湖南省张家界市2023-2024学年高一下学期5月阶段检测数学试题

湖南省张家界市2023-2024学年高一下学期5月阶段检测卷数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是5的倍数的概率为（）A． B． C． D．3．已知是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（）A．，， B．，，C．，， D．，，4．如图，点是的重心，点是边上一点，且，，则（

）A． B． C． D．5．宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是，则该汝窑双耳罐的体积是（

）A． B． C． D．6．从甲队60人、乙队40人中，按照分层抽样的方法从两队共抽取10人，进行一轮答题．相关统计情况如下：甲队答对题目的平均数为1，方差为1；乙队答对题目的平均数为1.5，方差为0.4，则这10人答对题目的方差为（

）A．0.8 B．0.675 C．0.74 D．0.827．某工业园区有、、共3个厂区，其中，，，现计划在工业园区内选择处建一仓库，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．8．已知是边长为4的等边三角形，AB为圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．设，，为复数，，下列命题中正确的是（

）A．若则 B．若则C．若则 D．10．已知独立的事件、满足，则下列说法错误的是（

）A．一定小于；B．可能等于；C．事件和事件不可能相互独立；D．事件和事件可以相互独立.11．已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，母线长为，则（

）A．圆台的母线与底面所成的角为B．圆台的侧面积为C．圆台的体积为D．若圆台的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在中，是的中点，，，，则．13．某武警大队共有第一、第二、第三三支中队，人数分别为30，30，40.为了检测该大队的射击水平，从整个大队用按比例分配分层随机抽样共抽取了30人进行射击考核，统计得三个中队参加射击比赛的平均环数分别为8.8，8.5，8.1，估计该武警大队队员的平均射击水平为环．14．如图所示，直角三角形所在平面垂直于平面，一条直角边在平面内，另一条直角边长为且，若平面上存在点，使得的面积为，则线段长度的最小值为．

四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．设复数．(1)在复平面内，复数对应的点在实轴上，求；(2)若是纯虚数，求.16．已知向量，，(1)求；(2)求满足的实数m，n的值；(3)若，求实数k的值．17．已知分别为的三个内角的对边，且．(1)求的值；(2)若，且的面积为，求．18．本学期初，某校对全校高二学生进行数学测试（满分100），并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分成，得到如图所示频率分布直方图.(1)估计该校高二学生数学成绩的平均数和分位数；(2)为进一步了解学困生的学习情况，从数学成绩低于70分的学生中，分层抽样6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在的概率.19．如图，为一个平行六面体，且，，.(1)证明：直线与直线垂直；(2)求点到平面的距离；(3)求直线与平面的夹角的余弦值.参考答案：1．D【分析】对复数进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果.【详解】，复数在复平面内对应的点的坐标是，位于第四象限．故选：D2．A【分析】根据题意，先列举出所有情况，再从中挑出数字之和是5的倍数的情况，结合古典概型求概率，即可求解．【详解】从6张卡片中无放回地随机抽取2张，有共15种情况，其中数字之和为5的倍数的有共3种情况，所以所求的概率为.故选：A.3．C【分析】在A中，a与b可以成任意角；在B中a与b是平行的；在C中，可得b⊥α，从而得到；在D中，可得a与b可以成任意角，从而得到正确结果.【详解】由a，b是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，在A中，，因为b的方向不确定，则a与b可以成任意角，故A错误；在B中，根据对应的性质可知，可知a与b是平行的，故B错误；在C中，由可知，由线面垂直的性质可知，故C正确；在D中，，因为b的方向不确定，可得a与b可以成任意角，故D错误．故选：C.4．C【分析】延长交于，根据题意，得到且，再由，可得是的四等分点，根据向量的运算法则，求得，求得的值，即可求解.【详解】如图所示，延长交于，由已知为的重心，则点为的中点，可得，且，又由，可得是的四等分点，则，因为，所以，，所以．故选：C.5．D【分析】求出上下圆台的高，利用台体体积公式求出答案.【详解】上、下两圆台的高之比是，故上圆台的高为厘米，下圆台的高为厘米，故上圆台的体积为立方厘米，下圆台的体积为立方厘米，故该汝窑双耳罐的体积为立方厘米.故选：D6．D【分析】根据分层抽样的均值与方差公式计算即可.【详解】根据题意，按照分层抽样的方法从甲队中抽取人，从乙队中抽取人，这人答对题目的平均数为，所以这人答对题目的方差为.故选：D.7．B【分析】设，，利用正弦定理得到，再在中利用余弦定理得到，再由三角恒等变换公式及三角函数的性质求出，即可得解.【详解】法一：设，，则，，在中由正弦定理，即，所以，在中，（其中），所以当时，所以最小值为．法二：如图，因为，所以点在如图所示的圆上，圆的直径为，由圆周角的性质可得，所以，．连接，可得（当为与圆的交点时取等号）．在中，，，，根据余弦定理可知，即，所以的最小值为．故选：B8．D【分析】由题意得，然后利用数量积的运算律和计算公式计算即可.【详解】如图所示

由图像可知，与夹角的范围为，所以,所以.故选：D.9．ABD【分析】对于A，化成，结合复数相等的知识即可求解；对于B，利用复数代数形式求解即可；对于C，举出反例即可；对于D，利用复数的向量表示作图即可判断.【详解】设（），对于A，若，则，因为，结合复数相等的知识，所以，所以选项A正确；对于B，由，所以，所以，，，同理：，所以，所以选项B正确；对于C，令，，但是，所以选项C错误；对于D，设分别表示复数，

由，若不共线时，如图：，即，

若共线且反向时，如图：易知，

若共线且同向时，如图：易知，综上：，所以选项D正确.故选：ABD.10．BC【分析】利用独立事件的定义和性质可判断正确，错误；根据事件与，与，与，与都相互独立，利用相互独立事件概率公式计算即可.【详解】且相互独立，则，,正确.∵表示事件至少发生一个，表示事件同时发生，∴，∴不能等于，错误.若，则，此时，∵.∴.∴移项得.∴事件与相互独立，同理可知事件与，与也都相互独立.∴事件和可能相互独立，事件和可能相互独立，错误，正确.故选：BC【点睛】关键点点睛：解题的关键是已知独立事件、，可推出事件与，与，与，与都相互独立.11．ABD【分析】选项A，先求出圆台的高，进而求出圆台的母线与底面所成的角即可；选项B，由圆台的侧面积公式求解即可；选项C，由圆台的体积公式求解即可；选项D，设球心到下底面的距离为，由勾股定理得，求解即可.【详解】对于A，因为圆台的上、下底面半径分别为1和3，母线为，所以圆台的高为：，根据线面角定义求出母线与底面所成角，A正确；对于B，由圆台的侧面积公式，求得圆台的侧面积为：，B正确；对于C，由圆台的体积公式，求得圆台体积为：，C错误；对于D，由题意可知球心在下底面下方，设球心到下底面的距离为，由勾股定理得，解得，则该球的半径为，所以该球的表面积为，D正确．故选：ABD.12．【分析】先在中利用正弦定理解得，再利用余弦定理解得，最后利用余弦定理求出结果.【详解】因为在中，，所以，由正弦定理得：，又因为，，所以，解得，再由余弦定理可得：，代入已知数据得：，，解得，因为是的中点，所以，再由余弦定理可得：，代入已知数据可得：，则．故答案为：.13．【分析】先得到第一，第二，第三中队参加考核人数，估计求出参加考核的30人的平均射击环数.【详解】该武警大队共有（人），按比例分配得第一中队参加考核人数为；第二中队参加考核人数为；第三中队参加考核人数为，所以参加考核的30人的平均射击环数为，所以估计该武警大队队员的平均射击水平为环．故答案为：14．/【分析】由题意，根据面面垂直的性质可得平面，利用线面垂直的性质可得，进而，由三角形的面积公式可得，即可求解.【详解】在中，，则，又平面，平面平面，所以平面，连接，，所以，得，设（），则，即，得，当即即时，取到最小值1，此时取到最小值.故答案为：

【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是利用勾股定理和三角形面积公式计算得到、，而，即为所求.15．(1)(2)【分析】（1）根据复数是实数，求，再根据复数的乘法运算公式，即可求解；（2）首先利用复数除法运算公式化简复数，再根据复数的特征，即可求解，最后代入模的计算公式.【详解】（1）由，得，而由已知是实数，于是，解得，所以；（2）依题意，是纯虚数，因此，解得，所以，.16．(1)(2)(3)【分析】（1）利用平面向量的坐标求模即可；（2）根据题意列方程组即可求解；（3）结合平面向量的坐标运算利用平面向量的平行关系求参数即可.【详解】（1）.（2）由，得，解得.（3），，因为，所以，解得.17．(1)(2)【分析】（1）根据，利用正弦定理转化为求解；（2）由三角形的面积可得，由余弦定理，可得，从而可得答案.【详解】（1）在中，由正弦定理得：，∴可等价转化为，其中，故．∴，即，因为，所以.（2）因为，所以，由余弦定理可得即，所以，所以.18．(1)平均数为75.5，分位数为88；(2).【分析】（1）由频率分布直方图的面积和为1求出后，再由平均数，百分数的算法求出即可；（2）利用分层抽样和古典概率的算法求出即可；【详解】（1）由，解得.该校高三学生期初数学成绩的平均数为.前3组的频率和为，所以分位数为.（2）分层抽样抽取的6人中，的有人，记为的有人，记为，从6人中任取2人，基本事件有，共15种，其中2人分数都在的有共6种，所以从6人中任取2人，分数都在的概率为.19．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）利用垂直关系的向量表示求即可证明.（2）由已知条件得三棱锥为正四面体，再利用正四