山西省长治市2023-2024学年高考冲刺模拟数学试题含解析

山西省长治市第九中学2023-2024学年高考冲刺模拟数学试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.数列｛%｝的通项公式为q=g—c|（"eN*）.贝!J"c<2”是“｛4｝为递增数列”的（）条件.

A.必要而不充分B.充要C.充分而不必要D.即不充分也不必要

2.将函数/（x）=/sin2x-2cos2》图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移二个单位长

8

度，则所得函数图象的一个对称中心为（）

3.已知函数〃x）='一，则不等式/（"、）>/（02力的解集是（）

2

B.C.(—8,0)D.

4.下列四个图象可能是函数.尸辿r图象的是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.下列不等式正确的是（）

A.sin130>sin40>log34B.tan226<ln0.4<tan48

C.cos(-20)<sin65<Igll

D.tan410>sin80>log52

7.已知函数/(九)是定义在R上的奇函数，且满足/(l+x)=/(l—x),当时，〃尤)=一*(其中e是自

然对数的底数)，若“2020—In2)=8,则实数。的值为()

°11

A.—3B.3C.—D.—

33

8.2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成

一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为

A.96B.84C.120D.360

9.关于圆周率亚数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可

以通过设计下面的实验来估计万的值：先请全校/"名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(尤,y)；再统计两数

能与1构成钝角三角形三边的数对(X。)的个数最后再根据统计数。估计〃的值，那么可以估计〃的值约为()

4〃。+2a+2m4。+2m

A.—B.--------C.----------D.------------

mmmm

10.设集合A=bly=2x-LX^R}9B={X\-2<X<39X^Z}9贝!)Anb=()

A.(-1,3]B.[-1,3]C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}

x

11.已知x,y^R,则“X<y”是“一<1”的()

y

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

12.等腰直角三角形ABE的斜边A3为正四面体ABC。侧棱，直角边AE绕斜边旋转，则在旋转的过程中，有下

列说法：

I'I

\I*

(1)四面体E-3CZ>的体积有最大值和最小值；

(2)存在某个位置，使得

(3)设二面角。—AB—E的平面角为。，则62NZME；

(4)AE的中点M与A5的中点N连线交平面5c。于点P,则点尸的轨迹为椭圆.

其中，正确说法的个数是()

A.1B.2C.3D.4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图，若四棱锥尸-A3CD为

阳马，侧棱底面ABC。，且PA=3,BC=AB=4,设该阳马的外接球半径为R,内切球半径为「，贝！I

R

,55s6

15.已知等比数列｛(4｝的前几项和为S",6+&=—,且4+&=—，则=__________.

24%

16.若则/+廿+V〒的最小值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=e"+屁一"一2asinx(a,beR).

(1)若。=0,b=l,求函数/(无)的单调区间；

(2)6=-1时，若/(x)>0对一切xe(0,万)恒成立，求。的取值范围.

18.(12分)已知函数y=/(x).若在定义域内存在/,使得/(—七)=一/(%)成立，则称%为函数丁=/(力的局

部对称点.

(1)若a,且存0,证明：函数/(芯)=依2+Z?x-a有局部对称点；

(2)若函数且(％)=2'+。在定义域［-1,1］内有局部对称点，求实数c的取值范围；

(3)若函数”(力=4「犷2馍+济—3在R上有局部对称点，求实数，”的取值范围.

19.（12分）如图，在三棱柱A3C—A与G中，A5_L平面ABC,AB±AC,且AB=AC=AB=2.

(1)求棱A/与所成的角的大小；

(2)在棱与G上确定一点尸，使二面角P-A5-4的平面角的余弦值为年.

20.(12分)已知C(x)=|x+l]-麻-，.

(1)当。=1时，求不等式〃力＞1的解集；

(2)若xe(O,l)时不等式〃x)＞无成立，求。的取值范围.

21.(12分)4月23日是“世界读书日”，某中学开展了一系列的读书教育活动.学校为了解高三学生课外阅读情况，

采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组(每名学生只能参加一个读书小组)学生抽取12名学生

参加问卷调查.各组人数统计如下：

小组甲乙丙丁

人数12969

(1)从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，求这2人来自同一个小组的概率；

(2)从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2人，用X表示抽得甲组学生的人数，求随机变量X的分布列和

数学期望.

22.(10分)已知顶点是坐标原点的抛物线「的焦点厂在V轴正半轴上，圆心在直线y上的圆E与x轴相切，

-2

且E,b关于点”(—1,0)对称.

(1)求E和「的标准方程；

(2)过点M的直线/与E交于AB,与「交于C,D,求证：

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

根据递增数列的特点可知4+1-。"〉0,解得C<“+Q,由此得到若｛g｝是递增数列，则c<5,根据推出关系可确

定结果.

【详解】

若“｛4｝是递增数列”,则%=\n+l-c\-\n-c\>0,

即(“+1—c『>(〃—op,化简得：c<〃+^,

133

又〃eN*，♦.—>—，c<—，

222

则C<24｛a,,｝是递增数列，｛%｝是递增数列nc<2,

，“c<2”是“｛«„｝为递增数列”的必要不充分条件.

故选：A.

【点睛】

本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.

2、D

【解析】

先化简函数解析式，再根据函数y=4讥(ox+0)的图象变换规律，可得所求函数的解析式为y=2sin[gx-?]-1,

再由正弦函数的对称性得解.

【详解】

y=6sin2x-2cos之x

=V3sin2x-(l+cos

「•将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,所得函数的解析式为

y=2sinf—X-->1-1,

U6)

77"

再向右平移W个单位长度,所得函数的解析式为

8

y=2sin

2n

=2sin一x---T,

34

-X--=k7l^X=-k7l+—,k&Z,

3428

左=0可得函数图象的一个对称中心为故选D.

【点睛】

三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等,

其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与

落实.三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数

解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦(余弦)

函数的性质求解.

3、B

【解析】

由导数确定函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可.

【详解】

r2-111

函数/(%)==x—上，可得/'(XQI+F，

XXX

xe(0,+8)时，单调递增,

；”>0,e2i>0，

故不等式/("')〉/(e2M)的解集等价于不等式"工>e2M的解集.

1—x>2x—1.

2

**•X<一.

3

故选:B.

【点睛】

本题主要考查了利用导数判定函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题.

4、C

【解析】

首先求出函数的定义域，其函数图象可由丁=辿9区的图象沿X轴向左平移1个单位而得到，因为丁=辿鼠区为

XX

奇函数，即可得到函数图象关于(-1,0)对称，即可排除A、D,再根据x>0时函数值，排除8,即可得解.

【详解】

；y=+"的定义域为卜I%。—1},

其图象可由y=510g3以|的图象沿x轴向左平移1个单位而得到，

X

...y=51Og3|x|为奇函数,图象关于原点对称，

X

：.y=皿35+11的图象关于点(-1,0)成中心对称.

X+1

可排除A、。项.

当尤>0时，y=51吧|X+1|>0,.•.吕项不正确.

x+1

故选：C

【点睛】

本题考查函数的性质与识图能力，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项，属于中档

题.

5、B

【解析】

首先根据特殊角的三角函数值将复数化为z=-且-求出再利用复数的几何意义即可求解.

22

【详解】

.2».InA/31.

z=-sin-----Ficos——=-----------19

3322

.-61.

..Z—----------1----l9

22

则之在复平面内对应的点的坐标为一彳，3,位于第二象限.

故选：B

【点睛】

本题考查了复数的几何意义、共朝复数的概念、特殊角的三角函数值，属于基础题.

6、D

【解析】

根据sin40<1<log34,In0.4<0<tan226,cos(-20)=sin70>sin65,利用排除法，即可求解.

【详解】

由sin40<1<log34,In0.4<0<tan226,cos(-20)=cos20=sin70>sin65,

可排除A、B、C选项，

又由tan410=tan50>1>sin80>^=log545>log52,

所以tan410>sin80>log52.

故选D.

【点睛】

本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及对数的比较大小问题，其中解答熟记三角函数与对数函数的性质是解答

的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

7、B

【解析】

根据题意，求得函数周期，利用周期性和函数值，即可求得。.

【详解】

由已知可知，/(2+月=〃-无)=-/(尤)，所以函数/(%)是一个以4为周期的周期函数，

所以〃2020-ln2)=/(-ln2)=-/(ln2)=ealn2=2fl=8,

解得a=3,

故选:B.

【点睛】

本题考查函数周期的求解，涉及对数运算，属综合基础题.

8、B

【解析】

2,0,1,9,10按照任意次序排成一行，得所有不以0开头的排列数共4A：=96个，其中含有2个10的排列数共A；=12个,

所以产生的不同的6位数的个数为96-12=84.故选B.

9、D

【解析】

0<%<1

由试验结果知，"对o〜1之间的均匀随机数尤,y，满足八，，面积为1,再计算构成钝角三角形三边的数对(％y),

0<J<1

满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计"的

值.

【详解】

o<%<1

解：根据题意知，加名同学取心对都小于1的正实数对（龙/），即＜

o<j<r

对应区域为边长为1的正方形，其面积为1,

x2+y2<1

x+y>l

若两个正实数羽y能与1构成钝角三角形三边，则有

0<x<1

0<y<1

14a+2m

其面积s；则有2=?解得〃=--------

2m

故选：D.

【点睛】

本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题.线性规划可行域是一个封闭的图形，可以

直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个

变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.

10、C

【解析】

先求集合4,再用列举法表示出集合8,再根据交集的定义求解即可.

【详解】

解：•.•集合A=Uly=2*-1,x£Z?!={jly＞-1},

B={x|-2£r＜3,xGZ}={-2,-1,0,1,2,3},

.\AnB={0,1,2,3）,

故选：C.

【点睛】

本题主要考查集合的交集运算，属于基础题.

11、D

【解析】

XX

尤＜y,不能得到一＜i,二＜1成立也不能推出％＜y,即可得到答案.

yy

【详解】

因为x,ywR,

当时，不妨取x=-l,y=—,—=2＞1,

2y

故无＜y时，一＜i不成立，

y

当一＜1时，不妨取1=2,丁=一1,则不成立，

y

综上可知，“X＜y”是“一＜1”的既不充分也不必要条件，

y

故选：D

【点睛】

本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，属于容易题.

12、C

【解析】

解：对于（1）,当平面A3E,且E在的右上方时，E到平面3C。的距离最大，当平面ABE,且E在

AB的左下方时，E到平面BCD的距离最小，

四面体E-3C。的体积有最大值和最小值，故（1）正确；

对于（2）,连接OE,若存在某个位置，使得AEL3。，又AELBE,则AE_L平面8DE,可得AEJ_OE,进一步可得

AE=DE,此时E-ABO为正三棱锥，故（2）正确；

对于（3）,取A3中点0,连接O。，E0,则NOOE为二面角O-A3-E的平面角，为0,

直角边AE绕斜边A3旋转，则在旋转的过程中，0£[0,兀），

ZZ）AEe[-p-,兀），所以叫NZME不成立.（3）不正确；

对于（4）AE的中点M与A8的中点N连线交平面BCD于点P,P到3C的距离为：dP-Bc,

因为号吐＜1,所以点尸的轨迹为椭圆.（4）正确.

力-BC

故选：C.

A

点睛：该题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征，以几何体为载体，考查相关的空间关系，在解题的过程中，需

要认真分析，得到结果，注意对知识点的灵活运用.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、叵

2

【解析】

该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，由此能求出R=内切球。I在侧面PAD内的正视图是

2

AR4D的内切圆，从而内切球半径为，|,由此能求出..

r

【详解】

四棱锥尸-A3CD为阳马，侧棱尸底面ABC。，

且PA=3,BC=AB=4,设该阳马的外接球半径为R,

,该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，

（27?）2=AB2+AD-+AP2=16+16+9=41,

2

侧棱24,底面ABC。，且底面为正方形，

•••内切球&在侧面PAD内的正视图是的内切圆,

2s

内切球半径为r=-^=l,

故一=-----

r2

故答案为手

【点睛】

本题考查了几何体外接球和内切球的相关问题，补形法的运用，以及数学文化，考查了空间想象能力，是中档题.解

决球与其他几何体的切、接问题，关键是能够确定球心位置，以及选择恰当的角度做出截面.球心位置的确定的方法有

很多，主要有两种：（1）补形法（构造法），通过补形为长方体（正方体），球心位置即为体对角线的中点；（2）外心

垂线法，先找出几何体中不共线三点构成的三角形的外心，再找出过外心且与不共线三点确定的平面垂直的垂线，则

球心一定在垂线上.

14、1

【解析】

・1122.2

试题分析：7=金=-___=即虚部为1,故填：1.

11+JKI-H

考点：复数的代数运算

15、63

【解析】

由题意知q=矢”=1,继而利用等比数列｛4｝的前“项和为s”的公式代入求值即可.

【详解】

%"d)%

解：由题意知“二女旦二；，所以邑=jW163.

+。3，〃6请q'Q-q)AA6

故答案为：63.

【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，属于中档题.

16、0

【解析】

4r

由基本不等式，可得至U[2+/=(+力)+("~+"一)2"一十"+2""=(a+"广，然后利用

222

22

a+b+一]_>(£±^1+一/上北口，可得到最小值，要注意等号取得的条件。

(a+b)22(a+b)2\2

【详解】

由题意，/+/=(〃+/)+("+/)2/+/+2"=(°+")2,当且仅当「时等号成立，

222

所以片+/+.—12("")：+_夜，当且仅当(“；»-=’:一时取等号,

(a+A)22(a+b)2V22(a+Z?)2

31

所以当。=人=2々时，〃+〃+再铲取得最小值后.

【点睛】

利用基本不等式求最值必须具备三个条件：

①各项都是正数；

②和(或积)为定值；

③等号取得的条件。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)单调递减区间为(—8,0),单调递增区间为(0,+")；(2)(—8,1]

【解析】

(1)求导，根据导数与函数单调性关系即可求出.

(2)解法一：分类讨论：当时，观察式子可得/(力>0恒成立；当0<aWl时，利用导数判断函数为单调递增，

可知/(x)>/(0)=0；当°>1时，4-g(-^)==ex+ex-2acosx,由/'(0)=2-2a<0,根

据零点存在性定理可得/'(九0)=。，进而可得在(。,天)上，/(九)单调递减，即/(可</(0)=0不满足题意；解法

二：通过分离参数可知条件等价于2a<纪士恒成立，进而记g(x)=e'—e',问题转化为求g(x)在(0,不)上的

sinxsinx

最小值问题，通过二次求导，结合洛比达法则计算可得结论.

【详解】

(1)当。=0,b=l,f(x)^ex+e-x

:.f'(x)=ex-ex,

令/'(九)=0,解得尤=0,

当了>0时，/'(尤)>0,当x<0时，/'(x)<0,

・••"%)在(-8,0)上单调递减，在(0,+。)上单调递增.

(2)解法一：当/?=一1时，函数/(%)=e"-6一"-2〃sin%,/'(x)=ex+e~x-2acosx

若a<0时，此时对任意无£(0,万)都有产―,%>0，sinx>0

所以〃x)>0恒成立；

若0<aWl时，对任意xe(0,万)都有e*+eT>2，2acosx<2,

所以/'(x)=e*+二—2acosx>0,所以/(%)在(0,乃)上为增函数，

所以/(力>/(。)=。，即0<aWl时满足题意；

若时，令g(x)=/'(%)=e*+eT-2acosx,

则g'(x)=/-+2asinx>0,所以/'(力在(0,不)上单调递增，

r(0)=2-2a<0,广图〉。，

可知，一定存在使得/(尤°)=0,

且当龙«0,%)时，/'(x)<0,所以在(0,/)上，/(%)单调递减，

从而有xe(O,%)时，/(x)</(0)=0,不满足题意；

综上可知，实数。的取值范围为(-8』］.

解法二：当》=一1时，函数/(%)=，一""-2asin%,

又当工£(0,万)时，sinx>0,

/(X)>0对一切xe(0,万)恒成立等价于2a<恒成立，

sinx

/、ex-e~x廿生八.，/、ex(sinx-cosx)+e~x(sinx+cosx)

记g(“二—:----，其中0〈尤〈兀，贝n！|gr'(x)二—-----------J-------------

令/z(x)=e*(sinx-cosx)+”*(sinx+cosx),则〃(x)=2(产一sinx>0,

丸(力在(0,不)上单调递增，h(x)>/z(0)=0,

.•・g'(x)>0恒成立,从而g(x)在(0,1)上单调递增,g(x)>g(O),

由洛比达法则可知，g(0)=lim上~上」-=limg+e=2，

7(sinx/3cosx

2a<29解得〃«1.

实数a的取值范围为

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题，考查了分类与整合的解题思想，涉及分离参数法等技巧、

涉及到洛比达法则等知识，注意解题方法的积累，属于难题.

18、(1)见解析(2)——<c<—1(3)1一6MmW2M

【解析】

(1)若函数/")=办2+加一”有局部对称点，贝！］/(—X)+/(%)=0,即(以2+6》一0)+(62一原一〃)=0有解，即可求证;

(2)由题可得g(r)+g(x)=。在［-1』内有解，即方程21+2-,20=0在区间卜1』上有解，则-2c=2X+2-x,设

Z=2x(-l<x<l)，利用导函数求得2『+2T的范围，即可求得c的范围；

(3)由题可得可―X)+"司=0在R上有解，即4T—22*1+疗—3+(4*—*2>i+川—3)=0在R上有解，设

2工+2T=t(t>2),则可变形为方程产一2/M+2m2-8=0在区间［2+8)内有解，进而求解即可.

【详解】

(1)证明:由/(.r)=ax2+Ax-a得〃-力=以2-bx-a,

代入/(f)+/(%)=0得(如2+bx-a^+(ax1-Z?x-aj=0,

则得到关于x的方程以2一。=0(。彳0),由于。6尺且a/。,所以％=±i,

所以函数/(x)=av2+法一。(。，0)必有局部对称点

(2)解:由题，因为函数g(x)=2*+c在定义域［-1,1］内有局部对称点

所以g(―x)+g(x)=0在［-1,1］内有解，即方程2*+2r+2c=0在区间［T，1］上有解，

所以-2。=2*+2-工,

设/=2%—1<工<1),则:金42,所以-20=1+：

令s(/)=1+1,则s”)=l—±="T)y+D,

t2tt

当r七,11时,s”)<0，故函数s⑺在区间9/上单调递减，当/«1,2)时,s'⑴>0,

故函数s⑺在区间(1,2)上单调递增，

所以s(%n=s⑴=2,

因为s《K'S(2)W，所以s«UV所以凶+;弓

所以-

(3)解:由题,/z(—x)=4-x—〃7・2-X+1+/—3,

由于〃(—％)+h(x)=0,所以4T—7〃♦27+1+m2—3+(4'—相•2X+1+m2-3)=0,

所以(4工+4一工)-2M2工+2-。+2(疗—3)=0(*)在R上有解,

令2X+2r=t(t>2)，则4'+4T=/—2,

所以方程(*)变为/一2m/+2机2-8=0在区间［2,+。。)内有解,

需满足条件：

A=4/172-8(m2-4)>0

、,I-272<m<2V2

'2m+血8一叫“'即，6V隆2万

.2一

得l-6Wm&2也

【点睛】

本题考查函数的局部对称点的理解，利用导函数研究函数的最值问题，考查转化思想与运算能力.

19、(1)|(2)P(l,3,2)

【解析】

试题分析：(1)因为ABLAC,AiB,平面ABC,所以以A为坐标原点，分别以AC、AB所在直线分别为x轴和y

轴，以过A,且平行于BAi的直线为z轴建立空间直角坐标系，由AB=AC=AiB=2求出所要用到的点的坐标，求出棱

AAi与BC上的两个向量，由向量的夹角求棱AAi与BC所成的角的大小；

(2)设棱BiG上的一点P,由向量共线得到P点的坐标，然后求出两个平面PAB与平面ABAi的一个法向量，把二

面角P-AB-Aj的平面角的余弦值为之叵，转化为它们法向量所成角的余弦值，由此确定出P点的坐标.

5

试题解析:

解（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系,

则C（2,0,0）,3（0,2,0）,A（0,2,2）,Bl（0,4,2）,

A4,=（O,2,2）,JBC=B1C1=（2,-2,0）.

AA__4_1

叶画=后后=一5'

jr

故A4与棱BC所成的角是

（2）P为棱用G中点,

设4P=24G=（24—240）,则p（244—242）.

设平面PAB的法向量为%=（尤,％z）,AP=（22,4-22,2）,

YL-AP=0x+3y+2z=0z=-Ax

则4n4n4

n1AB=0[2y=0[y=0

故%=（1,0,-2）

,、•%12逐

而平面ABA,的法向量是%=（1,0,0）,则cos%,%=方力=在/二飞一，

解得x=g,即P为棱与a中点，其坐标为p。,3,2）.

点睛：本题主要考查线面垂直的判定与性质，以及利用空间向量求二面角.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：

（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面

的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理

结论求出相应的角和距离.

20、(1)<xx>^>；(2)(0,2]

【解析】

-2,x<-1,

分析：⑴将4=1代入函数解析式，求得/(尤)=卜+1卜除一1|，利用零点分段将解析式化为"x)=2x,—

2,x>1.

然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式/(尤)>1的解集为；

⑵根据题中所给的XG(0,1),其中一个绝对值符号可以去掉，不等式/(%)>%可以化为时1|<1,分

情况讨论即可求得结果.

-2,x<-1,

详解：⑴当a=l时，/(x)=|x+l|-|x-l|,即〃x)=2x,—1<X<1,

2,x>1.

故不等式/(尤)>1的解集为|x|.

(2)当xe(O,l)时k+旧依T|>X成立等价于当xe(O,l)时阿—1]<1成立.

若aWO,则当尤«0,1)时版一1|»1；

22

若〃>0,|依一的解集为0<%<一,所以一21,故0<。<2.

aa

综上，。的取值范围为(0,2].

点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问

题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二

问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.

134

21、(1)—(2)见解析，-

663

【解析】

(1)采用分层抽样的方法甲组抽取4人，乙组抽取3人，丙组抽取2人，丁组抽取3人，从参加问卷调查的12名学

生中随机抽取2人，基本事件总数为G；=66,这两人来自同一小组取法共有C：+2C；+C；=13,由此可求出所求

的概率；

(2)从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2人，而甲、丙两个小组学生分别有4人和2人，所以抽取的两

人中是甲组的学生的人数X的可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期

望.

【详解】

(1)由题设易得，问卷调查从四个小组中抽取的人数分别为4,3,2,3(人),

从参加问卷调查的12名学生中随机抽取两名的取法=66共有(种),

抽取的两名学生来自同一小组的取法共有戏+2C；+=13(种)，