2024年四川省泸州市龙马潭区中考数学一模试卷（含解析）

2024年四川省泸州市龙马潭区中考数学一模试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

2.若43-x有意义，贝卜是怎样的实数（）

A.x丰3B.x>3C.%<3D.x<3

3.2024年春节假期，泸州市民纷纷走出家门，到公园逛庙会、赏民俗、看花灯，感受新春的喜庆氛围.据

泸州市园林绿化局的数据信息，春节假期首日，全市共接待游客711000人次将711000用科学记数法表示

应为（）

A.71.1x104B.7.11x105C.7.11x104D.711x103

4.下列计算正确的是（）

A.a2-a3—a6B.a8a4—a2C.（a3）4=a7D.（2a）3=8a3

5.如图，这是一个由5个完全相同的小正方体组成的立体图形，主视图、左视图、俯视/_/

图的面积分别为S],52,S3,则下列结论正确的是（）

A.Si=S2

正面

B.S2=S3

C.S—3

D.Si+S2=2s3

6.已知直线血〃ri,将一块含45。角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边Am

一

8C与直线几交于点。.若42=78。，则N1的度数为（）

A..30°

B..33。B

C..35°

D..22°

7.有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1,2,3,4,5,把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随

机抽取一张，其正面的数字是奇数的概率为（）

4321

A.IB.|C.|D.1

8.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a,b,

c,记。="卢，那么面积S=JP(P—a)(P-b)(P-c).若某个三角形的三边长分别为2,3,3,其面积

S介于整数九-1和九之间，贝IJ九的值为()

A.2B.3C.4D.5

9.关于％的一元二次方程(。一2)%2+3%-1=0有实数根，贝南的取值范围是()

1111

A.aN-彳B,a>--C.a>--Ma^2D.a>--Ma^2

10.如图，直线y=Ox经过点4,作ABlx轴于点B,将△AB。绕点B顺时针

旋转60。得到ACBD,若点B的坐标为(1,0),则点C的坐标为()

A.(3,11)

B.1

C.(3,争

D.（|,苧）

11.如图，矩形4BCD中，E为CD的中点，连接2E并延长交的延长线于

点F,连接BD交2F于”，AD=10^1,且tan/EFC=M，那么4”的长为

4

()

A.当他B.572C.10D.5

12.设二次函数y=M+c,当％41时，总有y20,当14%<3时，总有y<0,那么c的取值范围

是()

A.c=3B.c>3C.1<c<3D.c<3

二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

13.因式分解：3/-12盯2=

14.如图，从半径为9c机的圆形纸片上剪去:圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个

圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为cm.

15.若关于久的分式方程笔+#=3的解为正实数，则实数小的取值范围是____.

x—22—x

16.如图，抛物线y=/-8%+15与x轴交于4、B两点，对称轴与x轴交于点C,点。（0,-2）,点

E（0,-6）,点P是平面内一动点，且满足ADPE=90。，M是线段PB的中点，连结CM.则线段CM的最大值是

三、计算题：本大题共1小题，共6分。

17.计算：/12-(4-7T)°+cos60°-|<3-3|.

四、解答题：本题共7小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18.（本小题6分）

先化简，再求值：（a+嘤"）+黑其中m

19.（本小题6分）

如图，点D在4B上，点E在4c上，AB=AC,BD=CE,求证：Z.B=ZC.

20.（本小题7分）

2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行.“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某

知名小吃店计划购买48两种食材制作小吃.已知购买1千克4种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千

克2种食材和3千克B种食材共需280元.

(1)求a,B两种食材的单价；

(2)该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买4种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当a,B

两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用.

21.(本小题8分)

某景区4B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点4到景点B必须经过C处才能到达.观测得景点B在景点4

的北偏东30。，从景点4出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75。方向.

(1)求景点B和C处之间的距离；(结果保留根号)

(2)当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点4到景点B的笔直的跨湖大桥.大桥修建后，从景点4

到景点B比原来少走多少米？(结果保留整数.参考数据：V2«1.414,73«1.732)

22.(本小题8分)

如图，已知一次函数为=七久+6的图象与x轴、y轴分别交于4B两点,与反比例函数月=与的图象分别

交于C、。两点，点。(2,-3),点B是线段4D的中点.

(1)求一次函数为=k1x+b与反比例函数%=勺的解析式；

(2)求4的面积；

(3)动点P(0,m)在y轴上运动，当|PC-PD|的值最大时，求点P的坐标.

23.(本小题12分)

如图，。。上有4,B,C三点，4C是直径，点。是卷的中点，连接CD交48于点E,点尸在48延长线上且

FC=FE.

(1)证明：乙BCE=KACE；

(2)求证：CF是。。的切线；

(3)若s出F=小BE=6,求DE的值.

24.(本小题12分)

如图，抛物线丫=。/+打+6(&力0)与刀轴交于4(一1,0),8(3,0)两点，与y轴交于点C,顶点为D.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若在线段BC上存在一点M,使得NBMO=45。，过点。作。“1OM交BC的延长线于点H,求点M的坐

标；

(3)点P是y轴上一动点，点Q是在对称轴上一动点，是否存在点P,Q,使得以点P,Q,C,D为顶点的四边

形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：4该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

8、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；

C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

。、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意.

故选：D.

中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个

图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重台，这样

的图形叫做轴对称图形.根据定义依次对各个选项进行判断即可.

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.正确掌握中心对称图形与轴对称图形定义是解题关键.

2.【答案】C

【解析】解：存不有意义，贝U3—尤20,

解得：%<3.

故选：C.

直接利用二次根式有意义的条件，被开方数是非负数，进而得出答案.

此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确求出x的取值范围是解题关键.

3.【答案】B

【解析】解：711000=7.11X105.

故选：B.

用科学记数法表示较大的数时，一般形式为ax10%其中lW|a|<10,n为整数，据此判断即可.

此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为ax10",其中lW|a|<10,确定a与几的值是解

题的关键.

4.【答案】D

【解析】解：力、a2-a3=2a5,原计算错误，不符合题意；

B、a8+a4=a3原计算错误，不符合题意；

C、(a3)4=a12,原计算错误，不符合题意；

D、(2a)3=8a3,正确，符合题意.

故选：D.

分别根据合并同类项法则、积的乘方与幕的乘方、同底数幕的乘法和除法法则逐一计算可得.

本题主要考查幕的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握合并同类项法则、同底数塞的乘法、积的乘方与幕

的乘方和同底数塞的除法法则.

5.【答案】C

【解析】解：设小正方体的棱长为1,

主视图：底层是三个小正方形，上层的右边是一个小正方形，故主视图的面积为4；

左视图：底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故左视图的面积为3；

俯视图：底层左边是一个小正方形，上层是三个小正方形，故俯视图的面积为4.

所以Si=53，

故选：C.

根据三视图的面积的大小关系求解即可.

本题考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视

图，俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键.

6.【答案】B

【解析】解：如图:

•••mlIn,

Z3=Z2=78°,

N3=+NB,

=43—NB=78°-45°=33°,

故选:B.

设BC与n的交点为D,根据三角形的外角性质可得N2=3=N1+NB=78。，解出N1即可.

本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质，解题的关键是借助平行线和三角形内外角转化角.

7.【答案】B

【解析】解：•••从写有数字1，2,3,4,5这5张卡片中抽取一张，其中正面的数字是奇数的有1、3、5这3

种结果，

・•.正面的数字是奇数的概率为卷.

故选:B.

让正面的数字是奇数的情况数除以总情况数即为所求的概率.

此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数

与总情况数之比.

8.【答案】B

【解析】解：根据题意，三角形的三边长分别为2,3,3,

则。=社产=4,

所以其面积S=J4x(4—2)x(4—3)义(4-3)=腌=

4<8<9,

74<<8<<9,

2<242<3,

n的值为3.

故选：B.

首先计算三角形的面积为再估算的范围可得2<2心<3,从而可得答案.

本题主要考查了算术平方根的含义以及无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解本题的关键.

9【答案】D

【解析】解：••・一元二次方程(a-2)/+3x-l=。有实数根，

(ci-2W0

A(J=32-4(a-2)X(-1)>0'

解得：a>一:且a。2.

故选：D.

一元二次方程(a-2)/+3x-1=0有实数根应满足的条件是：二次项系数不能为0,根的判别式的值应

大于或等于0,据此求解即可.

本题考查了一元二次方程的概念和根的判别式，掌握一元二次方程有实数根的条件是解题的关键，易错点

是不考虑二次项系数不能为0导致取值范围错误.

10.【答案】D

【解析】解：如图，过C作CE1久轴于E,贝UNBEC=90C,1，

点B的坐标为(1,0),直线y经过点428J.X轴,

OB=1,AB=/.ABO=90°,

由旋转可得，BC=AB=73，OB=DB,Z.DBO=60°,乙DBC=90%1、

~01BEx

ABD。是等边三角形，

•­,乙CBE=90°-60°=30°,

•••CE=jfiC=BE=dCE=I，

—+泻35，

.••点c的坐标为(I，?),

故选：D.

过C作CE1x轴于E,则NBEC=90°,由旋转可得，BC=AB=<3,OB=DB,乙DBO=60°,Z.DBC=

90°,再根据CE与OE的长，即可得到点C的坐标为(|,?).

本题主要考查了坐标与图形变换，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的

点的坐标.

1L【答案】C

【解析】解：:E为CD的中点，

CE=DE,

在矩形2BCD中，AD//BC,

・•.Z.DAE=Z.CFE,

在△4。£和4CFE中，

Z-DAE=Z-CFE

^AED=乙FEC,

CE=DE

・••△/DE%CFE(A4S),

CFAD=10<2,

BF=BC+CF=AD+CF=10/2+10<2=20<2,

•••tanzFFC=M，

4

AB=2072=10,

4

在中，AF=AB2+BF2=J102+(20<2)2=30,

•・•AD//BC,

ADHsxFBH,

,AH_AD_10〃_1

''~FH~~BF~20AT2-2'

11

AH=卷ZF=1x30=10.

故选c.

根据线段中点的定义可得CE=DE,根据矩形的对边平行可得4。〃BC,再根据两直线平行，内错角相等

可得NZME=NCFE,然后利用“角角边”证明AADE和ACFE全等，根据全等三角形对应边相等可得

CF=AD,再求出BF,然后利用tan/EFC求出4B,再利用勾股定理列式求出4F,再求出和△FBH

相似，根据相似三角形对应边成比例求出翟，再求解即可.

FH

本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定

理，综合题，但难度不大，熟记各性质是解题的关键.

12.【答案】B

【解析】解：,:当xW1时，总有y20,当13久W3时，总有yW0,

・•・函数图象过(1,0)点，即l+%+c=0①，

・•,当时，总有yWO,

二当x=3时，y=9+3b+c<0②，

①②联立解得：c23,

故选：B.

因为当xWl时，总有y20,当1W比33时，总有yWO,所以函数图象过(1,0)点，即l+6+c=0①，

由题意可知当x=3时，y=9+3b+c<0@,所以①②联立即可求出c的取值范围.

本题考查了二次函数的增减性，解题的关键是由给出的条件得到抛物线过(1,0),再代入函数的解析式得到

一次项系数和常数项的关系.

13.【答案】3x(x+2y)(x-2y)

【解析】解：原式=3x(/-4y2)

=3x(%+2y)(%—2y).

故答案为：3x(%+2y)(x-2y).

先提取公因式，再套用平方差公式.

本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键.

14.【答案】3"

【解析】解：圆心角是：360x(1=240。，

则弧长是：警臂"=12兀(cm),

loU

设圆锥的底面半径是丁，贝ij271T=12TT,

解得：r=6,

则圆锥的高是：,92*=3=(cm).

故答案是：3V"耳.

首先求得扇形的弧长，即圆锥的底面周长，则底面半径即可求得，然后利用勾股定理即可求得圆锥的高.

正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半

径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.

15.【答案】m<6且?nH2

【解析】解：笔+普=3,

x—22—x

方程两边同乘(久—2)得，%+m—2m=3%—6,

解得，x=F

6-m,

—^―WQ2,

•••THW2,

由题意得，写”>0，

解得，m<6,

故答案为：爪<6且小力2.

利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可.

本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键.

16.【答案】\

【解析】解：解方程/一8x+15=0得X]=3,x2=5,则

4(3,0),

,•,抛物线的对称轴与x轴交于点C,

・•.C点为48的中点，

•••乙DPE=90°,

.•.点P在以DE为直径的圆上，圆心Q点的坐标为(0,—4),

AQ=V32+42=5,OQ的半径为2,

延长4Q交OQ于尸，此时2F最大，最大值为2+5=7,

连接4P,

•••M是线段PB的中点，

CM为AABP为中位线，

1

CM=乂P,

CM的最大值为

故答案为：

解方程——8久+15=0得力(3,0),利用抛物线的性质得到C点为的中点，再根据圆周角定理得到点尸在

以DE为直径的圆上，圆心Q点的坐标为(0,-4),接着计算出4Q=5,OQ的半径为2,延长4Q交OQ于

F,此时4F的最大值为7,连接2P,利用三角形的中位线性质得到CM=；4P,从而得到CM的最大值.

本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a丰0)与x轴的交点坐标问

题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性质和圆周角定理.

17.【答案】解：/12-(4-兀)°+cos60°-|73-3|

—2V-1+——3+V-3

=3A<3-1

【解析】首先计算乘方和开方，然后从左向右依次计算，求出算式，变-(4-兀)。+00560。-|，百-3|的

值是多少即可.

此题主要考查了实数的运算，零指数幕以及特殊角的三角函数值，要熟练掌握，解答此题的关键是要明

确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加

减，有括号的要先算括号里面的,同级运算要按照从左到右的顺序进行.另外，有理数的运算律在实数范

围内仍然适用.

18.【答案】解：原式=/+4皿+4

mm+2

_(m+2)2m2

mm+2

=m(m+2)

=m2+2m,

当租=时，

原式=(72)2+2X调=2+2/2.

【解析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将爪的值代入计算即可.

本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则.

19.【答案】证明：48=AC,BD=CE,

：.AB-BD=AC-CE,即

在△ac。和aaBE中，

AD=AE

•••Z-A=Z-A

AC=AB

/.△ACDABEKAS）.

•••Z-B=Z-C.

【解析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确

定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件.本题得出三角形全等后，

再根据全等三角形的性质可得对应角相等.由8。=。月知4。=4已再利用“SZS”证明即可

得.

20.【答案】（1）设/种食材的单价为%元/千克，8种食材的单价为y元/千克，由题意得：

+y=68

（5%+3y=280，

解得：［;二春

•••A种食材单价是每千克38元，B种食材单价是每千克30元；

（2）设4种食材的单价为小元/千克，B种食材的单价为（36-机）元/千克，总费用为w元，由题意得：

w=38m+30（36—m）=8m+1080,

•・.m>2（36—m）,

•••24<m<36,

vfc=8>0,

W随m的增大而增大，

.•.当m=24时，w有最小值为：8x24+1080=1272（元）,

•••4种食材购买24千克，B种食材购买12千克时，总费用最少，为1272元.

【解析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程；

（2）设2种食材的单价为加元/千克，B种食材的单价为（36-爪）元/千克，总费用为w元，由题意得：w=

38^+30（36-爪）=86+1080,根据题意可以列出相应的不等式，求出山的取值范围，从而可以解答本

题.

本题主要考查二元一次方程组、一次函数的性质、不等式在实际生活当中的运用，考查学生的理解能力与

列式能力.

21.【答案】解：(1)过点C作CD148于点D,

由题意得，ZX=30°,Z.BCE=75°,AC=600m,

在RMACD中，乙4=30。，AC=600,

1

CD=-AC=300m,

AD=/AC=300<3m，

•・•乙BCE=75°=Zi4+zB,

・•・乙B=75°-NA=45°,

・•.CD=BD=300m,

BC=y[2CD=300<2m,

答：景点B和C处之间的距离为300，^n;

(2)由题意得.

AC+BC=600+300/2.

AB=AD+BD=300/3+300,

AC+BC-AB=(600+30072)一(300<3+300)~204.6=205m,

答：大桥修建后，从景点力到景点B比原来少走约205nl.

【解析】(1)通过作辅助线，构造直角三角形，在中，可求出6、AD,根据外角的性质可求出

NB的度数，在Rt△BCD中求出即可；

(2)计算AC+BC和4B的长，计算可得答案.

本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，构造直角三角形是解决问

题的关键.

22.【答案】解：(1)••,点。(2,-3)在反比例函数丫2=勺的图象上，

•••fc2=2X(—3)=-6,

6

•••=一或；

如图,作DE_L%轴于E,

・・・0(2,—3),点B是线段的中点，

••.g2,0),

•・・4(-2,0),。(2,—3)在丫1=月％+2的图象上,

(-2kr+6=0

(2^+b=一3'

解得_

ki=p4b=Z

33

7W；

3

・•・c(-W),

S^coo=S^AOC+S^AOD=5、2*，+2*2*3=-；

(3)如图，作C(—4,|)关于y轴的对称点C[4,1)，延长C'D交y轴于点P，

.•.由C，和D的坐标可得，直线。。为、=襄一警

4L

令X=0,则y=—

••・当|PC-PD|的值最大时，点P的坐标为(0,-y).

【解析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，方

程组的解以及三角形的面积等，求得4点的坐标是解题的关键.

(1)把点。的坐标代入反比例函数，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，作DElx轴于E,根据

题意求得4的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式；

(2)联立方程求得C的坐标，然后根据SACOD=S“oc+S-oD即可求得仆C。。的面积；

(3)作C(—4,5关于y轴的对称点C'(4[),延长C'D交y轴于点P,由C'和D的坐标可得，直线C'D为y久一

y,进而得到点P的坐标.

23.【答案】⑴证明：•.•点。是您的中点，

AD=BD>

•••乙BCE=Z-ACE；

(2)证明：•・•AC是。。的直径，

・•・/,ABC=90°,

•••乙BEC+乙BCE=90°,

•・•FC=FE,

•••Z-FCE=Z.FEC,

由(1)可知NBCE=/.ACE,

・•.Z.FCE+AACE=90°,

.•・4OCF=90°,

••・oc是。。的半径，

・•.CF是。。的切线；

(3)解：在RtZkFBC中，BE=6,sinF=

,-B-C=_一4•

CF5

设=4%,CF—5%,D

•••BC2+BF2=CF2,

・•.(4%)2+(5%-6)2=(5x)2,

•••x=3或%='(舍去)，

4

・•・BC=12,CF=15,BF=9,

•・•乙CBF=/-ACF=90°,乙F=CF,

•••△FBCsAFCA,

.FB_BC

FCCA

312

•'5=ACf

•••CA—20,

.AC4

vsmF=Q=丁

204

•••AF=5f

・•・AF=25,

・•.AE=AF-EF=25-15=10,

Z-DAE=Z-BCE,Z.AED=2CEB,

AAEDs工CEB,

AE__DE_

~EC~~EB"

10_丝

DE=2V-5?

【解析】(1)由圆周角定理可得出结论；

(2)证出NOCF=90。，由切线的判定可得出结论；

(3)设BC=4%,CF=5%,由勾股定理得出(4%)2+(5%-6)2=(5x)2,求出I=3,证明△FBCs4尸。”,

由相似三角形的性质得出会=襄，求出AF,AE的长，证明△AEDs^cEB,得出比例线段，则可得出答

案.

本题属于圆综合题，考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定

与性质等知识；熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解题的关键.

24.【答案】解：(1)•抛物线y=ax2+bx+6经过点4(-1,0),B(3,0)两点，

.(CL-6+6=0

••19a+3b+6=0'

解得：£=：2，

••・抛物线的解析式为y=-2/+4%+6；

(2)由⑴得，点C(0,6),

设直线8C的解析式为y-kx+c,

•.•直线BC经过点B(3,0),C(0,6),

(3k+c=0