2024届高三新高考改革数学适应性练习（九省联考题型）（含答案解析）

2024届高三新高考改革数学适应性练习（九省联考题型）

学校:.姓名:.班级:考号:

一、单选题

设则函数=±士±土竺的最小值为（

1.x>0,y）

X

A.6B.7C.10D.11

2.已知A,3是圆C：/+y2-分=0上的两点,过点A,B的两条切线与直线x=4三

线共点，则直线48必过定点（）

A.(1,2)B.(2,1)C.(1,1)D.

0A=3,设B,

3.如图，圆。是半径为1的圆,C为圆上的任意2个点，则AC8C的

2

[-1.3]C.[-1-1]D.[~,1]

O

4.有5名留学海外的南开毕业生回到母校的3个班去分享留学生活见闻，则每个班至

少去一名的不同分派方法种数为（）

A.36B.72C.90D.150

2n+l,、

5.已知数列｛%｝满足：an=4/+数列｛风｝的前〃项和为（，若

〃eN*）恒成立，则几的取值范围是（）

(33、

A.~M，~8B.(-oo,5)

65

C.-00，16D.(-co,4)

6.如图，在长方体ABCD-ABCR中，BC=2AB=2BB1=6,点E为棱8C上靠近点C

的三等分点，点尸是长方形AD2A内一动点（含边界），且直线用尸，与平面AD2A

所成角的大小相等，则下列说法错误的是（）

A.4尸〃平面BCG片B.三棱锥尸-2耳£的体积为4

-525

C.存在点居使得AF/码ED.线段4尸的长度的取值范围为

_Zo

7.过点尸(2,1)作直线/,分别与X轴的正半轴、y轴的正半轴交于点AB,O为坐标原点,

设NQ4B=e,则当Q4B的周长最小时，tan夕等于()

134一

A.—B.—C.—D.2

243

171

8.已知函数/(x)=a(sinx-cos尤)+—cos2x+x,若/(x)在一不、兀上单调递增，贝!]。的

2_2

范围是()

A.[1,2]B.[0,+«)C.[0,2]D.[0,1]

二、多选题

9.下列说法正确的是()

A.集合A/={-2,3—+3X-4,x2+x-4),若则x=—2或x=l

B.设全集为R,若则翻1RA

C.集合科*=3〃+1,〃eZ}={[x=3n—2,«eZ}

D.“X和y都是无理数”是“x+y是无理数”的必要不充分条件

10.已知函数/(x)=2sin[2x-11+l,则下列说法正确的是()

A.f(x+7r)=f(x)

B.小+弓的图象关于原点对称

SJT

c.^0<x1<x2<—,则/(石)</(9)

兀冗

D.对S,巧，x36,有/(%)+/($)>/(%)成立

11.已知直线y=-尤+2分别与函数丫=6'和y=lnx的图象交于点4(玉,乂),3(9,为)，

则下列结论正确的是()

试卷第2页，共4页

A.西+%2=2B.e*+e巧>2e

-

C.xl]nx2+x2]nxl>0D.玉马〉]

三、填空题

12.已知世包(i为虚数单位，oeR)为纯虚数，则。=.

1+i

13.在平面直角坐标系x°y中,P是曲线无2=分上的一个动点，则点尸到直线x+y+4=。

的距离的最小值是—.

14.在长方体中，AB=3,AD=AA1=4,E,F,G分别是棱AB,BC,

CG的中点，P是底面ABC。内一动点，若直线2P与平面EBG平行，当三角形2男尸的

面积最小时，三棱锥A-B耳尸的外接球的体积是.

四、解答题

15.某省高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“3+3”的构成模式，第一个“3”

是语文、数学、外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、

化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考

录取成绩卷面总分满分750分.为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，将“某市某

一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体S,从学生

群体S中随机抽取100名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统

计如表：

选考物理、化学、生物的科目数123

人数104050

(1)从这100名学生中任选2名，求他们选考物理、化学、生物科目数量相等的概率；

(2)从这100名学生中任选2名，记X表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数量

之差的绝对值，求随机变量X的数学期望；

(3)用频率估计概率，现从学生群体S中随机抽取4名学生，将其中恰好选考物理、化学、

生物中的两科目的学生数记作Y,求事件“Y>2”的概率.

16.已知函数=f—alnx-l,aeR.

(1)当a=2,求函数外力的极值;

(2)若函数/(无)有两个零点，求实数a的取值范围.

17.如图，在几何体93中，底面ABC为以AC为斜边的等腰直角三角形.已知平面

ABC，平面ACD,平面ABC1平面/平面A8C,A£>J_DE.

⑴证明：平面AC。；

⑵若AC=28=2,设/为棱班的中点，求当几何体ABCDE的体积取最大值时AM与

8所成角的正切值.

22

18.已知椭圆C:=+与=1(。>6>0)的左、右焦点分别为小工，设点小鸟与椭圆短轴

的一个端点构成斜边长为4的直角三角形.

⑴求椭圆C的标准方程；

34

(2)椭圆C上的三点A民尸，满足记线段A3的中点。的轨迹为石，

若直线/：》=%+1与轨迹E相交于两点，求|MN|的值.

19.对数列｛〃〃｝,规定｛△在｝为数列｛的｝的一阶差分数列，其中△an=an+i-an(〃eN*),

规定｛△2即｝为｛即｝的二阶差分数列，其中△2即=△〃〃+,-△刖(〃£N*).

(1)数列｛〃〃｝的通项公式%=/(nGN*),试判断｛△〃〃｝,｛△2即｝是否为等差数列，

请说明理由？

(2)数列｛加｝是公比为q的正项等比数列，且衣2,对于任意的〃《N*,都存在加£N%

使得△2加=加1,求9所有可能的取值构成的集合；

(3)各项均为正数的数列｛c〃｝的前〃项和为S〃，且△2憾=0,对满足力+〃=2Z,m^n

的任意正整数相、孔、k,都有cm^cn,且不等式恒成立，求实数/的最大值.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.D

【分析】利用基本不等式求解可得答案.

【详解】.%>0,..y=r+苫+25=彳+至+]32,•生+1=11,

xxVx

当且仅当尤=235，即x=5时，等号成立，

x

所以函数y=Y+X+25的最小值为11,

X

故选：D.

2.A

【分析】设点尸（4,为三线共点，则以尸C为直径的圆与圆C：/+/-4=0的两个交点

即为切点，由两圆相减即可得出公共弦的直线方程，利用赋值法即可得出定点.

【详解】依题意，如图所示:

圆C：x2+y2-4y=0的方程可化为C：Y+（y-2）2=4所以圆心C（0,2）.

（ill+2\

设两条切线的交点为P（4,机），则以PC为直径的圆的圆心为[2,丁/

设以PC为直径的圆的半径为「，

贝"=四=+5-2）2=JI6+（〃L2）2.

所以以小为直径的圆的方程为-2T+（y-等）、生「.

过点尸（4,加）作圆C：d+y-4y=0的切点分别为A,B,

两圆的交点为A,B,即两圆的公共弦为48.

将两圆的方程相减可得直线A3的方程为4x+（»7-2）y-2»7=0,

2=。得仃=1

即〃z(y_2)+(4x_2y)=0,

4x-2y=0[y=2'

答案第1页，共20页

所以直线AB必过定点(1,2).

故选：A.

3.A

【分析】利用平面向量线性运算和数量积运算，将AC2C转化为JgC1-4C|-cos。，其

中。为。4和8c的夹角.由此求得AC8C的取值范围.

【详解】设。是线段8c的中点，则有OD±BC.设9为。1和8c的夹角.则ACIC

={OC-OA^BC=OCBC-OABC=\pd\.|BC|-COSZBCO-|OA|-|BC|-COS6

=||BC|2-||BC|COS6>,且

BC2-Bccos0BC2-BC=Bc

I||11|-11|I||IfI|-1"!一!’由于18cle[°，2],所以当忸。昌

时，ACBd有最小值-1又当BC=2且cos6=-l时，42VB4cos。有最大值为3,

821।21।

即AC4C有最大值3.所以AC4C的取值范围是一：，3.

_O

故选：A

【点睛】本小题主要考查向量线性运算、数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法,

属于中档题.

【分析】按2、2、1和1、1、3两种情况分别算出分派方法的种数，然后相加，即可得到本

题答案.

CC

【详解】分两类：一类，3个班分派的毕业人数分别为2、2、1,则有十•禺=90种分派

方法；另一类，3个班分派的毕业生人数分别为1、1、3,则有点・阀=60种分派方法，所

以不同分派方法种数为90+60=150种.

故选：D

答案第2页，共20页

【点睛】本题主要考查排列组合的综合问题.

5.D

【分析】由于%=J：.、2=34一1二，所以利用裂项相消求和法可求得

4n2x(n+l)(〃十了

2

en+2n丁nA(_*\(〃+10)(〃+2)

小文厂然后由7>(，+1)(〃+1。)(〃讣T)可得(4(1)“恒成立'再利用基本

不等式求出‘'的最小值即可

4(H+1)

2n+l111

【详解】%=4^~(n+l)2

4n2x(n+l)2

故北二相一卦GV卜…+J-岛

11场2+2几

-I------------=-------------

4[(n+l)2J4(2)2

故丁">(〃+l)”(i+10)(〃N*)恒成立等价于会+，

(»+10)(»+2)

即4(«+1)>4恒成立,

1a

化简得到了(«+1)+-^+10>2,

4175+1)J

、

因为;(〃+1)+999

+10>-2出+】)•(+10=4当且仅当〃+1=----即〃=2时

5+1)4n+1)〃

7+1

取等号，

所以4<4.

故选：D

6.B

【分析】由已知，选项A,可根据平面ADQA〃平面3CG4,利用面面平行的性质推导出

A/〃平面5CG耳；选项B,可利用等体积法，/一期《二匕—明E去计算；选项C,连接A尸，

作EGHCD交于G,连接FG,根据4尸旦=ZEFG可知人尸=FG,从而确定点尸在AG

答案第3页，共20页

的中垂线上，当点尸与点K重合时，AF//B、E；选项D,根据cosNAGA=73=石片，结合

HU

HG=A/=三25，分别计算线段4尸的长度的最大值和最小值即可.

O

【详解】选项A,因为平面ADDA"平面BCC'BI,A尸u平面ADD^，所以A尸〃平面BCC^,

该选项正确；

选项B,VF_BBiE=VA_BB[E=^xix3x4x3=6,该选项错误；

选项C,如图1,连接人/，作EG〃CD交AD于G,连接FG.

因为A瓦，平面ADD,A,所以NA/耳为BXF与平面ADD.A,所成的角.

因为EG,平面ADD,A，所以/E/G为EF与平面ADD}A所成的角.

因为瓦F,EF与平面ADDM所成角的大小相等，所以NAFB]=NEFG,贝|

tanZAFB,=^=tanZEFG=,又因为AB,=EG,所以4尸=尸G,则点尸在的中垂线

/\rr(jr

上，即点尸在线段上运动，如图2.当点厂与点K重合时，%FHB\E,该选项正确；

选项D,因为BC=2B与=6,E为棱3c上靠近C的三等分点，所以e=3,AG=4,贝|

AG=5.因为cosNAGA=g|；=祟，所以8G=A/=M.当点下在点/或点X处时，线

25

段4尸的长度取到最大值，最大值为当点P在点K处时，线段AF的长度取到最小值，

O

5「525"

最小值为g.所以线段4尸的长度的取值范围为-，V,该选项正确.

2|_Zo_

图1图2

故选：B.

7.B

【分析】利用三角函数表示出Q4B的边长，可得其周长的表达式，利用导数确定函数的最

值情况，即可求得答案.

答案第4页，共20页

TT

【详解】由题意，如图，尸（2」），分别作尸。，。4,2。，。"垂足分别

为C,D,

119

则|QA|=|OC|+|CA|=2+-\AB\=\PA\+\PB\=--+-

tan8sin6cos8

|OB|=|OD|+|DB|=l+2tan6>,

一112

则sOAB的周长可表示为IOA|+1OB|+1AB|=2H--------F1+2tan0H--------1---------

tan0sin0cos0

i

令tan6=">0,贝|sin<9=i,cos<9=

#7TJ»+i

2

iA//_i_i/------,1_12t

则周长为y=3+/2/+,+2g,则尸一二2-瓦尸q+不7T

112t23/+2f2.

0

令相（。=一丁+2_,广—+r——,«>0）,则加«）=/+r+r>,

t「业+1,厂+1'z34（r+ir（产+1户

,1cl2t

即y=-”+2-&/+]+77G在（°，+◎上单调递增，

2

1c12tn2t-l1-2/

令y'=。，即一产+2-----------/-------/二0,即——

/+1〃+112dt2+1

3

整理为4户—3/=0,可得t=

4

33

贝ij当o</<时，y<o,当时，y>o,

44

即函数y=3+；+2f+'7+2V?W在区间（0卷）上单调递减，在弓,+«0上单调递增,

・・・函数在t=：时，取得极小值，且为最小值，

4

3

即当Q4B的周长最小时，tan,

4

故选：B

【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于求出三角形周长的表达式后，要利用导数判断其最

值情况，其导数的计算比较复杂，要特别注意.

8.D

答案第5页，共20页

【分析】首先求得了'(%)=〃905%+5皿%)-$1112%+1,则问题转化为广。)之。在一万，万恒成

立，

令t=cosx+sinX,可将问题转化为不等式/-必-2W0在［-1,四］上恒成立.构造函数

.「［/z(-l)<0

h(t)=t2-at-2,ZG［-1,伪,只需满足j以衣<0.可求得〃的范围.

【详解】/(x)=a(sinx—cosx)+；cos2x+x,

/./(x)=〃(cosx+sinx)-sin2x+l

jr

若在F，n上单调递增

,71

贝U/(%)=Q(cosx+sinx)—sin2x+l2。在一于兀恒成立，

々f=cos尤+sinx,则r=VIsin［x+/］,sin2x=产-1,又一fVx+fV”故，

V4J444

一停Wsin卜+(卜1n/e［-1,行］，所以问题转化为不等式1m+2上0在［-1,四］上恒成

立，即不等式f2—成_240在［-1,忘］上恒成立.令帕)=产-1-2,忘］，则有

［/?(-1)<0

［0)4。'解得°会九

故选:。.

【点睛】本题的求解过程自始至终贯穿着转化与化归的数学思想，求函数的导数是第一个转

化过程，换元是第二个转化过程;构造二次函数是第三个转化过程，也就是说为达到求出参数

■的取值范围，求解过程中大手笔地进行三次等价的转化与化归,从而使得问题的求解化难为

易、化陌生为熟悉、化繁为简，彰显了数学思想的威力，难度困难.

9.BC

【分析】对于A：由2eM,得出3d+3x-4或f+x-4等于2,分别求解，然后验证互异

性即可判断为错；对于B：由集合间的包含关系和补集的概念判断正确；对于C：令集合

｛尤I尤=3w-2,〃eZ｝中的a=L+L左©Z,即可判定为正确；对于D,取特值即可判定为错误.

【详解】对于A：由2eM,

右3%2+3%—4=2=>f+%—2=0=>x=-21,

当％=1时，f+%-4=-2不满足互异性，舍去，当％=-2时，x2+x-4=-2,不满足互异

答案第6页，共20页

性，舍去；

若d+x—4=2=>/+*-6=0=>x=-3或2,

当x=2时，3尤？+3元一4=14合题意，当x=—3时，3/+3x—4=14,合题意，

故％=-3或2,A错误；

对于B：若AgB,则翻URA,B正确；

对于C：令集合{x|x=3〃-2,〃eZ}中的〃=左+1,左eZ,得

{x[x=3〃-2,〃eZ}={x|x=3左+1,%eZ}={x[x=3〃+l,"eZ},故C正确；

对于D：x="y=-Enx+y=O不是无理数，若x+y=&+l为无理数，可取x=6,y=l,x

和y不都是无理数，故"X和y都是无理数”是“x+y是无理数”的既不充分也不必要条件，故

D错.

故选：BC.

10.ACD

【分析】利用正弦型函数的周期公式求周期判断A,利用正弦型函数的对称性可判断B,利

用正弦型函数的单调性可判断C,利用正弦型函数的值域可判断D.

【详解】•••函数/(x)=2sin(2x-1+l的周期T=§=万，所以万)=/(力恒成立，

故A正确；

又小+f=2sin2x+l,所以/'1+1^=251吟+1=白+1,

/H+C=2sinH]+i=_^+1,所以小+力"{表小，

所以/卜+7]的图象不关于原点对称，故B错误；

当时，所以函数/(x)=2sin(2x-g1+l在上单调递

增，故C正确；

।—।、r兀7C一广.—TCTC2兀.-\/3.（TC\

因为无£—,所以2%一5£—，故w-Wsin2冗一7W1,

/（x）e[V3+l,3],又2（石+1）>3,gp2/（%）^>/（%）max,

nTT

所以对VX1,尤2，毛€勺，5]，有/（%）+/（三）>/（尤2）成立，故D正确.

故选：ACD.

答案第7页，共20页

11.AB

【分析】根据函数丫=^与y=lnx的图象关于y=x对称、4(%,%)在〉=-％+2上，可判断

A；利用基本不等式和选项A可判断B；设/(x)=e*+X-2,利用函数的单调性可得。<X1<1,

22

1<X2<2,由％In%+尤1nxi<(西一％2)山工<0可判断C；记g(x)=2-x-lnx,利用零点存

在性定理可得1<々，由西W=(2-%2)赴二马山々构造函数/(x)=xlnx(x>0),利用导

数可得f(x)在尤e(l,e)上单调递增，可得答案.

【详解】对于A,因为函数丫=^与y=lnx互为反函数，它们的图象关于y=x对称，

因为y=x与V=-x+2互相垂直，所以4(下,必),3(孙力)关于丫7对称，

所以占=%，%=%，又4(玉,M)在y=-x+2上，

所以乂=-占+2,所以士+马=2,故A正确;

对于B,+e*>2点计&=2e，故B正确;

将V=-*+2与y=e*联立可得-x+2=e*,即e*+x-2=0,

设/(x)=e*+x-2,则函数为单调递增函数，

因为/'(0)=e°+0-2=-1<0,+：-2=£-|>0,

故函数的零点在H上，即0<玉<g,由占+Z=2得，

1<%,<2,Xjlnxj+x2lnxj=xjnx2-%皿，<占In尤?In%=(xx-x2)\n.x1<0,故C错误;

x\

记g(x)=2-x-lnx,则x>0时g(x)为单调递减函数，

g(l)=2-l-lnl=l>0,g^Vej=2-Ve-InVe=^-Ve<0,

则1V%2〈八，2-％2—ln%2=。,所以玉％=(2-%2)%2=%21n%2，

函数〃%)=%山%(%>0),r(x)=l+lnx,当％£(l,e)时，>0,

所以/(%)在％£(l,e)上单调递增,又%=lnw=芯,

故石兀2=/In/<五In五=

2

故选项D错误.

答案第8页，共20页

故选：AB.

【点睛】关键点点睛:解题的关键点是构造函数〃x)=e*+彳-2,利用单调性得到0VAi<1,

1<X2<2,考查了学生的思维能力、数学运算能力.

12.-3

【分析】根据复数的除法运算法则，化简复数，根据复数的概念即可求解.

〃+3i(tz+3i),(1—i)a+3+(3—〃)i〃+3(3—〃).

【详解】--.；=---~~L=-+^--Ll

1+1+2r22

因为复数为纯虚数，所以彳=。，a=3

故答案为：-3.

13.巫

2

【分析】根据题意，找到与直线X+'+4=0平行且与曲线Y=4y相切时的切点坐标，再结

合点到直线的距离公式，即可得到结果.

【详解】设直线x+y+6=0与y=相切，则切线的斜率为t

4

且/=gx,令y=gx=-l,则x=-2,即切点的横坐标为—2,

将x=—2,代入y=可得y=i,即切点坐标为(一2,1),

所以点P到直线x+y+4=0的距离的最小值即为(-2,1)到直线的距离，

即八匕二±也，

V1+12

故答案为：地

2

125兀

14.

6

答案第9页，共20页

【分析】由直线与平面没有公共点可知线面平行，补全所给截面后，易得两个平行截面，从

而确定点P所在线段，可知当时，三角形3片尸面积最小，然后证明耳P,得

到为三棱锥A-24尸的外接球的直径，进一步求解得答案.

【详解】补全截面E/G为截面EFGHQK如图，设以，AC,

「直线DtP与平面EFG不存在公共点，,DtP//平面EFGHQR、,

易知平面ACR//平面EFGHQR,,.-.PeAC,

且当尸与R重合时，BP=BR最短,此时PBB］的面积最小，

由等面积法得;BRXAC=：ABX8C,BP|B/?XA/32+42=^X3X4,:.BP=三,

B,B±AP,BP±AP,.1AP，平面4BP,则AP_L耳尸，

又AB，与8,A与为三棱锥A-8男尸的外接球的直径，长度为反百=5・

二三棱锥A-84尸的外接球的半径为g,体积为V=g;rx5

【点睛】方法点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法

(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转

化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.

(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段以，尸8,PC两两互相垂直，一般把有关元

素“补形”成为一个球内接长方体，利用摩2+总2+~?2=4友求解，考查学生的空间想象能

力与思维能力，是中档题.

答案第10页，共20页

41

15.(1)—

・99

（2）H

【分析】（1）由题，可知总情况数为c；。。，2人选考科目数量分别为1,2,3的情况数，据

此可得答案；

（2）由题意可知X的可能取值分别为0,1,2,分别求得X=0,1,2时概率即可得答案；

402

（3）由题可得随机抽取1人，选考科目数为2的概率为又F22,即4人中有2

人，3人，4人选考科目数为2,即可得答案.

【详解】（1）记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件A,则

两人选考物理、化学、生物科目数量（以下用科目数或选考科目数指代）为1的情况数为C；。，

OC；41

数目为2的为C3数目为3的有C3则尸（A）=

C?oo99

（2）由题意可知X的可能取值分别为0」,2.

或+1+/=41

为0时对应概率为（1）中所求概率:p(x=o)=

/99’

为1时，1人选考科目数为1,另一人为2或1人为2,1人为3：

CXo+C'C；16

P(X=1)=oo

33

为2时，1人为1,1人为3：P（X=2）=?/=卷.

joo

则分布列如图所示:

X012

411610

P

993399

故X的期望为E（X）=0x面+以玉+2*面=为；

（3）所调查的100名学生中物理、化学、生物选考两科目的学生有40名，相应的频率为

答案第11页，共20页

忐40=§2,则4人中随机1人选考2科的概率为二2.

Xr>2,当y=2时，相应概率为i=x"-|)；当y=3时，相应概率为

2

；y=4,相应概率为6

5

贝iJp（yN2）=c；1|]x2328

+C：

625

16.(1)见解析；⑵(0,2)U(2,4W)

【分析】(1)代入。的值，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；

(2)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点个数确

定a的范围即可.

【详解】⑴当a=2时，r(x)=2x-p令r(%)=0,解得X=l.

列表：

X（0,1）1（L+OO）

r（x）——04-

f(x)极小值/⑴/

所以，当x=l时,〃力有极小值"1)=0,/⑴没有极大值

r

(2)①因为/(力=炉_01nx_i,x>0所以/(x)=2x--.

当aV0时，/r(x)>0,

所以“力在(。，+8)上单调递增，“X)只有一个零点，不合题意，

当。>0时，由尸(x)>0得x>J|,由/'(x)<0得0。<机，

\a

所以/(力在Q上单调递减，/(尤)在2，+C°上单调递增,

所以八x)在尤=自处取得极小值，即为最小值.

答案第12页，共20页

1。当4=2时，f（x）在（0,1）上单调递减，/（元）在（1，+8）上单调递增,

/（元）只有一个零点，不合题意；

2°当0＜。＜2时,/⑴=0,/（元）最多有两个零点.

注意到f(x)=x2-a\nx-\＞-a\nx-\,令一alnx-1=0,

取x0=e-，使得〃毛）>0,下面先证明机>/：；

设g（x）=xlnx,g，（尤）=lnx+l,令g[x）=0,解得尤=:.

列表

1

X

e

g'(x)——0卜

g(x)极小值T

当x二L

所以，g（x）有极小值g

e

所以故即'口〉e".

e22\2

因此，根据零点存在性定理知，在上〃x）必存在一个零点,

又x=l也是/（%）的一个零点，则/（x）有两个相异的零点，符合题意

3。当。>2时，g>l,故/。）=0,/（“最多有两个零点.

注意到lnx<x,取x，=a+l>J^,

贝If（x，）=x，2-^lnxr-l=（«+l）2_Qln（Q+l）_]

++1=a>0,

因此，根据零点存在性定理知，在+1上必存在一个零点,

又x=l也是“X）的一个零点，则/（x）有两个相异的零点，符合题意.

答案第13页，共20页

综上所述，实数a的取值范围是(0,2)u(2,y).

【点睛】本题考查了函数的单调性，最值及零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想,

转化思想，是一道综合题.

17.(1)证明见解析

(2)6

【分析】(1)先做一条辅助线，再通过面面垂直的性质得到。平面ABC,再根据OE平

面A3C,可得进而根据线面垂直的判定定理即可证明.

(2)过点E作EN1.BC交8c与点N，连接ON,通过题目条件和小问1结论证明四边形ODEN

为平行四边形，然后把多面体ABCDE分为两个三棱锥求体积，令

£>E=x(OWx<l),把求体积的最大值转化为求关于尤的函数的最大值.构造函数/(x),通过

导函数判断其单调性，进而得到f(x)的最大值，求出此时的尤值.然后以点0为原点建立空

间直角坐标系。-孙z,通过向量法求A"与CZ>所成角的正切值.

【详解】(1)过点。作DO,AC交AC与点0,

平面ABCJ,平面ACD,且两平面的交线为AC

平面ABC又'DE.平面ABC:.DO±DE

又：AD_!_£>£■且ADcOO=D平面ACD

(2)过点E作①交3c与点N,连接ON

平面ABCJ,平面3CE,且两平面的交线为8c

；.EN_L平面ABC又•.AE)平面ABCE到平面ABC的距离相等

ADOEN旦D0=EN,ON_L平面ACD:.CO=ON,DE=ON

■■+^-ACD=1-S1DE.SMCD=1EW+1DE.DO=1DO(1+DE)X

DO2+DE2^DO2+CO2=CD2=1,令DE=x(0VxWl)

则VABCDE=/W=1^0(1+DE)=，"x)=-2x).

所以/■红)在上单调递增，在］上单调递减，

即5</1>岑，当且仅当DE=；时取得最大值.

如图所示，以点0为原点建立空间直角坐标系。-孙z,

答案第14页，共20页

(]3OC3封f106

所以",AM=〔444)122J

\4447

AMCD历

设A"与C。所成角为a,则cosa=--------=——,则tantz=6,即当几何体ABCDE体

AM\-\CD37

积最大时，4〃与8所成角的正切值为6.

/K2

18-(1)¥+T=1

⑵述

3

【分析】(1)由题意可得c=2,即可求出力=2,即可求出椭圆的标准方程；

(2)方法一：设4%,%),8(%，%),利用向量。尸，求得点尸的坐标，根据点尸在椭圆上，

把直线的方程和椭圆方程，利用根与系数的关系、韦达定理，利用弦长公式，即可求解；

方法二：设42&3%25m口),3(2行3尸21110,根据题意和点尸在椭圆上，化简整理

可得a-4=1,再根据中点坐标公式，消去a线段AB的中点。的轨迹方程，再设",N两

点点坐标为(%,%),根据弦长公式即可求出.

【详解】(1)由已知得2c=4,b=2,故c=2,a=2A/2,

22

故椭圆c的标准方程为二+幺=1.

84

(2)方法一

设A(再,％),2(无2,为)，

34(3434、

因为0尸=三。4+三08,所以0尸=|彳西+三尤2，三"+三%.

答案第15页，共20页

一「3434

故P点坐标为［5玉+二区2'不'1+1%

由于点P在椭圆C上,

故有照+川2+聆】+轲

=1,

2222

9%।%16%2।%24

H-------H-----

2584258425

所以十+苧=°'

X_X|+%

-7

令线段m中点坐标为Q(x,y),则

y=2i±A

因为A,8在椭圆C上，故有°,\

"+江=1

184

2222

相加有%+%+X+%=2,

84

故(%+%)2-2=々+(必+%『-2%%=2,

84

由于牛+个=0,

故包+在1=2,即。点的轨迹E的方程为片+亡=1，

8442

《+匚1

联立《42得3/+4彳-2=0,

y=x+1

设”(%,%)，N(*%)，

42

则xx=——,

x3+x4=――,34

故\MN\=J1+左2k3-X|=d、+k2d5+Z)2-4冗3>4=.

4

方法二

设A(2A/2COSa,2sina\5(2^2cosB，2sin0),

答案