专题06 等腰旋转模型（解析版）

专题06等腰旋转模型【模型说明】【例题精讲】例1．（判断数量关系）如图1，已知△ABC、△ADE都是等边三角形，点E在直线BC上，F在直线AC上，且FE＝EA，DE与AB相交于点G，连接BD、EF．（1）如图1，当点E在线段BC上时，①求证：∠BAE＝∠BDE；②求证：BD＋CF＝BC．（2）如图2，如果点E在线段BC的延长线上，其他条件不变，请直接写出线段BD、CF、BC三条线段之间的数量关系．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）CF＝BC+BD，理由见解析【详解】解：①∵△ABC、△ADE都是等边三角形，∴=DE，,∴，∴，∴，∴，∵∴∠BAE＝∠BDE②∵,∴，∵∠DBE＝∠DBA+∠ABC=60º+60º=120º,又∠ECF＝180º-∠ACB=180º-60º=120º,∴∠DBE=∠ECF∵FE＝EA，∴∠EAC=∠EFA，∴又，而∴，∴∠EFA=∠BED又∵FE＝EA=DE∴，∴,∴（2），简证如下：∵△ABC、△ADE都是等边三角形，同理可得：，得到，，由，得到，又FE＝EA，∴∠EAC=∠EFA，∴又，而，∴∠DAB＝∠BED，∴∠EFA＝∠BED，∴∴例2.（基本模型）在中，，，点为直线上的一个动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连．（1）如图1，当点在线段上时，①与的位置关系是______；②线段、、之间的数量关系是______．（2）如图2，当点在线段的延长线上时，（1）中的两个结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请写出正确的结论再给出证明．【答案】（1）①垂直；②；（2）位置关系：垂直，数量关系：，证明见解析；【详解】解：（1）∵，∴∵∴又∵，∴∴，①∴，∴②∴（2）位置关系：垂直，数量关系：，证明如下：∵，∴∴∵∴又∵，∴∴，∴∴又∵∴例3.（旋转问题）如图1，点O为直线上一点，过O点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方．（1）如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边在的内部，且恰好平分．此时______度；（2）如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得在的内部．试探究与之间满足什么等量关系，并说明理由；（3）将图1中的三角板绕点O按每秒v的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若第t秒时，三条射线恰好构成相等的角，则t的值为_______（直接写出结果）．【答案】（1）25；（2），理由见详解；（3），，，【详解】解：（1）∵，∴，∵恰好平分，∴，∴；故答案为25；（2）与之间的关系为，理由如下：∵，∴∠AOM+∠AON=90°，∠AON+∠NOC=50°，∴两式相减得：；（3）∵三角板绕点O按每秒v的速度沿逆时针方向旋转一周，∴第t秒时，三角板转过的度数为vt°，①当三角板转到如图所示时，，∵，，∴，∴；②当三角板转到如图所示时，，∵，∴，∴；③当三角板转到如图所示时，，∵，∴，∴；④当三角板转到如图所示时，，∵，∴，∴；综上所述：t的值为，，，；故答案为，，，．【变式训练1】如图，在直角中，，点D是上一点，连接，把绕点A逆时针旋转90°，得到，连接交于点M．（1）如图1，若，求的长；（2）如图2，若，点N为上一点，，求证：；（3）如图3，若，点D为直线上一动点，直线与直线交于点M，当为等腰三角形时，请直接写出此时的度数．【答案】（1）；（2）见解析；（3）或或【详解】解：（1）∵，，∴BC=2AB=4，，∵∴，∴BD=AB=1，∴=BC-BD=4-1=3；（2）证明：如图2，在BD上截取DF=EN，∵把绕点A逆时针旋转90°，得到，∴AD=AE，，，∵，∴，∴，∴AN=AF，，∵，，∴，∵，，∴，∵AN=AF，∴，∴，即F是BC的中点，∴AF=FC=DF+CD=EN+CD，∵AN=AF，∴；（3）解：由题意可得AD=AE，，∴，分三种情况：①AM=MD时，∵AM=MD，∴，∴，∵，∴；②AM=AD时，∵AM=AD，∴，∵，∴；③AD=MD时，∵AD=MD，∴，∴，∴，∵，∴．∴当为等腰三角形时，的度数为或或．【变式训练2】如图1，等腰中，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点．（1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是______．（2）探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．【答案】（1），；（2）是等腰直角三角形，理由见解析；（3）98【详解】（1）线段PM与PN的数量关系是，位置关系是．∵等腰中，，∴AB=AC，∵AD=AE，∴AB-AD=AC-AE，∴BD=CE，∵点，，分别为，，的中点，∴，，∴；∵，∴，∵，∴，∵（两直线平行内错角相等），∴，∴．（2）是等腰直角三角形．证明：由旋转可知，，，，∴，∴，，根据三角形的中位线定理可得，，，∴，∴是等腰三角形，同（1）的方法可得，，∴，同（1）的方法得，，，∵，∴，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形．（3）由（2）知，是等腰直角三角形，，∴最大时，面积最大，∵点在的延长线上，BD最大，∴，∴，∴．【课后作业】1．如图，等边中，，则以线段为边构成的三角形的各角的度数分别为______________________________．【答案】，，．【详解】解：将逆时针旋转，得到，∵，是等边三角形，且旋转角相等，则,∴是等边三角形.则又∵∴故以线段三边构成的三角形为所以故答案为：.2．已知直角三角形ABC，∠ABC=90°，AB=3，BC=5，以AC为边向外作正方形ACEF，则这个正方形的中心O到点B的距离为______．【答案】【解析】如图，延长BA到D，使AD=BC，连接OD，OA，OC，∵四边形ACEF是正方形，∴∠AOC=90°，CO=AO，∵∠ABC=90°，∠ABC+∠AOC=180°，∴∠BCO+∠BAO=180°，∠BCO=∠DAO，在△BCO与△DAO中，∴△BCO≌△DAO（SAS），∴OB=OD，∠BOC=∠DOA，∴∠BOD=∠COA=90°，∴△BOD是等腰直角三角形，∴BD=，∵BD=AB+AD=AB+BC=8，∴OB=.故答案为.3．如图1，在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接DC，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点．

(1)观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；(2)探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，判断△PMN的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，求△PMN面积的最大值．【答案】(1)，；(2)详见解析；(3)详见解析【解析】（1）解：∵P、N分别为DC、BC的中点，∴，，∵点M、P分别为DE、DC的中点，∴，，∵，，∴，∴，∵，，∴，，∵，∴，∴，∴．故答案为：，．（2）解：是等腰直角三角形，理由如下．由旋转可知，，∵，，∴，∴，，由三角形的中位线定理得，，，∴，∴是等腰三角形，同（1）的方法可得，，，，，∵，∴，，∵，∴，∴是等腰直角三角形．（3）解：由（2）可知，是等腰直角三角形，，∴当最大时，面积最大，∴点D在的延长线上，∴，∴，∴．4（1）操作发现：将等腰与等腰按如图1方式叠放，其中，点，分别在，边上，为的中点，连结，．小明发现，你认为正确吗？请说明理由．（2）思考探究：小明想：若将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转一定的角度，上述结论会如何呢？为此进行以下探究：探究一：将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转（如图2），其他条件不变，发现结论依然成立．请你给出证明．探究二：将图1中的等腰绕点沿逆时针方向旋转（如图3），其他条件不变，则结论还成立吗？请说明理由．

【答案】（1）正确，理由见解析；（2）证明见解析；（3）成立，理由见解析【详解】解：（1）如图一，连接DM并延长，作BN⊥AB，与DM的延长线交于N，连接CN，∵∠EDA=∠ABN=90°，∴DE∥BN，∴∠DEM=∠MBN，∵在△EMD和△BMN中，，∴△EMD≌△BMN（ASA），∴BN=DE=DA，MN=MD，在△CAD和△CNB中，，∴△CAD≌△CNB，∴CD=CN，∴△DCN是等腰直角三角形，且CM是底边的中线，∴CM⊥DN，∴△DCM是等腰直角三角形，∴DM=CM；（2）探究一，理由：如图二，连接DM并延长DM交BC于N，∵∠EDA=∠ACB=90°，∴DE∥BC，∴∠DEM=∠MBC，∵在△EMD和△BMN中，，∴△EMD≌△BMN（ASA），∴BN=DE=DA，MN=MD∵AC=BC，∴CD=CN，∴△DCN是等腰直角三角形，且CM是底边的中线，∴CM⊥DM，∠DCM=∠DCN=45°=∠BCM，∴△CMD为等腰直角三角形．∴DM=CM；探究二，理由：如图三，连接DM，过点B作BN∥DE交DM的延长线于N，连接CN，∴∠E=∠MBN=45°．∵点M是BE的中点，∴EM=BM．∵在△EMD和△BMN中，∴△EMD≌△BMN（ASA），∴BN=DE=DA，MN=MD，∵∠DAE=∠BAC=∠ABC=45°，∴∠DAC=∠NBC=90°∵在△DCA和△NCB中，∴△DCA≌△NCB（SAS），∴∠DCA=∠NCB，DC=CN，∴∠DCN=∠ACB=90°，∴△DCN是等腰直角三角形，且CM是底边的中线，∴CM⊥DM，∠DCM=∠DCN=45°=∠CDM，∴△CMD为等腰直角三角形．∴DM=CM5．在中，，是直线上一点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，，，连接.（1）如图，当在线段上时，求证：.（2）如图，若点在线段的延长线上，，.则、之间有怎样的数量关系？写出你的理由.（3）如图，当点在线段上，，，求最大值.【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）2【详解】解：（1）∵，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）同（1）的方法得，∴∠ACE=∠ABD，∠BCE=α，∴∠ACE=∠ACB+∠BCE=∠ACB+α，在中，∵AB=AC，∠BAC=β，∴∠ACB=∠ABC=(180°-β)=90°-β，∴∠ABD=180°-∠ABC=90°+β，∴∠ACE=∠ACB+α=90°-β+α，∵∠ACE=∠ABD=90°+β，∴90°-β+α=90°+β，∴α=β；（3）如图，过A做于点H，∵，，∴，，同（1）的方法得，，,，即，∴