2024年成都市高三数学（文）3月二模考试卷附答案解析

2024年成都市高三数学（文）3月二模考试卷

第I卷（选择题）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.已知集合/={-2,-1,0,1,2},8={xb=&+log3（3-x））,则/口3=（）

A.{0,1,2}B.{1,2}C.{-1,0}D.{0,1}

2.空间中有平面口和直线。，b,若a//a,a/lb,则下列说法中一定错误的是（）

A.直线。平行于平面aB.直线b在平面&内

C.直线6与平面a交于一点D.直线。和6共面

3.已知i是虚数单位，aeR,则“（a+i『=2i”是“力=「，的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.用反证法证明“平面四边形中至少有一个内角不超过90。”，下列假设中正确的是（）

A.假设有两个内角超过90。B.假设四个内角均超过90。

C.假设至多有两个内角超过90。D.假设有三个内角超过90。

5.2023年7月28日，第31届世界大学生夏季运动会（简称大运会）在四川成都开幕，这是继2001北京

大运会，2011深圳大运会之后，中国第三次举办夏季大运会；在成都大运会中，中国代表团取得了骄人

的成绩.为向大学生普及大运会的相关知识，某高校进行“大运会知识竞赛”，并随机从中抽取了100名学

生的成绩（满分100分）进行统计，成绩均在［50,100］内，将其分成5组：［50,60）、［60,70）、［70,80）、

［80,90）,［90,100］,并整理得到如下的频率分布直方图，则在被抽取的学生中，成绩落在区间［80,90）内

的人数为（）

A.10B.20C.30D.40

6.华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏

算子，,，，华一王方法，，等，其斐然成绩早为世人所推崇.他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告

知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径.在数学的学习和研究中，常用

函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征.已知函数＞=/(x)的图象

如图所示，则“X)的解析式可能是()

Z[NSIHAZ[

A.〃x)=3血*B./(x)=3-C./(x)=HD./(x)=H

7.已知双曲线£的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点(-2,-1),(4,-疗)，则下列结论中错误的是

()

A.£的标准方程为《一必=1B.E的离心率等于四

2.2

C.E与双曲线f-'=1的渐近线不相同D.直线x-y-l=O与E有且仅有一个公共点

24

8.《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形,

若下图中所示的角为a(0。＜a＜45。)，且小正方形与大正方形面积之比为1：25,贝Utana的值为()

9.已知的内角N,B,C所对的边分别为。,b,c,面积为S,若asin二一=bsinN,6S=y/3AB-AC,

则AABC的形状是()

A.等腰三角形B.直角三角形C.正三角形D.等腰直角三角形

10.若函数/(x)=xe，-lnx的最小值为小，则函数g(x)=Inx-xe"]的最大值为()

A.-m-\B.-em+1C.-m+1D.-em~1

2

II.在四棱锥尸一/BCD中，PA1ABCD,ABIBC,且/尸D4=45°,/D+CD=4.若点尸均

在球。的表面上，则球。的体积的最小值为（）

A32.IT64"326兀

A.—兀7rBR.473TlCr.-------7iDn.---------

32727

1°h

12.已知函数/（x）=e、-三一~x2~bx（a,bwR）没有极值点，则一的最大值为（）

2（。+1）4+1

A.逅B.-C.eD.—

222

第II卷（非选择题）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知实数x>0,y>0,若2x+3y=l,则2+工的最小值为____.

xy

14.已知圆C的圆心与抛物线/=8x的焦点关于直线y=x对称，直线2x-y-3=o与圆C相交于48两

点，且|/8|=2,则圆C的方程为.

15.已知直线/经过点尸（（U）,且被两条平行直线/］：氐+>+1=0和/2：瓜+/+5=0截得的线段长为

2五,则直线/的方程为.

16.已知椭圆C:=+1=l（a>b>0）的左、右焦点分别为耳心，禺心率为大若A和B为椭圆C上在x轴

ab3

上方的两点，且函=2正，则直线/耳的斜率为.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考生都

必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.

17.已知等差数列｛%｝的首项4W0,公差为或/*0），S,为｛%｝的前"项和，为等差数列.

⑴求生与d的关系；

（2）若％=1，北为数列」一］的前〃项和，求使得/〈，成立的〃的最大值.

J9

18.在四棱锥尸中，已知〃CD,月B_L4D,BCLPA,AB=2AD=2CD=2,PA=&,PC=2,E

是线段P8上的点.

3

(1)求证：尸C_L底面48C。；

(2)是否存在点£使得三棱锥尸-/CE的体积为g4?若存在，求出R胃F的值；若不存在，请说明理由.

9BP

19.2022年二十国集团领导人第十七次峰会11月16日在印度尼西亚巴厘岛闭幕，峰会通过《二十国集

团领导人巴厘岛峰会宣言》.宣言说，值此全球经济关键时刻，二十国集团采取切实、精准、迅速和必要的

行动至关重要，基于主席国印尼提出的“共同复苏、强劲复苏”主题，各国将采取协调行动，推进强劲、包

容、韧性的全球复苏以及创造就业和增长的可持续发展、中国采取负责任的态度，积极推动产业的可持续

发展，并对友好国家进行技术援助.非洲某芯片企业生产芯片I有四道工序，前三道工序的生产互不影响，

第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.

(1)在中国企业援助前，该芯片企业生产芯片I的前三道工序的次品率分别为月=*,A=£.求生

产该芯片I的前三道工序的次品率月；

(2)该芯片企业在中国企业援助下，改进生产工艺并生产了芯片n.某手机生产厂商获得芯片I与芯片IL

并在某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查，据统计，回访的

100名用户中，安装芯片I的有40部，其中对开机速度满意的占70%；安装芯片n的有60部，其中对

开机速度满意的占］14.现采一用分层抽样的方法从开机速度满意的人群中抽取6人，再从这6人中选取2

人进行座谈，求抽到2人中对安装芯片II的手机开机速度满意的人数为1的概率.

22

20.已知椭圆M:》+}=l(a>6>0)的离心率为短轴长为2百，过点P(L。)斜率存在且不为0的直

线/与椭圆有两个不同的交点4B.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)椭圆左右顶点为N,设N3中点为。，直线。。交直线x=4于点凡自v(3时一的J是否为定值？若

是请求出定值，若不是请说明理由.

21.已知函数=(lnx-1),其中0片0.

⑴当。=-2时，求函数“X)的单调区间;

4

⑵若/(x)>0,求实数。的取值范围.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答.如果多选，则按所做的第一题记分.

【选修4-4：坐标系与参数方程】

22.在直角坐标系工。歹中，直线G的参数方程为.。为参数，0<。<=),把£绕坐标原点

%sma2

逆时针旋转得到以坐标原点。为极点，X轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系.

⑴写出G，的极坐标方程；

(2)若曲线G的极坐标方程为0=8sin。，且G与G交于点4，与G交于点3(/，3与点。不重合)，

求“03面积的最大值.

【选修4-5：不等式选讲】

23.已知函数/(尤)=|2》-1|-卜+1|的最小值为〃?.

⑴求实数机的值；

(2)若实数a,b,c满足。一26+2c=〃?+],证明：a~+b2+c~>—.

1.A

【分析】根据根式与对数的定义域，结合交集的定义求解即可.

x>0_x>0

【详解】由=^>0<x<3,

3-x>0x<3

所以8=]力=V7+log3（3_x）}={x[04x<3},

故/口5={0』,2},

故选：A

2.C

【分析】根据线面平行及两直线平行得到b与平面a平行或直线6在平面a内，根据。〃6,可得直线。和

6共面，从而判断出答案.

【详解】因为a//a,。/",所以6与平面a平行或直线6在平面a内，AB正确，C错误；

因为a〃6,所以直线。和6共面，D正确.

故选：C

3.A

5

【分析】由g+i『=2i结合复数相等求出。的值，再利用充分条件和必要条件的定义判断可得出结论.

1

9a=\

【详解】若（a+i）~=/-l+2ai=2i,且aeR,则｛,解得。=1,

所以，"（a+i）2=2i”是=1”的充分不必要条件.

故选：A.

4.B

【分析】根据反证法的定义.

【详解】平面四边形中至少有一个内角不超过90°的反面含义为

4个内角没有一个不超过90°,即四个内角均超过900，

故选:B.

5.C

【分析】根据频率分布直方图可求出成绩落在区间[80,90）内的人数.

【详解】由频率直方图可知，成绩落在区间[80,90）内的人数为

100x[l-（0.01+0.015+0.04+0.005）xlO]=3C.

故选：C.

6.A

【分析】利用指数函数、正弦函数的单调性、复合函数的单调性求解.

【详解】由函数图象可知，了=/（尤）的图象不关了轴对称，

Z[\cos（-x）/[\cosx

而〃T）=39=3到=仆），3=山=山=/（x）,

即这两个函数均关于y轴对称，则排除选项B、D；

由指数函数的性质可知v=3'为单调递增函数，y=为单调递减函数，

由y=sinx的图象可知存在一个极小的值为>0,使得y=sinx在区间（0,%）上单调递增，

由复合函数的单调性可知，/。）=3加在区间（0,/）上单调递增，/（x）=|在区间（0,尤。）上单调递减,

由图象可知〃无）=3疝”符合题意,

6

故选：A.

7.C

【分析】分别设出焦点在x轴上和在v轴上的双曲线方程求解即可求出双曲线E的标准方程，根据离心

率和渐近线方程的公式可求出离心率的值和渐近线方程，将直线方程和双曲线方程联立利用判别式即可

判断双曲线和直线交点个数.

22

【详解】当双曲线的焦点在X轴上时，设双曲线的方程为云=

±_±=12

则工bl，解得El]此时E的标准方程为反-必=1,

16_2__12-

22

当双曲线的焦点在了轴上时，设双曲线的方程为夕=1（。>0,6>0）,

f14_

下一记"=-1

则:二，解得.c（舍去），此种情况不成立，则A正确；

/161b=—2

+b?=3,：・e=j==坯~，则B正确;

c=a

双曲线/=i的渐近线为"±2=±交人

2a2

22/y

双曲线匕—土=i的渐近线为v=±q=±±',即两者的渐近线相同，则c错误；

24b2

将直线x-y-l=O与双曲线三一丁=1联立得尤2一4无+4=0,

A=（-4）2-4xlx4=0,；.直线x-y-l=0与E有且仅有一个公共点，则D正确；

故选：C.

8.D

【分析】设大正方形/BCD的边长为。，求出小正方形跳皿N的边长，根据小正方形与大正方形面积之

24

比得2sinacosa=不，再利用弦化切求解可得答案.

【详解】如图，设大正方形的边长为。，

则小正方形EFMN的边长为以尸|-以£|=|，尸]-忸尸|=acosa-〃sina,

所以小正方形与大正方形面积之比为回吐二吧回1=（cose-sinJ=-.

aV725

7

2471

化简得2sinacosa=—,且Ova<一,

254

,_.2sinacosa2tana24

由2smacosa=；---------=——-----二—

sina+cosatana+125

3

解得tana=：.

4

故选：D.

【分析】利用正弦定理的边角变换，结合诱导公式与倍角公式求得2；利用面积公式与向量数量积的定

义求得/,从而得解

【详角单】因为asin'=6sin/,所以sinN•sin-——=sin5-sinA,

22

BBBB

因为0<4〈兀，所以sin4>0,所以cos—=sinB,所以cos—=2sin—cos—；

2222

因为0<5<兀，所以O<0<4,所以cosO>0,所以sinO=J,

22222

所以与所以sin8=W，

263

因为6S=G荏.次,所以6xgbcsin/=百同Mcjcos/=VJbccos/,

所以tanN=",因为0</<兀，所以tan/=B，

36

所以C=7r-W-m=W，则。8c是直角三角形，

362

故选：B

10.A

【分析】分析函数解析式，发现函数/(力与函数g(x)的变换关系，由此即可推断函数g(x)=lnx-xe.

的最大值.

【详解】/(%)=xe'Tnx,x>0,

令x=ex有：f(ex)=ex--Inex=x-ex+1-Inx-1,

则/(ex)=-g(x)-l,即g(x)=-/(ex)-1,

8

由此知g(x)的函数图象为：/(X)的图象通过横坐标变为原来的(，纵坐标不变，得到/(ex),

再关于x轴对称，得到-/(ex),最后再向下平移一个单位，得到g(x)=-f(ex)-1；

根据已知条件函数/(x)=xex-lnx的最小值为制,

由此可知函数g(X)=lnx-xea+1的最大值为-.

故选：A

II.C

【分析】根据题设易得ZC是四边形/BCD外接圆的直径，利用线面垂直的性质、判定证

PA1BC,PAYCD,PA1AC,进而得到尸是以尸C为斜边的直角三角形，即尸C中点。

为外接球球心，令尸Z=/D=x且0<x<4,求得外接球半径关于x的表达式，求其最小值，即可求球体

最小体积.

由题设，4氏C,。在一个圆上，故/48c=180°,

又ABLBC,所以NADC=90°，即AD，CD,故/C是四边形48c。外接圆的直径，

由平面488,4D,BC,CD,/Cu平面/BCD,

则PA1AD,PA1BC,PA1CD,PA1AC,

由川口48=4,尸a/8u面P48,则面P4B,PSu面尸48,则8C_LP8,

由P/c4D=/,P4,4Du面P4D,则CD_L面尸4D,PQu面尸40,则8_1_a。，贝U/PZM=45°，

P4

又尸/_LAD,故tan/PZM=——=1,即P/=AD,

AD

^PA=AD=xS.0<x<4,贝l]CD=4-x,/C=+(4一x?=也/-8『+16,

且APBCQPCDQPCA都是以PC为斜边的直角三角形，故尸C中点。为外接球球心，

所以外接球半径八.而二"？三

64而

---------兀.

27

7

9

故选：c.

【点睛】关键点点睛：确定/C是四边形48co外接圆的直径，尸C中点。为外接球球心为本题的关键,

由此即可顺利得解.

12.B

【分析】转化为/(x)=e，-一1x-620恒成立，构造函数，求导，得到其单调性和最值，从而得到

匚+叫"口，故f」：与，换元后，构造函数，求导得到其单调性和最值，求出答案.

【详解】函数/(x)=e;了片—一乐没有极值点，

f\x)=ex——1或/(X)40恒成立，

由>=^指数爆炸的增长性，/(X)不可能恒小于等于0,

./x)=/---x-b20恒成立.

a+1

令〃(x)=e》x-b,贝［j/z，(x)=eX,

。+167+1

当4+1<0时，"(x)〉o恒成立，〃(x)为R上的增函数，

因为e"£(0,+8)是增函数，———x-bG(-甩+⑹也是增函数，

所以，此时〃(幻£(-8,+8),不合题意；

②当〃+1〉0时，1(%)=/——片为增函数，由〃'(％)=0得了=一111(〃+1),

令//(X)〉0ox〉+”(x)<0o%<-In+1),

・•・〃(x)在(-8,Tn(a+1))上单调递减，在(-In(a+1),+8)上单调递增，

当x=-In(a+1)时，依题意有否卜需=〃(Tn(a+1))=—^+蚂竺D-6>0,

d11a11

即叱一L+皿型，

a+1a+1

bIn(a+1)+1

T。+1>0,W(.+1)2'

Q+1

令a+1=x(x>0),u(x)=>0),

x-(lnx+l)-2x-(21iu+l)

则M(x)=

x4x3

10

令/(x)>0<=>0<x<,令/(x)<0,解得

所以当x=+时，"（X）取最大值〃e

2

故当a+l=—b=立~,即〃=/^-1,6=，^时，°取得最大值

Ve2e2a+\2

综上，若函数〃（x）没有极值点，则焉的最大值为导

故选：B.

【点睛】关键点睛：将函数没有极值点的问题转化为导函数恒大于等于0,通过构造函数，借助导数研

究函数的最小值，从而得解.

13.7+4A/3##4A/3+7

【分析】由乘“1”的方法，利用基本不等式求最值.

【详解】由x>0,了>0,

(2x+3y)=4+3+^―

xy

6-373

x=----------

当且仅当学言，队2时，等号成立,

2V3-3

21L

所以一+一的最小值为为7+4能\

xy

故答案为：7+40.

14.x2+（y—2）2=6

【分析】根据圆心与焦点关于直线y=x对称，求得圆心坐标，在此基础上由直线2X7-3=0与圆c相

交的弦长求得圆的半径.

【详解】由/=8x的焦点坐标（2,0）关于直线V=x的对称点为（0,2）,

所以圆C的圆心为（0,2）,设半径为小

,|2x0-2-3|r-

点C至I」直线2x-y-3=0的距离为d,则d=J——尸一L=石,

V5

11

所以/=+/=「+(石『=6,

所以圆C的方程为：f+(y_2)2=6,

15.(2+百)x-y+l=O或(2-扬x+y-1=0

【分析】直线/分斜率存在和不存在两种情况讨论；当斜率不存在时直线/是歹轴，求交点坐标即可；当

直线/的斜率存在时，设定直线/的方程并与直线4,的方程联立求交点，满足弦长即可.

【详解】若直线/的斜率不存在，则直线/的方程为：x=O,

此时与//的交点分别为(0,-1)和(0,-5),

截得的线段的长为：卜5-(-1)|=4%2行，不符合题意.

若直线/的斜率存在，则设直线/的方程为：y=kx+l,

解方程组+\，得点出上厂,上当,

〔j3x+y+l=0k+y[3k+陋

+1.占.一6-5左+6

解方程组y+5=0'得点"后+疔/).

-6V-k+43-5左+百丫

由|”|=2也，得=8，

k+y/3J、k+y/3k+C,

即后2-2百左一1=0,解得：上=百±2,

则直线/的方程为：(2+V3)x-y+l=0^(2-V3)x+7-l=0.

故答案是：(2+V3)x-y+l=0^(2-V3)x+y-l=0.

16.V3

12

【分析】由离心率为得到。力间的关系，椭圆方程变为W+竺=1,借助椭圆的对称性，将关系式

3«25a2

瓯=2正转化直线/居与椭圆的位置关系，设直线/月的方程，联立椭圆方程，用韦达定理解决问题

即可.

22

【详解】已知椭圆C：A+匕=1（。>6>0）,

ab

由椭圆的离心率为g=得代入/=〃+/,得：）此

Q339

则椭圆C的方程为：鸟+丝=1,

a5a

22

其左、右焦点分别为片且（］。,0）,

如图所示：若A和8为椭圆C上在X轴上方的两点，且西=2丽，

设直线4月,8片与椭圆C的另一个交点分别为D,C,

由椭圆的对称性，可得：AD=BC，BFt=F\D,F^C=AF2,

即用5=2AF2,

显然直线/月的斜率定存在，否则直线Ng垂直无轴时与为线段的中点，

因为点A在x轴上方，直线/耳的斜率不为零，

2

设直线4名的方程为〉=左0—a。），4（项,%）,。（x2，%），

y=k（x--a）

联立方程组：,八,，

得：(■^-A：2+l)y2+^kay-^k2a2=0,

--ka~—k2a2

aQ

-----=-----------(*)，

-k2+l-k2+l

55

由于月万=2丽，则%=-2%(乂＞0),

--ka--lea1

(*)式即为：-—，-2灯=9—

-yl2+l-^2+1

55

13

消掉必后，可得：------

2-k2^

9

化简可得：E=3,

由于%>0,(/>0,且一切—,得左>0,

-k2+\

5

所以k=8,

故答案是：百.

17.⑴%々=0

(2)7

【分析】(1)由1号4为等差数列可得型1=*+'，即可得到可与d的关系;

[J。2"1。3

(2)由裂项相消法得到北，再解不等式即可求得〃的最大值.

【详解】(1)因为为等差数列，所以至邑，

IICl?Q]〃3

即2(%+%)=]+%+%+%,从而得到2(2%+")=i+阳+3”,

出生ax+d%+勿

化简得(4—d)d=0「「dW0,所以％—d=0,dw0.

11£1

(2)当。1一4=0,4=1时,an=n,-------=---------

。〃%+1〃(〃+1)nn+1

1)

n+19

解得〃<8,又因为〃EN*,所以〃的最大值7.

14

18.(1)证明见解析

(2)存在点E使得三棱锥尸-/CE的体积为，4，且R等F=：1

9Dr3

【分析】(1)在“3C中，利用余弦定理求得BC,^AB2=AC2+BC2,得到BC，/C,再由3C/R4

得到3cl平面PNC,从而8c_LPC,然后由尸/=/。2+尸。2得至］」尸C_L/C,再利用线面垂直的判定

定理证明；

4RF11114

(2)易知=匕~C8一/TCS=6，设而'=4，由.X54c.5c.pc-,乂54。.8。.；1。。=6求解.

【详解】(1)证明：在△4DC中，AD=DC=\,ZADC=90°,

所以AC=dAD2+DC。=Vl+T=V2.

在AZ8C中，AC=42,AB=2,ZBAC=45°,由余弦定理有：

BC2AB2+AC2-2AB-AC-cos454+2-2x2xMx,

2

所以NB2=ZC2+BC2,所以//CB=90°,

所以8c_LAC,又因为6CJ■尸4尸/c/C=4尸4/Cu平面尸4C,

所以3cl平面PNC,

因为尸Cu平面P4C,所以BC,尸C,

在△尸/C中：AC=yl2,PC=2,PA=46,则尸T=/。2+尸。2,

所以PCL/C,因为/。门3。=(7,/仁3。匚平面/38,

所以尸C_L面NSCD.

4

(2)因为修-ACE=Vp-ACB——E-ACB=§'

BE。

:—=丸，

BP

4

-x-ACBCPC--xACBC^PC=-

32329

J_

—X—Xy/^2,Xyj^2,x2----XxV2xV2x2Z=—

32329

4RF1

因此，存在点£使得三棱锥P-4CE的体积为且而二§•

3

以(1)^-

15

【分析】（1）由对立事件概率的关系即可求解；

（2）先按分层抽样得出所抽取的6人中，手机安装芯片/的有2人，手机安装芯片n的有4人，结合超

几何分布的概率计算公式即可求解.

4Q44473

【详解］（1）召1=1一（1一4）（1一已）（1一巴）=1一一X—X—=—.

1［八2八3）50494850

（2）对安装芯片I的手机开机速度满意的人数为40x70%=28,对安装芯片n的手机开机速度满意的人

14

数为60*石=56,

所以采用分层抽样的方法的抽样比为1:2,

故所抽取的6人中，手机安装芯片I的有2人，手机安装芯片n的有4人，

所以抽到2人中对安装芯片n的手机开机速度满意的人数为1的概率为尸=去=2.

G15

20.⑴工+匕=1

43

⑵是定值，为:3

【分析】（1）根据条件列方程组，求出。力的值，可得所求椭圆的标准方程；

（2）由题设出直线N3的方程》=。+1,与椭圆方程联立可得根与系数关系，求得点。坐标，以及点R坐

标，表示出AM,BN,PR的斜率代入结合根与系数关系消元运算得解.

£=—（a=2

a2i-

【详解】⑴由题意：26=2有，解得：件内，

a=b2+c

故所求椭圆的标准方程为：上+匕=1.

43

（2）如图：因为直线48斜率不为0,设其方程为：x=（y+l,

代入椭圆方程：3x2+4y2=12,得:3（勿+1）2+4/72=0,整理得:（3?+4）/+6（y-9=0.

设/（国,必），B（x2,y2）,则显然A>0,则弘必%=一另占,

16

,•?+"-2=一二+2=七

.•.。］匕，一用，则直线。。方程为广一《“，

令I,得k-3，，则式（4,-3，）；尸（1,。），则“瓷,矶=占

9»+9

（1+产）弘%+3仇3仇

3/+4

丹跖+3优-伊-318』+12

3优一纵一

3/+4

八9"+9、9r+9

3优一工43ty?------5------

23r+43

又必=_3,2+4-%代入得上BN1kM-k)=

APR18r+12“12/+124

4优---5--------

3r+423/+4

3

所以七v（L-嗫）为定值“

【点睛】关键点点睛：本题第二问考查直线与椭圆的综合问题.求出%>R=T,e

X.+Z%2—L

代入化简，注意利用韦达定理，方程尤=江+1将4%代换成必,％,再禾I」用%+%=-另鼻，将必代换

为力,消元运算可得答案.

21.⑴函数“X）的增区间为（0,1）、（2,+8）,减区间为（1,2）

⑵屋廿

【分析】（1）当°=-2时，求得/卜）=（尤-2）12，利用函数的单调性与导数关系可求得函数“X）的

增区间和减区间；

（2）推导出.<0,设g（x）=；《lnx-；］+a（hrc-1）,可知，g（x）>0对任意的x>0恒成立，对实数。的

取值进行分类讨论，利用导数分析函数g（x）的单调性，求出函数g（x）的最小值，根据g（x）1nhi>0可得

1q

出。=-：（2加In加+冽），且1<加</，结合函数单调性可求得实数。的取值范围.

【详解】⑴解：函数/⑴的定义域为（0,+"）,

/'（%）=，2x|Inx---|+x+4ln%-l+,=jdnx+Qlnx=（x+gIn:,

当Q=—2时，/'(x)=(x—2)lnx,

17

解不等式H(x)>0,有x>2或0<x<l,令，(x)<0得l<x<2,

故函数的增区间为(0,1)、(2,+孙减区间为(1,2).

(2)解：若0>0,则x+a>0,由，(x)<0可得0<尤<1,由#(x)>0可x>l,

此时，函数“X)的减区间为(0,1),增区间为(1,+8),且=

当0<%<1时,由lnr<0,有〃x)=x<0恒成立,

所以/(x)>0,必有a<0.

又由/(1)=_"：>0，可得°<一：.

又由x>0,不等式/(x)>0可化为：x[lnx-]+a(lnx-l)>0,

设g(x)=；x「iK-1

+a(inx-1),

有g'(x)=UJ12xlnx+x+4a

x2x丁-—

当0<x<1且0<x<—4。时，lnx<0,x+4o<0,可得g'(x)<0,

当x〉l且x〉-4a时，lnx〉0,x+4a>0,可得g'(x)〉0,

当a<0时，函数卜=工加+巴+工在(0,+司上单调递增，

2x4

故存在正数m使得2加In加+加+4〃=0.

若0<加〈1,有In冽(0,4(2<-1,W2mlnm+m+4^<m-l<0,

与2加In加+冽+4。=0矛盾，可得力>1,

当%>加时，g'(x)>0；当x<加时，g'(x)<0,

可得函数g(x)的减区间为(0,加)，增区间为(九+℃),

若g(x)>0,必有g(加■加|inm—g1

+Q(inm-1)>0

2

有2mlnm-m+4a\nm一4。>0,

又由2加In冽+加+4。=0,有2minm-m+4tzlnm-4。+(2mlnm+