山东省济南市2023-2024学年高三年级上册1月期末学习质量检测数学试题含答案

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2024年1月济南市高三期末学习质量检测

数学试题

本试卷共4页，22题，全卷满分150分。考试用时120分钟

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上

无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.已知集合〃={x|lWx<5},%=卜上2_》<2卜则〃nN=

A.{x|-1cx<2}B.-1cx<5}C・{邓Wx<2}D.{邓Wx<5}

.1+i

2.右z=----则其共规复数z=

2+i

11.11.「31.31.

A.-+-1B.-----1C.-+-1D.-----1

33335555

3.已知曲线^=Inx与曲线y在交点(1,0)处有相同的切线，则。=

A.1B.C.D.

22

4.已知直线/经过点(2,4),则“直线/的斜率为—1”是“直线/与圆C：(x-l)2+(y-3)2=2相切”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

^^**^**••

5.平行四边形4B8中，4B=3,AD=4,/BAD=—,若BE=EC,CF=2FD,则

3

A.4B.6C.18D.22

6.已知sin|a+?4

—,则sin2a=

5

712712

A.—B.——C.——D.----

25252525

7.已知抛物线C：j?=8x的焦点为F,坐标原点为o,过点尸的直线与C交于8两点，且点。到直线N8

的距离为则△0N8的面积为

A.4>/2B.872C.16&D.320

(r\r

n7sinn7=

8.数列｛an｝的前n项和为S“，若q=1,a2=2,且an+2=2+cos—\an--'则52024

A.32024-1011B.32024+1011C.3IO,2-1O11D.31012+1011

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知实数”，6满足a<6,则

A.a2<b2B.a3cb3C.—<—D.<7-sin<7<6-sinZ)

ha

10.已知函数/(x)的定义域为凡且/(x+y)=/(x)+/(y)+l,/⑴=0,则

A./(0)=-1B./(x)有最小值C.7(2024)=2023D./(x)+l是奇函数

II.在某学校开展的“防电信诈骗知识竞赛”活动中，高三级部派出甲、乙、丙、丁四个小组参赛，每个小组

各有10位选手.记录参赛人员失分(均为非负整数)情况，若该组每位选手失分都不超过7分，则该组为“优

秀小组”，已知选手失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是

A.甲组中位数为3,极差为4B.乙组平均数为2,众数为2

C.丙组平均数为3,方差为2D.丁组平均数为3,第65百分位数为6

12.如图，△/8c中，4B=BC=4,ZB_L8C,阳是Z8中点，N是“C边上靠近4的四等分点，将△/〃汽

沿着脑V翻折，使点4到点P处，得到四棱锥P-8CNM,则

A.记平面P8C与平面尸/WN的交线为/,则/〃平面8CNM

B.记直线和8EC与平面PNC所成的角分别为a,p,则1=£

C.存在某个点P,满足平面尸6C_L平面

D.四棱锥P-BCNM外接球表面积的最小值为201

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在正四棱锥产T8CD中，PA=AB=2,则该棱锥的体积为.

14.已知函数/(x)=sin(ox+?)(0>0)的最小正周期不小于)，且恒成立，则3的值

为.

15.2023年杭州亚运会的吉祥物包括三种机器人造型，分别名叫“莲莲”，“琮琮”“宸宸”，小辉同学将三种

吉祥物各购买了两个（同名的两个吉祥物完全相同），送给三位好朋友，每人两个，则每个好朋友都收到不同

名的吉祥物的分配方案共有种.（用数字作答）

X1V2

16.已知双曲线C：—-^=1（a>0,人〉0）的左、右焦点分别为片，过点居的直线与C的右支

ab

交于48两点，且丽，石，△片N8的内切圆半径r比卸，则C的离心率为.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）

记的内角Z,B,C的对边分别是a,b,。，且。=3,b2=c2+3c+9.

（1）求8,

（2）N/8C的平分线交边/C于点。，且8。=2,求6.

18.（12分）

如图，四棱锥中，AD//BC,BCLCD,BC=2CD=2AD=2血,平面/BCD，平面P/C.

（1）证明：PCLAB,

（2）若。/=尸。=且/。，〃是PZ的中点，求平面与平面P/C夹角的余弦值.

2

19.（12分）

将数列｛6,｝中的所有项按照每一行项数是上一行项数的两倍的规则排成如下数表：

a\

a2a3

%。5a6a7

"9Q]0Q]1%2"13。14a!5

记表中的第一列数q,a2%,…构成的数列为也｝,s,为数列低｝的前〃项和，且满足

S,=2"-L

(1)求数列也｝的通项公式；

(2)从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成公差为2的等差数列，求上表中第我(左23)行

所有项的和7；.

20.(12分)

以“智联世界，生成未来”主题的2023世界人工智能大会在中国上海举行，人工智能的发展为许多领域带来

了巨大的便利，但同时也伴随着一些潜在的安全隐患.为了调查不同年龄阶段的人对人工智能所持的态度，某

机构从所在地区随机调查100人，所得结果统计如下：

年龄(岁)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]

频数2416152520

持支持态度2013121510

(1)完成下列2X2列联表，并判断是否有99%的把握认为所持态度与年龄有关;

年龄在50岁以上(含50岁)年龄在50岁以下总计

持支持态度

不持支持态度

总计

(2)以频率估计概率，若在该地区所有年龄在50岁以上(含50岁)的人中随机抽取3人，记为3人中持支

持态度的人数，求的分布列以及数学期望.

附：K』―__

(a+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

2

P(K^k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

21.(12分)

在平面直角坐标系xOv中，动点M到点尸(1,0)的距离与到直线x=4的距离之比为;.

(1)求动点M轨迹W的方程；

(2)过点尸的两条直线分别交％于儿8两点和C,。两点，线段Z8,CD的中点分别为P,Q.设直线

AB,的斜率分别为左，&,且!+=试判断直线尸。是否过定点.若是，求出定点的坐标；若不

占k2

是，请说明理由.

22.(12分)

31c

已知函数/(x)=axInx—x------F2.

22x

(1)当Q=1时，求/(x)的单调区间;

(2)若xNl时，/(x)NO，求a的取值范围；

(3)对于任意〃EN,证明：------<In2"|--------1--------1■…H-----।<—.

4(〃+2)+1〃+22n)4/7

2024年1月济南市高三期末学情检测

数学试题参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

题号12345678

答案CDBCCABD

二、多项选择题：本题共4小题。每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

题号9101112

答案BDACDACBCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分、共20分.

4V2Vn

13.------；14.1；15.6；16.-------.

33

四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.【解析】

(1)由题意得，a~+c-b=-ac,

所以cosB=Y+J—从

2ac2

24

又0<5<»,所以8=——.

3

(2)法一：因为SMBC=SMBD+S.CD

。=3,得c=6

22v7

在△ZBC中，由余弦定理得〃=a2+c2-2accosB-二9+36-2x3x

贝股=3B

D

18.【解折】

(1)取8c中点N,连接4V,则CN=/£>=CO=、,

又AD〃CN,BCLCD,

所以四边形4NCZ)为正方形，

则NANB=NANC=90°,NNAC=45。，

又在△NA®中，AN=BN=C,

7171

则N8/N=—,所以，ZBAC=—,即

42

又平面Z6C£>_L平面PNC,平面Z8C£)n平面P〃C=ZC，/8u平面/BCD,

所以力8,平面P4C,

又PCu面P/C,

所以PCJ./8.

(2)取/C中点O,8c中点N,连OP,ON,所以ON〃/8.

因为/8_L平面P/C,所以OML平面P/C,

因为P/=PC,所以OP_L4C,

所以ON,OC,O尸两两垂直，

以。为原点，ON,OC,OP所在的直线分别为x抽、y轴、z轴建立如图空间直角坐标系,

则平面尸/C的一个法向量是云=(1,0,0),

又C(0』,0),5(2,-1,0),川(0,-；/

所以，赤=(2,—2,0),屈=(0,—3,1

设〃=（x,乃z）是平面MBC的法向量,

21-2y=0

3

n•CM-0——y+z=0

2

令x=2,可得3=（2,2,3）,

22V17

所以cos<m,n>-

17

2717

所以，平面M8C与平面PNC夹角的余弦值为

17

19•【解析】

,,-1-

（1）当〃22时，=S„-Sn_j=（2"-1）-（2-1）=2"'.

〃=1时，S[=4=%=1,也适合上式,

因此4=2"T.

（2）设上表中从第三行起，每行的公差都为2,表中第4（k》3）行有项,

k

Tk=2*T+（2*T+2）+（2*T+4）+…+（2*T+2-2）

1..「21+（2*T+2*

=2k-'-2«T+3••（2A-'-1）-2（或者=-------------------------）

2-—2k~'=22*-1-2k~'

20•【解析】

（1）

年龄在50岁以上（含50岁）年龄在50岁以下总计

持支持态度254570

不持支持态度201030

总计4555100

K?_100x（25xl0-20x45）2

''70x30x55x45

a8.129

因为8.129>6.635,

所以有99%的把握认为对人工智能所持态度与年龄有关.

255

（2）依题意可知50岁以上（含50岁）的人中对人工智能持支持态度的频率为一=—

459

由题意可得X〜.

I9J

X的所有可能取值为0,1,2,3.

2

4呜4|_240_80

又)^1,P(")=

p(x=o)1=--

7297729243

4、300*100，P(X=3)f125

7977292437729

所以的分布列如下:

X0123

6480100125

P

729243243729

所以X的期望是E（X）=3xrg

21.【解析】

（1）设点〃的坐标为（XJ）,由题意可知,

172

22

化简整理得，少的方程为二+匕=1.

43

,22

（2）法一：由题意知，直线的方程为土+上-=1,

43

/V2

与少的方程一+2=1联立可得,

43

(44+3产_86x+%-12=0,

8人2

设8（X2，%），由韦达定理得，%|+%2=--

4左1+3

_6k

则%+%=占(占+W)-2kl=4*3

所以，点尸的坐标为

4左；+3,4左；+31

、

4片—3.

同理可得，。的坐标为

、%+3'%+3,

4k\k?—3

所以，直线尸0的斜率为他°

4(%+4)

4秘2-3〃4后］3kl

所以，直线P。的方程为丁=

4代+幻14"+3)4%：+3

口r4左色-3k1k、

即片厂二~~———

4（左］+左2）左+心

又'+'=1,则占+左2=，

A42

444.3

所以直线尸。的方程即为—x-1,

4桃2

所以，直线0Q过定点

22.【解析】

(1)/(X)的定义域为(0,+8).

3111

当〃=1时，/(x)=x\nx—x-------F2,贝！J/Yx)=InxH-----——•

22x2x2

11x2-1

令g(x)=lnx+#-］，则g，(x)=^^・

故当X£(O,1)时，g(x)单调递减；当XW(l,+8)时，g(x)单调递增.

于是g(x)2g⑴=0,即/")20,

故/(X)的单调递增区间为(0,+8),无单调递减区间.

I3

(2)由题意知/'(x)=Qlnx+^~~—+(7-~.

,/x113\ci1ax2-1

A=alnx+^—j-+a--,贝(x)=-------=---------.

31

由(1)可知若。=1,则当时，/(x)=x\nx——x-----+22/(1)=0.

22x

若QNI,则当时，

3131

/(x)=QXInx—x------F22xlnx—x-------F2N0,符合题意.

\'22x22x

若QWO,则当工>1时，于是/'(x)=/7(x)</z(l)=a-l<0,则/(x)</(l)=0，矛盾.

若0<〃<1,则当1<x<A'(x)<0,于是/'(x)=//(x)<A(l)=o-l<0,

此时/(x)</(l)=O,矛盾.

综上所述，a的取值范围是［1,+8).

31…八皿、312

(3)当a=l时，上(2)可知/(x)=xlnx——x----+230,即InxH----——(x21),=1+—

22x22xxk

(及