示及投影向量的定义一一计算即可.

__12_Z

【详解】易知2a+'=(T2,7),显然与“口”7,故A错误；

易知B|=J(_2)2+(_1)2+.=后,忖=J32+42+52=5亚=5同=6忖

故B正确;

55+6^=（8,19,35）^5-^+66）=-2x8+（-l）xl9+lx35=0

易知故C正确;

a-bf-5（3,4,5）=/,一

—「b=——x

3b50

z在行上的投影向量,故D正确.

故选：BCD

10.BC

【分析】由椭圆方程得。=5,6=4,c=3,利用向量的数量积得最大张角的余弦符号，可判

断张角的大小，对焦点三角形使用余弦定理可得c°s”月尸外的最值，利用三角形公式可求得焦

点三角形面积，设椭圆上一点尸（尤））,通过坐标运算可以得到的/原B的值.

【详解】设椭圆C短轴上下顶点分别为。，E,

。=1

由题知椭圆C：2516中，a=5,6=4,c=3,

所以耳（一3,0）,鸟（3,0）,工（-5,0）,3（5,0）,£>（0,4）；£（。,一4）,

对于A选项，由于斯=（T一4）,研=（3，-4）,函.函=-9+16=7>0

71

所以/丹桃的最大角为锐角，故不存在P使得尸"一5,A错误；

对于B选项，记附卜机"*=〃，则枕+〃=10,

m2+n2-36(m+w)2-2mn-36

COSZFXPF2=

由余弦定理:2mn2mn

64-2mn321、32.7

=------------=-------1>-----------7--1=—

2mnmn(m+n\25

当且仅当归用=归工1时等号成立，B正确;

71

/F\PF?=—

对于C选项，由于3,

2

由焦点三角形面积公式得到B=btan；ZFtPF2=16xtan己=~~

C正确;

对于D选项，设尸GM（XH±5）,4（-5,0）,'（5,0）

一+

则2516

y

x+5

故选：BC.

11.ACD

【分析】根据抛物线的标准方程可得准线方程为x=-3,即可判断A,根据抛物线定义得到

%=4,故尸点可能在第一象限也可能在第三象限，分情况计算三角形面积即可判断B,利用

三角形任意两边之差小于第三边结合三点一线的特殊情况即可得到'（再用=1"列，

计算即可判断C,三角形加尸的周长=仍叫+阿+四口也+即+而，再结合抛物线定

义即可求出口“什尸厂I的最小值，即得到周长最小直

【详解】•3=12x,."=6,"（3,0）,准线方程为工=一3,故A正确；

根据抛物线定义得附=辱+耳=辱+3=7「.=4「"（4,3）,

轴，当x=4时，y=±4A/3；

若9点在第一象限时，此时也"），

故PM=4卮3,*的高为1,故29（3>1=2痒之

若点?在第四象限，此时P。"），故尸屈=46+3,

△PMF的高为1,故丛的=于«"+3）<1=2"+5,故B错误；

■.■\PF\-\PM\<\MF\t：.（|尸可-|PM晨=|即|=J（4-3）2+（3-07=而，故c正确;

（连接八勿，并延长交于抛物线于点?，此时即为最大值的情况，

图对应如下）

过点P作尸。1准线，垂足为点。,

△PMF的周长=归叫+1防1+1尸川=I尸闿+1"1+而=I尸闿+1尸。+河

若周长最小，则户M+户以长度和最小，显然当点己机。位于同一条直线上时,

户M+M的和最小,

此时1PM+|融|=|叫=7,

故周长最小值为7+厢，故D正确.

故选：ACD.

12.BCD

【分析】当尸用口轴时，由户阊="='=寸"周，得的"幽'=5；由旧阊=7可得

e~T=O求出离心率；设△小尸2的内切圆半径为人由附㈤*=2。，|赠|=2c，用

的边长和厂表示出等式中的三角形的面积，解此等式求出几；由切线的性质面积和双

曲线的定义可得/的横坐标.

【详解】当尸耳二轴时，因卜了“#用，

tanZPFR=—

此时2,所以《错误；

整理得/-0-1=0（e为双曲线的离心率），

1+V5

・•,e>l,「-2,所以2正确.

设△尸耳耳的内切圆半径为「，

由双曲线的定义得附T明=2〃，|/=2C,

SFrS

AIPFI=1|^i|,$△里=g|P用"AFIF2=1-2cr=cr

..S△左母二S/尸尸2+/SIFXF2,

,llPFll-r=llp^l-r+2cr

1_V5-1

X-=---------------=-=-------=--------

2cc1+V52

故2,所以。正确.

设内切圆与尸耳、尸鸟、片工的切点分别为〃、N、T,

可得1PMi=|PNI=闺「，I&N卜|居7|.

由归司一|「蜀=|可叫一上川=闺「一旧7|=2a,

闺匐=|单1+1取1=2c,

可得照7卜c-a,可得T的坐标为（出°）,

即I的横坐标为a,故。正确；

故选BCD.

本题考查双曲线的定义和简单性质，利用待定系数法求出参数的值，考查圆的切线的性质，化

简运算能力和推理能力，属于中档题.

13.±2如

【分析】根据抛物线的定义，利用代入法进行求解即可.

【详解】抛物线2"的准线方程为：‘一一,，因为附1=3,

所以2，把弋入抛物线方程中，得

m2=2x2x2^>m=±2也,

故土2也

14.x+2y=0

【分析】当P是弦中点，她能a，/时，弦长最短.由此可得直线斜率，得直线方程.

【详解】根据题意，圆心C为"』），当。尸与直线/垂直时，直线/被圆C所截得的弦最短，

k=1-（T）=2kJv+l^--（x-2）

此时0P3-2,则直线/的斜率2,则直线/的方程为’2、）,

变形可得x+2y=°.

故x+2.y=°

4-e

15.3

【分析】根据条件求出双曲线方程再结合圆的方程，联立可解出点A坐标，进一步计算即可.

【详解】力尸闯=4」.2C=4,C=2,

—万—b—+tan—n—7国3

又一条渐近线的倾斜角为3,所以。3，结合c2="+/,

可解的a=1,6=百，

X=1,••

所以双曲线C的方程为3①,

又线段片名为直径的圆的方程为/+/=4…②,

联立①②，结合点A在第一象限，可得2'5),

又片(-2,0),则T+2

4-V7

故答案为.3

■而

至，亏

16.L」

Z72=-Z?2吊=孑一土仔

【分析】根据题意得到等量关系，结合余弦定理得到3,3,利用

T万向求出TIT,进而得到“edS事.

22222

【详解】由题意得：附卜附|=2切，附|+|%=2。，FxF2=2ca-b=m+n=c,解

得：阀|=°+加"*="%由余弦定理得：

8S/但=生J

2方甩3一2〃2,解得：/+3/=公2,因为

1+e

a2-b2^m-+n2^c\解得："=-ifrh=a2--Z72弓=5

3.3，因为

仔「32

#-----£〔—5'—3

解得:

A/3TIP

故135

Vio

17.(i)10

k」

(2)2或左=2

【分析】（1）根据空间向量夹角公式求解即可.

（2）根据题意得到（"1）/+2）+*-8=0,再解方程即可.

［详解］(1)力C=B=(-l,0,2)

-1Vio

雨-7T7Flo-

“、ka+b=k0)+1,0,2)=(k—1,k,2)ka—2b—k0,1,0)—21,0,2)=(左+2,k,—4)

因为向量左a+9与筋-2族互相垂直，所以（1）（左+2）+8=0,

k=~-

即2/+斤_io=o,解得2或左=2.

18.（l）x-"l=°

2

（2）（X-3）+/=4

【分析】（1）由题意求出两直线的交点，再求出所求直线的斜率，用点斜式写出直线/的方程;

（2）根据题意求出圆的半径，由圆心写出圆的标准方程.

j2x-y-3=0（x=2

【详解】（1）解：由题意知1以一3了一5二°,解得〔＞=1,

，直线2x7-3=°和4》-3了-5=°的交点为（2,1）；

设直线/的斜率为左，与直线x+V-2=°垂直，.•.左=1；

二直线/的方程为＞T=（X一2）,化为一般形式为X-＞T=°；

（2）解：设圆C的半径为厂，则圆心为C（3，。）到直线/：x-〉T=°的距离为

|3-0-1|=屋+（号）2=诉2+（*

=叵F2=4

#+T由垂径定理得

解得尸=2,

•••圆C的标准方程为（X_3）2+/=4

X22,

—+y=1

19.(1)4

⑵kG(-CO,-2)U(2,+OO)

【分析】（1）利用椭圆的性质结合待定系数法计算即可

（2）利用平面向量的夹角公式结合韦达定理计算即可.

42

33

/十F一1n/=46=1

b£

sin4KF2

【详解】（1）由题意可知Ia2

X22•,

—i-y=1

所以椭圆的标准方程为：4'

（2）设”&，乂），"（工2，8），

D=()n("2+1”+16丘+12=0

联立

A=(-16A;)2-48(4A;2+l)>0

16k29

x,+x2=------

124左2+1

12

所以

7T

/MON£—,TI2

则丽.砺=xxx2+yxy2=(k+1)//+2k(X[+x2)+4<0

又2

12优2+1)32.2

—~2一兰」+L2“

即4女2+14^2+1

所以左£（-8,-2）。（2,+8）

-——y2=1——<m<Q

20.(1)3；(2)4或心>4

2A/3

【分析】（1）根据离心率为亍，6=1结合性质/=/+/,列出关于。。的方程组，求

y=kx+m,

"X22

出。的值，即可得结果；（2）由〔3'一1,消去了得：（1-36-6而x-3/一3=0,

由/尸1MV,可得弘2=4优+1,由判别式大于零可得力+1>3公，综合两式即可得结果.

c

V厂亍，

【详解】（1）依题意［02+12='2,解得./=3

X22.

---y=1

所以双曲线C的方程为.3-

y=kx+m,

⑵由匕一"=1,消去了得：（1-3左2/-6府-343=0

由已知：1-3公wo,且△=12（m2+l-3A）>0nm2+i>3左2①

设：(尤2，%),的中点尸&，％),

x+x93km.m

则021—3〃，为01-3P,因为及W,

m

_1_3左2._m+\-3k2_1

AP===

3kmQ3km"I

所以1-3公，

整理得：3左2=4加+l②

联立①②得：m2-4m>0,所以加<°或加>4,又3左？=4机+1>0,

m>——<m<0

所以4,因此4或%>4.

本题主要考查双曲线的标准方程以及直线与双曲线的位置关系，属于难题.求双曲线标准方程

的方法一般为待定系数法，根据条件确定关于a，°，c的方程组，解出。，仇，从而写出双曲线的标

准方程.解决直线与双曲线的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与双曲线方程

联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.

21.(1)取值范围是(-00,-3)U(-3,0)U(0,1)

(2)证明过程见解析

【详解】分析：(1)先确定p,再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线/

的斜率的取值范围，最后根据尸尸8与y轴相交，舍去k=3,(2)先设/(打，力)，

2k-4_J_

B(X2,/)，与抛物线联立，根据韦达定理可得再+“—一由，.再由由=几前，

得'=1-"，〃=.利用直线尸尸3的方程分别得点N的纵坐标，代入

11

—+—

化简彳〃可得结论.

详解：解：(I)因为抛物线产=2px经过点尸(1,2),

所以4=2/解得p=2,所以抛物线的方程为f=4x.

由题意可知直线/的斜率存在且不为0,

设直线/的方程为严丘+1(存0).

(y2=4x

由［歹=Ax+1得k2x1+(2左—4)x+1=0

依题意A=。"4)2-4xrxl>0,解得k<()或0<k<1

又PA,尸2与y轴相交，故直线/不过点(1,-2).从而快3.

所以直线/斜率的取值范围是(-00,-3)U(-3,0)U(0,1).

(II)设/(引，力)，B(%2，»2).

2k—41

由⑴知―一丁，*卞.

1=修(1)

直线尸/的方程为西-1

=一凹+2+2=_何+1+2

令x=0,得点M的纵坐标为X］一］X］—1

%=■+2

同理得点N的纵坐标为迎-1.

由丽=彳声，丽=〃函得2=1-%，〃=1一%.

所

22k-4

1,1_11_X]-lX2-l_12平2-（X]+无2）_1左2+左2_

--1---------1---------------1-----------------------------------------------------乙

2〃1一加