2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破-378与578模型(原卷版)

专题19378与578模型

模型的概述：边长为3、7、8或5、7、8的三角形。

问题一：如图所示，当两个三角形的边长为3、7、8和5、7、8时，求这两个三角形

面积。

思路：

1）过点C作CM⊥AB于点M

设BM=x则AM=3+x

在Rt∆ACM中AM2+CM2=AC2即CM2=AC2-AM2

在Rt∆BCM中BM2+CM2=BC2即CM2=BC2-BM2

∴AC2-AM2=BC2-BM2即82-（3+x）2=72-x2解得x=1

11

∴CM=43∴S∆ABC=AB•CM=•3•43=63

22

2）过点F作FN⊥DE于点N

设DN=x则NE=5-x

在Rt∆DNF中DN2+NF2=DF2即NF2=DF2-DN2

在Rt∆ENF中NE2+NF2=EF2即NF2=EF2-NE2

∴DF2-DN2=EF2-NE2即72-x2=82-（5-x）2解得x=1

11

∴NF=43∴S∆DEF=DE•NF=•5•43=103

22

问题二：如图所示,已知∆ABC为等边三角形，AC=8，AD=3,BD=5,CH为高

求∆ACD、∆BCD面积

思路：根据勾股定理/锐角三角函数可求得CH=43

11

所以S∆ACDAD•CH=•3•43=63

22

11

S∆BCD=BD•CH=•5•43=103

22

总结：1）边长为3、7、8和5、7、8的两个三角形可以构成一个边长为8的等边三角形，且该等边三角形

的高(CH)即为两个三角形的高。

2）边长为3、7、8和5、7、8的两个三角形中边长为7所对的角为60°。

【培优过关练】

1．（2023春·八年级课时练习）已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则∠C＝（）．

A．45°B．37°C．60°D．90°

2．（2023秋·浙江温州·九年级校考期末）边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（）．

A．90°B．150°C．135°D．120°

3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，则∠B＝（）．

A．45°B．37°C．60°D．90°

4．（2021·全国·八年级专题练习）在△ABC中，AB＝16，AC＝14，BC＝6，则△ABC的面积为（）

A．24B．56C．48D．112

5．（2017·湖北武汉·中考真题）已知一个三角形的三边长分别为5，7，8．则其内切圆的半径为（）

A．B．C．D．

6．（2019春·湖北武汉·八年级统考期末）已知△ABC的边长分别为5，7，8，则△ABC的面积是（）

A．20B．10C．10D．28

二、填空题

7．（2023春·江苏苏州·九年级苏州中学校考开学考试）如图，△ABC的三边AB，BC，CA的

长度分别为3，7，8，则△ABC的内切圆Ⅰ的半径为_________．

8．（2019秋·河北·八年级校考阶段练习）若△ABC的三边长分别为5，7，8，△DEF的三边长

分别为5，2x，3x－5，若这两个三角形全等，则△DEF的周长为______________，x的值为

_______________．

9．（2018·广西柳州·校考一模）已知△ABC的三边长分别为5，7，8，△DEF的三边分别为5，2x，3x﹣5，

若两个三角形全等，则x=__．

10．（2019秋·上海·九年级校考阶段练习）已知与是相似形，如果三边分别长为5，7，

8，的最长边与最短边的差为6，那么的周长是_________．

11．（2018秋·上海黄浦·九年级格致中学校考阶段练习）已知与相似，若的三边分别为

，的最长边与最短边之差为则_________________．

12．（2021·山西·九年级专题练习）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积

术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设

为三角形三边，为面积，则，这是中国古代数学的瑰宝之一．而

在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设（周长的一

半），则

（1）尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以为三边构成的三角形，分别验证它们的

面积值；

（2）问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从

或者）；

（3）问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公

式．请你证明如下这个公式：如图，的内切圆半径为，三角形三边长为，仍记

，为三角形面积，则．

13．（2019春·山东淄博·八年级淄博市临淄区第一中学校考期中）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中

记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：

①（其中