河南省驻马店市遂平县第一初级中学2023年八年级上册数学期末考试试题含解析

河南省驻马店市遂平县第一初级中学2023年八上数学期末考试试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.如图，AABC^,乙4=30。，ZC=9O°,48的垂直平分线DE交4C于。点，交于E点，则下列结论错误的是（）

A.AD^BCB.AD=DBC.DE=DCD.BCAE

2.已知四边形ABCD中，AC与BD交于点0,如果只给出条件“AB〃CD”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形,

给出以下四种说法:

①如果再加上条件"BC=AD"，那么四边形ABCD一定是平行四边形；

②如果再加上条件“NBAD=NBCD"，那么四边形ABCD一定是平行四边形;

③如果再加上条件"0A=0C"，那么四边形ABCD一定是平行四边形；

④如果再加上条件“NDBA=NCAB"，那么四边形ABCD一定是平行四边形.

其中正确的说法是（）

A.①②B.①③④C.②③D.②③④

3.将0.000000517用科学记数法可表示为（）

A.5.17x107B.517x105C.5.17xW8D.5.17x10-6

4.若a<6,则下列各式成立的是（）

ab

A.—ci<—bB.a—2>Z?—2C.2—a>2—b—>—

33

5.如图，MBC=ADEF,。歹和AC,所和为对应边，若NA=123°,ZF=39°,则ND所等于（）

c

A.18°B.20°C.39°D.123°

6.如图，CE是一ABC的角平分线,EFUBC,交AC于点已知“芯=68。，则NEEC的度数为（）

A.68°B.34°

C.32°D.22°

NB=55。，NC=63。，DE/7AB,则/DEC等于()

A.63°B.113°C.55°D.62°

8.下列函数中，y随x的增大而减小的函数是（)

A.y=2x-lB.=5x4-2C.y=x-3D.y=5-3%

9.如图，在3义3的正方形网格中由四个格点A,B,C,D,以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平

面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（）

B

A.A点B.B点C.C点D.D点

10.入冬以来，我校得流行性感冒症状较重，据悉流感病毒的半径为0.000000126cm,请把0.000000126用科学记数

法表示为（）

A.1.26x10-6B.1.26x10-7C.12.6X10-6D.1.26x10-8

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.因式分解：24孙-4fy-36y=

12.如图，等边△ABC中，BDLAC于。，AD=3.5cm,点P、Q分别为A3、AD上的两个定点且筋=AQ=2cm,

在6。上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为cm.

13.如图，AABC名△DC5,NOBC=35。，则NA03的度数为

旦工一-1=3,…则第"个等式为.（用含"的式子表示）

4164

15.如图，在AABC中，NABC和NACB的平分线相交于点F,点点F作DE〃BC,交AB于点D,交AC于点E。

若BD=3,DE=5,则线段EC的长为.

ZC=70,在3C、CD上分别找一点M、N,当AAMN的周长最小时,

中自变量x的取值范围是

18.如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，过点D作边AB的垂线1,E是1上任意一点，且AC=5,BC=8,则

△AEC的周长最小值为.

A

三、解答题(共66分)

19.(10分)定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A(a,A),B(c,d),若点T(x,y)满足x=>=等，

那么称点T是点A,3的融合点.

(-2)

例如：A(-l,8),5(4,-2),当点T(x,y)满是工=-1二+一4=1,y=8—+尸=2时，则点TQ2)是点人，3的融合

点)

(1)已知点A(—1,5),3(7,7),C(2,4),请说明其中一个点是另外两个点的融合点.

(2)如图，点。(3,0),点E«,2/+3)是直线/上任意一点，点T(x,y)是点。，£的融合点.

①试确定V与x的关系式.

②若直线ET交x轴于点〃，当AD7H为直角三角形时，求点£的坐标.

20.(6分)如图，在/ABC中，AB=13,BC=14,AC=15.求BC边上的高.

A

--------c

21.(6分)通过学习，甲、乙同学对喀斯特地貌都很感兴趣，为了更直观地了解喀斯特地貌，他们相约在国庆节期间

区万峰林.已知甲、乙两同学从家到万峰林的距离均约为3000米，甲同学步行去万峰林，乙同学骑自行车去万峰林，

甲步行的速度是乙骑自行车速度的;，甲、乙两同学同时从家出发去万峰林，结果乙同学比甲同学早到10分钟.

(1)乙骑自行车的速度；

(2)当乙到达万峰林时，甲同学离万峰林还有多远？

1*2尤+2

22.（8分）先化简后求值：先化简（上一-x+1）4-------,再从-1,+1,-2中选择合适的x值代入求值

x+1x+2x+1

13

23.（8分）如图，直线式：、=5彳+授与y轴的交点为A，直线4与直线，2：y=履的交点M的坐标为M（3,a）.

（1）求a和k的值；

13

（2）直接写出关于x的不等式一X+—的解集；

22

（3）若点B在x轴上，MB=MA,直接写出点B的坐标.

24.（8分）（1）如图中，已知NMAN=120。，AC平分/MAN.NABC=NADC=90。，则能得如下两个结论：①DC=BC；

②AD+AB=AC.请你证明结论②；

（2）如图中，把（1）中的条件“NABC=NADC=90。”改为NABC+/ADC=180。，其他条件不变，贝（I（1）中的结

论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.

c

/7Y2+Av2

25,(10分)对x,y定义一种新运算T,规定T(x,y)=----------匚(其中a,b是非零常数，且x+y#0),这里等式

元+y

右边是通常的四则运算.

E«、ax32+Z?xl29a+b_八am2+4b

如：T(3,1)=------------------=----------,T(zm,-2)=--------------.

3+14m-2

(1)填空：T(4,-1)=(用含a,b的代数式表示)；

(2)若T(-2,0)=-2且T(5,-1)=1.

①求a与b的值；

②若T(3m-10,m)=T(m,3m-10),求m的值.

26.(10分)在AABC中，AB=AC,ZBAC=«(0°<«<60°)，将线段BC绕点B逆时针旋转60。得到线段BD.

(图2)

(1)如图1,直接写出NABD的大小(用含C的式子表示)；

(2)如图2,ZBCE=150°,NABE=60。，判断△ABE的形状并加以证明;

(3)在(2)的条件下，连结DE,若NDEC=45。，求a的值.

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、A

【解析】根据直角三角形的性质得到AB=2BC,根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB,根据直角三角形的性质、

角平分线的性质判断即可.

【详解】•；NC=90。，ZA=30°,

.♦.NABC=60°,AB=2BC,

；DE是AB的垂直平分线，

.".DA=DB,故B正确，不符合题意；

VDA=DB,BD>BC,

/.AD>BC,故A错误，符合题意；

/.ZDBA=ZA=30o,

/.ZDBE=ZDBC,又DE_LAB,DC±BC,

/.DE=DC,故C正确，不符合题意；

VAB=2BC,AB=2AE,

.\BC=AE,故D正确，不符合题意；

故选：A.

【点睛】

考查的是直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，掌握在直角三角形中，30。角所对的直角边等

于斜边的一半是解题的关键.

2、C

【解析】其中正确的说法是②、③.因为再加上条件“NBAD=NBCD”，即可求得另一组对角相等，那么四边形ABCD

一定是平行四边形；如果再加上条件"AO=OC”，即可证明△AOB之△COD,所以，AB=DC,那么四边形ABCD—

定是平行四边形.

故正确的说法②、③.故选C.

3、A

【分析】由题意根据科学记数法的表示方法，进行分析表示即可.

【详解】解：0.000000517=5.17xlO-7.

故选：A.

【点睛】

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为aXIO,其中iW|a|V10,n为由原数左边起第一个不为零的数字

前面的0的个数所决定.

4、C

【分析】根据不等式的性质逐项判断即可.

【详解】A、a<b,:.-a>-b,此项错误

B、■；a<b,:.a-2<b-2,此项错误

C、在A选项已求得—a>—Z?,两边同加2得2—a>2—b,此项正确

D、a<b,此项错误

33

故选：C.

【点睛】

本题考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同加（或同减）一个数，不改变不等号的方向；（2）不等式的两边同乘

以（或除以）一个正数，不改变不等号的方向；两边同乘以（或除以）一个负数，改变不等号的方向，熟记性质是解

题关键.

5、A

【分析】根据全等三角形的性质求出ND,再用三角形的内角和定理即可求解.

【详解】•••AABC三ADEF

.*.ZD=ZA=123°

又NF=39。

:.ZDEF=180°-ZD-ZF=180°-123o-39o=18o

故选：A

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等及三角形的内角和定理是关键.

6、B

【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质即可求解.

【详解】解：；EF//BC

.•.NACB=ZAFE=68°

:CE是ABC的角平分线

/.ZFEC=ZBCE=-ZACB=34°

2

故选：B

【点睛】

此题主要考查平行线的性质和角平分线的性质，灵活运用性质解决问题是解题关键.

7、D

【分析】由AB//DE,可知NDEC=NA,利用三角形内角和定理求出NA即可.

【详解】解：；AB//DE,

:.ZDEC=ZA,

,.,ZA=180°-ZB-ZC=180o-55°-63o=62o,

ZDEC=62°

故选：D.

【点睛】

本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键.

8、D

【分析】根据一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可.

【详解】解：A、•••k=2>0,，y随x的增大而增大，故本选项错误；

B、•••k=5>0,，y随x的增大而增大，故本选项错误；

C、•••k=l>0,随x的增大而增大，故本选项错误；

D、•••k=-3V0,，丫随x的增大而减小，故本选项正确；

故选D.

【点睛】

本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y=kx+b(kr0)中，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y

随x的增大而减小是解答此题的关键.

9、B

【解析】试题解析：当以点5为原点时，A(-1,-1),C(1,-1),

则点A和点C关于y轴对称，符合条件，

故选B.

【点睛】本题考查的是关于x轴、y轴对称的点的坐标和坐标确定位置，掌握平面直角坐标系内点的坐标的确定方法和

对称的性质是解题的关键.

10、B

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axlO-n,与较大数的科学记数法不同的是其所

使用的是负指数塞，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【详解】0.000000126=1.26x104.

故选：B.

【点睛】

此题考查科学记数法表示较小的数，解题关键在于掌握一般形式为axio-n,其中n为由原数左边起第一个

不为零的数字前面的0的个数所决定.

二、填空题(每小题3分，共24分)

11>-4y(x-3)2；

【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式进行分解因式，即可得到答案.

【详解】解：24xy-4x2y-36y

=-4y(x2-6xy+9)

=-4y(x-3)2；

故答案为：—4y(%—3)2.

【点睛】

本题考查了提公因式法和公式法分解因式，解题的关键是熟练掌握分解因式的方法和步骤.

12、1

【分析】作点Q关于BD的对称点Q。连接PQ，交BD于E,连接QE,此时PE+EQ的值最小，最小值

PE+PQ=PE+EQr=PQ'；

【详解】解：如图，•••△ABC是等边三角形，

ABA=BC,

VBD1AC,

:.AD=DC=3.1cm,

作点Q关于BD的对称点Qr,连接PQ咬BD于E,连接QE,此时PE+EQ的值最小.最小值PE+PQ=PE+EQ』PQ:

VAQ=2cm,AD=DC=3.1cm,

.*.QD=DQr=l.lcm,

.\CQr=BP=2cm,

:.AP=AQr=lcm,

VZA=60°,

.••△APQ，是等边三角形，

.*.PQ,=PA=lcm,

；.PE+QE的最小值为：1cm.

故答案为1.

【点睛】

本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称的性质，以及最短距离问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最

短问题，属于中考常考题型.

13、70°.

【分析】根据全等三角形对应角相等可得NACB=NDBC,再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和

列式计算即可得解.

【详解】VAABC^ADCB,ZDBC=35°,

；.NACB=NDBC=35。，

:.ZAOB=ZACB+ZDBC=35°+35°=70°.

故答案为70°.

【点睛】

本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，熟记性质是解题的关

键.

14、I____1

\n+1(n+1)2n+1

【分析】探究规律后，写出第"个等式即可求解.

【详解】解：、口工

V242

V4164

11

则第〃个等式为

n+1("+1)2n+\

故答案为：j工——==上

【点睛】

本题主要考查二次根式的应用，找到规律是解题的关键.

15、1

【分析】根据^ABC中，NABC和NACB的平分线相交于点F.求证NDBF=NFBC,ZECF=ZBCF,再利用两

直线平行内错角相等，求证出NDFB=NDBF,ZCFE=ZBCF,即BD=DF,FE=CE,然后利用等量代换即可求出

线段CE的长.

【详解】TNABC和NACB的平分线相交于点F,

.\ZDBF=ZFBC,ZECF=ZBCF,

・・・DF〃BC,交AB于点D,交AC于点E.

.\ZDFB=ZFBC,ZEFC=ZBCF,

AZDFB=ZDBF,ZCFE=ZECF,

ABD=DF=3,FE=CE,

CE=DE-DF=5-3=1.

故选：C.

【点睛】

此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质平行线段性质的理解和掌握，此题难度不大，是一道基础题.

16、140°

【分析】作点A关于CD、BC的对称点E、F,连接EF交CD、BC于点N、M,连接AN、MN、AM,此时AAM2V

的周长最小，先利用NC=70求出NE+NF=70。，根据轴对称关系及三角形外角的性质即可求出

ZAMN+ZANM=2(ZE+ZF).

【详解】如图，作点A关于CD、BC的对称点E、F,连接EF交CD、BC于点N、M,连接AN、MN、AM,此时AAAW

的周长最小，

•・•AB上BC,ADLDC,

.\ZABC=ZADC=90°,

VNC=70,

.*.ZBAD=110°,

.*.ZE+ZF=70o,

VZAMN=ZF+ZFAM,ZF=ZFAM,ZANM=ZE+ZEAN,ZE=ZEAN,

AZAMN+ZANM=2(ZE+ZF)=140°,

故答案为：140。.

【点睛】

此题考查最短路径问题，轴对称的性质，三角形外角性质，四边形的内角和，正确理解将三角形的最短周长转化为最

短路径问题来解决是解题的关键.

17、尤#5

【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不等于L

【详解】解：根据题意得：X-2WL

解得：x#2.

故答案为：xW2.

【点睛】

本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为L

18、1

【解析】连接3E,依据/是的垂直平分线，可得AE=5E,进而得至UAE+CE=8E+CE,BE+CE>BC,可知当

B,E,C在同一直线上时，3E+CE的最小值等于5c的长，而AC长不变，故△AEC的周长最小值等于AC+3C.

【详解】如图，连接3E.

•••点。是A5边的中点，LL43,是48的垂直平分线，：.AE=BE,：.AE+CE=BE+CE.

,：BE+CE>BC,.,.当3,E,C在同一直线上时，3E+CE的最小值等于3c的长，而AC长不变，.•.△AEC的周长最

小值等于AC+BC=5+8=1.

故答案为1.

C

【点睛】

本题考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对

称点.

三、解答题（共66分）

19、（1）点C（2,4）是点4,3的融合点；（2）①y=2x—1,②符合题意的点为，62（615）.

【分析】（1）由题中融合点的定义即可求得答案.

（2）①由题中融合点的定义可得y=2x—1,.

②结合题意分三种情况讨论：（i）N7W=90°时，画出图形，由融合点的定义求得点E坐标；（ii）NTDH=90°

时，画出图形，由融合点的定义求得点E坐标；（道）NHTO=90°时，由题意知此种情况不存在.

【详解】（1）解：匚二=2,W=4

33

.•.点C（2,4）是点A,B的融合点

（2）解：①由融合点定义知x==工，得r=3x-3.

0+（2t+3）3y—3

又.y=---------，=

.•.3x-3=包三，化简得y=2x-1.

2

②要使AD7H为直角三角形，可分三种情况讨论：

（i）当N7HD=90°时，如图1所示,

用1

设7（机,2加一1）,则点£1为（机,2根+3）.

由点T是点。的融合点，

r加m+3„,1(2m+3)+0

可得加二----^2m-l=-----------,

33

解得机=|,.•.点

（ii）当N7Z汨=90°时，如图2所示,

则点T为(3,5).

由点T是点E,。的融合点，

可得点当(6,15).

(iii)当NH7Z)=90°时，该情况不存在.

综上所述，符合题意的点为62(6/5)

【点睛】

本题是一次函数综合运用题，涉及到勾股定理得运用，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解.

20、1

【分析】AD为高，那么题中有两个直角三角形.AD在这两个直角三角形中，设BD为未知数，可利用勾股定理都表

示出AD长.求得BD长，再根据勾股定理求得AD长.

【详解】解：设BD=x,则CD=14—x.

在Rt/ABD中，AD2=AB2-BD2

=132—%2

在Rt/ACD中，AD~AC2-CD2

=152——

•*.132—x1=152—(14—x)2

解之得％=5

22

：•AD=VAS-BD=7132-52=i-

【点睛】

勾股定理.

21、(1)乙骑自行车的速度为300m/min；(2)当乙到达万峰林时，甲同学离万峰林还有1500m.

【分析】(1)设甲的速度是xm/min,则乙的速度是2xm/min,根据甲、乙两同学同时从家出发去万峰林，结果乙同

学比甲同学早到10分钟列出方程求解即可；

(2)先计算乙到达万峰林的时间，然后用300减去甲在这段时间的路程即可得出答案.

【详解】解：(1)设甲的速度是xm/min,则乙的速度是2xm/min,

根据题意，

30003000s

----------------=10

x2x

解得光=150,

经检验，1=150是该方程的根，

2%=300,

乙骑自行车的速度为300m/min；

,、3000s

(2)------=10min,

300

3000-10x150=1500m,

当乙到达万峰林时，甲同学离万峰林还有1500m.

【点睛】

本题考查分式方程的应用.能理解题意，找出等量关系是解题关键.

x+12

22、-----，一.

x+23

【分析】根据分式的加减法和乘除法可以化简题目中的式子，然后在-1,+1,-2中选择一个使得原分式有意义的值代

入化简后的式子即可解答本题.

Y~x+2

【详解】解：(/——x+l)~-

x+1x+2x+1

_%2-x2+1(x+1)2

-----------・--------

x+1x+2

_X+1

x+29

,<*x+10,x+2w0,

•••xw—1f尤w-2，

:.当x=l时，

【点睛】

本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.

39

23、(1)<7=3,k=1；(2)x>3；(3)B1(―,0),B2(―,0)

13

【分析】(1)把M(3,a)代入/］：y=5x+］求得“，把M(3,3)代入y=kx,即可求得k的值;

(2)由M(3,3)根据图象即可求得；

(3)先求出AM的长度，作MNJ_x轴于N,根据勾股定理求出BN的长度即可得答案.

【详解】解：•••直线4与直线右的交点为河⑶口)，

13

在直线y=+：上，也在直线>=日上，

1333

将M(3,a)的坐标代入y=—x+巳，得？+己=。，

■2222

解得<2=3.

.•.点M的坐标为M(3,3),

将M(3,3)的坐标代入y=区，得3=3左，

解得％=1.

(2)因为：M(3,3)

13

所以利用图像得+G〈质的解集是％>3.

22

(3)作MN_Lx轴于N,

13

•.•直线y=—x+—与V轴的交点为A,

22

3

...A(0,-),VM(3,3),

2

345

/.AM92=(3-0)92+(3--)92=—,

24

；MN=3,MB=MA,

ABN=［MB。-MN?=-,

39

所以：OBi=3,OB2=a

39

：..(如图3).

图3

【点睛】

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，数形结合是解题的关键.

24、(1)证明见解析(2)成立，证明见解析.

【分析】

(1)根据角平分线的性质可得NDAC=NBAC=60。，又已知NABC=NADC=90。，所以NDCA=/BCA=30。，根据直

角三角形的性质可证AC=2AD,AC=2AB,所以AD+AB=AC.

(2)根据已知条件可在AN上截取AE=AC,连接CE,根据AAS可证△ADC义aEBC,得至UDC=BC,DA=BE,所

以AD+AB=AB+BE=AE,即AD+AB=AC.

【详解】

(1)VZMAN=120°,AC平分NMAN.

AZDAC=ZBAC=60°,

VZABC=ZADC=90°,

:.NDCA=NBCA=30。，

在R3ACD,RtAACB中，ZDCA=30°

ZBCA=30°

/.AC=2AD,AC=2AB,

.*.2AD=2AB

.\AD=AB

.\AD+AB=AC.

(2)(1)中的结论①DC=BC；②AD+AB=AC都成立，

理由：如图，在AN上截取AE=AC,连结CE,

VZBAC=60°,

/.△CAE为等边三角形,

/.AC=CE,NAEC=60。，

,:ZDAC=60°,:.ZDAC=ZAEC,

；NABC+NADC=180°,ZABC+ZEBC=180°,

/.ZADC=ZEBC,

A_ADC^_EBC,

/.DC=BC,DA=BE,

；.AD+AB=AB+BE=AE,

16a+b—

25、(1)----------;(2)①a=l,b=-1,②m=2.

3

【分析】（1）根据题目中的新运算法则计算即可;

（2）①根据题意列出方程组即可求出a,b的值;

②先分别算出T（3m-3,m）与T（m,3m-3）的值，再根据求出的值列出等式即可得出结论.

【详解】解：（1）T（4,-1）=£4X（二I）,

4-1

=16a+b•

3'

故答案为粤目；

(2)①TT(-2,0)=-2且T(2,-1)=1,

1H

25a+b

=6

4

a=l

解得

b=-l

②解法一:

a=l,b=-1,且x+y^O,

22

•T._x-y_(x+y)(x-y)_

••1(x,y)--------------------.一xy.

x+yx+y

AT(3m-3,m)=3m-3-m=2m-3,

T(m,3m-3)=m-3m+3=-2m+3.

VT(3m-3,m)=T(m,3m-3),

/.2m-3=-2m+3,

解得，m=2