控制工程-频率特性分析

频率特性分析基本要求掌握频率特性的定义和代数表示法以及与传递函数、单位脉冲响应函数和微分方程之间的相互关系；掌握频率特性和频率响应的求法。掌握频率特性的奈氏图和Bode图的组成原理，熟悉典型环节的奈氏图和Bode图的特点及其绘制，掌握一般系统的奈氏图和Bode图的特点和绘制。掌握频域中性能指标的定义和求法；了解频域性能指标与系统性能的关系。4.了解最小相位系统和非最小相位系统的概念。本章重点1.频率特性基本概念、代数表示法及其特点。2.频率特性的图示法的原理、典型环节的图示法及其特点和一般系统频率特性的两种图形的绘制。3.频域中的性能指标。本章难点1.一般系统频率特性图的画法以及对图形的分析。2.频域性能指标和时域性能指标之间的基本关系。(2)输出响应中振幅和相位差都是输入信号频率

的非线性函数，表示为xo

(t)

X

o

(

)

sin(

t

(

))Xixi(t)4.1 频率特性的基本概念频率响应与频率特性频率响应:线性定常系统对正弦信号(谐波输入)的稳态响应称为频率响应。Xoxo(t)

设输入

xi

(t)

Xi

sin

t，xo

(t)响应的特点(1)输出与输入为同频率的谐波信号；一个稳定的线性定常系统，在谐波函数作用下，其输出的稳态分量（频率响应）也是一个谐波函数，而且其角频率与输入信号的角频率相同，但振幅和相位则一般不同于输入信号的振幅与相位，而随着角频率的改变而改变。2.幅频特性∶输出信号与输入信号的幅值之比随

变化的特性。XiA(

)

X

o

(

)相频特性:输出信号与输入信号的相位差(或相移)随

变化的特性。

(

)

按逆时针方向旋转为正值，

(

)

0 表超前；

(

) 按顺时针方向旋转为负值，

(

)

0

表滞后。频率特性:通常将幅频特性和相频特性统称为频率特性。A(

)e

j

(

)4.1.2

频率特性的求法1.用拉氏逆变换求取xi(t)

Xisin

t

2s2Xi

(s)

L[xi

(t)]

L[

Xi

sin

t]

Xi

s2oX (s)

G(s)Xi

]o

2s2x(t)

L

1[G(s)

2Xi

根据频率特性的定义即可求出其幅频特性和相频特性。2.令s

=jωj

将传递函数中的s

用G(s)

G(

j

)G(

j

)

就是系统的频率特性。(1)幅频特性：(2)相频特性:代替，

[s]

[

j

]XiA(

)

Xo(

)

G(

j

)

(

)

G(

j

)u(

)v(

)G(

j

)

Re[G(

j

)]

Im[G(

j

)]

(

)

j

(

)

G(

j

)

u

2

(

)

v2

(

)u(

)

(

)

arctg

v(

)(3)实频特性:(4)虚频特性:3.用试验方法求取io率ω，并测出与此相应的稳态输出的幅值

X

(

)

与相移x

e

j

t。然根据频率特性的定义，首先，改变输入谐波信号

(

) 的频后，作出幅值比Xo

(

)

/

Xi

对频率ω的函数曲线，此即幅频特性曲线；作出相移

(

)

对频率ω的函数曲线，此即相频特性曲线。最后，对以上曲线进行辨识即可得到系统的频率特性。10-1100101-400-202010

-110

010

10-90-180

=0.1

=0.1的概念可以非常容易求系统在谐波输入作用下系统的稳态响应。另外，系统频率特性在研究系统的结构与参数对系统性能的影响时，比较容易。1．频率特性实质上是系统的单位脉冲响应函数的Fourier变换。即G(j

)

F[w(t)]

。2．频率特性分析通过分析不同的谐波输入时的稳态响应，揭示系统的动态特性。3．频率特性分析主要针对系统的稳态响应而言，应用频率特性4.1.3 频率特性的物理意义微分方程sspp系统j

频率j

特性频率特性分析在实验建模和复杂系统分

传递析方面的应用要比时域分析法更方便。

函数微分方程、传函、频率特性的关系如图。4.2 典型环节的频率特性频率特性图概述奈奎斯特图：在

[G(

j

)]

平面上取Re及Im轴，以

作参变量，当

从0→∞变化时,

G(

j

)

端点的轨迹为频率特性的极坐标图，称为Nyquist图。jv(

)

(

)A(

)v(

)

ImRe[G(

j

)]

u(

)

=

1G(

j

)u(

)

=0

=∞2.Bode图：以

的常用对数值为横坐标，分别以

20

lg

A(

)

和

(

)

为纵坐标画出的曲线，称为对数幅频特性图和对数相频特性图，统称为频率特性的对数坐标图，又称为Bode图。(1)

纵坐标单位为分贝，线性分度1

dB

20

lg

G(

j

)00.100-450-900A(

)=20lgG(j

)0.1 110102

dB4020-20-40

(

)=∠

A(

)110102

900450(2)

横坐标单位为rad/s或1/s，对数分度。(3)

10倍频程(dec)：若ω2=10ω1，则称从ω1到ω2为10倍频程。每10倍频程对数差1。但习惯上仍标真数值，即横坐标按10倍频程均匀分度。4.2.2

典型环节的频率特性图1.比例环节ImRe

G(j

)

传递函数：频率特性：实频特性：虚频特性：对数幅频特性：

L(

)

20

lg

G(

j

)

20

lg

K相频特性：

G(

j

)

0幅频特性：G(s)

KG(j

)

Ku(

)

Kv(

)

0A(

)

G(j

)

KBode图

(s-1

)(K,j

0)奈氏图dB

(s-1

)20lg

K0.11100.1110002.积分环节sG(s)

1传递函数：1 1G(

j

)

jj

u(

)

0频率特性：实频特性：1虚频特性：

v(

)

幅频特性：

A(

)

G(

j

)

1ImRe

G(j

)

-90(0,-

j

1

)Bode图

dB40200.1 1

10180对数幅频特性：L(

)

20

lg

G(

j

)

20

lg

90相频特性：

G(

j

)

90o -

90-

180

奈氏图20lg

GG[-20]3.微分环节传递函数：频率特性：实频特性：虚频特性：对数幅频特性：

L(

)

20

lg

G(

j

)

20

lg

相频特性：

G(

j

)

90o幅频特性：G(s)

sG(j

)

j

u(

)

0v(

)

A(

)

G(j

)

奈氏图ImRe

G(j

)

(

0

, j

)90Bode图

(s-1

)GdB200.1 110

(s-1

)20lg

G-

2018090-

90[20]4.惯性环节Ts

11G(s)

传递函数：1

jT

1

T

2

21G(

j

)

1

(1

jT

)频率特性：1

T

2

2u(

)

实频特性：1

T

2

2v(

)

T

虚频特性：对数幅频特性：L(

)

20

lg

G(

j

)

20

lg相频特性：

G(

j

)

arg

tg(T

)幅频特性：1

T

2

21A(

)

G(j

)

奈氏图ImRe

G(

j

)

KK

2Bode图dBG-

20-

40

1

(T

)2-

45-

90

(s-1

)T

(s-1

)[-20]5.一阶微分环节传递函数：

G(s)

Ts

1频率特性：

G(

j

)

1

jT

G(

j

)

arg

tg(T

)相频特性：实频特性：

u(

)

11

(T

)2对数幅频特性：L(

)

20

lg

G(

j

)

20

lg虚频特性：

v(

)

T

幅频特性：

A(

)

G(

j

)

1

T

2

2ImRe

G(j

)

tg

-1T

奈氏图1Bode图

(s-1

)dB

20lgGG402090450T

20dB

dec10

T

(s-1

)6.振荡环节1(1

T

2

2

)

j2

T

频率特性：

G(

j

)

1

T

2

2相频特性：

G(

j

)

arg

tg

2

T

1

T

2

2(1

T

2

2

)2

(2

T

)2实频特性：

u(

)

1

T

2

2(1

T

2

2

)2

(2

T

)2

虚频特性：

v(

)(1

T

2

2

)2

(2

T

)2对数幅频特性：L(

)

20

lg幅频特性：

A(

)

G(

j

)

(1

T

2

2

)2

(2

T

)21传递函数：

G(s)

1T

2

s2

2

Ts

1-1-0.500.511.5-2-1.5-1-0.500.5ReIm

n

0

0.3

0.7

0.5

2

11—

2

∞奈氏图10100-40

-1101-2002010-1100101-90-1800

=0.1.3

=0

=0.7

=0.1

=0.7

=0.3Bode图[-40]7.二阶微分环节1

T

2

2相频特性：

G(

j

)

arg

tg

2

T

(1

T

2

2

)2

(2

T

)2对数幅频特性：L(

)

20

lg传递函数：

G(s)

T

2

s2

2

Ts

1频率特性：

G(

j

)

(1

T

2

2

)

j2

T

实频特性：

u(

)

1

T

2

2虚频特性：

v(

)

2

T

幅频特性：

A(

)

G(

j

)

(1

T

2

2

)2

(2

T

)28.延时环节G(s)

e

sG(

j

)

e

j

cos

j

sin

频率特性：

G(j

)

相频特性：u(

)

cos

实频特性：v(

)

sin

虚频特性：对数幅频特性：

L(

)

0幅频特性：A(

)

G(j

)

1传递函数：Im

很小Re[G(j

)]1奈氏图G1-

20-

40-

60Bode图0.1 1 1010 100

(s-1)

dB402020lgG4.3

系统的频率特性4.3.1

绘制系统奈氏图1.奈氏图的一般形状n

G(s)

mij

1o

i

1 s

(Tj

s

1)K

(

i

s

1)X

(s)X

(s)

n

jm(1

jT

)(

j

)K

(1

j

i

)频率特性（标准形式）：G(

j

)

i

1

传递函数形式：jv

(

)

(

)A(

)u

(

)v

(

)

ImRe[G(

j

)]=

1G(

j

)u(

)

=0

=

∞ImRe[G(

j

)]

=0

=∞0型系统Ⅱ型系统Ⅰ型系统Imj

1[G(

j

)]

=0∞Re

=

2.Nyquist图作图思路G(s)

→

G(

j

)

→（

必要时v(

)u(

)

)G(

j

)∠G(

j

)→

特殊点G(j∞),∠G(

j∞)G(

j

n)

,

∠G

(

j

n

)G(j0),∠G(j

)起点→ 经历的象限终点1G(

j

)

j

(1

j

)(1

j2

)(1

2

)(1

4

2

)

j

(1

2

)(1

4

2

)1

2

2

3

G(j

)

1解:例:

已知系统开环传递函数

G(s)

作系统的Nyquist图。1s(s

1)(2s

1)G(j0)

,

G(j0)

90oG(j

)

0,

G(j

)

270oω=0：ω=∞：

1

2

1

(2

)2

G(

j

)

-90o

tg

1

tg

1

(2

)特殊点：v(ω)=0：

1

2Im[G(jw)

]

=0

=∞Re

4.3.2

绘制系统Bode图1.典型环节Bode图①积分环节②微分环节③惯性环节④一阶导前环节⑤二阶振荡环节⑥二阶导前环节②③⑥⑤④①②③④⑤⑥20lg

G①GT

(s-1)180o90o45o0o-

45o-

90o-180o1

(s-1)dB40200-20-40T

2.Bode图作图思路(6)对各环节的对数幅频特性图和对数相频特性图进行叠加；(7)有延时环节时，对数幅频特性不变，对数相频特性则应加上

1)叠加法绘制系统频率特性图将系统的传递函数G(s)转化成由若干个典型环节传递函数相乘的形式（常数项归一化）

；由传递函数求出频率特性G(j

)；(3)确定各典型环节的特征参数（如：比例系数、转折频率、曲线特点

）；(4)作出各典型环节频率特性的Bode图，即分别在对数幅频特性图和对数相频特性图中作出对数幅频特性的渐近线和对数相频特性曲线；(5)如有必要,对渐近线进行修正，得出各环节的对数幅频特性的精确曲线；2)顺序斜率法绘制系统频率特性图频特性图进行叠加；将系统的传递函数G(s)转化成由若干个典型环节传递函数相乘的形式（常数项归一化）

；由传递函数求出频率特性G(j

)；(3)确定各典型环节的特征参数（如：比例系数、转折频率、曲线特点

）,并将转折频率由低到高依次标在横坐标轴上；(4)绘制对数幅频特性低频段渐近线。若系统为0型系统，低频段为一水平线，高度为20lgK;若是I型以上系统，则低频段（或其延长线）在ω=1处的幅值也为20lgK，斜率为-20dB/dec；(5)按转折频率由低频到高频的顺序，在低频渐近线的基础上，每遇到一个转折频率，根据环节的性质改变渐近线斜率，绘制渐近线，直到绘出转折频率最高的环节为止。(6)如有必要,对渐近线进行修正，得出各环节的对数幅频特性的精确曲线；作出各典型环节频率特性的对数相频特性曲线；对各环节的对数相有延时环节时，对数幅频特性不变，对数相频特性则应加上

s(s

2)(s2

s

2)例1：已知系统开环传递函数

G(s)

10(s

3)

绘制系统Bode图。12 2 2 22

1

1]j

(1

j1

)[(1)2(j

)2

j2

解：1.将常数项变为1，写成标准形式，分析组成系统的典型环节10

3(1

1

s)G(s)

3 2

s(1

1

s)

2

(

1

s2

1

s

1)2 2 27.5(1

j1

)G(

j

)

3 系统由比例、积分、一阶惯性、二阶振荡和一阶导前环节组成。，并从小到大排列:Ti

1T

二阶↑，惯性↑，导前↑，iTiT2.求出各环节转角频率1

i2 ， 2， 3，3.依次作出各环节Bode图：积分、二阶、惯性、一阶导前环节的Bode图,分别如图中的①、②、③、④，比例环节的幅频、相频特性如⑤。4.

将各环节幅频特性曲线合成；dB20lg

GG-15.

将各环节对数相频特性曲线合成。18090450-

45-

901-180-

270234134

(s )5

(s

-1)12237.50[-20]2[-40][-20][20]3.由Bode图确定系统的传递函数由Bode图确定系统传递函数，与绘制系统Bode图相反。即由实验测得的Bode图，经过分析和测算，确定系统所包含的各个典型环节，从而建立起被测系统数学模型。3.1、频率响应实验信号源对象记录仪Asinwt由频率特性测试仪记录的数据,可以绘制最小相位系统的开环对数频率特性,

对该频率特性进行处理，即可确定系统的对数幅频特性曲线。3.2、传递函数确定对实验测得的系统对数幅频曲线进行分段处理。即用斜率为

20dB/dec整数倍的直线段来近似测量到的曲线。当某

处系统对数幅频特性渐近线的斜率发生变化时，此

即为某个环节的转折频率。①当斜率变化+20dB/dec时,可知

处有一个一阶微分环节Ts+1;

②若斜率变化+40dB/dec时，则

处有一个二阶微分环节

(s2/

2n+2

s/

n+1)

或一个二重一阶微分环节(Ts+1)2③

若斜率变化

-20dB/dec时,则

处有一个惯性环节1/(Ts+1);③若斜率变化-40dB/dec时，则

处有一个二阶振荡环节1/

(s2/

2n+2

s/

n+1)或一个二重惯性环节1/(Ts+1)2；（3）系统最低频率段的斜率由开环积分环节个数决定。低频段斜率为-20

dB/dec,则系统开环传递有

个积分环节，系统为

型系统。（4）开环增益K的确定①由

=1作垂线，此线与低频段(或其延长线)的交点的分贝值