专题4.1 一元一次不等式（组）（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（湘教版）

专题4.1一元一次不等式（组）（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】不等式1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.要点提醒：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如，等；另一种是用数轴表示，如下图所示：（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．2.不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．【知识点二】一元一次不等式1.定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，要点提醒：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．2.解法：解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.

要点提醒：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案.要点提醒：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.【知识点三】一元一次不等式组

关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.

要点提醒：（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.

（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.

（4）一元一次不等式组的应用：①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．【考点一】不等式【例1】（2023春·七年级课时练习）在中，，设的度数为，的度数为．（1）求与的函数表达式；（2）若是锐角三角形，请确定的取值范围．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由三角形的内角和等于180°即可得到答案．（2）由锐角的特征列出不等式，解不等式即可得到答案．（1）解：由已知，则，∴；（2）解：依题意有解得：【点拨】本题考查三角形的内角和、解不等式组，熟练掌握相关知识是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023秋·浙江·八年级专题练习）据悉，我国设计制造的天舟二号货运飞船，在2021年5月29日顺利升空，将6吨多物资运送到天和核心舱，若用a表示货运飞船的载货质量，则对a的取值理解最准确的是（）（单位：吨）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据“6吨多”得到的取值范围即可．解：根据“6吨多”物资运送到天和核心舱得到．故选：D．【点拨】本题主要考查了不等式的定义：用“”或“”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“”号表示不等关系的式子也是不等式．【变式2】（2023春·全国·七年级专题练习）已知的最小值为a，的最大值为b，则a-b=．【答案】-7【分析】解答此题要理解“≥”“≤”的意义，判断出a和b的最值即可解答．解：因为的最小值是a，a=-3；的最大值是b，则b=4；则a-b=-3-4=-7，故答案为：-7．【点拨】此题考查不等式的定义，关键在于掌握时，x可以等于-3；时，x可以等于4．【考点二】不等式的基本性质【例2】（2023春·安徽六安·七年级校考阶段练习）（1）若，比较与的大小，给出你的理由；（2）若，比较和的大小，给出你的理由．【答案】（1），理由见分析；（2）当时，；当时，；当时，，理由见分析【分析】（1）由不等式的性质：两边同时乘以得，两边同时加1得；（2）分三种情况讨论：当时，当时，当时，以此即可解答.解：（1），理由如下：，，；（2）①当时，；②当时，，；③当时，，；综上，当时，；当时，；当时，．【点拨】本题考查了不等式的性质，不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向要改变；等式的两边同时乘以或除以含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．【举一反三】【变式1】（2022春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）关于的不等式的解集为，则与的大小关系为（

）A． B． C． D．无法确定【答案】C【分析】先根据关于的不等式的解集为，得出的关系，即可求出答案．解：关于的不等式的解集为，，，故选：C．【点拨】本题主要考查了不等式的解集，在解题时要注意注意不等式两边同时乘以同一个负数时，不等号的方向改变．【变式2】（2023春·七年级课时练习）已知a＜b，则－4a＋5－4b＋5（填＞，＜或＝）．【答案】＞【分析】根据不等式的性质，有序计算即可．解：∵a＜b，∴-4a＞-4b，∴-4a+5＞-4b+5，故答案为：＞．【点拨】本题考查了不等式的性质，正确理解性质是解题的关键．【考点三】一元一次不等式

【例3】（2023春·七年级课时练习）已知关于y的方程的解是负数．（1）求m的取值范围；（2）当m取最小整数时，解关于x的不等式．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先解一元一次方程求出方程的解，再根据建立不等式，解不等式即可得；（2）先根据（1）的结果求出的值，再代入解一元一次不等式即可得．（1）解：，，解得，关于的方程的解是负数，，即，解得．（2）解：，且取最小整数，，代入得：，，，，解得．【点拨】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，熟练掌握方程和不等式的解法是解题关键．【举一反三】【变式1】（2023春·七年级课时练习）下列解不等式的步骤中，错误的一步是（

）A．去分母，得 B．去括号，得C．移项、合并同类项，得 D．系数化为1，得【答案】D【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解，然后与各选项比较即可．解：去分母，得去括号，得移项、合并同类项，得系数化为1，得故选D．【点拨】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．【变式2】（2023春·七年级课时练习）若，则关于x的不等式的解集是．【答案】【分析】先判断出，再根据不等式的基本性质得到不等式的解集即可．解：∵，∴∵，∴，故答案为：【点拨】此题考查了不等式，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．【考点四】一元一次不等式的应用

【例4】（2023春·吉林长春·七年级校考期中）为了保持膳食平衡，建议合理控制学生的肉类摄入量．学校午餐有A，B两种套餐，小明发现1份A套餐和1份B套餐共含肉类145克，2份A套餐和3份B套餐共含肉类350克．套餐主食（克）肉类（克）其他（克）A150165B140160（1）求表格中x，y的值；（2）如果在一周里，学生午餐主食摄入总量不得超过720克，那么某同学在一周里可以选择A，B套餐各几天？写出所有的方案．（说明：一周按5天计算，每餐只选一种套餐．）【答案】（1）；（2）共有3种方案：A套餐0天，B套餐5天；A套餐1天，B套餐4天；A套餐2天，B套餐3天．【分析】（1）根据题意列二元一次方程组求解即可；（2）设选择A套餐m天，则B套餐天，根据题意列出一元一次不等式求解即可．解：（1）根据题意可得，解得；（2）设选择A套餐m天，则B套餐天，根据题意可得，解得∵m为正整数，∴m的值可以为0，1，2∴共有3种方案：A套餐0天，B套餐5天；A套餐1天，B套餐4天；A套餐2天，B套餐3天．【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系和不等关系．【举一反三】【变式1】（2022秋·八年级课时练习）已知三角形两边的边长分别为3、4，则第三边长度的取值范围在数轴上表示为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设第三边长度为x，由三角形三边关系可得一元一次不等式组，求解不等式组即可．解：设第三边长度为x，由三角形三边关系可得解得故答案为：A．【点拨】本题考查了三角形三边关系的问题，掌握三角形三边关系、解不等式组的方法是解题的关键．【变式2】（2023·山西大同·校联考模拟预测）某便民商店，在春节之际购进A，B两种不同的蔬菜礼盒共100盒，已知售出1盒A种蔬菜礼盒获利3元，售出1盒B种蔬菜礼盒获利5元，全部售完后，获利不低于420元，则购进A种蔬菜礼盒至多盒．

【答案】40【分析】根据题意设购进种蔬菜礼盒盒，则购进种蔬菜礼盒盒，利用获利不低于420元得出不等式，进而得出答案．解：设购进种蔬菜礼盒盒，则购进种蔬菜礼盒盒，根据题意可得：，解得：，故购进种蔬菜礼盒至多40盒．故答案为：40．【点拨】此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确得出不等关系是解题关键．【考点五】一元一次不等式组

【例5】（2022春·安徽亳州·七年级校考阶段练习）已知不等式组的正整数解为，求的取值范围．【答案】【分析】先求解一元一次不等式组，再根据题意建立关于参数的不等式即可求解．解：解①得：解②得：∵不等式组的正整数解为∴∴【点拨】本题考查根据一元一次不等式组的解集情况确定参数的取值范围．注意计算的准确性．【举一反三】【变式1】（2023春·吉林长春·七年级校考期中）解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来：（1） （2）【答案】（1）；（2）无解【分析】（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．解：（1）解不等式①，移项，合并同类项得；解不等式②，去括号得，移项，合并同类项得，系数化为1得，；数轴表示如下：故不等式组的解集为：；（2）解不等式①，移项，合并同类项得，；解不等式②，去分母得，移项，合并同类项得，系数化为1得，；数轴表示如下：故不等式组无解．【点拨】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【变式2】（2023秋·重庆江北·八年级重庆十八中校考阶段练习）解方程组及不等式组：（1） （2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）按照加减消元法解方程组即可求解；（2）先解不等式①，再解不等式②，然后找出两个解集的公共部分即为不等式组的解集．（1）解：得，解得：，将代入②得，∴方程组的解为：；（2）解：解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为：．【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组．熟练掌握利用加减消元法解方程组，以及解不等式组的步骤是解题的关键．【考点六】一元一次不等式组综合运用

【例6】（2023秋·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）随着新能源汽车的普及，为节省运输成本，某汽车运营公司计划购进A型与B型两种品牌的新能源汽车，若购进A型汽车2辆，B型汽车3辆，共花费140万元：若购进A型汽车8辆，B型汽车14辆，共花费620万元，（1）A型与B型汽车每辆的进价分别是多少万元？（2）该公司计划购进A型与B型两种汽车共10辆，费用不超过290万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，请你列举出所有购买方案．【答案】（1）25；30；（2）方案一：购进2辆A型汽车，8辆B型汽车；方案一：购进3辆A型汽车，7辆B型汽车；方案一：购进4辆A型汽车，6辆B型汽车【分析】（1）设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，根据“若购进A型汽车2辆，B型汽车3辆，共花费140万元：若购进A型汽车8辆，B型汽车14辆，共花费620万元”，即可得出二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车，利用总价=单价×数量，即可得出关于m，n的不等式组，即可求出各购买方案．（1）解：设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，根据题意得：，解得：，答：每辆A型汽车的进价为25万元，每辆B型汽车的进价为30万元；（2）解：设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车，根据题意得：，解得：，方案一：购进2辆A型汽车，8辆B型汽车；方案一：购进3辆A型汽车，7辆B型汽车；方案一：购进4辆A型