2024年浙江省宁波市南三中考二模数学试题（解析版）

2024年初中毕业生学业诊断性考试数学试题卷

考生须知：

1.全卷分试题卷I、试题卷n和答题卷.试题卷共6页，有三个大题，24个小题.满分为150

分，考试时长为120分钟.

2.请将学校、班级、姓名和准考证号分别填写在答题卷的规定位置上.

3.答题时，把试题卷I的答案在答题卷I上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满.将试题卷

II的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷n各题目规定区

域内作答，做在试题卷上或超出答题区域书写的答案无效.

4.不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示.

试题卷I

一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1.实数-2023的绝对值是（）

11

A2023B.-2023C.-------D.----------

20232023

【答案】A

【解析】

【分析】根据绝对值的代数意义即可得出答案.

【详解】解：因为负数的绝对值等于它的相反数,

所以，-2023的绝对值等于2023.

故选：A.

【点睛】本题考查了绝对值的代数意义，熟练掌握知识点是本题的关键.

2.下列计算正确的是（）

A.4a-2a=2B.as-i-a4—a2C.a2-a3=a5D.仅=b5

【答案】C

【解析】

【分析】根据整式的减法运算，同底数基的乘法、除法运算，塞的乘方进行运算求解，然后进行判断即可.

【详解】解：A中4a—2a=2aw2,错误，故不符合要求；

B中48+〃=//〃，错误，故不符合要求;

C中/“3=/,正确，故符合要求;

第1页/共

D中仅2)3="45,错误，故不符合要求；

故选C.

【点睛】本题考查了合并同类项，同底数累的乘法、除法运算，塞的乘方等知识.解题的关键在于正确的

运算.

3.中华人民共和国第十四届人民代表大会第一次会议政府工作报告指出：2023年国内生产总值预期增长目

标5%左右，城镇新增就业1200万人左右，将1200万用科学记数法表示为()

A.12xl06B.1.2xl07C.1.2xl08D.0.12xl08

【答案】B

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为4X10"的形式，其中1与。|<10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原

数变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.

【详解】解：1200万用科学记数法表示为1.2义1。7.

故选：B.

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为oxi。"的形式，其中lW|a|<10,n

为整数，表示时关键要正确确定。的值以及w的值.

4.如图是一个底面为正三角形的直三棱柱，其主视()

【答案】B

【解析】

【分析】观察图形，根据主视图定义即可得.

【详解】直三棱柱的主视图如图所示：|j

故选：B.

第2页/共

【点睛】本题主要考查图形的三视图中的主视图，熟知定义并仔细观察图形是解题的关键.

5.据调查，某班40名学生所穿鞋子鞋号统计如下表：

2021222324

鞋号

频数289192

则该班学生所穿鞋子鞋号的中位数和众数分别是（）

A.23,22B,22,23C.17,23D.23,23

【答案】D

【解析】

【分析】数据按照大小排列后处在中间位置或中间位置两个数的平均数，就是中位数，出现次数最多的数

据叫做众数，根据中位数和众数的定义进行求解即可.

【详解】解：40名学生所穿鞋子鞋号从小到大排列后处在中间位置的两个鞋号都是23,

23+23

中位数为-------=23,

2

出现次数最多的鞋号是23,共出现19次，故众数为23,

则该班学生所穿鞋子鞋号的中位数和众数分别是23,23.

故选：D

【点睛】此题考查了中位数和众数，熟练掌握中位数和众数的定义是解题的关键.

6.如图，在，中，NACB=90。，D、E分别是AB、AC的中点，连结£>£、CD.若AC=6,DE=4,

则CD的长为（）

A.7B.6C.5D.4.8

【答案】C

【解析】

【分析】由题意知，DE是的中位线，根据求的值，根据直角三角形斜边的中线

2

第3页/共

等于斜边的一半可得CD=gAB,在中，由勾股定理得AB=1AC?+BC?，求A3的值，进

而可得CD的值.

【详解】解：E分别是AB、AC的中点,

石是_ABC的中位线，

：.DE=-BC,

2

BC=8,

又：..ABC是直角三角形,

：.CD=-AB,

2

在RtZVRC中，由勾股定理得A6=1AC)+5c2=10，

CD=5,

故选C.

【点睛】本题考查了中位线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识.解题的关键在于

对知识的熟练掌握与灵活运用.

7.小明的父母出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，母亲随即按原来的速度返回，父亲在

报亭看报10分钟，然后用15分钟返回家，下面给出的图象中表示父亲离家距离与离家时间的函数关系是

【解析】

【分析】由题意知，当％=0时，y=。；当彳=20时，y=900；当x=30时，y=900；当彳=45时，y=。；

找出满足以上条件的图象即可.

第4页/共

【详解】解：由题意知，当X=0时，7=0；

当x=20时，y=900；

当x=30时，y=900；

当x=45时，y=0；

满足以上条件的函数关系为C选项,

故选C.

【点睛】本题考查了与路程问题有关的函数图象.解题的关键在于理解题意.

8.我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有甲、乙怀钱，各不知其数，甲得乙十钱多乙余钱五倍，

乙得甲十钱适等，问甲、乙怀钱各几何？”译文为：现有甲、乙两人带有一些银子，都不知道数量，甲得到

乙的10两银子，甲比乙多出的银子是乙的5倍，乙得到甲的10两银子，两人的银子恰好相等，问甲、乙各

带了多少两银子?设甲带了％两银子，乙带了y两银子，那么可列方程组为（）

p+10-（y-10）=5（y-10）x+10=5（y-10）

B.

x-10=y+10x-10=y+10

p+10-（y-10）=5（y-10）x-10=5（y+10）

D.

x+10=y-10x-10=y+10

【答案】A

【解析】

【分析】根据“甲得到乙的10两银子，甲比乙多出的银子是乙的5倍”、“乙得到甲的10两银子，两人的

银子恰好相等”建立方程组即可得.

【详解】解：由题意可列方程组为4°）i,

x-10=y+10

故选：A.

【点睛】本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系是解题关键.

9.如图，一次函数%=%-1的图象与反比例函数为=:的图象交于点A（2,m）,8（〃,一2）,当%>y2时,

X的取值范围是（）

第5页/共

A.%<—1或x>2B.%<—1或0<x<2C.一1<尤<0或0<x<2D.—1<九<0或x>2

【答案】D

【解析】

【分析】先把85，-2)代入%=%-1,求出〃值，再根据图象直接求解即可.

【详解】解:把5(〃,—2)代入％=x—1,得

—2=〃-1,解得：〃=—1,

5(-1,-2),

•图象交于4(2,〃。、3(—1,—2)两点,

.,.当％〉为时，一1<%<0或x>2.

故选：D.

【点睛】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握利用图象法求自变量的取值范围是解题的关

键.

10.如图，过YABCD的对称中心。的线段E产交AD于点E,交5C于点£尸为边AB上的一点，作

PQ〃BC爻EF千Q,连结则只需要知道下列哪个图形的面积，就能知道。下Q的面积

()

A.△PQb的面积B.△P3尸的面积C.一DEQ的面积D.四边形APQE的面积

【答案】B

【解析】

【分析】过点P作PNL8C于点N,过点A作AMLBC于点则PN〃AAf,得至U型="，由所

AMAB

过YA3CD的对称中心。，则即=3/，由PQ〃5C,得到竺=”，进一步得到

EFAB

s=--EDAM,S=-BFAM—,则可得到SDFOUSPBF，即可得到答案.

DF2O2ABPBF2AB

第6页/共

【详解】解：过点P作PN_LBC于点N,过点A作于点M,

PN//AM,

,PN_BP

所过YABCD的对称中心。，

/.ED=BF,

PQ//BC,

,QFBP

°FDD1DD

SDFO=JSDFE=——SDFE=-----------EDAM,

DFQEFDFEABDFE2AB

S=-BFPN=-BF-AM-,

PBF22AB

•V=q

.・DFQ~°PBF，

即只需要知道△PM的面积，就能知道-DFQ的面积.

故选：B

【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理、平行四边形的性质等知识，熟练掌握平行线分线段成比例

定理是解题的关键.

二、填空题（每小题5分，共30分）

11.-27的立方根是.

【答案】-3

【解析】

【分析】根据立方根的定义即可求解.

【详解】解：•.•（-33=-27,

/.-27的立方根是-3；

第7页/共

故答案为：-3.

【点睛】本题考查了求一个数的立方根，清楚立方根的定义是解题的关键.

12.分解因式：2加2_18=.

【答案】2(m+3)(m-3)##2(m-3)(m+3)

【解析】

【分析】原式提取2,再利用平方差公式分解即可.

【详解】解：2m2-18

=2(nj2-9)

=2(m+3)(777-3).

故答案为：2(〃?+3)(取3).

【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

13.一个不透明的袋子里装有8个只有颜色不同的球，其中1个白球，2个红球，5个黄球.从布袋里任意

摸出1个球，是黄球的概率为

【答案】-

8

【解析】

【分析】用黄球的个数除以球的总个数即可.

【详解】解：从布袋里任意摸出1个球，是黄球的概率为|,

故答案为：—.

8

【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数一

事件A可能出现的结果数.

14.传统服饰日益受到关注，如图1为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，如图2马面裙可以近似地看作

13

扇环，其中AD长度为一万米，长度为一万米，圆心角NAO£>=60，则裙长AB为.

35

第8页/共

4

【答案】二米##0.8米

【解析】

607rOA607rOB

【分析】由题意知，ln='=-7V,l='=-7T,计算求解Q4,05的值，然后根据

的1803BC1805

=Q4计算求解即可.

6Q71-OA16Q7i-OB3

【详解】解：由题意知，1AB----------------——71——冗

18031805

9

解得。4=1,OB=-,

4

：.AB=OB-OA=~,

5

4.

故答案为：彳米或0.8米.

【点睛】本题考查了扇形的弧长公式.解题的关键在于正确的计算.

15.如图，在4ABe中，NA=45°,AB=9&AC=6，。为边AC上的动点，。与边相切于点£),

连结CD,当△BCD为直角三角形时，。的半径为

【答案】3也或当

【解析】

【分析】作CE1AB于点E,求得AE=CE=3行，BE=6垃，分两种情况讨论，当NQCB=90°时，

求得NDCE=NB,利用正切函数列方程即可求解；当/加C=90。时，。的半径为CE的长，据此即

可求解.

第9页/共

【详解】解：作CE1AB于点E,

■：ZA=45°,AC=6,

AE=CE=372-BE=AB-AE=66,

当ZDCB=90。时，

设，。的半径为无，则AZ)=0D=x,DE=34i-x，

•：/DCE=90°—ZBCE=ZB,

DECE

tanZDCE=tanB,即---=----,

CEBE

.3亚-x_3亚

:.X;巫;即一。的半径为述；

22

，。的半径为3亚；

综上，。。的半径为3亚或孚•

故答案为：3行或半.

【点睛】本题考查了切线的性质，正切函数的定义，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条

件.

16.如图，矩形。43。的顶点A、C分别在X轴和y轴上，反比例函数y=亚过的中点。，交A3于

第10页/共

点E,尸为A3上的一点，BF=2AF,过点E的双曲线y=七交0。于点P,交0E于点。，连结尸Q,

x

则k的值为,△。尸。的面积为.

【解析】

【分析】设5（帆〃），则。［彳,小，将。［不，代入y=3限,可得加〃=6\/^,将

（Z21kTY1T1

日也，一代入y=—,可得左=—,计算求解即可；如图，过尸作轴于“，过。作无轴

V3）x3

于G,HM交GM于M,则四边形OGMH是矩形，由题意知，E

SHOP=SGOQ=巫，证明一XOPsCOD,_GOQS_AOE

OGGQ'SHOP、

==,将各量代入求解用如〃表示的OH,HP,OG,GQ的值，然后根据

AOAE'、SCODj

MQ=OH-GQ,PM=OG—HP,求出"Q,PM的值，根据SOPQ=S矩形OGM”—SGOQ—SHOP-SPMQ

^OGXOH-46-46-MQXPM,计算求解即可.

2

【详解】解：设网加，n）,则。（，“，/卜£|，

将。"代入y=，"得〃-m＞得m〃=6娓，

将歹（m,?］代入y=&得乌=幺，解得左=啰=2几，

I3jx3m3

第11页/共

k值为2限，

如图，过尸作轴于H,过。作GMLx轴于G,HM交GM于M,则四边形是矩形,

_<—c,—[f,

AOE=»HOP—GOQ70'

,:HP〃CD,

:.HOPsCOD,

解得OH=n，HP=m>

36

•：QG//AE,

:._GOQS_AOE,

OGGQ；瓜

OGGQ=『SHOP、

AOAE欢SwJBPm3屈—3，

m

解得OG-m，GQ=一,

3m

A/6瓜瓜

AMQ^OH-GQ=—n~—，PM=OG—HP=----m------m=—m，

3m366

SOPQ—S矩形0GM”—SGOQ-SHOP-SPM。

=OGxOH-46-y[6-MQxPM

2

第12页/共

A/6

一n----—m

与3m,6

2A/6--

_3«

，△。。。的面积为亚；

2

故答案为：2脏，巫.

2

【点睛】本题考查了反比例函数解析式，反比例与几何综合，相似三角形的判定与性质等知识.解题的关

键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

三、解答题(本大题有8小题，共80分)

17.(1)计算：(2x+l)~+x(x—4)

3%-6>0

(2)解不等式组：5-x,

【答案】(1)5/+1；(2)x>3

【解析】

【分析】(1)利用完全平方公式和单项式乘多项式的法则展开，再合并即可求解；

(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到

确定不等式组的解集.

【详解】解：(1)(2X+1)2+X(X-4)

=4/+4x+l+x2-4x

—5x2+1;

3x-6>0

⑵<5—x］，

----<1

I2

第13页/共

解不等式3x—6>0得：x>2；

5—x

解不等式——<1得：%>3；

2

则不等式组的解集为x>3.

【点睛】本题考查的是整式的运算，解一元一次不等式组.正确求出每一个不等式解集是解一元一次不等

式组的基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

18.如图，在4x4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点.ABC的顶点均在格点上，分别按要

求画出图形.

（1）将图1中的一ABC绕点A逆时针旋转90。，画出旋转后的八旬'。'.

（2）在图2中的上找一点产，使ZVLBE的面积与ZVLCE的面积之比为1:2.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】（1）分别作出点2和点C绕点A逆时针旋转90。得到对应点3'、C,顺次连接A、B'、C'即可

得到旋转后的△AB'C'；

BF1

（2）利用网格的特点构造q5Ms.cGn得到上的点产，且——=--连接A尸即可.

CF2

【小问1详解】

解：如图，AAB'C即为所求,

【小问2详解】

如图所示，点户即为所求的点.

第14页/共

如图，根据网格特点得到3E〃CG,与EG相交于点E连接A尸，

BEFs£GF,

BE=\/12+12=A/2,CG=+2、=2A/2,

,BFBE72_1

''CF~CG~242~2）

：.AABF的面积与AACF的面积之比为1:2.

【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、图形的旋转作图等知识，熟练掌握图形的旋转

作图和相似三角形的判定和性质是解题的关键.

19.为深入学习贯彻习近平法治思想，推动青少年宪法学习宣传教育走深走实，某校开展了宪法知识在线学

习、知识竞赛与演讲比赛三项活动，下表是参加冠亚军决赛的两名选手的各项测试成绩（单位：分）.

选手/项目在线学习知识竞赛演讲比赛

甲849690

乙899985

（1）若将在线学习、知识竞赛与演讲比赛三项成绩平均分作为最后成组，谁将获得冠军？

（2）若将在线学习、知识竞赛与演讲比赛的成绩按2：3：5的比例计算最后成绩，谁将获得冠军？

【答案】（1）乙会获得冠军

（2）甲会获得冠军

【解析】

【分析】（1）分别计算甲、乙的算术平均数，然后比较即可；

（2）分别计算甲、乙的加权平均数，然后比较即可.

【小问1详解】

84+96+90

由题意知，甲的平均分为：-----------=90分；

第15页/共

89+99+85

乙的平均分为:=91分;

3

V91>90,

乙会获得冠军;

【小问2详解】

235

由题意知，甲的最后成绩为:84x---------+96x-----------+90x----------=90.6；

2+3+52+3+52+3+5

235

乙的最后成绩为:89x---------+99x----------+85x----------=90；

2+3+52+3+52+3+5

V90.6>90,

.••甲会获得冠军.

【点睛】本题考查了算术平均数与加权平均数，解题的关键在于熟练掌握平均数的计算方法.

20.如图，已知二次函数丁=加+法一2的图象经过点（一1,—7）,点（3,1）.

（1）求二次函数的表达式和顶点坐标.

⑵点在该二次函数图象上，当机=4时，求〃的值.

（3）已知4（0,3）,3（4,3）,若将该二次函数的图象向上平移左（左>0）个单位后与线段A3有交点，请结合

图象，直接写出大的取值范围.

【答案】⑴y=——+4x—2；（2,2）

（2）-2

（3）1<Z;<5

【解析】

【分析】（1）把点（―L—7）,点（3,1）代入丁="2+法-2得方程组，求出a,万的值可得函数解析式，再

把函数关系式化为顶点式即可得到顶点坐标；

第16页/共

（2）把帆=4代入函数关系式即可求出力值；

（3）分别求出抛物线与线段AB有一个交点和两个交点时k的值即可得到k的取值范围

【小问1详解】

...二次函数y=以？+法—2的图象经过点（-1,-7），点（3,1）,

把点（—1,-7）,点（3,1）分别代入y=ax2+bx-2得,

a-b-2=-7

<9a+3b-2=l，

a=-1

解得，1,一

b=4

...二次函数的解析式为：y=—必+4%—2；

又y=—%2+4尤-2=—无2+4%—4+2=一（尤一2）+2,

•••抛物线的顶点坐标为：（2,2）；

【小问2详解】

V点P（m,n）在该二次函数图象上，

当帆=4时，〃=—（4—2/+2=—2；

【小问3详解】

VA（0,3）,B（4,3）,

线段轴，其中点坐标为（2,3）

①若原抛物线向上平移4个单位，与线段A3只有一个公共点时，如图,

②若原抛物线向上平移左个单位，与线段A3只有一个公共点时，且恰好为48两点，如图,

第17页/共

设此时抛物线的解析式为y=—(%—2)2+c,

把4(0,3)或8(4,3)代入，求得,c=7,

左=7—2=5

综上所述，将该二次函数的图象向上平移左(左＞。)个单位后与线段AB有交点，%的取值范围为1W左W5.

【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征,

灵活运用数形结合是解答本题的关键

21.如图1是一架踏板式人字梯，如图2是其侧面结构示意图，左支撑架A3和右支撑架AC长度都为

100cm,最上一层的踏板侧面O石平行于地面5C,AO=20cm,若支撑架的张角N8AC=40。.

(1)求的长.

(2)求踏板。石到地面的距离(结果精确到1cm)(参考数据：sin20°«0.34,cos20°«0.94,tan80°«0.36)

【答案】⑴68cm

(2)75cm

【解析】

【分析】(1)过点A作AH,5c于点"利用等腰三角形的判定和性质得到NBAH=L/BAC=20。,

2

BH=CH=-BC,利用解直角三角形得圆/=34cm,即可得到的长.

2

第18页/共

（2）设AH交OE于点得AH，DE,ZkADE,国=也=至=L求出AH=94cm,

AHAB1005

44

即可得到MH=-AH=-x94«75cm,得到踏板DE到地面的距离.

【小问1详解】

解：过点A作于点H,

*.*AB=AC=100cm,

・・・二ABC是等腰直角三角形，

/.ZBAH=-ZBAC=20°,BH=CH=-BC,

22

—=sinZBAH,

AB

：.BH=ABsinZBAH=100sin20°=100x0.34=34cm,

BC=2BH=68cm,

即BC的长为68cm.

【小问2详解】

解：设AH交£）石于点M,

'：DE//BC,

AHDE，AADE^AABC,

AMAD201

:.HM工DE,HM_LBC,

~AHAB-1005

•••AH=ABcos20°«100x0.94=94cm,

44

：.MH=-AH=-x94^15cm,

55

即踏板DE到地面的距离为75cm.

第19页/共

【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握

相似三角形的判定和性质和解直角三角形是解题的关键.

22.某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y(件)与每件售价

%(元)之间存在一次函数关系(其中8姿15,且x为整数).当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售

量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件.

(1)求y与x之间的函数关系式.

(2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？

(3)设该商店销售这种消毒用品每天获利卬(元)，当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润

最大？最大利润是多少元？

【答案】(1)y=—5x+150

(2)13(3)每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元.

【解析】

【分析】(1)根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与尤之间的函数关系式；

(2)根据每件的销售利润x每天的销售量=425,解一元二次方程即可；

(3)利用销售该消毒用品每天的销售利润=每件的销售利润x每天的销售量，即可得出卬关于x的函数关系

式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题.

【小问1详解】

解：设y与龙之间函数关系式为丁=履+可左*0),根据题意得：

‘9左+6=105(左=—5

〈，解得：〈，

[n女+b=95及150

.力与X之间的函数关系式为y=-5x+150；

【小问2详解】

解：(-5x+150)(尤-8)=425,

整理得：炉―38%+325=0，

解得：%=13,々=25,

,/8<x<15,

若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；

【小问3详解】

解：根据题意得：w=y(^-8)=(-5%+150)(x-8)

第20页/共

=-5x2+190%-1200

=-5(尤-19)2+605

V8<x<15,且x为整数,

当x<19时，w随x的增大而增大，

...当x=15时，卬有最大值，最大值为525.

答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元.

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等量关

系，

A

23.(1)【基础巩固】如图1,AB/BC于点、B,于点C,AC,上交于点求证：——=——

DECE

(2)【尝试应用】如图2,在矩形A5CD中，£是上的一点，作。尸_LAE交于点RCE=EF,

AE

若AB=2，AD=4,则---=

DF

3

(3)【拓展提高】如图3,菱形A5CD的边长为10,tanNACD=—,E为AD上的一点，作。CE交

4

AC于点F,交A3于点G,且CE=2DE,求6G的长.

图1图3

9.660

【答案】(1)见解析；(2)±±注；(3)—

219

【解析】

【分析】(1)证明.A5CS_£)CE即可得出结论;

(2)先证明八46cs△政刀，,再设化=跖=兀则CF=2x,

DFCFCD

24-x

BE=BC—CE=4—x,即——=——，解之即可求出x值，再把x值代入比例式中即可求解;

2x2

(3)连接3。交CE于交AC于。，根据菱形性质和解直角△C8,求得OD=6,OC=8,再

OMCMOC8442

证明OMCS.QFD,得——=——=——=-=从而得CM=-Z>F,继而求得EM=—OF,然后证明

OFDFOD6333

第21页/共

BMCs」DME,得到——=——，则——=2,即可求得Z?A/=4，BM=S,从而求得OM=2,则可

EMDMDM

13

求得。尸=2,AF=—,CF=8+』=2,证明，AGRS,CD产得4g=更，即孚，则AG=*^,

2222CDCF101219

2

最后由3G=AB-AG求解即可.

【详解】解:(1)QAC1DE,

:.ZDCA+ZCDE=90°,

CELBC,

;.NECD=90。,ZCDE+ZE=90°,

:.ZDCA=ZE,

又•.ABLBC,

:.ZB=90°,

:.NB=NECD,

ABC^DCE,

AC_BC

~DE~~CE"

(2)四边形ABC。是矩形，

:.CD=AB=2,BC=AD=4,ZB=ZC=90°,

:.ZBAE+ZBEA^9G0,

DF±AE,

ZDFC+ZBEA^90°,

;./DFC=/BAE,

:ABEs二FCD,

.AEABBE

1)F~~CF~^D'

谈CE=EF=x,则CE=2x,BE=BC—CE=4—x,

24-x

一=----,

2x2

解得：/=2—夜，x,=2+V2(不符合题意，舍去)，

,AE_AB_2_22+行

DF^CF^2x~2(2-V2)-2'

第22页/共

（3）连接BD交CE于M,交AC于。,

图3

四边形A5CD是菱形，

:.ACYBD,

:.ZDOC=90°,

tanZ.ACD=——=—,

OC4

设0D=3k,OC=4k,由勾股定理，得(3女尸+(4左产=1()2,解得：k=2,

OD=6，0C—8，

DGA.CE,

:.ZDFC+ZFCE=90°,

QNDOC=90°,

：.ZOMC+NFCE=90°,ZDOF=ZCOM,

:.ZOMC=/DFO,

:.AOMC^AOFD,

.OMCMOC_8_4

"OF-DF-O£>―/一§'

4

CM=-DF,

3

CE=2DF,

EM=-DF,

3

四边形ABC。是菱形，

.-.AD//BC,

BMCsDME,

,CMBM

-EM-DM'

BM_

----=2,

DM

BM+DM=BD=2OD=12,

第23页/共

.•.DA/=4,BM=8,

OM=2,

OMCM424

---=---=一,即Rn——=一

OFDF3OF3

0F=~,

2

3

AF=8——CF=8+31

222

四边形A3CD是菱形,

ABDC,

；,_AGFs=CDF,

13

AGAFAG万

---=,即=777

CDCF1012

2

19

BG=AB-AG=10-—60

1919

【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识,

属四边形综合题目，难度较大，为中考压轴题目.

24.如图1,AC为YA5CD的对角线，的外接圆（O交CD于点E,连结班.

(1)求证：ZBAC=ZABE.

（2）如图2,当=AC时，连结。4、OB,延长49交3E于点G,求证，GOBsGBA.

（3）如图3,在（2）的条件下，记AC、BE的交点为点F,连结A£、OF.

①求证：BG2-GF2=GFEF.

EF7

②当一=一时，求sin/E4G的值.

FG9

【答案】（1）见解析（2）见解析

第24页/共

2

(3)①见解析；②sin/E4G=—.

3

【解析】

【分析】(1)根据平行四边形的性质以及圆周角定理即可证明；

(2)由垂径定理证明NB4G=NC4G,再推出==,即可证明结论；

(3)①由qGOBsGBA,推出5G2=GO-G4,再证明△B4G^Z\C4G,推出NABG=NACG,得

到△G