2024届高三年级上册第一次联考（一模）数学试题附答案解析

2024届高三上学期第一次联考（一模）数学试题

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的）

1.已知集合4={%|汽=3九+1,nEN],B={4,5,6,7},则集合AnB的元素个数为（）

A.1B.2C.3D.4

2.若i（l+z）=l（i为虚数单位），贝i」z+2=（）

A.-2B.-1C.1D.2

3.命题“V%eR,/—2%+3>0”的否定为（）

A.3xER,%2—2%+3>0B.BxER,x2—2x+3<0

C.Vxe/?,x2—2%+3<0D.Vxe/?,x2—2x+3>0

4.若抛物线y2=2pv（p>0）上一点M（3,TH）到焦点的距离是5p,贝！Jp的值为（）

AR4「2r）3

A-4B-3C-3D-2

5.城步苗族自治县“六月六山歌节”是湖南省四大节庆品牌之一，至今已举办25届.假设在即将举办

的第26届“六月六山歌节”中，组委会要在原定排好的10个“本土歌舞”节目中增加2个“歌王对唱”节

目.若保持原来10个节目的相对顺序不变，则不同的排法种数为（）

A.110B.144C.132D.156

6.已知向量五=（t,2）,%=（2,—1）.若五与石的夹角的余弦值为一等，则实数t的值为（）

A.|B.C.|D.-|

7.在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.6,07和05且三人的测

试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有

达优秀等级的概率为（）

A15R7「5n17

A，29B，8C，8D，29

8.已知a=103,b=酒,C=8®6,贝b,b,c的大小关系为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9.已知平面直角坐标系中，M（-2,0）,N（2,0）,动点PQ,y）满足|PM|=V^|PN|,点P的轨迹为

曲线C,点P到直线/：K+y+6=0的距离的最小值为d,下列结论正确的有（）

A.曲线C的方程为（久一6/+y2=32B.d=2或

C.曲线C的方程为（久+6产+y2=32D.d=V2

10.下列命题中，说法正确的有（）

A.设随机变量X〜B（10,则D（X）=5

B.成对样本数据的线性相关程度越强，样本相关系数r越接近于1

C.决定系数相越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好

D.基于小概率值a的检验规则是：当/2》功时，我们就推断/不成立，即认为X和丫不独立，该

推断犯错误的概率不超过a；当％2<%时，我们没有充分证据推断Ho不成立，可以认为X和y独立

11.已知函数/■（£）与其导函数9（久）的定义域均为R,且/'CO-久与g（l-2久）均为偶函数，则下列说法

一定正确的有（）

A./（久）关于久=1对称B.华1关于点（0,1）对称

C.g（x+2）+gQ）=2D./（0）=1

12.如图所示，四边形ZBCD是长方形，AB=3,BC=4,半圆面4Poi平面4BCD.点P为半圆弧池

上一动点（点P不与点4O重合）.下列说法正确的有（）

A.三棱锥P-ABD的四个面都是直角三角形

B.三棱锥P-ABC体积的最大值为4

C.异面直线R4与BC的距离的取值范围为[4,5]

D.当直线PB与平面ABC。所成角最大时，平面24B截四棱锥尸-4BCD外接球的截面面积为学

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

n

13.已知数列的首项为1,anan+1=3（neN*）,则ag=.

828

14.已知（1+%）=cz0+arx+a2x+—Fa8x,贝U2ao+a2+a4+a6+a8=.

15.已知—遮coscp=2sina,3sin<pcos（p=sin2/3,则4cos22a—cos22p=.

16.已知椭圆和双曲线有相同的焦点2,F2,它们的离心率分别为ei，e2,点P为它们的一个交点,

且C0SN&PF2=—今当3年+或取最小值时，e涵值为.

四'解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.甲、乙、丙三名同学准备参加本校知识竞赛，规定比赛成绩达到90分以上(含90分)获优秀等

级.为预测他们的知识竞赛情况，收集了甲、乙、丙三人在学校的以往知识竞赛成绩，整理得到如下数

据(单位：分)：

甲：86,87,89,92,91,89,89,95,88,94.

乙：88,89,95,94,94,88.

丙：96,93,90,89.

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的知识竞赛成绩相互独立.

(1)估计甲在本次知识竞赛中未获优秀等级的概率；

(2)设X表示甲、乙、丙三人在本次知识竞赛中获得优秀等级的总人数，估计X的数学期望EX.

18.在AABC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,向量方=(c+b,y[2a—b),向量元=(c一

b,V2a+b),且记1元

(1)求证：tanB—3tanA；

(2)延长BC至点D,使得=|OB|.当乙D4C最大时，求tcm。的值.

19.如图所示，圆台的上、下底面圆半径分别为4cm和6c血，为圆台的两条不同的母线.

(1)求证：A1B1||AB-,

(2)截面与下底面所成的夹角大小为60。，且截面截得圆台上底面圆的劣弧A建1的长度

为舞，求截面488遇1的面积.

aa=

20.已知递增的等差数列｛。"(几eN*)满足：a2+4+621>ai，a2,成等比数列.

(1)求数列｛an｝的通项公式；

C

(2)记S几为数列的前几项和，刈=#,求数列｛b九｝的前几项和丁力

21.已知椭圆C：及+£=l(a>b>0)的短轴长为2g,左顶点到左焦点的距离为L

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)如图所示，点力是椭圆C的右顶点，过点(6,0)的直线Z与椭圆C交于不同的两点E,F,且都

在x轴的上方，点P的坐标为(|,0).证明：4APE=4OPF.

22.已知函数/(%)=3lnx+ax2—4%+b(Q>0,bER).

(1)讨论函数/(乃的单调性；

(2)当。=机寸，方程〃%)=0有三个不相等的实数根，分别记为/(i=l,2,3).

①求b的取值范围；

②证明出一巧|<4(i=1,2,3；j=1,2,3).

答案解析

L【答案】B

【解析】【解答】解：因为集合A={%|%=3n+1,n6N},B—{4,5,6,7)>

当n=l时，x=4,当n=2时，x=7,所以4CA,7EA,所以4cB={4,7},

则集合4nB的元素个数为2.

故答案为：B.

【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系和交集的运算法则，进而得出集合力CB的元素个数.

2.【答案】A

【解析】【解答】解：因为i(l+z)=l,所以，z=:-1=}—1=—1—i,则2=—1+i,

贝ijz+z=-l-i+(-1+i)=-2.

故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合复数的混合运算法则得出复数z,再结合复数与共枢复数的关系，进而得

出复数z共辗复数，再利用复数加法运算法则得出复数z+z.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：命题“Vx£R,x2—2x+3>0”的否定为FxGR,x2—2x+3<0”.

故答案为：B.

【分析】利用已知条件结合全称命题与特称命题互为否定的关系，进而得出命题的否定.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：因为抛物线y2=2px(p>0)上一点M(3,血)到焦点的距离是5p,

由抛物线的定义可得3+1=5p,贝切的值为生

故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合抛物线的定义，进而得出p的值.

5.【答案】C

【解析】【解答】解：添加节目后，共有12个节目，因为保持原来10个节目的相对顺序不变，

则只需排好2个“歌王对唱”节目即可，所以，不同的排法种数为4%=12x11=132种.

故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合排列数公式和插空法，进而得出不同的排法种数.

6.【答案】D

【解析】【解答】解：已知向量五=(t,2),3=(2,-1),因为有与万的夹角的余弦值为一等,

T7

八a,b2t—22t—22v5

设反与b的夹角为仇所以，cos0==r———=7=--1，

2zz7

|a|xpJt+4xA/2+(-l)15tz+20

所以t=—I，则实数t的值为—|.

故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合数量积求向量夹角公式，进而得出满足要求的实数t的值.

7.【答案】A

【解析】【解答】解：设甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件A,B,C,三人中恰有两人没达优

秀等级为事件D,

因为P(A)=0.6,P(B)=0.7,P(C)=0.5,则P(D)=P(4BC)+P(XBC)+P(XBC)

=(1-0.6)X(1-0.7)X0.5+0.6X(1-0.7)X(1-0.5)+(1-0.6)X0,7X(1-0.5)

=0.4x0,3x0.5+0.6x0.3x0.5+0.4x0.7x0,5

=0.06+0.09+0.14=0.29,

P(BD)=P(ABC)+P(ABC)=(1-0.6)X(1-0.7)X0.5+0.6X(1-0.7)X(1-0.5)

=0.4x0.3x0.5+0.6x0,3x0,5=0.06+0.09=0.15,

所以测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概

P(BD)=0J5=15

■7(0)-=029=29-

故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合对立事件、互斥事件求概率公式得出P(D),P(BC)的值，再结合条件概型

求概率公式得出测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优

秀等级的概率.

8.【答案】D

【解析】【解答】解：已知Q=10⑨3b=95,C=8g

两边取对数得：Iga=lg4•IglO,Igb=lg5-lg9,Ige=lg6•lg8.

令/(%)=Igx-仞(14—%),<%<69,

川”7讨-lg(14—x)_1g%__J_「(14-%)仞(I"%)-"-/

川/(町—xlnlO—(14-%)lnlO-ZnlOLx-(14-x)」'

令。(%)=x•Igx,则g'(%)=x-Qgx)+x•(Igx)=Igx+历为>0,xG(1,+oo),

可知g(%)在(1,+8)上单调递增，

因为4〈％<6,贝的<14一%410,可知14—%>%恒成立，

则g(14>g(%),即g(14-％)-g(%)>0,可得/'(%)>0，

则/(%)=lgX-3(14一%)在［4,6］上单调递增，可得/(4)<f(5)<f⑹,

可得七4-IglO<lg5-lg9<lg6-IgB,即Zga<Igb<Ige,

又因为y=在(0,+8)上单调递增，所以a<b<c.

故答案为：D.

【分析】根据题意可得Zga=lg4-IglO,Igb=IgS•lg9,Ige=lg6•仞8,构建函数/(%)=Igx-

/^(14-%),对/(%)求导，再构造函数g(%)=%•切%,利用导数分析可知/(%)在［4,6］上单调递增，

进而结合对数函数单调性分析判断.

9.【答案】A,B

【解析】【解答】解：由已知可得，|PM|=J(X+2)2+y2,|PN|=J(x—2)2+y2,

因为|PM|=V2|P7V|,所以J(%+2)2+y2=72-J(%—2)2+y2,

平方整理可得，/-12%+丫2+4=0,化为标准方程可得(久一6)2+)/2=32,圆心为(6,0),半径

为r=4V2，所以A对，C错；

/\|6+0+6|12公历

圆心(6,0)到直线1：x+y+6=0的距离为庐/=质=6"2,

所以，圆上的点到直线1：x+y+6=0的最小距离为d=6或—「=2或，所以B对，D错.

故答案为：AB.

【分析】利用已知条件结合两点距离公式得出曲线C的方程，从而判断出选项A和选项C；再利用点

到直线的距离公式和几何法，进而得出圆上的点到直线1：x+y+6=0的最小距离，从而判断出选项B

和选项D,进而找出正确的选项.

10.【答案】C,D

【解析】【解答】解：对于A,因为随机变量X〜B(10,贝⑦(X)=lox*。一分=|,所以

A错；

对于B,因为相关系数r的绝对值越接近1,则成对样本数据的线性相关程度越强，所以B错；

对于C,因为决定系数为八2=1晅1UP,其中残差平方和为(y.-yV,

%佻对21

所以，决定系数M越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，所以C对；

对于D,由独立性检验的思想可知，基于小概率值a的检验规则是：当％时，我们就推断“。不

成立，即认为X和丫不独立，该推断犯错误的概率不超过a；

当22V久°时，我们没有充分证据推断为不成立，可以认为X和丫独立，所以D对.

故答案为：CD.

【分析】利用已知条件结合二项分布求方差公式、相关系数与样本数据线性相关的程度之间的关

系、决定系数与残差平方和以及模型拟合效果的关系、独立性检验的思想，进而找出正确的命题.

□.【答案】B,C

【解析】【解答】解：对于A,因为g(l-2x)为偶函数，则g(l-2x)=g(l+2x),所以,函数g(x)关于x=l

对称，

若/(久)关于％=1对称，则导函数g(x)关于点(1,0)对称，这与g(x)关于x=l对称矛盾，所以A

错；

对于B,因为/(%)-x为偶函数，所以/'(久)一x=/(-％)+%,即f(%)-/(一久)=2%,

所以，假—止N=©+岂二或=2,所以B对；

XXX-X

对于C,因为f(%)-尤为偶函数，所以『0)-％'=9(%)-1为奇函数，

所以函数或久)-1关于(0,0)对称，函数g(x)关于(0,1)对称，

所以函数g(-x)+g(x)=2,又因为g(x)关于x=l对称，所以g(l+(x+l))=g(l-(x+l)),

所以，g(x+2)=g(l+(%+1))=g(l-(%+1))=g(—x)=2-gQ),

所以，g(x+2)+g(x)=2,所以C对；

对于D,由选项A可知，函数g(x)关于点(0,1)对称，g(。尸1,但是f(0)=l无法确定，所以D错.

故答案为：BC.

【分析】利用已知条件结合奇函数的性质和偶函数的性质以及函数的对称性，进而找出正确的选项.

12.【答案】A,B,D

【解析】【解答】解：对于A,因为AD是圆上的直径，所以"ZD为直角三角形，AP2+PD2=

AD2,

由已知四边形ABCD是长方形，所以AB40为直角三角形，且4B14D,则AB?+=吕。？，

因为半圆面APD1平面ABC。，半圆面ZPDC平面4BCD=AD,ABu平面ABCD,

所以，4B1平面APD,又因为4P,0Pu平面APD,所以ZB1ZP,AB1DP,

所以，三角形ABAP为直角三角形，PB2=AB2+AP2,

则PB2+P£)2=/B2+zp2+P£)2=4^2+4。2=B£>2,所以，三角形ABP。为直角三角形，

所以，三棱锥P-ABD的四个面都是直角三角形，所以A对；

对于B,由选项A可知，ZB1平面APD,设A4PD底边AD边上的高为h,

则Up_4BD=/XABxgx4。x%=看xxx人,显然，当h最大时，体积最大，

当点P为半圆弧和上的中点时，h最大值为■|AD,所以，三棱锥P-ABD体积最大值为：

(Vp-ABD)max=石XABXADX《AD-X3x4x4=4,所以B对；

对于C,由选项A可知AB1AP,又因为BCLAB,所以，线段AB为异面直线AP与BC的公垂线

段，

所以，异面直线AP与BC的距离为|4B|=3,所以C错；

对于D,过点P作PF14。于点F,

因为半圆面APD_L平面力BCD,半圆面APDCl平面ABCC=AD,PFu平面ABCD,

所以，PF1平面ABCD,所以，NPBF为直线PB与平面ABCD所成的角，

设AF=x,则DF=4-x,PF=Jx(4—K),PD=2V易知BD=5,PB2=BD2-PD2=9+4%,

所以，sinZ.PBF=^2=^+4^*设〃X)=^7(0<X<4),

,,、一4避—18x+36-2(x+6)(2x—3)

则/(无)=--------L

(9+4%)2，—=———(9+4\x~)z

当久e(o,|)时，f(%)>0,f(x)单调递增；当久e(|,4)时，r(x)<0,f(x)单调递减；

所以，函数f(x)的最大值为f⑺.=f(1)=sin/PBF的最大值为3，

此时，乙PBF最大,PB=^9+4X|=715^易知PB为RtAPAB的斜边，

又因为平面PAB截四棱锥P-ABCD的外接球的截面为APAB的外接圆，

所以，截面圆的直径为PB,则当直线PB与平面ZBCD所成角最大时，

平面24B截四棱锥P-4BCD外接球的截面面积为s=兀x(乎)=亨，所以D对。

故答案为：ABD.

【分析】根据已知条件可知APAD,ABAD为直角三角形，根据面面垂直以及线面垂直的性质定理可推

得A84P为直角三角形，根据边长关系推得PB2+P/)2=8。2,即可得三角形ABP。为直角三角形，

进而判断出选项A；设△力PD底边AD边上的高为h,由已知可推得

VP_ABD=^xABxADx儿根据已知得出h的最大值，即可求出体积的最大值，进而判断出选项B；

根据已知得出异面直线PA和BC的公垂线段，即可得出异面直线PZ与BC的距离，进而判断出选项

C；过点P作PF1AD于点F,根据面面垂直的性质推得ZPBF为直线PB与平面ABCD所成的角，

设AF=x,根据已知条件结合三角形的性质得出相关线段的长度，表示出sin2"BF=中设

“乃=^^(。＜久＜4),求导根据导函数得出函数的最大值为:进而得出P8=屁，易知平面

PAB截四棱锥P-ABCD的外接球的截面为以PB为直径的的外接圆，根据圆的面积公式得出当

直线PB与平面4BCD所成角最大时，平面PAB截四棱锥P-ABCD外接球的截面面积，从而判断出选

项D,进而找出说法正确的选项。

13.【答案】81

1

nn+1Q

【解析】【解答】解：因为数列满足斯Q九+i=3(nGN*),所以册+i册+2=3(neN＞a2=—=

3,

则四+1。71+2=治±Z='=3(neN*)，即犷=3(71CN*),

nv7a

anan+1an3n

所以数列｛&J中，各个奇数项国,。3，。5…构成首项为1，公比为3的等比数列，

同理，各个偶数项。2，。4，。6…也构成首项为3,公比为3的等比数列，即即=a23Al=3%所以

4

cz8=3=81.

故答案为：81.

【分析】由数列满足与斯+1=3noieN*)可得誓=3(neN*),从而判断数列｛%J中各个偶数项

。2，。4，。6…构成首项为3,公比为3的等比数列，即可求得他的值.

14.【答案】129

【解析】【解答】解：由(1+X)8=+alx+a2x2----H。8%8，

令X=1,可得劭+Q]+做+…+=2®，即

(ao+a2+a4+a6+as)+(ai+as+as+a7)=28,

令x=-l,可得劭一的+@2—的---1-a8=0,即

(ao+a?+34+a6+as)-(ai+as+as+a7)=0,

联立方程组，求得ao+a2+a4+a6+a8=27=128,

再令x=0,可得ao=l,所以2ao+a?+a4+a6+as=1+128=129.

故答案为：129.

【分析】分别令x=l和x=-l,联立方程组求得ao+a2+a4+a6+a8=2，=128,再令x=0,求得ao=l,

即可求得2ao+a?+a4+a6+as的值.

15.【答案】0

【解析】【解答】解：已知V5s讥0—J5cosR=2sina,,

所以,时isirup—geos?)=4sin2a,

Ssin^cp—6sin(pcos(p+3cos2(p=^sir^a,

则3—3sin2(p=4sin2a,

因为3sin(pcos(p=sir^p,

所以，刍sin2(p=sir^B，

则4cos22a—COS22{3=(2cos2a+cos2s)(2cos2a—cos2/7)

=(2—4sin2a+1—2sin2jS)(2—4sin2a—1+2sin2/?)

=(3—3+3sin2?—3sin2(p)(l—3+3sin2(p+2sin2p)

=0x(—2+3sin20+2sin2g)=0.

故答案为：0.

【分析】利用已知条件结合完全平方公式和平方关系以及二倍角的正弦公式，再结合平方差公式和

代入法，进而得出4cos22a—cos22s的值.

16.【答案】殳场

O

【解析】【解答】解：如图所示:

设椭圆的标准方程为5+与=1（。1＞瓦＞0）,双曲线标准方程为3一4=1（。2＞0,比＞0）,

aa

l力2b2

不妨设点p为第一象限的交点，由题意可知：儒仁制二翼

ai+22

则也却Z'2,由余弦定理可得：4c=IPF/2+|PF2|-2叫|•|PF2|­coszF1PF2,

2I=ai—a2

rQ53

所以，4c2=2ai+2J所以，=2e^+2efJ

所以,3e-3督+簧）xl岩俱+金）6+多）岩（9+||+|1）

19+3V5

9+2

-44

当且仅当点=高时取等号‘所以卜"/=罕’

所以，当3e/+e会取最小值时,

资的值为年应

O

故答案为：5W5.

O

【分析】设出椭圆和双曲线方程，再结合椭圆和双曲线的定义和余弦定理以及椭圆、双曲线的离心

53

率公式，进而得出4=迢+迢，再结合均值不等式变形求最值的方法，进而得出当3e1+多取最小

值时，力的值.

17.【答案】（1）解：甲在以往参加的10次知识竞赛中有4次成绩获得优秀等级.

记事件4为“甲在本次知识竞赛中获得优秀等级”,

r,4

则P（A）=10=

所以甲在本次知识竞赛中未获优秀等级的概率为1-P（A）=

（2）解：X的所有可能取值为0,1,2,3.

记事件B为“乙在本次知识竞赛中获得优胜等级”,

事件C为“丙在本次知识竞赛中获得优胜等级”,

则P（B）=3=3,P（C）=,由（1）知p（x）=|.

则p（x=0）=P（@）P（=P（G

213

=0一5）x（i一引x（i-印

三

=40

p（x=1）=p（a）p（月）p（C）+P（3）P（B）P（C）+P（3）P（2）P（C）

211311313

=5X2X4+5X2X4+5X2X4

14

=而

P（X=2）=P（4）P（B）P（—+P（X）P（B）P（C）+P（M）P（B）P（C）

211213313

=5X2X4+5X2X4+5X2X4

17

=40,

p（X=3）=P（A）P（B）P（C）

2136

=5X2X4=4O-

••.EX=°X余+1X泵+2X奈+3X*1|

【解析】【分析】（1）利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而估计出甲在本次知识竞赛中未获

优秀等级的概率。

（2）利用已知条件得出随机变量X的取值，再结合古典概型求概率公式得出事件B,C的概率，再

由事件A的概率和对立事件、独立事件、互斥事件求概率公式，进而得出随机变量X的分布列，再

利用随机变量的分布列求数学期望公式，进而得出随机变量X的数学期望。

18.【答案】(1)证明：・.・万_1元，m-n=0.

・•.(c+b)(c—b)+(V2a—b)(y/2a+b)=0.即U=2b2—2a2-

•・•b2=a2+c2—2accosB.

c2+2a2=2b2=2a2+2c2—4accosB.

即^=4acosB.

再由正弦定理得：sinC=4sinAcosB(显然3为锐角)，

结合s讥C=sin(A+B),

得：sinAcosB+cosAsinB=4sinAcosB.

即cos力sinB=3sinAcosB(显然4为锐角).

所以比uiB=3tanA

__IT

(2)解：如图|ri：设乙84。=a(0<a<2)，则［。九3=3tana(<tana>0).

因为力。=BD,所以3=匕BAD=a+乙CAD,

••・Z-CAD=B—a.

tanB-tana

iktanZ-CAD—tan{B—a)=

1+tanBtana

----2-t-a--n--a----------------2-------------2-----7--3-

1+3tan2a12A/33

当且仅当，而=3tcma,即tana=孚，a=］时取等号.

L.IA.ILCLJQ

此时tanB=V3,B=故△ABD为等边三角形，即tanO=V3

【解析】【分析】(1)利用已知条件结合数量积为0两向量垂直的等价关系，再利用数量积的坐标表

示，进而得出c2=2庐-2a2,再结合余弦定理得出c=4acosB,再利用正弦定理和三角形中内角和

为180。的性质以及两角和的正弦公式，进而由同角三角函数基本关系式，进而证出ta/iB=3t<mA；

■JT_

(2)设z_BAC=a(0<a<2),则ta/iB=3tana(tana>0),再利用角之间的关系式和两角差的正

切公式，进而由基本不等式求最值的方法，进而得出ND4c的正切的最大值，从而得出此时角B的正

切值，进而得出角B的值，从而结合等边三角形的定义判断出三角形△4BD为等边三角形，从而得

出角D的正切值.

19•【答案】(1)证明：•.•圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到，所以圆台的母

线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分.

••・母线与母线BBi的延长线必交于一点，

A,B,四点共面.

•••圆面。1II圆面。，且平面4BB遇1C圆面。1=4当，平面4幽&n圆面。=AB.

■.A1B1||AB.

(2)解：解法一「•劣弧生拓的长度为等，24。隹1=,兀，由sAZOB,得乙40B=

|心如图，建立空间直角坐标系。—久yz,设|O。/=t(t>0),

则4(6,0,0),8(-3,3遮，0),&(4,0,t),

则砧=(一2,0,t),AB=(-9,3V3,0),设平面ABB遇i的一个法

向量为元1=(K，y,z),则有:

—2x+tz=0,人y

则y=V3,z=',•••元1=(1，V3,1).

「令％=L

—9%+3V3y=0.

底面的一个法向量元2=(0，0,t),

因为截面与下底面所成的夹角大小为60。，

cos60°=IcosTi-ifTinI=—.=nt=y/3

所以，

即|。。1|=V3.

BB[=yjl-

•••在等腰梯形力中，&Bi=4A/3,AB=6k,

•・•等腰梯形/BBMi的高九=2,

S2

-'-mBB1A1=1(4V3+6V3)-2=10V3cm.

解法二：如图，分别取ZB,A/的中点为C,Q，连结0停1，CCi，0C,易知。C14B,CQ1

AB,二NOCQ为截面488遇1与底面所成夹角，则NOCQ=60。.

过点Cl作CW10c于点D.

由。©=2,0C=3,得CD=1,

|CQ|=2（即梯形的高）.

■■■S梯形ABB、A1=IG取+6V3）-2=10V3cm2.

【解析】【分析】（1）利用圆台可以看做是由平行于圆锥底面的平面去截圆锥而得到，所以圆台的母

线也就是生成这个圆台的圆锥相应母线的一部分，所以母线A4i与母线BBi的延长线必交于一点，所

以

A,&,B,Bi四点共面，再利用面面平行的性质定理，从而证出线性平行，进而证出&B1IIAB。

（2）利用两种方法解题。解法一：利用已知条件结合两三角形相似的性质，进而得出乙40B的值，

再建立空间直角坐标系，设I。。/=t（t>0）,从而得出点的坐标和向量的坐标，再结合数量积为0

两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示，进而得出平面ABB遇1的一个法向量和底面的一个法向

量，再结合截面与下底面所成的夹角大小为60。和数量积求夹角公式得出t的值，从而得出。01的

长，进而得出BBi的长，再结合等腰梯形的结构特征和等腰梯形的面积公式得出截面488遇1的面

积；解法二：分别取48,的中点为C,Q，连结01的，0C,从而得出线线垂直，进而得

出截面与底面所成夹角，过点射作的。1。。于点。，由。停1=2,0C=3,进而得出CD的

长，从而得出CG的长，再结合梯形的面积公式得出截面力BB1&的面积。

20.【答案】（1）解：设斯=a1+（九—l）d,d>0-

由题意得户，4=21，解得卜］=1,或卜］=7,（舍去）

（访=。1。5.Vd=2.Id=0.

an=2n—1,nEN*

（2）解：由（1）可得治=幽挖=*，

nL

贝加Tn=b1+b2+b3-1---1■6几=?++---F①

可得：=jj+j|+…++②

①-②可得：47'=与+墨+墨+，“+黄一^1，

ZZ乙Z

设Kn=^+||+||+-+黄③

我n=墨+墨+景+…+^^+^1，④

ZZZ乙Z

72—1

③-④可得:我“另+2.%乎一肃，K—一铝.

222

1下〃n2n+3nn+4n4-6

；.2W=3^+T，■•■Tn=6neN*

【解析】【分析】(1)利用等差数列的通项公式和等比中项公式，再结合等差数列的单调性，进而得

出满足要求的首项和公差的值，进而由等差数列的通项公式得出数列8"的通项公式；

⑵利用等差数列前n项和公式得出数列｛时｝的前n项和S”再利用好=为，进而得出数列也｝的

通项公式，再结合错位相减的方法得出数列｛g｝的前几项和

(2b=2V3,

21.【答案】(1)解：依题意得｛a-c=l,

la2=b2+c2.

解得a=2,b=V3,c=1-

•••椭圆C的标准方程为4+^=L

43

(2)证明：•.•直线/过点(6,0),与椭圆C：4+[=1交与不同的两点E,F.且都在％轴上方.

43

・・・直线/的斜率存在且不为0,设直线Z方程为y=k(%-6),k手0.

y=/c(x-6),

22

联立方程x2y2可得(3+4k2)x2—48kx+144/c-12=0.

.彳+T=L

22

铅Ar\mil।48k144fc—12

仅E(%i，%),F(X,yp则％1+冷=----Q，%i%2=----------厂

223+4fc3+4/c

2y2k(%2—6)(%]-*)+忆(%]-6)(%2-,)

又P(W，0),kpF+kpE=

“2-1+在(%2-1)(%1-|)

X13

27

x

x1-x2—^2-6%i+4+xrx2-—6x2+4

77

(%2—3)(、i—3)

288/C2-2420▽48/c2

“2

_2_%_1_%_2__一_婴___(％__1_+__%_2__)_+__83+4/?33+4k

7777

(%2-3)(xi-3)(久2-g)(%i—3)

kpF=—kpE-

乙

kpF—tan(n—OPF)——tanZ.OPF,kPE—tanZ-APE,tanZ-APE—tanZ-OPF-

Z.APE=Z-OPF.

【解析】【分析】(1)利用已知条件结合椭圆的标准方程确定焦点的位置，再结合短轴长求解方法得

出b的值，再结合左顶点到左焦点的距离为1,进而得出a-c的值，再结合椭圆中a,b,c三者的关

系式，从而解方程组得出a,c的值，进而得出椭圆C的标准方程；

(2)因为直线Z过点(6,0),直线与椭圆C：W+1交与不同的两点E,F,且都在x轴上方，直

43

线/的斜率存在且不为0,设出直线/的方程，联立直线与椭圆的方程和韦达定理，从而由两点求斜率

公式和两角互补，从而由诱导公式和直线的斜率与直线的倾斜角的关系式，进而证出乙4PE=ZOPF

成立.

22.【答案】(1)解：函数〃久)的定义域为(0,+00),广(%)=|+2a久—4=兹餐位.

又a>0,令/(%)=0，得2a——4%+3=0,4=16—24a.

当』40,即时，2a/-4%+3》。在(0,+8)恒成立，/(x)>0-

当4>0,即0<。<细，方程2a——4%+3=0有两根，可求得：修=与三包，%=

2+j4—6a

2a'

当％e(0,%1)和。2，+8)时，/'(%)>o，当％e(%i，%2)时，/(%)<0-

综上：当a》|时，/(久)在(0,+8