甘肃武威市凉州区2024年高考模拟卷数学试题含解析

甘肃武威市凉州区2024年高考卷数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数z=（2+i）（l+i）（i是虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

-------1,-1<x<0

已知〃x)=<"x+l)

2.,若方程/（%）-2田;=a-1有唯一解，则实数。的取值范围是（)

—,0<x<1

12

A.{-8}o(l,+co)

C.{-8}u-,1D(2,+QO)D.{-32}o[l,2]o(4,+oo)

3.如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.

（注：同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比.如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019

年2月与2019年1月相比较称环比）根据该折线图，下列结论错误的是（）

A.2019年12月份，全国居民消费价格环比持平

B.2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨

C.2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨

D.2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格

22

4.已知双曲线E:=—3=1(。〉。〉0)的左、右焦点分别为月，F］,尸是双曲线E上的一点，且|环|=2|「耳］.

ab

若直线与双曲线E的渐近线交于点且M为的中点，则双曲线£的渐近线方程为()

A.y=±^xB.y=~~xC.y=±2xD.y=±3x

5.设函数满足/(—x)=/(x)J(x+2)=/(x),则y=/(x)的图像可能是

A.B.

6.若复数z=(〃7+l)+(2-相)i(meR)是纯虚数，则---=()

z

A.3B.5C.y/5D.375

1nx

7.已知函数/(x)=——x2+2ex-a(其中e为自然对数的底数)有两个零点，则实数。的取值范围是()

X

A.^-oo,e2+-B.^-oo,e2+-^j

C.e2—g,+oojD.卜一1,+s]

8.设a=0.82°5,Z?=sinl,c=lg3,则a,b,c三数的大小关系是

A.a<c<bB.a<b<C

C.c<b<aD.b<c<a

22

9.已知椭圆C：鼻+2=1(。〉6〉0)的左、右焦点分别为《，工，点P(ax)，。(—七,—%)在椭圆c上，其

ab

中公＞0,x〉o,若|P0=2|O闾，篝》］?，则椭圆C的离心率的取值范围为()

0,卷、

B.(0,76-2]

A..2J

(

C.,A/3-1D.0,73-1]

10.执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）

11.定义在R上的奇函数“X）满足3—x）+/（x—3）=0,若/（1）=1,/（2）=-2,则

/（1）+/（2）+/（3）++/（2020）=（）

A.-1B.0C.1D.2

1JI

12."sinx=—"是"x=2左乃H■—（左eZ）”的（）

26

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2x-y<6

13.设x,V满足约束条件<x+y23,若z=x+3y+a的最大值是10,则。=.

14.西周初数学家商高在公元前1000年发现勾股定理的一个特例：勾三，股四，弦五.此发现早于毕达哥拉斯定理五

百到六百年.我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数称为勾股数.现从3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13这11个数中随

机抽取3个数，则这3个数能构成勾股数的概率为.

15.连续掷两次骰子，分别得到的点数作为点P的坐标，则点P落在圆好+必=19内的概率为.

2

16.过M（-2,0）且斜率为弓的直线/交抛物线C：/=2内（"〉0）于A,3两点，产为C的焦点若的面积等于

的面积的2倍，则0的值为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）2019年是五四运动100周年.五四运动以来的100年，是中国青年一代又一代接续奋斗、凯歌前行的100

年，是中口青年用青春之我创造青春之中国、青春之民族的100年.为继承和发扬五四精神在青年节到来之际，学校组

织“五四运动100周年”知识竞赛，竞赛的一个环节由10道题目组成，其中6道A类题、4道5类题，参赛者需从10

道题目中随机抽取3道作答，现有甲同学参加该环节的比赛.

(1)求甲同学至少抽到2道8类题的概率；

23

(2)若甲同学答对每道A类题的概率都是；，答对每道8类题的概率都是二，且各题答对与否相互独立.现已知甲同

35

学恰好抽中2道A类题和1道5类题，用X表示甲同学答对题目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望.

18.(12分)已知王,七,七e(0,+oo),且满足占+%+W=3尤逮2尤3，证明：占尤2+%2毛+%%23.

19.(12分)已知函数〃*)=竺上—ln(x+l)(a〉0),且曲线y=/(x)在x=l处的切线方程为y=L+。.

(1)求/(%)的极值点与极值.

(2)当％〉g,xe[0,_Hx>)时，证明：/(x)<Ax2.

20.(12分)中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体，给人于美的享受.如图(1)为一花窗；图(2)所示是一

扇窗中的一格，呈长方形，长30cm,宽26cm,其内部窗芯(不含长方形边框)用一种条形木料做成，由两个菱形和

六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称.设菱形的两条对角线长分别为xcm和ycm,窗芯

所需条形木料的长度之和为L.

(1)试用x,y表示L；

(2)如果要求六根支条的长度均不小于2cm,每个菱形的面积为130cm2,那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形

木料(不计榨卯及其它损耗)？

21.(12分)如图，在正四棱锥P-ABC。中，底面正方形的对角线AC,加交于点。且。

2

(1)求直线BP与平面PC。所成角的正弦值;

(2)求锐二面角5—尸£>—C的大小.

22.(10分)如图，平面四边形ABC。中，BC//AD,ZADC=90°,ZABC=120°,E是AO上的一点,

48=6。=2",/是EC的中点，以EC为折痕把△即C折起，使点。到达点尸的位置，且PCLBF.

(1)证明：平面PECL平面A6CE；

(2)求直线PC与平面R43所成角的正弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

将z整理成。+方的形式，得到复数所对应的的点，从而可选出所在象限.

【详解】

解：z=(2+i)(l+i)=2+『+3i=l+3，，所以z所对应的点为(1,3)在第一象限.

故选:A.

【点睛】

本题考查了复数的乘法运算，考查了复数对应的坐标.易错点是误把i2当成1进行计算.

2、B

【解析】

求出/'(*)的表达式，画出函数图象，结合图象以及二次方程实根的分布，求出”的范围即可.

【详解】

解：令-l<x<0,贝(10<x+l<l,

贝!|/(%+1)=—,

—--1,-1<^<0

X+1,如图示:

故/(X)="

-,0„x<l

12

由f(x)-2ax=a-1,

得/(x)=a(2x+l)-l,

函数丫=。(2了+1)-1恒过4(-2，-1),

由8(1,；),C(O,1),

-+11+1；,

=M

可得。—r1>kOA=2,J,

1+

2万

若方程f{x)-2ax=a-\有唯一解，

则1<2%2或2a>4,即,<a”1或。>2；

2

2

当2a尤+“-1=-------1即图象相切时，

x+1

根据△=(),94-8a(a-2)=0,

解得“=-16(0舍去)，

则°的范围是{-16}u[g,lU(2,+s),

故选：B.

【点睛】

本题考查函数的零点问题，考查函数方程的转化思想和数形结合思想，属于中档题.

3、D

【解析】

先对图表数据的分析处理，再结简单的合情推理一一检验即可

【详解】

由折线图易知4、C正确；2019年3月份及6月份的全国居民消费价格环比是负的,所以5错误；设2018年12月份,

2018年11月份，2017年12月份的全国居民消费价格分别为a,b,c,由题意可知,b=a,j=1.9%,则有

c

c=——-——<a=b,所以！>正确.

1+1.9%

故选：D

【点睛】

此题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属于中档题.

4、C

【解析】

由双曲线定义得俨鸟|=40,归耳|=2a,OM是△尸耳心的中位线，可得|。图=,在△。明中，利用余弦定理即

可建立a，c关系，从而得到渐近线的斜率.

【详解】

根据题意，点P一定在左支上.

由归用=2|尸周及|尸闾一|尸司=2。,n\PFr\=2a,\PF2\=4a,

再结合”为P&的中点，得归用=|叫|=2匹

又因为OM是APG8的中位线，X\OM\=a,豆OMIIPF〉

从而直线PK与双曲线的左支只有一个交点.

a2+c2-4a2

在AOMF?中cosZMOF=

2lac

hn

由tanNMOK=—,得cosNMOK=—・——②

ac

r2b

由①②，解得二=5,即一=2,则渐近线方程为'=±2尤.

aa

故选：C.

【点睛】

本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题.

5、B

【解析】

根据题意，确定函数y=/(x)的性质，再判断哪一个图像具有这些性质.

由/(—%)=f(x)得y=/(x)是偶函数,所以函数y=f(x)的图象关于V轴对称，可知B,D符合；由/(%+2)=于(x)

得y=/(x)是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4,不符合，选项B的图像的最小正周期是2,符

合，故选B.

6、C

【解析】

先由已知，求出m=-1,进一步可得如色=1-2i,再利用复数模的运算即可

Z

【详解】

由z是纯虚数，得加+1=0且2-机/0,所以m=一1,z=3i.

l,”6+3z6+3z।।匕

因此，------==l-2z=v5.

z3z

故选：C.

【点睛】

本题考查复数的除法、复数模的运算，考查学生的运算能力，是一道基础题.

7、B

【解析】

求出导函数/'(x),确定函数的单调性，确定函数的最值，根据零点存在定理可确定参数范围.

【详解】

"%)=匕学一2(%-6),当xe(0,e)时，f'(x)>Q,〃x)单调递增,当xe(e,+8)时，f'(x)<Q,/⑺单调

%

递减，...在(0,+8)上/'(X)只有一个极大值也是最大值F(e)='+e2-。，显然X.0时，/(x)f%—”时,

e

f(x)f-00,

11

因此要使函数有两个零点，则/\e)=—+e9?-。>0,.•.a<e92+—.

ee

故选：B.

【点睛】

本题考查函数的零点，考查用导数研究函数的最值，根据零点存在定理确定参数范围.

8、C

【解析】

利用对数函数，指数函数以及正弦函数的性质和计算公式，将a,b,c与上比较即可.

V52

【详解】

由a=0.82°§〉0.8°5=

1入•,.兀6[3林

—</?=sin1<sin—=——=J—<J—

232\4V5

c=lg3<1gVio=-|lgio=,

所以有c</?<a.选C.

【点睛】

本题考查对数值，指数值和正弦值大小的比较，是基础题，解题时选择合适的中间值比较是关键，注意合理地进行等

价转化.

9、C

【解析】

根据|PQ|=2|O闾可得四边形明。月为矩形，设因=，％根据椭圆的定义以及勾股定理可得

4cmnmn-4c2

再分析”二+而的取值范围,进而求得2<《亍再求离心率的范围即可.

2(a2-c2

【详解】

设。耳=〃，PF2=相，由%>0,%〉0,知机<〃，

因为P（X，%）,Q（_玉,—％）在椭圆C上尸0=2|0尸卜2|06|,

所以四边形PRQF?为矩形,QK=PF2.

由胃之",可得且<生<1,

|尸上][33〃

由椭圆的定义可得加+〃=2%加2+〃2=4/①,

平方相减可得mn=2（a2-c2）②,

m2+n2mn

由①②得-------二—1—；

mnnm'

1(4J3

所以f=v+—e2,-4-

vI3

4c2/4百

即2<

所以a?-c2<c2<-c2

所以1—e2<e2<

所以;<e2<4-2点，

W#—<e<V3-l.

2

故选：C

【点睛】

本题主要考查了椭圆的定义运用以及构造齐次式求椭圆的离心率的问题,属于中档题.

10、D

【解析】

由程序框图确定程序功能后可得出结论.

【详解】

执行该程序可得s=0+《+*+/+?=

故选：D.

【点睛】

本题考查程序框图.解题可模拟程序运行，观察变量值的变化，然后可得结论，也可以由程序框图确定程序功能，然

后求解.

11、C

【解析】

首先判断出了（X）是周期为6的周期函数，由此求得所求表达式的值.

【详解】

由已知/（X）为奇函数，得了（—x）=—/（x）,

而/（-3-x）+/（x-3）=0,

所以“x—3）=/（x+3）,

所以〃%）=/（%+6）,即〃九）的周期为6.

由于"1）=1，/（2）=-2,/（0）=0,

所以/（3）=/（-3）=-/（3）n/⑶=0,

/（4）=/（-2）=-/（2）=2,

/（5）=/（-l）=-/（l）=-h

/（6）=/（0）=0.

所以/（1）+〃2）+/⑶+/（4）+〃5）+〃6）=0,

又2020=6x336+4,

所以〃1）+/（2）+/（3）++/（2020）=/（1）+/（2）+/（3）+/（4）=1.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.

12、B

【解析】

ITT5万

sinx=—ox=2左乃+—(左eZ)或x=2k左+——伏eZ),从而明确充分性与必要性.

266

【详解】

|TTSyr

由sin%=—可得：x-IkjiH——(kEZ)^X=2kji+——GZ),

266

JT1

即%=2k兀H■一(％eZ)能推出sinx=—,

62

177-

但sin%=—推不出冗=2左〃+—(左wZ)

26

14

“sinx=—”是“x=2左乃+—(左eZ)”的必要不充分条件

26

故选3

【点睛】

本题考查充分性与必要性，简单三角方程的解法，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、--

2

【解析】

画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可容易求得结果.

【详解】

数形结合可知当且仅当目标函数过点3,取得最大值,

97

故可得10=—+9+。，解得。=——.

22

7

故答案为：-

2

【点睛】

本题考查由目标函数的最值求参数值，属基础题.

1

14、—

55

【解析】

由组合数结合古典概型求解即可

【详解】

从11个数中随机抽取3个数有品种不同的方法，其中能构成勾股数的有共(3,4,5),(6,8,10),(5,12,13)三种，所以,

「31

所求概率为尸=/7=百.

故答案为白

【点睛】

本题考查古典概型与数学文化，考查组合问题，数据处理能力和应用意识.

11

15、—

36

【解析】

连续掷两次骰子共有6x6=36种结果，列出满足条件的结果有11种，利用古典概型即得解

【详解】

由题意知，连续掷两次骰子共有6x6=36种结果，

而满足条件的结果为：

(1,1),(1,2),(1,3),(1,1),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1)

共有11种结果，根据古典概型概率公式，

可得所求概率尸=空.

故答案为：——

36

【点睛】

本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题.

16、2

【解析】

联立直线与抛物线的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系以及面积关系求解即可.

【详解】

如图，设A(王，%),5(%2,%，由SMFB=2s9则%=2%，

'2,小

y——(%+2),016

由r3可得y-3py+4P=0,由/>0,则p>一，

y2=2px9

16

所以％+%=3°,%%=229一=42，得，=2〉豆・

故答案为：2

【点睛】

此题考查了抛物线的性质，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

129

17、(1)—；(2)分布列见解析，期望为

315

【解析】

(1)甲同学至少抽到2道3类题包含两个事件：一个抽到2道B类题，一个是抽到3个B类题，计算出抽法数后可

求得概率；

(2)X的所有可能值分别为01,2,3,依次计算概率得分布列，再由期望公式计算期望.

【详解】

(1)令“甲同学至少抽到2道5类题”为事件A,则抽到2道3类题有C：煤种取法，抽到3道3类题有C；种取法，

Cfo1203

(2)X的所有可能值分别为0』,2,3,

「(X=o)=$x|=*sy转•1+芸•111

45

204P(X=3)=(§2)2,3_12_4

4595-45-15

•••X的分布列为：

X0123

21144

P

4545915

2114429

E(X)=0x—+lx—+2x-+3x—=—

454591515

【点睛】

本题考查古典概型，考查随机变量的概率分布列和数学期望.解题关键是掌握相互独立事件同时发生的概率计算公式.

18、证明见解析

【解析】

将无I+尤2+毛=3%％毛化简可得二7+17+^^=3,由柯西不等式可得证明.

【详解】

解：因为冷与七e(0,y),X1+X2+X3=3石%2%3，

所以~~—।—-—।---=3,

>(1+1+1)2=9,

又+X2%3+X3X1)•

所以占%+%彳3+毛为23,当且仅当X]=x2=x3=1时取等号.

【点睛】

本题主要考查柯西不等式的应用，相对不难，注意已知条件的化简及柯西不等式的灵活运用.

19、(1)极小值点为x=0,极小值为0,无极大值；(2)证明见解析

【解析】

⑴先对函数求导，结合已知及导数的几何意义可求。，结合单调性即可求解函数的极值点及极值；(2)令

g(x)^kx--f(x),问题可转化为求解函数的最值，结合导数可求.

【详解】

(1)由题得函数的定义域为(-I,”).

，/、(2ax+l)(x+l)-ar2-x1x(ax+2«-1)

(1+x)2(1+x)2—

0小3a-11"口

/。)=一一，由已知得「。)=5,解得。=1

/(x)=/+：-ln(x+l)=x-ln(x+1),/'(x)=1----=~~~

令/'(九)=0,得x=0

令/'(九)>0,得x>0,.•./(九)在(0，+8)上单调递增.

令/'(x)<0,得T<x<O；./(x)在(―1,0)上单调递减

，/(龙)的极小值点为1=0,极小值为0,无极大值.

2

(2)证明：由(1)知1=1,・•・/(%)=---------ln(x+l)=x—ln(x+l),

x+1

令g(x)=&—/(%),

即g(x)=Ax2-x+ln(x+l)

“fJk-l

2KX\X-\----------

'(\-i+1」［24(％+1)-1］I2k

S^x-2k2kxx-l--

g+x+1

,1「八\2Axx-\----------44

xe［0,a),⑺,I2左乂0怛成乂.

-1/x+1-'

/.8⑴="2-x+ln(x+l)在［0,+co)上单调递增

又g(0)=0,・・・g⑴Ng(o)=0在［0,+8)上恒成立

kx2-x+ln(x+1)20在［0,+8)上恒成立

/.kx2>x-ln(x+1),即x-In(%+1)<kx2

/./(x)<Ax2

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的极值问题，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属

于中档题.

20、（1）2=82+4次+/—2（x+y）（2）16+47569

【解析】

试题分析：（1）由条件可先求水平方向每根支条长15-%,竖直方向每根支条长为13-因此所需木料的长度之和

2

［~1-----7______15-x>2,

L=2（15-x）+4（13-^）+8x^V=82+47%2+/-2（x+y）（2）先确定范围由｛/一）〉？可得丁丁4M3,

再由面积为130cm2,得!移=13,转化为一元函数£=82+4）%2+（理）2—2（》+理），令仁X+"贝!)

2\xxX

I-----------520

L=82+_520+加--------］在te［33,二］上为增函数，解得L有最小值16+4质.

y/t—520+%11

a八。

试题解析：（1）由题意，水平方向每根支条长为加xcm,竖直方向每根支条长为

2

〃=名”=13-1cm,菱形的边长为J（：）2+亭=亡cm.从而，所需木料的长度之和

TyJx2+y2

L=2(15_x)+4(13_g+8xY2=82+4也2+、2—2(%+y)cm.

15-x22,I--------------

（2）由题意，-^=13,HPy=—,又由y。可得受三国3.所以L=82+44必+（筌一2（x+理）.

2%13-->2,11Nxx

令”X+竺2,其导函数1—驾<0在上恒成立，故仁X+当在［空,13］上单调递减，所以可得

X%-11X11

te[33,——].则L=82+2[2.(%+上产—520-(%+—)]

11'XX

=82+2[J/-520+/-520—]

=82+2[〃-520+4-520-t]

sit2-520+1

-520372

因为函数9=1/2一520和丁=pr丁在玲［33,丁］上均为增函数,所以

J厂—520+/11

I-----------520

乙=82+2[32—520+7^^^]在/引33,卑]上为增函数，故当/=33,即》=13,y=20时L有最小值

，厂—520+711

16+4^569.答：做这样一个窗芯至少需要16+cm长的条形木料.

考点：函数应用题

21、(1)逅；(2)60°.

3

【解析】

(1)以。及O”OP分别为x轴,y轴,z轴，建立空间直角坐标系，设底面正方形边长为2,再求解BP与平面PCD的法

向量,继而求得直线BP与平面PC。所成角的正弦值即可.

⑵分别求解平面BPD与平面PDC的法向量，再求二面角的余弦值判断二面角大小即可.

【详解】

解：(1)在正四棱锥P-ABC。中,底面正方形的对角线AC,BD交于点。，

所以O尸，平面取A5的中点的中点£

所以OP,。瓦O/两两垂直，故以点。为坐标原点，

以OE,O”OP分别为x轴,y轴,z轴，建立空间直角坐标系.

设底面正方形边长为2,

因为042A3,

2

所以OP=L

所以3(1,1,0),c(-l,l,0),z)(-l,-l,0),p(0,0,1),

所以(-L-1,1),

设平面PCD的法向量是n=(%,j,z),

因为CD=(0,—2,0),CP=(l,-l,l),

所以CD-n=-2y=0,CP-n=x-y+z=0,

取x=l,则y=0,z=-1,

所以“=(l,0,-L)

.DD、BPn76

所以的<取'心=丽=5,

所以直线BP与平面PC。所成角的正弦值为逅.

3

(2)设平面BPD的法向量是n=(%,y,z),

因为BP=(-1,-1,1),BD=(-2,-2,1),

所以BP•片-x-y+z=0,BD-n=-2x-2y=0,

取x=l,则y=-1,z=0,

所以〃=(L—1,O),

由(1)知平面PCD的法向量是n=(1,0,-1),

,、m-n1

所以cos<m,n>=j-p=-

所以V〃z,«>=60°,

所以锐二面角B-PD-C的大小为60°.

【点睛】

本题主要考查了建立平面直角坐标系求解线面夹角以及二面角的问题，属于中档题.

22、(1)见解析；(2)叵

5

【解析】

(1)要证平面PECL平面A3CE,只需证政，平面PEC,而PCL5/，所以只需证MLEC,而由已知的数

据可证得AfiCE为等边三角形，又由于歹是EC的中点，所以班从而可证得结论；

(2)由于在RfAPEC中，PE=DE=PF=-EC=2a,而平面PEC,平面A3CE,所以点P在平面A3CE的投