北京西城2024届高考全国统考预测卷数学试卷含解析

北京西城八中少年班2024届高考全国统考预测密卷数学试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若函数/(x)=sin2x的图象向右平移£个单位长度得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间［0,«］上单调递增,

则a的最大值为().

71冗5兀7万

A.—B.-C.—D.—

231212

V

2.已知正四面体的内切球体积为v,外接球的体积为V,则一=()

V

A.4B.8C.9D.27

3.已知命题P：任意都有log2x22；命题q：a>b,则有标>〃.则下列命题为真命题的是()

A.P^qB.pA(->(/)C.(「p)A(->4)D.q

4.下列函数中，既是奇函数，又是R上的单调函数的是()

A./(x)=ln(|x|+l)B./(%)=/

2X,(x<0)

x2+2x,(x>0)

C.〃%)=<0,(x=0)

-x2+2x,(x<0)

dm，(x〉

3

5.已知。，b,c分别为AABC内角A,B,。的对边，a=l,4csinA=3cosC,AABC的面积为一，则c=(

2

A.272B.4C.5D.3拒

6.如图，在平面四边形ABC。中，AB±BC,AD±CD,ZBAD^120,AB=AD=1,

若点E为边CD上的动点，则的最小值为()

B

A

7.〃是抛物线V=4x上一点，N是圆（x—iy+（y-2）2=l关于直线x—丁一1=。的对称圆上的一点，贝!最

小值是（）

A.半-1B.73-1C.272-1D.|

8.集合A={—2,-1,1},3={4,6,8},M={x\x=a+b,bB,x^B}，则集合M的真子集的个数是

A.1个B.3个C.4个D.7个

9.执行如图的程序框图，若输出的结果y=2,则输入的x值为（）

A.3B.-2

C.3或一3D.3或-2

10.若不等式aln（x+l）-3+2/〉0在区间（0,+co）内的解集中有且仅有三个整数，则实数。的取值范围是（）

932932)

21n2'芾21n2'ln5j

9329

D.,+oo

21n2'ln521n2

11.设/(%)函数/(%)(无>0)的导函数，且满足广⑴〉宜3,若在AABC中，NA=+，则()

A./(sinA)sin2B</(sinB)sin2AB./(sinC)sin2B</(sinB)sin2C

C.f(cosA)sin2B>/(sinB)cos2AD.f(cosC)sin2B>/(sinB)cos2C

12.已知直三棱柱中ABC—aAG，ZABC=120°,AB=2,BC=CC.=19则异面直线A及与5G所成的角的

正弦值为().

AV3RVw「岳nV6

2553

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.下表是关于青年观众的性别与是否喜欢综艺“奔跑吧，兄弟”的调查数据，人数如下表所示：

不喜欢喜欢

男性青年观众4010

女性青年观众3080

现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取“个人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取

了8人，则”的值为.

14.若函数/(%)=沙-24一心+4在区间(-2,y)上有且仅有一个零点，则实数。的取值范围有.

15.在(x+^)6的展开式中，常数项为.(用数字作答)

X

_71]71

16.若sin(6r+—)=一一e(0,7i),贝！]cos(---a)=___________.

6312

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=%+a(l—e"),aeR.

(1)讨论了(九)的单调性；

(2)当aNl时，证明：/(x)-«lna+a<l.

18.(12分)为迎接2022年冬奥会,北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记

X表示学生的考核成绩，并规定X285为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了

30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：

06

6013345

712367778

RI12459

900123*

(I)从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；

(II)从图中考核成绩满足Xe［80,89］的学生中任取2人，求至少有一人考核优秀的概率；

(IU)记P(a<x<b)表示学生的考核成绩在区间［a,可的概率，根据以往培训数据，规定当。――<1»0.5时

培训有效.请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由.

19.(12分)选修4-4：坐标系与参数方程

x=2cos0

已知曲线G的参数方程是「.〃(。为参数)，以坐标原点为极点，工轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线a

的极坐标方程是O=2sin，.

(1)写出G的极坐标方程和C的直角坐标方程；

(2)已知点M］、AG的极坐标分别为和(2,0),直线与曲线02相交于P，。两点，射线。尸与曲线

G相交于点A,射线。。与曲线G相交于点3,求示二+3上的值.

20.(12分)随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试，要顺利

地拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试

的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新

报名)，其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.

某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计，得到下表：

考试情况男学员女学员

第1次考科目二人数1200800

第1次通过科目二人数960600

第1次未通过科目二人数240200

若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且

每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫

妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止.

(1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；

(2)若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为

X元，求X的分布列与数学期望.

21.(12分)已知直线/的参数方程：\,°(才为参数)和圆C的极坐标方程：夕=2sin，

〔y=l+2/

(1)将直线I的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)已知点直线/与圆C相交于A、B两点,求|他4|+|又8|的值.

22.(10分)已知函数=耳+m工+21nx,meR.

(1)讨论函数/(九)的单调性；

(2)已知/(九)在X=1处的切线与y轴垂直，若方程"尤)=，有三个实数解为、%、(石<%<%3)，求证：

再+2>%3・

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

由题意利用函数丁=45旭(。X+0)的图象变换规律，正弦函数的单调性，求出。的最大值.

【详解】

解：把函数/(%)=sin2x的图象向右平移营个单位长度得到函数g(x)=sin(2x-£)的图象，

63

若函数g(%)在区间［0,〃］上单调递增，

在区间［0,上，2%----G\~~~92a-----］,

333

则当a最大时，2。-工=生，求得“=舁，

3212

故选：C.

【点睛】

本题主要考查函数y=Asin（s+e）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题.

2、D

【解析】

设正四面体的棱长为1,取的中点为。，连接AO,作正四面体的高为PW,首先求出正四面体的体积，再利用

等体法求出内切球的半径，在RtMMN中,根据勾股定理求出外接球的半径，利用球的体积公式即可求解.

【详解】

设正四面体的棱长为1,取的中点为。，连接A。，

作正四面体的高为

PM=y/PA^-AM2=—,

3

__1gV6_V2

c34312

设内切球的半径为厂，内切球的球心为。,

则VP-ABC=4VO-ABC=4X；X¥r，

解得：r=显;

12

设外接球的半径为R,外接球的球心为N，

则或忸_。闾，AN=R,

在处AAAW中，由勾股定理得：

AM~+MN~=AN2>

+-7?^=R2,解得R="，

33

IJ4

:.-=3,

r

VR3

—=27

vr

故选：D

【点睛】

本题主要考查了多面体的内切球、外接球问题，考查了椎体的体积公式以及球的体积公式，需熟记几何体的体积公式,

属于基础题.

3、B

【解析】

先分别判断命题，a真假，再由复合命题的真假性，即可得出结论.

【详解】

0为真命题；命题q是假命题，比如当0>a〉Z?,

或a=LZ?=-2时，则4?>/不成立.

贝!)。人4,(可)A(—iq),(「p)vq均为假.

故选:B

【点睛】

本题考查复合命题的真假性，判断简单命题的真假是解题的关键，属于基础题.

4、C

【解析】

对选项逐个验证即得答案.

【详解】

对于A，/(—x)=lnQT+l)=ln(N+l)=/(x),.•./(%)是偶函数,故选项A错误

对于3,f(x)=x-l=-,定义域为{x|x#O},在R上不是单调函数，故选项3错误;

X

对于C,当x〉0时，一x<0,/(―尤)=_(—x)+2(_尤)=_12_2%=_(r+2x)=_/(尤)；

当x<0时，~x>0,;./(―x)=(―x)~+2(—x)=x?—2x=—(―X?+2x)=—/(无)；

又％=0时,/(-o)=-/(o)=o.

综上，对xeR,都有/(r)=—/(%),•・.〃尤)是奇函数.

又“0时，/(x)=V+2x=a+l)2—1是开口向上的抛物线，对称轴x=—1,.•./(力在［0,+8)上单调递增，

“X)是奇函数，.・•/(九)在R上是单调递增函数，故选项C正确；

对于D,/(%)在(—8,0)上单调递增，在(0,+。)上单调递增，但/(—l)=g>/(l)=-g,..•/(同在R上不是单

调函数，故选项。错误.

故选：C.

【点睛】

本题考查函数的基本性质，属于基础题.

5、D

【解析】

341.3

由正弦定理可知4csinA=4asinC=3cosC,从而可求出sinC=—,cosC二'.通过鼠女--ctbsmC=5可求出

5=5,结合余弦定理即可求出。的值.

【详解】

解：4csinA=3cosC,BP4csinA=3tzcosC

4sinAsinC=3sinAcosC,即4sinC=3cosC.

34

­,sin2C+cos2C=l，贝！JsinC=《,cosC=1.

1133

/.S=—absinC=—xlxZ?x—,解得〃=5.

A4Rr2252

.-ff-5418…小

故选:D.

【点睛】

本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系.本题的关键是通过

正弦定理结合已知条件，得到角C的正弦值余弦值.

6、A

【解析】

分析：由题意可得"BD为等腰三角形，5cD为等边三角形，把数量积分拆，设。E=rDC(O<r<l),

数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。

详解：连接BD,取AD中点为O,可知人45。为等腰三角形，而ABLBCAOLCD,所以一BCD为等边三角形,

BD=V3o设。E=/£>C(0<t<l)

-------232

AEBE=(AD+DE)(BD+DE)=ADBD+DE(AD+BD)+DE=-+BDDE+DE

=3Z2--Z+-(O<?<1)

22

121

所以当f=一时，上式取最小值一，选A.

416

点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用

向量共线转化为函数求最值。

7、C

【解析】

求出点(1,2)关于直线x-y-1=0的对称点C的坐标，进而可得出圆(％-行+(y-2『=1关于直线x-y-1=0的

对称圆C的方程，利用二次函数的基本性质求出的最小值，由此可得出iMN/n=|AfC|mn-1,即可得解.

【详解】

如下图所示：

设点(1,2)关于直线x-y-l=0的对称点为点C(a,b),

。+1b+21八

22a-b-3=0a=3/、

则,整理得,cc，解得,c，即点。（3,0）,

b-2.a+b—3=0b=0

、a—I

所以，圆（x—l）?+（y—2）2=1关于直线x—y—1=。的对称圆C的方程为（x-3y+y2=i,

设点则|MC|=J『3]+y2=照—）+9=出广4）2+8,

当'=±2时，MC取最小值20,因此，|ACV[n=|MCL—「2后-上

故选：C.

【点睛】

本题考查抛物线上一点到圆上一点最值的计算，同时也考查了两圆关于直线对称性的应用，考查计算能力，属于中等

题.

8、B

【解析】

由题意，结合集合A,3,求得集合得到集合M中元素的个数，即可求解，得到答案.

【详解】

由题意，集合A={—2,—1,1}乃={4,6,8},xeA,

则"={x|x=a+b,xeA,/?eB,xeB}=14,6},

所以集合M的真子集的个数为22-1=3个，故选B.

【点睛】

本题主要考查了集合的运算和集合中真子集的个数个数的求解，其中作出集合的运算，得到集合再由真子集个数

的公式2〃-1作出计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

9、D

【解析】

根据逆运算，倒推回求“的值，根据x的范围取舍即可得选项.

【详解】

।

因为y=2,所以当（%+1）5=2,解得％=3>0,所以3是输入的X的值；

当=2时，解得％=-2<0,所以—2是输入的x的值，

所以输入的x的值为-2或3,

故选：D.

【点睛】

本题考查了程序框图的简单应用，通过结果反求输入的值，属于基础题.

10、C

【解析】

由题可知，设函数/(x)=aln(x+l),g(x)=%3—2d,根据导数求出g(x)的极值点，得出单调性，根据

aln(x+1)-X3+2X2>0在区间(0,+s)内的解集中有且仅有三个整数，转化为/(%)>g(x)在区间(0,+oo)内的解集

中有且仅有三个整数，结合图象，可求出实数。的取值范围.

【详解】

设函数/(x)=aln(x+l),g(x)^x3-2x2

因为g'(x)=3%2-4x,

所以g'(x)=0,

-4

...尤=0或%=一,

3

4

因为0<%<一时，g"(x)<0,

3

其图象如下:

”3)>g⑶

当。>0时，/(%)>g(x)在(0,+8)内的解集中仅有三个整数，只需

7(4)„g(4)

tzln4>33-2x32

"aln5„43-2x42j

932

所以----<%---.

2In2In5

故选：C.

【点睛】

本题考查不等式的解法和应用问题，还涉及利用导数求函数单调性和函数图象，同时考查数形结合思想和解题能力.

11、D

【解析】

根据尸(x)〉如的结构形式，设8(力=/段，求导g，(x)=xf'(x)-2f\x

，则g'(x)>。，g(x)在

XXx3

(0,+。)上是增函数，再根据在AABC中，=y,得到0</3〈:，0<NC<；,利用余弦函数的单调性，得

到cosZC>sinZB,再利用g(x)的单调性求解.

【详解】

设g(x)=萼,

X

xf'(Jr)-2f\x

所以g''(x)=

X3

因为当x>0时，/⑺〉2/。),

X

所以g'(x)>0,g(x)在(0,+。)上是增函数，

311TC7T

在AABC中，因为NA=一,所以0</B<—,0<ZC<-,

444

jr\jrrr

—+NB,且0<ZB<—+ZB<—,

(4)42

所以sinZB<sin|—+ZB

即cosZC>sinZB，

所以EMO

cos2Csin“B

即/(cosC)sin2B>/(sinB)cos2C

故选：D

【点睛】

本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

12、C

【解析】

设M,N,P分别为A3,网和与G的中点，得出的夹角为MN和NP夹角或其补角，根据中位线定理,

结合余弦定理求出ACM2,M尸和NWP的余弦值再求其正弦值即可.

【详解】

根据题意画出图形:

A\

设M,N,尸分别为43,3片和用0的中点,

则的夹角为MN和NP夹角或其补角

可知=且，NP^-BC=—

212212

作3c中点。，则一PQW为直角三角形;

PQ=1,MQ=^AC

ABC中，由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2ABBCcosZABC=4+l-2x2xlx7

AC=^1，MQ=4

在△MQP中，MP=J"。+pC=半

故选：c

【点睛】

此题考查异面直线夹角，关键点通过平移将异面直线夹角转化为同一平面内的夹角，属于较易题目

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、32

【解析】

由已知可得抽取的比例，计算出所有被调查的人数，再乘以抽取的比例即为分层抽样的样本容量.

【详解】

Q1

由题可知，抽取的比例为一=—,被调查的总人数为40+10+30+80=160人，

405

则分层抽样的样本容量是gx160=32人.

故答案为：32

【点睛】

本题考查分层抽样中求样本容量，属于基础题.

14、〃=0或〃，

2

【解析】

M

函数/(x)=2k3一心+4的零点o方程2k母=4的根，求出方程的两根为王=-4。，x2=0,从而可得Ta=0

或TaW-2,即。=0或a2」.

2

【详解】

函数f(x)=2|x-2fl|-4|x+fl|在区间(-2,+w)的零点=方程2ka=心+司在区间(-2,y)的根，所以|x—2a|=2|x+a|,

解得：%=-4。,%=0，

因为函数/(x)=沙田一户4在区间(-2,y)上有且仅有一个零点，

所以Ta=0或TaW-2,即。=0或

2

【点睛】

本题考查函数的零点与方程根的关系，在求含绝对值方程时，要注意对绝对值内数的正负进行讨论.

15、20

【解析】

6

(X+-)的展开式的通项为Tr+1=C>6-2r,取r=3计算得到答案.

x

【详解】

(%+1)6的展开式的通项为：T=C"6fm=r6-2

r+1cx取/'=3得到常数项c：=20.

故答案为：20.

【点睛】

本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.

16、

6

【解析】

因为(0+^)+(2一夕)=9，所以患一［二?一(a+?)•因为ae(0,兀)，所以c+geC，?),Xsin(«+y)=-^<0,所

6124124666663

以。+工£(兀,三)，所以

o6

cos(a+6)=-J1-(―^)2=•cos(^|-a)=cos［：-(cr+7C7T7T7T

—)]=cos—cos(a+—)+sin—sin(a+—)

64646

_A/2(2以A/2,1_-4-A/2

—x()+X()—・

23236

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)见解析；(2)见解析

【解析】

(1)求导得/'(x)=1—ae',分类讨论“40和。>0,利用导数研究含参数的函数单调性；

(2)根据⑴中求得的/(%)的单调性，得出/(%)在x=-Ina处取得最大值为

/(—lna)=—lna+a[l—L]=a—lna—l,构造函数g(a)=a—lna_l_alna+a,利用导数，推出

g(a)Wg(l)=l,即可证明不等式.

【详解】

解：⑴由于〃x)=x+a(l-eX),得/'(x)=l-ae*,

当a40时，/(龙)>0,此时/(%)在R上递增；

当a>0时，由/''(x)=0,解得x=-lna,

若-Ina),贝！

若xe(-lna,+co),/'(x)<0,

此时/(%)在(—8,—Ina)递增，在(—Ina,+<»)上递减.

(2)由(1)知/(%)在x=—Ina处取得最大值为：

f(—Ina)=—lna+a[l]=ci—Ina—1,

设g(a)=a-lna—1—alna+a,贝!]g[a)=1一工一Ina,

令/z(a)=1一工一Ina,贝!=《一工<0,

aaa

则h(a)在[l,+oo)单调递减，h(a)</i(l)=0,

即g'(a)KO,则g(a)在[1,+8)单调递减

g(«)^g(l)=h

:.〃-lna)-alna+a<l,

:./(%)—alna+aWl.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，涉及分类讨论和构造新函数，通过导数证明不等式，考查转化思想和计

算能力.

73

is,(I)—(ID-(ni)见解析

305

【解析】

(I)根据茎叶图求出满足条件的概率即可；

(II)结合图表得到6人中有2个人考核为优，从而求出满足条件的概率即可;

V_Q<

(in)求出满足<1的成绩有16个，求出满足条件的概率即可.

【详解】

解：(I)设这名学生考核优秀为事件A,

由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀，

7

所以所求概率P(A)约为.

(II)设从图中考核成绩满足Xe［80,89］的学生中任取2人，

至少有一人考核成绩优秀为事件B,

因为表中成绩在［80,89］的6人中有2个人考核为优，

所以基本事件空间Q包含15个基本事件，事件3包含9个基本事件，

93

所以尸(3)=m

x-85

cm)根据表格中的数据，满足Z5一41的成绩有16个，

、

x-85”>。.5

所以P<1

10

73015

所以可以认为此次冰雪培训活动有效.

【点睛】

本题考查了茎叶图问题，考查概率求值以及转化思想，是一道常规题.

丫2115

19、(1)线G的普通方程为L+y2=i,曲线C,的直角坐标方程为x2+(y_l)2=l；(2)—p+—^=-.

4|OA||OD|4

【解析】

x=pcosO

试题分析：(1)(1)利用cos28+sin2®=l,即可曲线Ci的参数方程化为普通方程，进而利用八即可化为极坐

y=psinO

标方程，同理可得曲线C2的直角坐标方程;

(2)由此此过V+(y—1『=1的圆心，得OPLOQ得Q4LO5,设4(8，。)，B^p2,0+^,

1111

Iz-j4|2+||22+2代入P+p2sin20=1中即可得解.

\OA\\OB\0P24

试题解析:

(1)曲线C1的普通方程为亍+丁=1,化成极坐标方程为夕c；s0+夕2sin2°-1

曲线的直角坐标方程为尤2+(y—1)2=1

(2)在直角坐标系下，必(0,1),M(2,0),必”2：x+2y-2=0

恰好过d+(y—1)2=］的圆心,

2

.•./尸0。=90。由0?，0。得04，。5A,3是椭圆r匕+/点上的两点,

4-

百誓+p；sin2，=l中,

在极坐标下，设A(夕J。),0分别代入

有互誓+夕落/6=1和空］

2

+P>^+|=1

4

1cos2^H-sin2^,上7v

P；4P?

115115

则^+下=1，即----7-----T——

APi4|(9A|2\OB\24

9

20、(1)—；(2)见解析.

10

【解析】

事件4表示男学员在第i次考科目二通过，事件及表示女学员在第i次考科目二通过(其中，=1,2,3,4,5)(1)这对

夫妻是否通过科目二考试相互独立，利用独立事件乘法公式即可求得；(2)补考费用之和为X元可能取值为400,600,

800,1000,1200,根据题意可求相应的概率，进而可求X的数学期望.

【详解】

事件4表示男学员在第i次考科目二通过,

事件与表示女学员在第i次考科目二通过(其中，=1,2,3,4,5).

(1)事件〃表示这对夫妻考科目二都不需要交补考费.

P（M）=44+ABB+A44+44男员）

=P（A4）+P（4瓦§2）+*44）+尸（44耐

4341314314139

二——X——I--X—X——F—X—X——F—X—X—X—=—.

54544554554410

（2）X的可能取值为400,600,800,1000,1200.

433

P（X=400）=P（A3B3）=-X-=-

41314327

P（X=600）=尸（A瓦§4+44员）二-X—X——|——X—X—=-------,

544554100

141341111311

P（X=800）=p（A4瓦旦+A瓦瓦+44员）=—X—X—x——I——X—X—H—X—X—=-------,

5544544554100

141111137

p(x=woo)=网A4瓦瓦+A4瓦氏)二—X—X——X——F—x—X—X—=--------,

55445544400

P(X=1200)=P(A4瓦瓦卜？？卜卜二

则X的分布列为:

X40060080010001200

3271171

p

5100100400400

3271171

ttEX=400x-+600x—+800x—+1000x—+1200x—=510.5（元）.

5100100400400

【点睛】

本题以实际问题为素材，考查离散型随机变量的概率及期望，解题时要注意独立事件概率公式的灵活运用，属于基础

题.

21、（1）I：y=2x+l,c：x2+（y-l）2=l；（2）2逐

【解析】

(D消去参数/求得直线/的普通方程，将夕=2sin夕两边同乘以夕，化简求得圆C的直角坐标方程.

(2)求得直线/的标准参数方程，代入圆的直角坐标方程，化简后写出韦达定理，根据直线参数的几何意义，求得

|舷4|+|MB|的值.

【详解】

(1)消去参数乙得直线/的普通方程为y=2r+l,

将°=2sin6两边同乘以「得"=20sin6,x2+（y-l）2=1,

...圆C的直角坐标方程为X?+(y-1)2=1；

x=l+旦t

x=t5®,

(2)经检验点M(L3)在直线/上，<Ic可转化为r

[y=i+2t

5

22

将①式代入圆C的直角坐标方程为X?+(y-1)2=1得，+半f

%+21=1,

|+

化简得『+26+4=0,

设乙,，2是方程/+2，5/+4=0的两根，则4+/2=—2，^,乙彳2=4,

；帮2=4>0,二％与与同号，

由才的几何意义得|版4|+|知5|=可+卜2|=,+寸=2岔.

【点睛】

本小题主要考查参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用直线参数的几何意义求解距离问题,

属于中档题.

22、⑴①当机2-2后时，/(月在(0,+8)单调递增亳当机<一2应时，/(九)单调递增区间为

-m-y/m2—8-m+「信-8—m—yjm2-8—m+dm2-8

,+8，单调递减区间为

，222

\72

(2)证明见解析

【解析】

(1)先求解导函数，然后对参数样分类讨论，分析出每种情况下函数/(%)的单调性即可;

(2)根据条件先求解出加的值，然后构造函数0。)=/(；0-/(2-；0(0<%<2)分析出外,尤2之间的关系，再构造

函数%(%)=/(x)-/(4-x)(l<x<4)分析出x2,x3之间的关系，由此证明出%+2>%.

【详解】

2,2“2+卬+2=-42+根+2点

(1)/(%)=-x-l-mx+21nx,/(x)