2.2 等腰三角形（原卷版）

2.2等腰三角形了解等腰三角形和等边三角形的概念掌握等腰三角形和等边三角形的性质定理和判定定理掌握有一个角是30°的直角三角形的性质知识点一等腰三角形概念有两边相等的三角形叫做等腰三角形(isoscelestriangle).如图,在△ABC中,AB=AC△ABC是等腰三角形即学即练1如图，点D在AC上，AB=AC，AD=BD．你能在图中找到几个等腰三角形？分别说出每个等腰三角形的腰、底边和顶角．即学即练2已知线段a，b（如图）．用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使AB=AC=b，BC=a．即学即练3求证：等腰三角形两腰上的中线相等．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，CD，BE分别是腰AB，知识点二等腰三角形的对称性当我们沿着等腰三角形ABC的顶角平分线AD所在的直线把△ABC对折时，因为∠BAD=∠CAD,所以射线AB与AC重合，又因为AB=AC,所以点B与点C重合,即直线AD两侧的形能够完全重合.因此我们有下面的结论:等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线所在的直线是它的对称轴.知识点三等边三角形1.概念我们知道，三条边都相等的三角形叫做等边三角形(equilateraltriangle).如图,AB=BC=AC,△ABC是一个等边三角形.2.等边三角形于等腰三角形的关系等边三角形是一类特殊的等腰三角形3.等边三角形的对称性等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.4.常见轴对称图形及其对称轴名称图形及其对称轴对称轴的条数对称轴角1角平分线所在的直线等腰三角形1底边上的高(顶角平分线或底边上的中线)所在的直线等边三角形3各边上的高(内角平分线或中线)所在的直线等腰梯形1上、下底的中点的连线所在的直线圆无数过圆心的直线正方形4①对角线所在的直线;②对边中点的连线所在的直线正五边形5顶点与对边中点的连线所在的直线正六边形6①相对的两顶点的连线所在的直线;②对边中点的连线所在的直线注意(1)对称轴是一条直线,不是射线或线段.(2)一个轴对称图形的对称轴可以有1条,也可以有多条,还可以有无数条(3)轴对称图形是对于一个图形而言的，反映的是其自身的对称性即学即练如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是AB，AC上的点，且AD=AE．AP是△ABC的角平分线．点D，E关于AP对称吗？DE与题型一等腰三角形的定义例1（2022秋·浙江金华·八年级校联考期中）如果等腰三角形的两条边长分别为23cm和10cm，那么周长为cm举一反三1（2023秋·浙江杭州·八年级统考阶段练习）等腰三角形的周长为21．(1)若已知腰长是底边长的3倍，求各边长．(2)若已知一边长为6，求其他两边长．举一反三2（2023·浙江金华·统考三模）等腰三角形的周长为10，腰长为x，求x的取值范围题型二确定第三边的取值范围例2（2023春·山西运城·八年级统考期中）等腰三角形腰长为5，则其底边长a的取值范围为．举一反三1（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）若a，b是△ABC(1)试求a，b的值，并求第三边(2)若△ABC是等腰三角形，试求此三角形的周长．举一反三2（2023秋·浙江金华·八年级校考阶段练习）已知在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=m．(1)求m的取值范围；(2)若△ABC是等腰三角形，求△ABC的周长．题型三等腰三角形的对称性例3如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC．(1)作出△ABC的对称轴AD．(2)分别作出点E，F关于AD的对称点．举一反三1（2021春·广东佛山·七年级统考期末）如图，△ABC中，AB=AC，利用尺规作图，作出△ABC的对称轴（不写作法，保留作图痕迹）举一反三2等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（

）A．腰上的中线 B．腰上的高所在的直线C．顶角的平分线所在的直线 D．过顶点的直线单选题1．（2022秋·广东广州·八年级广州市番禺区市桥星海中学校考期末）如图，把一张长方形的纸，按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC是（）A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形2．（2022春·陕西西安·八年级校考期末）已知△ABC的三边a、b、c满足aa+c-bc-ab=0，则△ABC的形状为（A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形3．（2021秋·江苏盐城·八年级统考期中）在平面直角坐标系xOy中，点A2,0，B0,2，若点C在x轴上，且△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为（A．1 B．2 C．3 D．44．（2021秋·江西宜春·八年级校考阶段练习）已知等腰三角形一边长为4，一边的长为2，则等腰三角形的周长为（

）A．6 B．8 C．10 D．8或105．（2022秋·湖北省直辖县级单位·八年级校联考期中）已知等腰三角形两边长为3cm和7cm，则周长为（）A．13cm B．17cm C．13cm或17cm D二、填空题1．（2022春·陕西西安·八年级校考期中）等腰三角形两边长分别为4和8，则该三角形第三边长为．2．（2022秋·江西抚州·七年级江西省临川第二中学校考开学考试）一个等腰三角形相邻两个内角的度数比是2∶5，这个等腰三角形的顶角是度．3．（2023秋·海南海口·七年级海南华侨中学校考开学考试）已知一个等腰三角形一条边长4厘米，另一条边长9厘米，那么这个等腰三角形的周长是厘米．4．（2023春·江西鹰潭·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，A，B的坐标分别为4,0，0,2，在x轴上找一点P，使△PAB是以线段AB为腰的等腰三角形，那么P点的坐标为．

三、解答题1．（2022秋·天津·八年级校考期中）在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上．(1)在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A(2)在正方形网格中存在个格点，使得该格点与B、C两点构成以BC为底边的等腰三角形．2．（2019秋·河南濮阳·八年级统考期末）如图，AB⊥AC于C，BD⊥DC于C，AC、BD相交于点O．（1）请你添加一个条件，使图形中的△AOB与△DOC全等，并说明理由；（2）在（1）的条件下，请你在图中添加一条