河南省镇平县联考2024届数学八年级下册期末综合测试模拟试题含解析

河南省镇平县联考2024届数学八下期末综合测试模拟试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点.且BE=CF,连接BF、DE,贝（JBF+DE

的最小值为（）

A.4月B.C.4岔D.275

2.如图，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段0A和射线AB组成，则一次

购买5千克这种苹果比分五次购买1千克这种苹果可节省（）元.

C.6D.7

3.下列算式中，正确的是()

A.3A/2—A/2=3B.氏+邪=岳

C.(^-V2)2=5-276D.&+收=4

4.某地区连续10天的最高气温统计如下表，则该地区这10天最高气温的中位数是（）

最高气温（℃）1819202122

天数12232

A.20℃B.20.5℃C.21℃D.21.5℃

5.如果小磊将镖随意投中如图所示的正方形木板（假设投中每个小正方形是等可能的），那么镖落在阴影部分的概率

6.下面的图形是天气预报的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

施大雪滓小大雨

3

7.使分式一二无意义,则x的取值范围是（）

X-1

A.x1B.x=lC.x<lD.xR—1

8.用配方法解方程X?-8x+5=0,则方程可变形为（）

A.（x-4）2=-5B.支+钎=21C.（x-4）2=11D.（x-4『=8

9.已知甲，乙两组数据的折线图如图所示，设甲，乙两组数据的方差分别为策，S3则年与禺大小关系为（）

A.S亩>S；B.

C.D.不能确定

10.一次跳远比赛中，成绩在4.05米以上的有8人，频率为0.4,则参加比赛的共有（）

A.40人B.30人C.20人D.10人

11.五一假期小明一家自驾去距家360公〃的某地游玩，全程的前一部分为高速公路，后一部分为乡村公路.若小汽车

在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，行驶的路程y（单位：km｝与时间x（单位：之间的关系如图

所示，则下列结论正确的是（）

y/knt

A.小汽车在乡村公路上的行驶速度为60h”//i

B.小汽车在高速公路上的行驶速度为120km/h

C.乡村公路总长为90hw

D.小明家在出发后5.5/z到达目的地

12.如图，过点4（1,0）作x轴的垂线，交直线心y=2x于明，在x轴上取点4,使04=031,过点4作x轴

的垂线，交直线/于&,在x轴上取点&2,使。＜2=。瓦，过点4作x轴的垂线，交直线/于丹,…，这样依次作图,

则点跳的纵坐标为（）

o\A.AXA3X

A.（君）7B.2（右）7c.2（^/?）8D.（7?）9

二、填空题（每题4分，共24分）

13.在湖的两侧有A,B两个消防栓，为测定它们之间的距离,小明在岸上任选一点3并量取了AC中点D和BC中点

E之间的距离为16米，则A,B之间的距离应为_________米

q________7

C

14.如图，在AABC中，ZBAC=9Q°,AB=4,AC=6,点。、E分别是BC、4。的中点，AF〃BC交CE

的延长线于尸，则四边形AEBD的面积为_____.

£」

BD

15.如图，在AABC中，NACB=90°,BC=2,AC=6,。为AC上一点，AD=4,将AD绕点A旋转至AD',

连接§£>',歹分别为3£>'的中点，则CV的最大值为.

JQ〉m—]

16.如果关于x的不等式组的解集是》>一1,那么m=_

x>m+2

17.如图，在△ABC中，ZB=90°,AB=12mm,BC=24mm,动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动

（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、

B同时出发，那么经过一秒，四边形APQC的面积最小.

18.老师对甲、乙两人的五次数学测验成绩进行统计，得出两人五次测验成绩的平均分均为90分，方差分别是S甲

2=17,S乙2=1.则成绩比较稳定的是（填“甲”、“乙”中的一个）.

三、解答题（共78分）

19.（8分）（1）如图1,正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，NEAF=45。，延长CD到点G,使DG=BE,

连结EF,AG.求证：①NBEA=NG,②EF=FG.

（2）如图2,等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点M,N在边BC上，且NMAN=45。，若BM=1,

CN=3,求MN的长.

20.（8分）把一个含45。角的直角三角板BEF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶

点B重合，联结DF,点M,N分别为DF,EF的中点，联结MA,MN.

（1）如图1,点E,F分别在正方形的边CB,AB±,请判断MA,MN的数量关系和位置关系，直接

写出结论；

（2）如图2,点E,F分别在正方形的边CB,AB的延长线上，其他条件不变，那么你在（1）中得到的两个结论还

成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由.

图1图2

21.（8分）如图，在平行四边形ABC。中，已知点E在上，点/在CD上，且AE=b.

求证：DE=BF.

22.（10分）如图，平行四边形4BCD中，点E、尸分别是4。、BC的中点.求证△4BE三△CDF.

23.（10分）问题背景：如图1：在四边形ABCD中,AB=AD,NBAD=120o,/B=NADC=90,E、F分别是BC,CD

上的点.且NEAF=60°.探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是，延长FD到

点G,使DG=BE,连结AG,先证明AABE之4ADG,再证明ZkAEFgAAGF,可得出结论，他的结论应是；

探索延伸：如图2,若四边形ABCD中,AB=AD,NB+ND=180。.E,F分别是BC,CD上的点，且NEAF=；/BAD,

上述结论是否仍然成立，并说明理由；

实际应用：如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30。的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70。

的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以55海里/小时的速度前进,舰艇乙

沿北偏东50。的方向以75海里/小时的速度前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰

艇之间的夹角为70°,试求此时两舰艇之间的距离.

24.（10分）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费.下表是该市居民户一表生活用水阶梯式

计费价格表的部分信息：

自来水销售价格污水处理价格

每户每月用水量单价：元/吨单价：元/吨

17吨及以下2.20.80

超过17吨但不超过30吨的部

4.20.80

分

超过30吨的部分6.000.80

说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费.

（1）设小王家一个月的用水量为工吨，所应交的水费为V元，请写出V与％的函数关系式；

（2）随着夏天的到来，用水量将增加.为了节省开支，小王计划把7月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%.若小

王家的月收入为9200元，则小王家7月份最多能用多少吨水？

25.（12分）计算

26.一只不透明的袋子中装有3个红球、2个黄球和1个白球，每个球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1

个球.

（1）摸到的球的颜色可能是;

（2）摸到概率最大的球的颜色是；

（3）若将每个球都编上号码，分别记为1号球（红）、2号球（红）、3号球（红”4号球（黄）、5号球（黄）、6号球

（白），那么摸到1〜6号球的可能性______（填相同或者不同）；

3

（4）若在袋子中再放一些这样的黄球，从中任意摸出1个球，使摸到黄球的概率是二，则放入的黄球个数是

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、C

【解题分析】

连接AE,利用AABE丝4BCF转化线段BF得到BF+DE=AE+DE,则通过作A点关于BC对称点H,连接DH交BC

于E点，利用勾股定理求出DH长即可.

【题目详解】

解：连接AE,如图1,

•.•四边形ABCD是正方形，

；.AB=BC,ZABE=ZBCF=90°.

又BE=CF,

/.△ABE^ABCF（SAS）.

.\AE=BF.

图1

所以BF+DE最小值等于AE+DE最小值.

作点A关于BC的对称点H点，如图2,

连接BH,则A、B、H三点共线，

连接DH,DH与BC的交点即为所求的E点.

根据对称性可知AE=HE,

所以AE+DE=DH.

D

在R3ADH中，DH=7AH2+AD2=A/82+42=475

••.BF+DE最小值为4氐

故选：C.

【题目点拨】

本题主要考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，能够作出辅助线将线段转化是解

题的关键.

2、C

【解题分析】

观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出线段OA和设AB的函数关系式，再分别求出当x=l和x=5时，y

值，用10x5-44即可求出一次购买5千克这种苹果比分五次购买1千克这种苹果节省的钱数.

【题目详解】

解：设y关于x的函数关系式为丫=1«+1),

当0WxW2时，将(0,0)、(2,20)代入y=kx+b中，

%=0优=10

).j7八，解得：<7八，

2k+b=0[b=0

.-.y=10x(0<x<2);

当x>2时，将(2,20),(4,36)代入y=kx+b中，

2k+b=20f左=8

<..j.,9解得：<，

4k+b—36[b=4-

Ay=8x+4(x>2).

当x=l时，y=10x=10,

当x=5时，y=44,

10x5-44=6（元）,

故选C.

【题目点拨】

本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象找出点

的坐标，利用待定系数法求出线段OA和设AB的函数关系式是解题的关键.

3、C

【解题分析】

根据二次根式的混合运算法则逐一计算即可判断.

【题目详解】

解：A.3V2-V2=2A/2»此选项错误；

B.74+79=2+3=5，此选项错误；

—司=5-2#，此选项正确；

D.&+0=J?=2,此选项错误；

故选：C.

【题目点拨】

本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则.

4、B

【解题分析】

求中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数.

【题目详解】

把这些数从小到大为：18℃,19℃,19℃,20℃,20℃,21℃,21℃,21℃,22℃,22℃,

20+21

则中位数是：——=20.5。。；

2

故选B.

【题目点拨】

考查中位数问题，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数.如果数据有奇数

个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数.

5、A

【解题分析】

解：阴影部分的面积为2+4=6镖落在阴影部分的概率为三=’.

366

考点：几何概率.

6、A

【解题分析】

试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解，解答轴对称图形问题的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对

称轴折叠后可重合；解答中心对称图形问题的关键是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确；

B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；

D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故错误.

考点：1.中心对称图形；2.轴对称图形.

7、B

【解题分析】

要是分式无意义，分母必等于0.

【题目详解】

3

•.•分式一；无意义，

X-1

:.x-l=0,

解得X=l.

故选：B.

【题目点拨】

考核知识点:分式无意义的条件.熟记无意义的条件是关键.

8、C

【解题分析】

把常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，把方程变化为左边是完全平方的形式.

【题目详解】

解：了2-8%+5=0，

x~-8x=—5，

%2—8x+16=-5+16，

（X—4）2=11.

故选：c.

【题目点拨】

本题考查的是用配方法解方程，把方程的左边配成完全平方的形式，右边是非负数.

9,A

【解题分析】

通过折线统计图中得出甲、乙两个组的各个数据，进而求出甲、乙的平均数，甲、乙的方差，进而做比较得出答案.

【题目详解】

,1

甲的平均数：(3+6+2+6+4+3)+6=4,乙的平均数：(4+3+5+3+4+5)+6=4,5,=-[(3-4)2+(6-4)2+(2-4)

6

,1

2+(6-4)2+(4-4)2+(3-4)2]弋2.33,=-[(4-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)

6

2Ho.1.

V2.33>0.1,.,.蹄>S].

故选A.

【题目点拨】

本题考查了折线统计图、平均数、方差的计算方法和各个统计量的所反映数据的特征，掌握平均数、方差的计算公式

是正确解答的前提.

10、C

【解题分析】

根据频率、频数的关系：频率=频数+数据总和，可得数据总和=频数+频率.

【题目详解】

•.•成绩在4.05米以上的频数是8,频率是0.4,

:,参加比赛的运动员=8+0.4=20.

故选C.

【题目点拨】

考查频数与频率，掌握数据总和=频数+频率是解题的关键.

11、A

【解题分析】

根据一次函数图象的性质和“路程=速度X时间”的关系来分析计算即可.

【题目详解】

解：小汽车在乡村公路上的行驶速度为：(270-180)(3.5-2)=60km/h,故选项A正确，

小汽车在高速公路上的行驶速度为：180+2=90后"/区故选项B错误，

乡村公路总长为：360-180=180左机，故选项C错误，

小明家在出发后：2+(360-180)+60=5”到达目的地，故选项D错误，

故选：A.

【题目点拨】

一次函数在实际生活中的应用是本题的考点，根据题意读懂图形及熟练掌握“路程=速度X时间”的关系是解题的关

键.

12、B

【解题分析】

根据一次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的性质即可得到结论.

【题目详解】

解：VAo(1,0),

.•.OAo=l,

点&的横坐标为1,

VBi,Bz、&、…、&在直线y=2x的图象上,

.••51纵坐标为2,

：.OAi=OBi=75，

AAi(75.0),

・"2点的纵坐标为26，

于是得到B3的纵坐标为2(逐)2...

二国的纵坐标为2(6)7

故选：B.

【题目点拨】

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，解题的关键是找出瓦的坐标的变化规律.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、32

【解题分析】

分析：可得DE是AABC的中位线,然后根据三角形的中位线定理,可得DE〃AB,且AB=2DE,再根据DE的长度为16米,即

可求出A、B两地之间的距离.

详解：；D、E分别是CA,CB的中点，

.••DE是aABC的中位线，

，DE〃AB,且AB=2DE,

VDE=16米，

；.AB=32米.

故答案是：32.

点睛：本题考查了三角形的中位线定理的应用，解答本题的关键是：明确三角形的中位线平行于第三边，并且等于第

三边的一半.

14、12

【解题分析】

由于AF〃BC,从而易证4AEF丝ADEC(AAS),所以AF=CD,从而可证四边形AFBD是平行四边形，所以

S四边形AJBD=2SvABD,又因为BD=DC,所以SvABC=2SVABD,所以S四边形=SvABC,从而求出答案；

【题目详解】

解：VAF/7BC,

.,.ZAFC=ZFCD,

在4AEF与ADEC中，

ZAFC=ZFCD

<ZAEF=ZDEC,

AE=DE

：.AAEF^ADECCAAS),

；.AF=DC,

VBD=DC,

；.AF=BD,

二四边形AFBD是平行四边形，

•*.S四边形AFBD=2SNABD,

又；BD=DC,

SvABC=2SVABD,

•*.S四边形AFBD=SVABC，

'：ZBAC=90°,AB=4,AC=6,

“11

:.SAABC=-ABXAC=-X4X6=12,

22

二四边形AFBD的面积为：12；

故答案为：12.

【题目点拨】

本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形的判定与性质，全等三角形的

判定与性质是解题的关键.

15、710+2

【解题分析】

利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CM的长，利用三角形中位线定理，可得MF的长，再根据当且

仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，即可得到结论.

【题目详解】

解：如图，取AB的中点M,连接MF和CM,

••,将线段AD绕点A旋转至ADS

；.AD，=AD=1,

,.,ZACB=90°,

VAC=6,BC=2,

AB=^AC2+BC2=2^/10•

为AB中点，

/.CM=A/10,

VAD^l.

为AB中点，F为BD，中点，

1

/.FM=-AD,=2.

2

•/CM+FM>CF,

.•.当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时，CF最大,

此时CF=CM+FM=回+2.

故答案为：sflQ+2.

【题目点拨】

此题考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，知道当且仅当M、

F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大是解题的关键.

16、-3

【解题分析】

根据“同大取大”的法则列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可.

【题目详解】

解：

m+2>m-l

又•••不等式组的解集是x>-l,

.*.m+2=-l,

:.m=-3,

故答案为：-3.

【题目点拨】

本题考查了解一元一次不等式组，掌握“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则解答即可.

17、3

【解题分析】

根据等量关系“四边形APQC的面积=三角形ABC的面积-三角形PBQ的面积”列出函数关系，求得最小值.

【题目详解】

设P、Q同时出发后经过的时间为ts,四边形APQC的面积为Smn?,

贝!1有：S=SAABC_SAPBQ=—12x24——x4?x(12—2?)=4t2-24t+144=4(t-3)2+l.

V4>0...当t=3s时，S取得最小值.

【题目点拨】

考点：二次函数的应用.

18、乙.

【解题分析】

试题解析：甲2=17,S乙2=1,K17,

二成绩比较稳定的是乙.

考点：方差.

三、解答题（共78分）

19、（1）①见解析②见解析（1）加

【解题分析】

(1)在4ABE和4ADG中，根据SAS得出4ABE丝4ADG则NBEA=NG.然后在4FAE和4GAF中通过SAS证

明得出4FAE之Z\GAF,则EF=FG.

(1)过点C作CE_LBC,垂足为点C,截取CE,使CE=BM.连接AE、EN.在△ABM和4ACE中，通过SAS证

明得出△ABMg△ACE,AM=AE,ZBAM+ZCAN=45°.在AMAN和AEAN中,通过SAS证明得出△MAN丝AEAN,

MN=EN.RtZVENC中，由勾股定理，得ENJEC+NC4得出最终结果.

【题目详解】

(1)证明：在正方形ABCD中，ZABE=ZADG,AD=AB,

AD=AB

在4ABE和4ADG中，＜ZABE=ZADG,

DG=BE

/.△ABE^AADG(SAS),NBEA=NG

/.ZBAE=ZDAG,AE=AG,

又NBAD=90°,

；.NEAG=90。，ZFAG=45°

AE=AG

在4FAE和AGAF中，＜ZEAF=ZFAG=45°,

AF=AF

.,.△FAE^AGAF(SAS),

AEF=FG

(1)

图2

解：如图，过点C作CELBC,垂足为点C,截取CE,使CE=BM.连接AE、EN.

VAB=AC,ZBAC=90°,

/.ZB=ZACB=45O.

VCE±BC,

.,.ZACE=ZB=45°.

AB=AC

在△ABM和4ACE中，＜ZB=ZACE,

BM=CE

.,.△ABM丝△ACE(SAS).

；.AM=AE,ZBAM=ZCAE.

VZBAC=90°,ZMAN=45°,

.,.ZBAM+ZCAN=45°.

于是，由NBAM=NCAE,得NMAN=NEAN=45。.

AM=AE

在△MAN和4EAN中，＜AMAN=ZEAN,

AN=AN

/.△MANDAEAN(SAS).

.\MN=EN.

在RtZkENC中，由勾股定理，得ENLEC+NCi.

.,.MN^BM'+NC1.

VBM=1,CN=3,

；.MNi=li+3i,

.*.MN=V10.

【题目点拨】

本题主要考查全等三角形的判定定理、勾股定理，做辅助线是本题的难点.

20、(1)MA=MN,MA±MN；(2)成立，理由详见解析

【解题分析】

(1)解：连接DE,

•四边形ABCD是正方形，

/.AD=CD=AB=BC,ZDAB=ZDCE=90°,

•.•点M是DF的中点，

1

/.AM=-DF.

2

•••ABEF是等腰直角三角形，

,\AF=CE,

AB=CD

在AADF与ACDE中，＜NDAF=ZDCE,

AF=CE

/.△ADF^ACDE(SAS),

/.DE=DF.

•.,点M,N分别为DF,EF的中点，

/.MNMAEFD的中位线，

1

.\MN=-DE,

2

.\AM=MN；

；MN是AEFD的中位线，

；.MN〃DE,

/.ZFMN=ZFDE.

；AM=MD,

/.ZMAD=ZADM,

,/ZAMF是AADM的外角，

/.ZAMF=2ZADM.

•."△ADF^ACDE,

.\ZADM=ZCDE,

.\ZADM+ZCDE+ZFDE=ZFMN+ZAMF=90°,

•\MA±MN.

；.MA=MN,MA±MN.

(2)成立.

理由：连接DE.

•••四边形ABCD是正方形，

AB=BC=CD=DA,NABC=NBCD=NCDA=NDAB=90。.

在RtAADF中,

•.•点M是DF的中点，

1

，MA=-DF=MD=MF,

2

/.Z1=Z1.

•.•点N是EF的中点，

.\MN是ADEF的中位线，

1

.\MN=-DE,MN〃DE.

2

ABEF是等腰直角三角形，

，BF=BF,ZEBF=90°.

•.•点E、F分别在正方形CB、AB的延长线上,

/.AB+BF=CB+BE,即AF=CE.

AD=CD

在AADF与ACDE中，＜ZDAF=ZDCE

AF=DE

/.△ADF^ACDE,

/.DF=DE,Z1=Z2,

；.MA=MN,Z2=Z1.

VZ2+Z4=ZABC=90°,Z4=Z5,

.•.Nl+N5=90°,

/.Z6=180°-(Z1+Z5)=90°,

，N7=N6=90°,MA±MN.

考点：四边形综合题

21、证明见解析.

【解题分析】

由“平行四边形ABCD的对边平行且相等”的性质推知AB=CD,AB/7CD.然后根据图形中相关线段间的和差关系求

得BE=FD,易证四边形EBFD是平行四边形.

【题目详解】

证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

.\AB=CD,AB#CD.

VAE=CF.

，BE=FD,BE/7FD,

二四边形EBFD是平行四边形，

/.DE=BF.

【题目点拨】

本题考查了平行四边形的判定与性质.平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，

同时要根据条件合理、灵活地选择方法.

22、见解析

【解题分析】

根据平行四边形的性质和已知可证AE=CF,ZBAE=ZDCF,AB=CD,故根据SAS可证△ABE&ADCF.

【题目详解】

证明：••・四边形是平行四边形，

・•・AB—CD,Z-A—Z-C,AD=BC,

•・•点、EF分别是4、。BC的中点，

・11

,,AE=^AD,CF=[BC9

・•・AE=CF,

在A4BE和ACDF中，\AB=CD,

Z/l=ZC

\AE=CF

•••AABE三△CDF^SAS）.

【题目点拨】

本题考查了平行四边形的判定和全等三角形的判定.掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）

和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键.

23、问题背景：EF=BE+DF,理由见解析；探索延伸：结论仍然成立，理由见解析；实际应用：210海里.

【解题分析】

问题背景：延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,即可证明△ABEgZ\ADG,可得AE=AG,再证明△AEF^^AGF,

可得EF=FG,即可解题；

探索延伸：延长FD至I]点G.使DG=BE.连结AG,即可证明△ABEgZkADG,可得AE=AG,再证明△AEF^^AGF,

可得EF=FG,即可解题；

实际应用：连接EF,延长AE、BF相交于点C,然后与（2）同理可证.

【题目详解】

问题背景：EF=BE+DF,证明如下：

在4ABE和4ADG中，

DG=BE

<ZB=ZADG,

AB=AD

/.△ABE^AADG(SAS),

/.AE=AG,ZBAE=ZDAG,

,/ZEAF=—ZBAD,

2

.,.ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF=ZBAD-ZEAF=ZEAF,

；.NEAF=NGAF,

AAEFAGAF中，

AE=AG

<ZEAF=ZGAF,

AF=AF

/.△AEF^AAGF(SAS),

；.EF=FG,

■:FG=DG+DF=BE+DF,

；.EF=BE+DF,

故答案为EF=BE+DF；

探索延伸：结论EF=BE+DF仍然成立，

理由：延长FD到点G.使DG=BE,连结AG,如图2,

DG=BE

在△ABE和4ADG中，<ZB=ZADG,

AB=AD

.,.△ABE^AADG(SAS),

/.AE=AG,ZBAE=ZDAG,

,/ZEAF=-ZBAD,

2

:.ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF=ZBAD-ZEAF=ZEAF,

/.ZEAF=ZGAF,

^△AEF^DAGAF中，

AE=AG

<ZEAF=ZGAF,

AF=AF

/.△AEF^AAGF(SAS),

；.EF=FG,

,:FG=DG+DF=BE+DF,

/.EF=BE+DF；

实际应用：如图3,连接EF,延长AE、BF相交于点C,

VZAOB=30°+90°+(90°-70°)=140°,ZEOF=70°,

.,.ZEOF=—ZAOB,

2

又,.•OA=OB,ZOAC+ZOBC=(90°-30°)+