2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试数学试题（附答案解析）

2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试数学试题

一'选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.样本数据16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位数为（）

A.14B.16C.18D.20

21

2.椭圆与+y2=1（。>1）的离心率为则。=()

A.学B.V2C.V3D.2

.记等差数列｛九｝的前几项和为％,

3aa3+a7=6,a12=17,贝口16=()

A.120B.140C.160D.180

4.设a,0是两个平面，m,1是两条直线，则下列命题为真命题的是（)

A.若a16，m||a,1II夕，则m1

B.若mua,IuB，m\\L则a||£

C.若an/?=m,/||Q,I||0,则mIII

D.若m1a,I1/?,m||/,则a夕

5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（）

A.20种B.16种C.12种D.8种

6.已知Q为直线/：久+2y+l=0上的动点，点P满足丽=（1,—3）,记P的轨迹为E,贝I］（）

A.E是一个半径为逐的圆B.E是一条与，相交的直线

C.E上的点到/的距离均为花D.E是两条平行直线

7.已知ee（粤，兀），tan20=-4tan（0+^）,则肃黑篇二（）

A.1B.IC.1D.I

442

8.设双曲线C：*|=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为％,F2,过坐标原点的直线与C交于

A,B两点，|aB|=2|0*，F^A-F^B4a2,则C的离心率为（）

A.V2B.2C.V5D.V7

二'选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数/'（久）=sin（2久+竽）+COS（2K+竽），贝U（）

A.函数》为偶函数

B.曲线y=y（久）的对称轴为久=卜兀，kEZ

C./（%）在区间（J,刍单调递增

D./（久）的最小值为-2

10.已知复数z,w均不为0,贝U（）

7,2

A.Z2=|z|2B•5二彳

C.z—w=z—wD.\~\=

11.已知函数/（%）的定义域为R,且。0,若/（%+y）+/（%）/（y）=4'y,则（）

A./（-》=0B./8）=-2

C.函数/（久―》是偶函数D.函数/（%+》是减函数

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知集合4={-2,0,2,4},B={x||%-3|<m）,若=4则加的最小值

为.

13.已知轴截面为正三角形的圆锥的高与球。的直径相等，则圆锥的体积与球。的体积的比

值是,圆锥MM，的表面积与球。的表面积的比值是.

14.以maxM表示数集M中最大的数.设0<a<b<c<1,已知bN2a或a+bW1,则—

a,c—b,1—c}的最小值为.

四'解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明'证明过程或演算步骤.

15.已知函数/'（久）=Inx+x2+ax+2在点（2,/（2））处的切线与直线2x+3y=0垂直.

（1）求a；

（2）求/（久）的单调区间和极值.

16.盒中有标记数字1,2,3,4的小球各2个，随机一次取出3个小球.

（1）求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；

（2）记取出的3个小球上的最小数字为X,求X的分布列及数学期望E（X）.

17.如图，平行六面体4BCD-&B1C/1中，底面力BCD是边长为2的正方形，。为力C与BD的交

点，AA1=2,Z-C1CB=zQCD,ZQCO=45°.

(1)证明：Ci。_L平面ABCD；

(2)求二面角B——D的正弦值.

18.已知抛物线C：y2=4久的焦点为尸，过F的直线/交C于4B两点，过F与/垂直的直线交C于。，E

两点，其中B,。在久轴上方，M,N分别为AB,DE的中点.

(1)证明：直线MN过定点；

(2)设G为直线ZE与直线BD的交点，求AGMN面积的最小值.

19.离散对数在密码学中有重要的应用.设p是素数，集合X={1,2,p-1],若u,VE

m,12,

X,meN,记a③u为au除以p的余数，M⑥为a"除以p的余数；设aeX,1,a,a明…，

a"2,③两两不同，若外，®=b(7ie[0,1,…，p-2})，则称n是以a为底b的离散对数，记为n=

log(p)ab-

(1)若p=11,a=2，求戏-1，

(2)对Hi〉m2G(0,1,p-2},记血1㊉巾2为巾1+62除以P-1的余数(当+瓶2能被

p-l整除时，7H1㊉加2=0)・证明：log(p)a(b区C)=log(p)ab㊉log(p)aC，其中b,CeX;

(3)已知n=/og(p)ab.对久CX,kE[1,2,•­•,p—2},令%=。匕③，%=久®y'®.证

明：彳=丫2国城("2)，®.

答案解析

L【答案】B

【解析】【解答】将数据按升序排列得：10,12,14,14,16,20,24,30,40,

所以中位数为16.

故答案为：16.

【分析】将数据按升序排列，结合中位数的定义运算求解.

2.【答案】A

【解析】【解答】由题意可知：b=l,c=加一1，

因为_c__1,解得&=吗

e——a—---a--——2°2

故答案为：A.

【分析】根据方程可得a,b,c,结合离心率运算求解.

3.【答案】C

【解析】【解答】由题意可得：。3+&7=2。5=6,可得&5=3,

所以S16==8（。5+a12）=160.

故答案为：C.

【分析】根据等差数列性质结合求和公式运算求解.

4.【答案】C

【解析】【解答】对于A：若a1S，m||a,1北。,则1可能平行、相交或异面，不一定垂直,

故A错误；

对于B：若mua,IuB，m||l,贝1Ja。或a,/?相交，故B错误；

对于C：若=I||a,/||。，则mII2,故C正确；

对于D：若m1a,m\\b可得/1a,且/1/?,则all°,故D错误；

故答案为：C.

【分析】根据空间线面平行、垂直的性质逐项分析判断.

5.【答案】B

【解析】【解答】由题意可知：乙和丙在1、4位或在2、5位，且甲在乙和丙之间，

所以不同排法共有戏蝎//=16种.

故答案为：B.

【分析】根据题意可知乙和丙在1、4位或在2、5位，且甲在乙和丙之间，结合排列数、组合数运

算求解.

6.【答案】C

【解析】【解答】设P@,y),

因为由=(1,—3),可知Q(x-1,y+3),

且Q为直线1：x+2y+l=0上的动点，则(久一l)+2(y+3)+l=0,即久+2y+6=0,

即尸的轨迹方程为久+2y+6=0,是一条与/平行的直线，故ABD错误;

且两平行间距离为铝=遮，即E上的点到/的距离均为右，故C正确;

Vb

故答案为：C.

【分析】设P(5,y),利用相关点法求得P的轨迹方程为x+2y+6=0,结合两平行线间距离公式

逐项分析判断.

7.【答案】A

4(tan0+l)

【解析】【解答】因为tan2d=-4tan(0+5，即速驾

-1—tan9l-tan9

整理得(2tan。+l)(tan0+2)=0,则tan。=一；或tan。=-2,

且66(7~，兀)'可知ta)!。G(—1,0)f即tan。=一,,

所以1+s讥26_(sinJ+cos。)_sinl+cosJ_tan6+l_1

2cos2e-^sin2d-2cos6(sine+cos。)-2cos0――2-—4

故答案为：A.

【分析】根据题意利用三角恒等变换解得tan。=-/,进而结合齐次式问题分析求解.

8.【答案】D

【解析】【解答】如图，根据双曲线的对称性可知：四边形4F2BF1为平行四边形，则氏8|=四川,

因为|B?|一|B&I=I大=|4％|=2a,

可得"2引=\FrA\=2a,|FtB|=\F2A\=4a,

且F2A-F；B=\F1A\\F2B\COS^AF2B=-\F1B\\F2B\cos^F1BF2=4a2，

2

BP|F1B||F2B|COSZF1BF2=-4a,

在AFaBFi中，由余弦定理可得：

22

|F1B|2+\F2B\-2\FrB\X\F2B\cos^FrBF2=|FiFi|,

即4a2+16a2+8a2=轨2,可得。=7,即C的离心率为e=《=V7.

aLa

故答案为：D.

【分析】根据双曲线的定义和性质分析可得|FzB|=\FrA\=2a,|F/|=\F2A\=4a,根据数量积可

得|FIB||F2B|COSZ%BF2=~4a2,再结合余弦定理分析求解.

9.【答案】A,C

【解析】【解答】因为/(%)=sin(2x+苧)+cos(2x+苧)=\f2sin(2x+苧+分=V2sin(2x+

IT)=一&sin2x，

对于A：因为f(x一$=—V2sin2(无一匀=-V2sin(2x—^=V2cos2x,

可知函数为偶函数，故A正确；

对于B：令2K=MT+£,k£Z,解得久=与+[,keZ，

所以曲线y=f(x)的对称轴为x="+],kEZ,故B错误；

Z4

对于C：因为xeg,1),则2%e(等,IT),

且丫=5也%在(冬，71)内单调递减，所以fQ)在区间刍单调递增，故C正确；

对于D：因为/(久)=-V^sizi2x,可知/(久)的最小值为-鱼，故D错误；

故答案为：AC.

【分析】利用三角恒等变换整理得/(久)=-V^s讥2x,结合三角函数性质逐项分析判断.

10.【答案】B,C,D

【解析】【解答】设z=a+bi(a,bER),w—c+di(c,dER),其中zHO,wH0,

对于A：例如z=i,则z2=—1,|z|2=l,两者不相等，故A错误；

227

对于B：因为z马a-bi=缥(a-(b噌i)上(a+工Z?.0、=生公+吗庐=4\z\2，故B正确；

对于C：因为z—w—(a—c)+(6—d)i,贝!Jz—w—(a—c)—(b—d)i,

且5=a—bi,w=c—diy贝唬—w=(a—c)—(b—d)i,

所以z-w=z-w,故C正确；

日工用％_a+)_(a+1i)(c_di)_ac+bdbe—ad.

对于D：因为力-c+di—(c+di)(c-di)—益牙c2+d2l，

\z\_(ac+bdL\(bc-ad^_a2c2+Z)2c2+a2d2+b2d2_a2+b2_|z|

则%户八河下)=[而j=J有/=而，故D正确；

故答案为：BCD.

【分析】设z=a+bi(a,b€R),w=c+di(c,deR),其中z不0,w70,根据复数的运算以及

模长公式和共辗复数概念逐项分析判断.

11.【答案】A,B,D

【解析】【解答】因为/(x+y)+/(x)/(y)=4xy,

令X=4,y=0,可得/8)+/8)xf(0)=/&)[l+f(0)]=0，

又因为/(当H0,贝lJl+f(0)=0,即"0)=—1,

q%=21，丫=一1]，甘可(*夕得日/(2-21)、+/(2)/(-21、)=4/1X]1X(/一]1)、,

即/(0)+f(初(―*)=—1，

且/(0)=-1,/(J)H0,可得/8)/(—》=0,SPf(-|)=0，故A正确；

令y=-则有/(久一》+/(£)/(—}=4xX(—力

即/(久一》=一2久，可知函数是奇函数，

可得/(久+》=—2久—2,可知函数/(%+》是减函数，

11

对/(%+])=-2%—2,令％=0,有/(2)=—2,

故B正确、C错误、D正确.

故答案为：ABD.

【分析】根据题意利用赋值法，令X另，y=。可得/(0)=—I，令X另，y=—和得/(—》=

0,即可判断A；令y=—最可得/(%—》=—2%,进而可得/(%+}=—2x—2,结合函数性质分

析判断BCD.

12.【答案】5

【解析】【解答】因为ACB=A,则4UB,

又因为A={-2,0,2,4},可得|一2-3|=5,|0—3|=3,|2—3|=|4-3|=1,

可得?n25,即？n的最小值为5.

故答案为：5.

【分析】根据题意可知4£B,结合包含关系分析求解.

13.【答案】|；1

【解析】【解答】设圆锥MM，的底面半径为r,

因为圆锥MM'的轴截面为正三角形，可知圆锥的高/i=V5r,母线1=2r,

由题可知：球。的半径为字「，

1x（7rxr2）xV3r2

可知圆锥MM，的体积与球O的体积之比为------历3=3；

刎丁）

圆锥MM，的表面积与球O的表面积之比为」=1.

47rx（竽r）

故答案为：!；1.

【分析】设圆锥的底面半径为r,可知圆锥的高仁信，母线1=2r,球。的半径为字

结合体积和表面积公式运算求解.

14.【答案】|

【解析】【解答】设A=max（b—a,c—b,1-c},

则力>b—a>0,A>c—b>0,71>1—c>0,

可得24之c—b+1—c之1—力，则人之1—2.A；

3A之b—ctc—b+1—cN1—a,则。21—34，

若b>2a,则1一3AWa〈b-a<A,解得A>

若a+贝（Jl—3A+1—2A<b—a<1,解得力>

当且仅当a=5，b=,c=告时,A=看.

所以max[b—a,c—b,1-c}的最小值为春

故答案为：j

【分析】换元令4=ma比出一a,c-b,1-c],可得b21-24a>l-3A,结合不等式的性质

分析求解.

15.【答案】(1)解：f(x)="+2久+a,则/(2)=*+2x2+a=4+a,

由题意可得专+a)X(―|)=—1,解得。=一3；

(2)解：由a=-3,故/(%)=Inx+%2—3%+2,

则=工+2%-3=2/-3%+1_(2%T)(%—1),x>0,

7k7xxx

故当0<久<±时,/(%)>0-当时，/(%)<0)当X>1时，/(%)>0,

故〃久)的单调递增区间为(0,各、(1,+oo),/(%)的单调递减区间为8,1),

故/"(久)有极大值/"(}=m称+(：)2—3x^+2=^—ln2)

有极小值/(I)=Znl+I2-3X1+2=0.

【解析】【分析】(D求导，结合导数的几何意义列式求解；

(2)求导，利用导数判断原函数的单调性和极值.

16.【答案】(1)解：记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事件M,

先确定3个不同数字的小球，有僚种方法，

然后每种小球各取1个，有点X废X废种取法，

所以P(M)=^©坐◎=*

或7

(2)解：由题意可知，X的可取值为1,2,3,

当X=1时，分为两种情况：只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球,

所以p(x=i)=曳中L小

C8

当X=2时，分为两种情况：只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的小球,

所以P(X=2)=空苧&=卷

或7

当X=3时，分为两种情况：只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球,

所以P(X=3)=曳2

所以X的分布列为:

X123

921

P

14714

所以E(X)=1X+2Xy+3X

【解析】【分析】⑴记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事件M,先确定3个不同数字的小球,

然后每种小球各取1个，结合古典概型以及组合数运算求解；

(2)由题意可知，X的可取值为1,2,3,古典概型以及组合数运算求分布列和期望.

17.【答案】(1)解：连接BQ,DCy

因为底面4BCD是边长为2的正方形，所以BC=DC,

又因为NJCB=ZC1CD,CJ=CC],

所以△GOBGCO,所以BG=DQ,

点。为线段BD中点，所以C1OJ.BD,

在ACiCO中，CCi=2,CO=^AC=®"1。。=45。,

所以COSNCIC。=孝==ci°=叵

则C1(:2=oc2+。1。2nCl。1OC,

又OCCBD=0,OCBDu平面ABCD,

所以Ci。1平面4BCD.

(2)解：由题知正方形/BCD中AC1BD,的。1平面ABC。，所以建系如图所示,

A,

则B(0,V2,0),0(0,-V2,0),X(V2,0,0),C(-&,0,0),Q(0,0,企),

则砧=沅7=（鱼，0,V2）,

AB=(-V2,V2,0),AD=(-V2,一混，0),

z

设面8441的法向量为访=（久0Zi）,面。4&的法向量为讯=（尢2,y2>2））

-1).

•五=00食2+学2=0今元=(1,_1,_1),

m=0—V2%2-V2y2=0

设二面角3--。大小为仇

=3e=i=>sin6=71—cos20=

|m|-|n|V3xV333

所以二面角B-4Ai-D的正弦值为孥.

【解析】【分析】（1）连接BCi，D“可得BCi=DG，进而结合三角形知识可得J。，BD,0。1

OC,利用线面垂直的判定定理分析证明；

（2）建系，求面BAA6面DA&的法向量，利用空间向量求二面角.

18.【答案】⑴解：由C：y2=4%,故9（1,0）,由直线4B与直线CD垂直,

故两只直线斜率都存在且不为0,

设直线AB、CD分别为无=血/+1、x=m2y+1,有7nlm2=-1，

4（久1，%）、B（X2,了2）、后（久3，为）、。（久4，丫4），

联立C：、2=4%与直线48,即有[y=4：

消去工可得y2—47nly-4=0,4=16ml+16>0,

故丫1+丫2=4m1、％丫2=-4,

则%1+%2=租1为+1+租+1=miQi+、2）+2=4m^+2,

故年=2屁+1,中=2四，

即M(2rr^+1,2利),同理可得N(2TH：+1,27n2)，

当+1H27712+1时，

27n2-2啊

贝“MN：y=(%—2m^—1)+2m,

2出+1—(2唇+1)1

x2m彳+1+2m(m+m)

即y=7n(%—2m1—1)+27nl=121

g??12+租1吗+啊

x27n彳+1-2??1]7712—2唇x

1—2m1m2

利+啊%+叫―7722+根1rnz+Ml

x1+21,0、

由租1租2=—L即y=.―：---=---：---(X—3),

血2+血1m2+m1

1

故尤=3时，有、=有布丁（3-3）=0,

〃。2十〃"]

此时MN过定点，且该定点为（3,0）,

当2771a+1=21712+1时，即租彳=机钞寸，由租1m2——1，即犯L=±1时，

有EMN：%=2+1=3,亦过定点(3,0),

故直线MN过定点，且该定点为（3,0）:

（2）解：由4（%1，%）、B（X2,Z）、EQ3,乃）、。（久4，%），

则5：外=%_%（久一久1）+丫1，由於=4打、光=4%2，

丫3一百4xyl,y彳_4%,yry3

+71------------十---------------十------

故y为+当力+巧为+当乃+丫1为+"

—.y#3

同理可得加：y=%+晟,联立两直线,即>为+力为+为

一4x1y2y4

'"+，2刈+>2

有轨力为=轨y2y4

乃+为乃+巧%+及%+丫2‘

即4x(%+y2)++72)=4久(%+%)+y2y4。3+%)，

有一普谭空驾产，由,仍…，同理4，

故％=y2y4。3+丫1)-33。4+七2)=y2y3y4+y。2y4一月、3y4-y。2y3

__--

口’4(y4+y2y3yi)4(y4+y2y3yi)

=-4(>2+y4-y「y3)=

4(、4+、2—丫3-y。’

故%G=-1，

过点G作GQ//久轴，交直线MN于点Q,

由加(2根a+1,27n1)、+1,27n2)，

故"M-y|=2m-2m2^2m+~>212mlX东=4,

wx17nl77nl

当且仅当血1=±1时，等号成立，

下证|和一叫>4：

由抛物线的对称性，不妨设血1>0,则加2<0,

1

当血1>1时，有血2=--e(-1.0),则点G在x轴上方，点Q亦在x轴上方,

1_1

有巾2+吗=吗_去>9由直线MN过定点(3,0),

此时|久Q—xG\>3—(―1)—4,

同理，当mi<1时，有点G在%轴下方，点Q亦在%轴下方，

1

有唠西<0，故此时|勺一而1>4,

当且仅当巾1=1时，和=3,

故|和-xG\>4恒成立，且加1=±1时，等号成立，

1]

故S4GMN=2"MX\