江苏省苏锡常镇2024届高三年级下册教学情况调研（一）数学试卷含答案

2023~2024学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1,已知集合-中炉+3X+2>°},集合岭X10K4},则（）

A.Ar>B=0B.AB=RC.AcrBD.BcrA

5

2.设（l+2%）5=4+Q]X+〃2%2++a5X,则+。5=（）

A.-2B.-iC.242D.243

3.已知平面向量满足〃+〃+。=0,卜卜回二1」4二百，则〃与6的夹角为（）

兀

B.—C.—7iD.一兀

34

4.青少年的身高一直是家长和社会关注的重点，它不仅关乎个体成长，也是社会健康素养发展水平的体

现.某市教育部门为了解本市高三学生的身高状况，从本市全体高三学生中随机抽查了1200人，经统计后

发现样本的身高（单位：cm）近似服从正态分布N（172,er?）,且身高在168cm到176cm之间的人数占

样本量的75%,则样本中身高不低于176cm的约有（）

A.150人B.300人C.600人D.900人

5.函数/（x）=sin12x+，在区间（0,2兀）内零点个数为（）

A.2B.3C.4D.5

22

6.在平面直角坐标系xQv中，已知A为双曲线C：餐-当=1（4>0,匕>0）的右顶点，以。4为直径的圆与

ab

。的一条渐近线交于另一点若匕，则。的离心率为（）

A.V2B.2C.2A/2D.4

7.莱莫恩（Lemoine）定理指出：过.ABC的三个顶点作它的外接圆的切线，分别和

所在直线交于点P,Q,R,则P,Q,R三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的Lemoine线.在平面

直角坐标系xQy中，若三角形的三个顶点坐标分别为4（0』）,5（2,0）,C（0,T）,则该三角形的

Lemoine线的方程为（）

A.2x—3y—2=0B,2x+3y—8=0

C.3x+2y—22=0D.2x-3y-32=0

8.已知正项数列｛4｝满足'+'+若%—2%=7,则％=（）

1">囚。2anan+l2"+1、,

13

A.-B.1C.-D.2

32

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知复数4/2/3,下列说法正确的有（

A若Z1ZLZ2Z2，则团=区|B.若z；+z：=0,则4=z2=0

D.若Izi-ZzRzi+ZzI，则平2=0

C.若y2=2理3,则Z]=0或Z2=z3

10.己知函数/■（%）=-----------,则（）

2—cos2x

A.〃龙）的最小正周期为兀B./（%）的图象关于点（兀,0）对称

D.八%）的最大值为孝

C.不等式/（x）>x无解

11.如图，在棱长为2的正方体ABC。—4/。口中，E为AA的中点，点产满足

=则（）

A.当；1=0时，AC[，平面应）产

B.任意2e[0,1],三棱锥产—5DE的体积是定值

C.存在Xe[0,l],使得AC与平面5£）尸所成角为m

D.当4=2时，平面应）尸截该正方体的外接球所得截面的面积为四兀

319

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.己知变量羽y的统计数据如下表，对表中数据作分析，发现y与x之间具有线性相关关系，利用最小

二乘法，计算得到经验回归直线方程为9=0用％+6,据此模型预测当x=10时5的值为.

X56789

354566.5

y

2

13.已知a,Z?e（O,l）41og»+log/=4,则一+ln4最小值为.

bb

14.在平面直角坐标系x0y中，已知点P（—U）和抛物线C：V=4x,过。的焦点F且斜率为左（左＞0）

的直线与。交于A,3两点.记线段A5的中点为若线段的中点在。上，则左的值为；

|AF|•怛典的值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.记的内角A,5c的对边分别为“,仇c,已知2cosB+1='.

a

（1）证明：B=2A-,

（2）若sinA=Y^,6=旧，求的周长.

4

16.如图，在四棱锥E—ABCD中，EC,平面ABC。，DCYBC,AB//DC,OC=2AB=2,

CB=CE,点歹在棱监上，且BF」FE.

2

（1）证明：DE//平面AbC；

B

E

(2)当二面角F—AC—。为135时，求CE.

17.我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，并广泛用于森

林消防、抢险救灾、环境监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防

4

员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为二，

每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为!，击中目标两次起火点被扑

2

灭的概率为耳，击中目标三次起火点必定被扑灭.

(1)求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望；

(2)求起火点被无人机击中且被扑灭的概率.

18.在平面直角坐标系xOy中，已知点P[O,-I],过椭圆。：^+/=1(。〉1)的上顶点人作两条动直

线\:丁=幻+1,/2：丁=左2%+1(0<4(左2)分别与C交于另外两点当匕=乎时，=

(1)求4的值；

\MN\9

(2)若桃2=L,求勺和左2的值.

4aA2

19.已知函数/(%)=-----2x(%>0),函数8(%)=-/+3W一。2-3。(。€口).

x

(1)若过点0(0,0)的直线/与曲线y=/(x)相切于点P,与曲线y=g(x)相切于点。.

①求。的值；

②当尸，。两点不重合时，求线段尸。的长；

(2)若天°>1,使得不等式成立，求。的最小值.

2023〜2024学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)

数学

注意事项:

L答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合A=W+3X+2>0},集合八例』<4},则（）

A.AryB-0B.AB=RC.BD.BA

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合A,利用集合间的关系即可判断.

【详解】由题可得：A={x|x<—2或x>—1},5={X|0WXW4},则3。4.

故选：D.

5

2.设（1+2x）5=aQ+arx+a2x~++a5x,则q+4+，•+%=（）

A.-2B.-1C.242D.243

【答案】C

【解析】

【分析】利用赋值法，分别令％=0,1可得.

【详解】令九=0,则『=为，.•.旬=1；

令x=1,贝!]3、=%+%+g+%+%+生；

q+a2+%+%+%=3、­1=242

故选：C.

3.已知平面向量d,Z?,c满足°+>+°=0,向=|“=1,归卜g,则a与6夹角为（）

717123

A.——B.——C.—7iD.一兀

4334

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量的加减运算以及数量积的运算律求出a-b，继而利用向量的夹角公式，即可求得答案.

【详解】由题意知平面向量满足a+b+c=O,|a|=|Z?|=l,|c|=A/3,

故1+/?=-1,所以(a+Z?)2=c?,

,1

所以"+2。.〃+//=3，所以

,a-b17r

则cosa,》=^R=5，a,b^[O,n],故。力=§,

故选：B

4.青少年的身高一直是家长和社会关注的重点，它不仅关乎个体成长，也是社会健康素养发展水平的体

现.某市教育部门为了解本市高三学生的身高状况，从本市全体高三学生中随机抽查了1200人，经统计后

发现样本的身高(单位：cm)近似服从正态分布N(172,(y2),且身高在168cm到176cm之间的人数占

样本量的75%,则样本中身高不低于176cm的约有()

A.150人B.300人C.600人D.900人

【答案】A

【解析】

【分析】利用正态分布的性质，计算出P(172<X<176)和尸(X>176)即可求解.

【详解】因为X〜N(172,cr2),P(168<X<176)=0.75,所以P(172<X<176)=0.375

则P(X2176)=0.5-0.375=0.125,所以样本中身高不低于176cm的约有0.125x1200=150人.

故选：A.

5.函数/(x)=sin[2x+m]在区间(0,2兀)内的零点个数为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

【分析】利用三角函数的性质求解即可.

【详解】令/(x)=sin(2x+1]=0,得2x+]=E,则x=—6+

兀j411

故—1,x—;k=2,x—兀，k—3,x—兀;k—4,x—兀，

3636

所以〃尤）在（0,2兀）共有4个零点，

故选：C.

22

6.在平面直角坐标系xQy中，已知A为双曲线C：「-白=1（。＞0,匕＞0）的右顶点，以。4为直径的圆与

ab

C的一条渐近线交于另一点若|AM|=g匕，则C的离心率为（）

A.72B.2C.2&D.4

【答案】B

【解析】

【分析】由渐近线方程和。求出|＜W|=ga,由勾股定理得到廿=3/,从而求出离心率.

b

【详解】由题意得，OMLAM,双曲线的一条渐近线方程为y=—x,

a

b\AM\b

故tan/AOM=—,即---?=一,

a\OM\a

又|4凹=小，所以|OM|=ga,

由勾股定理得即;片+:^=/,

解得/=3/,

故选：B.

7.莱莫恩（Lemoine）定理指出：过一ABC的三个顶点A5C作它的外接圆的切线，分别和BC,C4,AB

所在直线交于点尸,Q,R,则尸,Q,R三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的Lemoine线.在平面

直角坐标系xQy中，若三角形的三个顶点坐标分别为4（0』）,5（2,0）,C（0,T）,则该三角形的

Lemoine线的方程为（）

A.2x—3y—2=0B.2x+3y—8=0

C.3x+2y—22—0D.2x-3y-32=0

【答案】B

【解析】

【分析】待定系数法求出外接圆方程，从而得到外接圆在AC处的切线方程，进而求出RR的坐标，得到

答案.

【详解】ABC的外接圆设为4+歹=0,

1+E+F=QD=Q

4+2D+F=0,解得《E=3,

16-4E+F=0F=—4

，外接圆方程为/+/+3y—4=0,BP^2+[y+j

易知外接圆在A处切线方程为y=1,

又3C:二+二=1,令y=l得，x=-,：.P

2-42

在C（0,-4）处切线方程为y=-4

又AB：m+y=i，令y=-4得l=10,•••火(10,—4),

y+4x—10

则三角形的Lemoine线的方程为1+451八，即2x+3y—8=0

----10

2

故选：B.

,、1n

8已知正项数列包｝满足1嬴1+嬴+：

H-----------=----------nGN,若。5-2a6=7,则4=()

44+12〃+1

13

A.-B.1C.一D.2

32

【答案】D

【解析】

111

【分析】由已知和式求出通项------的通项，从而得出----=而，再由已知条件。5-2。6=7，从而求出

44+1a5a6----'yy

生，类似的往前推，求出％即可.

11

【详解】〃=i时，——

1nn-1_1

心2时，-----2〃+1—2〃—1-4万—1

%A+i

1、,.-.%%,=99,.・.。6(2。6+7)=99,,

的6

。6=5,%~18,

g%=63,二%=g

a3a4=35,.，.a3=10,

.3

"2"3—[5,..a?—,

a{a2=3,.,.1=2.

故选：D.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知复数4/2/3,下列说法正确的有（）

A.若Z[Z]=z,z?，贝U㈤=艮1B.若z；+z；=0,则马=z?=0

c.若z/2=z/3,则4=0或Z2=Z3D.若|Z1-Z2|=|Z1+Z2|,则乎2=0

【答案】AC

【解析】

【分析】A项，由复数的性质,「可得；BD项，举特例即可判断；C项，先证明命题“若2e2=0,则

4=0,或Z2=0”成立，再应用所证结论推证可得.

【详解】选项A,Z[-Z]=z2z2,则匕「=区「|zj=RI,故A正确；

选项B,令z=i,Z2=l,满足条件z；+Z；=-1+1=0,但Z]WZ2，且均不为0,故B错误;

选项C,下面先证明命题“若Z]Z2=0,则4=0,或Z2=0”成立.

证明：设4=Q+Z?i,〃,b£R,z2=c+6?i,c,6?GR,

若ZE2=0,则有(a+Z?i)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i=O,

ac-bd=0ac=bd

故有《即4",,两式相乘变形得,(a?+b2^cd=0,

ad+be=0ad=-be

则有/十^=。，或。=0,或4=0,

①当"十/二。时，a=b=。,即4=。；

②当Q2+/WO，且。=0时，则〃d=ad=0,

又因为。力不同时为0,所以d=0,即？2=0；

③当"十/^W。，且6?=。时，则QC=Z?C=0,同理可得C=0,故？2=。；

综上所述，命题“若Z]Z2=0,则Z]=0,或22=。”成立.

下面我们应用刚证明的结论推证选项C,

..ZXZ2=4Z3,Z^Z2-Z3^=0f

二.4=0,或Z2-Z3=0,即4=0或Z2=Z3，故C正确；

选项D,令Z]=l+i*2=1-i,

则|4_Z2|=k+a|=2,

但4Z2=(l+i)(l-i)=2,ZZ2不为0,故D错误.

故选：AC.

10已知函数y(x)=si=则()

2-cos2x

A./(力的最小正周期为兀B.7(%)的图象关于点(兀,0)对称

C.不等式/(x)>x无解D./(%)的最大值为《

【答案】BD

【解析】

【分析】对于选项A:验证/(兀+力=/(力是否成立即可判断；对于选项B:验证/(2兀-％)=-/(%)是否

成立即可判断；对于选项C:利用/(—兀)=0>—兀即可验证/(%)>》有解；对于选项D:利用二倍角公式,

结合基本不等式即可判断.

/、sin(71+x)-sinx,、

【详解】对于选项A:7•(兀+尤)=^—\7=~——丁7/(z力x,，兀不是/(九)的周期，故A错

2—cos2(兀+%)2—cos2x

误;

/、sin（2兀-x）-sinx（、（、,、

对于选项B:/（2兀-x）=----------=-----=-/（%）,•,./（%）关于（兀,0）对称，故B正确；

2—cos2（2兀-xI2—cos2x

对于选项C:/（-7i）=0＞一兀,「./（X）＞X有解，故C错误；

/xsinxsinx

对于选项D：〃x）=OF工T与若si.W0,则

若sinx>0,则/(X)1」=正

~2夜2,

2sinxH----

sin%

当且仅当2sinx=1-,即sinx=XZ时，原式取等，故D正确.

siwc2

故选:BD.

11.如图，在棱长为2的正方体ABC。—AgG2中，E为A4的中点，点产满足

=贝I()

A.当4=0时，AC]，平面应＞产

B.任意/le[0,1],三棱锥尸—5D石的体积是定值

C.存在XG[0,1],使得AC与平面应＞尸所成的角为T

D.当4=2时，平面应）尸截该正方体的外接球所得截面的面积为变兀

319

【答案】ACD

【解析】

【分析】建立适当的空间直角坐标系，对于A,4=0时，尸与4重合，故只需验证AC1，面30A是否

成立即可，对于B,由4片不与平面5OE平行，即点口到面30E的距离不为定值，由此即可推翻B,

对于C,考虑两种极端情况的线面角，由于尸是连续变化的，故AC与平面3D尸所成的角也是连续变化

的，由此即可判断；对于D,求出平面应)产的法向量，而显然球心坐标为。(1,1,1),求出球心到平面

应＞尸的距离，然后结合球的半径、勾股定理可得截面圆的半径，进一步可得截面圆的面积.

【详解】如图所示建系，D(0,0,0),5(2,2,0),A(2,0,2),A(2,0,0),Q(0,2,2),

所以03=(2,2,0),4=(2,0,2),AQ=(-2,2,2),

从而4&.鹿=-4+4=0,4。1.%=Y+4=0,

所以，DB,AQ±D\,

又DBnDAi=D,DB,D\u面BDAX,

所以AC1，面8D4],

2=0时，户与A重合，平面尸为平面,

因为公。1_1面5。4，AGJ■平面3D尸，A对.

AA不与平面平行，，产到面瓦右的距离不为定值，

••・三棱锥产-5DE的体积不为定值，B错.

设面的法向量为4

%•DB-2x+2y=0

则〈..y，令再=1,解得％=—1,4=—1,

nx-DAX-2再+22]=0

即可取4=。,—1,—1),

而AC=(-2,2,0),

/、4&

所以AC与平面BDF所成角的正弦值为cos(AC,%)=~Z=丁一尸=三

''AC.k2n3

又BD=(-2,-2,0),BBX=(0,0,2),

所以ACBD=4—4=0,ACBB]=0,

所以AC，3D,AC，3用，

又BDBB]=B,BD,BBiu面DBBX,

所以AC,面。Bg,

当产在A时，AC与平面BD尸所成角的正弦值为*5〈走，此时AC与平面5D户所成角小于

323

7Tjr

当尸在⑸时，AC与平面应)户所成角为一〉一，

23

所以存在4e[0,1]使AC与平面应>尸所成角为三，C正确.

£>(0,0,0),5(2,2,0),1(2,242),

,.n-DB=02%+2y=0

设平面5。尸的法向量为〃=(x,y,z),<,

n-DF=02x+22y+2z=0

不妨设x=l,则y=-l,z=；l-l,/=(L-L,2—l),AC=(-2,2,0).

2=|,则/[2,。2],平面3D尸的法向量〃=1,—1,—显然球心0(1,1,1),

0D•"1JigIA-I_A.A_A

0到面BDF的距离d==-==^—,外接球半径R=74+4+4=G,

WM192

...截面圆半径的平方为r=R2—磨=至，所以s=71r2=些兀，D对.

1919

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是利用向量法求出球心到截面应>尸的距离，由此即可顺利得解.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知变量乂y的统计数据如下表，对表中数据作分析，发现y与龙之间具有线性相关关系，利用最小

二乘法，计算得到经验回归直线方程为9=0.8尤+6,据此模型预测当％=10时夕的值为.

56789

3.54566.5

y

【答案】7.4

【解析】

【分析】经验回归直线方程9=公+”过样本点的中心「,可，所以把（三习代入亍=0.8%+4求得&的值，

再代入x=10求解即可.

【详解】由己知得了=7,歹=5,即样本点中心（7,5）,

因为经验回归直线方程9=0.8%+6过样本点的中心（7,5）,

所以5=0.8x7+d,解得6=—0.6.

所以，当x=10时，9=0.8x10—0.6=74.

故答案为：7.4.

13.已知。力e（0,1）—（1,转），41og»+log/=4,则一+ln4的最小值为.

bb

【答案】In2+l##l+ln2

【解析】

r\r\。

【分析】依题意可得a=/，则—+皿3=1昉+—,令〃x）=ln%+—,利用导数求出/（%）的最小值，即

bbbx

可得解.

【详解】；41og»+log/=4,a,/?e（O,l）i

；・41082+^^=4,.1log/=L,.）=&,

log/2

日口,2在[、I2[a2b12

即”=Z?2,所以—+]n—=—+ln—=lnb+—,

bbbbb

2

令/(x)=lnx+—,xe(0,+oo),

则f'(x)=~T=~2~，

XXX〜

所以当0〈尤<2时r(x)<0,当尤>2时/'(x)<o,

所以/（九）在（0,2）上单调递减，在（2,+8）上单调递增,

所以/（x：U=/（2）=ln2+l,

所以+i=ln2+l当且仅当b=2,a=夜时取得.

\bbmin

故答案为：ln2+l

14.在平面直角坐标系xQy中，已知点P（—1,1）和抛物线C:/=4x,过C的焦点尸且斜率为左（左＞0）

的直线与。交于A,3两点.记线段A3的中点为M,若线段的中点在C上，则左的值为

|AF|.忸耳的值为.

【答案】①.2②.5

【解析】

【分析】设43：,=左（龙—1），与抛物线联立，由韦达定理得%+%=9，%+x,=4+2,从而得到M

kk

的坐标，以及线段的中点坐标，代入抛物线方程，即可求出女的值，得到|A斗忸耳的值.

【详解】令B（x,,y2）,AB:y=^（x-l）,线段PM的中点为N

y=k(x-l],44

联立2；，消X可得y2——y—4=0,则%+%=—，%%=-4,所以

y=4xkk

西+々=上芳+2=*+2,即”。+1彳），所以线段MP的中点N（\,g+；）,由于线段MP的

11,4

中点N在抛物线上，贝心工+万）,解得左=2或左=一6（舍去），即左=2,

由于在抛物线中|A同=玉+1,忸f=七+1,所以

/2\/2、22(%+%『-乂%

_X%+2

|AF|.|BF|=(XI)(X+I)=々+1T+i--------------r+1

1+2164

164+8

--1----+1=5.

164

故答案为：2；5.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.记ABC的内角A,3,C的对边分别为a,4c,已知2cosB+l=

a

（1）证明：5=2A；

（2）若sinA=Y2,6="Z,求的周长.

4

【答案】（1）证明见解析

（2）7+V14

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理边化角结合角范围可证；

（2）利用倍角公式求得sinC,然后利用正弦定理可得

【小问1详解】

（2cosB+l）sinA=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB

nsinA=sinBcosA-cosBsinA=sin（5—A）

因为A5£（0,7l）,.,.5-人£（一兀,兀）

.•.A=6—A或A+（5—A）=7i（舍），,\B=2A.

【小问2详解】

由sinA=乎，结合（1）知4+5=3人€（0,兀），则Ae、吟］，得

cosA=y11-sin2A=Jl-

sinB=sin2A=2sinAcosA=2xx，

444

13

cosB=cos2A=1-2sin9A=l-2x—=~,

84

^23历币10725A/2

/.sinC=sin（A+⑶=sinAcosB+cosAsin5=­x—H------x----=-------=------

'）4444168

由正弦定理得

abca^/14cia=2

------=-------=--------S=------=-------Sv

sinAsin5sinC^2币5-72[c=5

77-I-

:.^ABC的周长为a+b+c-7+A/14-

16.如图，在四棱锥E—ABCD中，£C_L平面ABC。，DCLBC,AB//DC,DC=2AB=2,

CB=CE,点尸在棱BE上，且BF」FE.

(1)证明：OE//平面AbC；

(2)当二面角尸—AC—。为135时，求CE.

【答案】(1)证明见解析

⑵有

【解析】

【分析】(1)由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，求出平面AFC的法向量/=(1,-2,-机),

根据DE•弭=0得到证明；

(2)求出平面ACD的法向量，根据二面角的大小列出方程，求出CE=6.

【小问1详解】

因为EC,平面A3CD,3C,CDu平面ABC。，

所以EC，5C,EC，CD,

又DCLBC,

以C为坐标原点，CB,CE,CD所在直线分别为x,%z轴，，建立空间直角坐标系，

设BC=m,

DC=2AB=2,

CA=(m,O,l),CF=^|m,|m,oj,DE=(O,m,-2),

设平面AFC的一个法向量为4=(尤,y,z),

.•CA=(x,y,z)-(m,O,l)=mx+z=0

则I/、,21、21,

4-CF=yx,y,z)-\—m,—m,O\=—mx+—my=0

令x=l得y=-2,z=-〃z,故4=(1,一2,-加)

二.DE-4=—2m+2m=0,

故。E//平面AFC；

【小问2详解】

平面ACD的一个法向量后=(0,1,0),

...COS135===,

«1-WjV5+m2-12

\CE=y/3.

17.我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，并广泛用于森

林消防、抢险救灾、环境监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防

4

员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为二，

每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为g,击中目标两次起火点被扑

2

灭的概率为§,击中目标三次起火点必定被扑灭.

(1)求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望;

（2）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率.

【答案】（1）分布列见解析，y

,、102

(2)—

125

【解析】

【分析】（1）由二项分布概率公式求概率即可得分布列，再由二项分布期望公式可得;

（2）根据条件概率以及全概率公式求解可得

小问1详解】

起火点被无人机击中次数X的所有可能取值为0,1,2,3

p(x=o)=Ij(X=l)=C!

5I1125

2

P(X=2)=C］：)4j-

小熊「"A1125

X的分布列如下:

X0123

1124864

P

125125125125

X〜53,g,「.E(X)=3xg=m

【小问2详解】

击中一次被扑灭的概率为々=[

击中两次被火扑灭的概率为鸟=言

4I3_64

击中三次被火扑灭的概率为鸟=।-125

……n63264102

所求概率P=-----+------H--------=------

125125125125

18.在平面直角坐标系xOy中，已知点P[O,-g],过椭圆C：W+V=l（a〉l）的上顶点A作两条动直

线I:y=kxx+l,l2:y=V+l(O<^<%)分别与C交于另外两点必N.当％='时，|=\PM\.

（1）求。的值;

\MN\9

（2）若匕%2=1，丽=可,

求左1和k2的值.

【答案】（1）2（2）&=；,左2=2

【解析】

【分析】（1）联立直线直线AM和椭圆的方程，求出M点坐标，根据列出关于a的方程，即

可求得答案.

（2）联立直线和椭圆方程，求出点M,N的坐标的表达式，即可求得左.，左川的表达式，结合占匕=1，

9

\MN\-x17

可推出即尸,M,N三点共线，结合|人阳8-可得M=丁，由此即可取得答案.

XN8

【小问1详解】

由题意得A（o,l）,P[°，T]，直线AM的方程为y=^x+l，

_72(2、_

联立<y—2*/.—+1%2+y/2a~x=0解得x=0或

x2+a2y2=a2Ja2+2

代入y=^^x+l，得丁=2-a2

a'+2

「2亿22-a。'

:.M

、/+2a2+2J

2、2

f-2亿2)‘2—a1J(-2yl2a2(2-a15丫

^\AM\=\PM\^,++~?------1—

a2+2、4+2)a2+2,、〃+23,

7

解得/=4,

a>l,:.a=2；

【小问2详解】

2

由（1）知椭圆方程为二+/=1,y=klx+l

联立《X2+4y2=4,

4-

得（4左；+1）%2+8左/=0,解得尤=0或%=-第；］，

8kl皿711—4左；瓯1—46片、

即入N二一诟IP则为//「族可，即依一叩‘叩）'

2

同理可得N（一看'言），

1—4651-%5

-^-L+-4代+134

nl,4后+13lz,1、,

则kpM=----靛---=—§*1+T)'kpN=--(^+—),

8k[3-&

—44+11―4%+1

,1

由于左42=1，故占=/，故kpM=kpN,即P,M,N三点共线,

/vn

8x一

8kl8k2_%_8左i

又与=一“节'/

4代+14x4+14+将