2024届高三新高考改革数学适应性练习七（含答案）（九省联考题型）

2024年新高考改革适应性练习(7)(九省联考题型)

数学试题卷

(2024.2.14)

考生须知

1,本卷共四大题19小题，满分150分，答题时间120分钟；

2.答题时须在答题卡上填涂所选答案(选择题)，或用黑色字迹的签字笔规范书写答案与

步骤(非选择题)，答在本试题卷上或草稿纸上的答案均属无效；

3.考试结束时，考生须一并上交本试题卷，答题卡与草稿纸.

、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的.)

1.已知x与y之间的一组数据：

X0123

y1357

则y与比的线性回归方程y=bx+a必过定点

A.(0.5,3)B.(1.5,0)C.(1,2)D.(2,4)

2.已知复数z=i4-i,则z对应的点Z在复平面的

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知在空间直角坐标系中，直线/经过A(3,3,3),B(0,6,0)两点，则点P(0,0,6)到直

线I的距离是

A.6A/2B.2V3C.2A/6D.3近

4.柯西不等式最初是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时

得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而

广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实

数的,a2,a3和瓦,b2,b3,有

(«i+«2+―+用+bl)>(的瓦+a2b2+a3b3y

等号成立当且仅当

瓦力283

已知/+y2+z2=14,请你用柯西不等式，求出x+2y+3z的最大值是

A.14B.12C.10D.8

5.在圆/+y2=5x内，过点(|,|)有几条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的

首项内,最大弦长为。n，若公差那么几的取值集合为

A.{4,5,6,7}B.{3,4,5,6}C.［4,5,6}D.{3,4,5}

6.已知在△ABC中，BC=3,角4的平分线交BC于点。，若CD=2BD,则△4BC

面积的最大值是

A.1B.2C.3D.4

7.已知直线［与抛物线C"=轨交于4,B两点，若万5=—4,则\AB\的最小

值是

A.4B.4V2C.8D.16

8.若函数/(%)=〃+/在(0,+8)上单调递增，则a和b的可能取值是

A.a=In1.1,b=10B.a=In11,b=0.1

C.a—e02,b=0,8D.a—e~02,b—1.8

二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项,

每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分.)

9.若△ABC的三个内角为则下列说法正确的有

A.sin4,sin3,sinC一定能构成三角形的三条边

B.sin24,sin28,sin2c一定能构成三角形的三条边

C.sin2A,sin2B,sin2C一定能构成三角形的三条边

D.Vsin/,，sin3,VsinC一定能构成三角形的三条边

10.已知离散型随机变量X服从二项分布B(n,p),其中九EN*,pE(0J),记X为奇

数的概率为a,X为偶数的概率为b,则下列说法正确的有

A.a+b=1B.p=［时，a=6

C.pe(og)时，a与ri正相关D.时，a与71负相关

11.已知函数/(%)的定义域为R,函数/(/+%)是定义在R上的奇函数，函数g(%)=

f（X2-,则下列式子正确的有

A.呜=0B."2）=0

C.f（4）=0D.g（x+1）=—g（X）

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）

12.已知a为第四象限角，sina+cosa=|,则tana=.

13.设a,b为实数，且abH0,虚数z为方程a/+人久+a=。的一个根，贝!J|z|的值

为.

14.已知首项为2、公差为d的等差数列｛而｝满足：对任意的不相等的两个正整数i,

j,都存在正整数k,使得见+叼=%成立，则d的取值范围是.

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

15.（13分）

已知数列｛an｝的前n项和Sn满足Sn=20n-n.

（1）求数列｛%J的通项公式；

（2）设既=（2n+1）（即+1），求数列｛%｝的前n项和取.

16.（15分）

聊天机器人（chatterbot）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.当一个问

题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机

器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%,若出现

语法错误，则应答被采纳的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为

10%.

（1）求一个问题的应答被采纳的概率；

（2）在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记

这些应答被采纳的个数为X,求当P（X=k）最大时k的值（keN*）.

17.(15分)

已知函数/(%)=ex—aln(x+1).

(1)当a=l时，求f(x)的最小值；

(2)若a",判断〃K)的零点个数.

参考数据：In2a0,693,e-2.718.

18.(17分)

如右图，已知RtzXABC的直角边4B=6,BC=

4,点F],F2是BC从左到右的四等分点(非中点).已知

椭圆厂所在的平面，平面ABC,且其左右顶点为B,C,

左右焦点为0,F2，点P在厂上.

(1)求三棱锥A—0F2P体积的最大值；

(2)证明：二面角F1-4P—F2不小于60°.

19.(17分)

“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：''在一

个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小意大利数学家托

里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120。时，使得乙4OB=NBOC=

ZC04=120。的点。即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120。时，最大内角

的顶点为费马点.

已知△ABC的内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,且

cos2B+cos2C—cos2A=1

(i)求a；

(2)若bc=2,设点P为△ABC的费马点，求方•丽+丽•正+正•西；

(3)设点尸为△4BC的费马点，\PB\+\PC\=t\PA\,求实数t的最小值.

2024年新高考改革适应性练习(7)(九省联考题型)

数学试题卷

(2024.2.14)

考生须知

1.本卷共4页，四大题19小题，满分150分，答题时间120分钟；

2.答题时须在答题卡上填涂所选答案(选择题)，或用黑色字迹的签字笔规范书写答案与步骤(非选择题),

答在本试题卷上或草稿纸上的答案均属无效；

3.考试结束时，考生须一并上交本试题卷，答题卡与草稿纸.

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.)

1.已知久与y之间的一组数据:

X0123

y1357

则y与x的线性回归方程夕=bx+d必过定点

A.(0.5,3)B.(1.5,0)C.(1,2)D.(2,4)

2.已知复数z=i4-i,则z对应的点Z在复平面的

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知在空间直角坐标系中，直线/经过4(333),B(0,6,0)两点，则点P(0,0,6)到直线Z的距离是

A.6V2B.2V3C.2V6D.3V2

4.柯西不等式最初是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来

有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用

到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数内,。2，。3和//2，为，有

(«i+避+试)(班+―+园)>(%比+a2b2+a3b3Y

等号成立当且仅当

0203

瓦b2外

已知+y2+Z?=14,请你用柯西不等式，求出％+2y+3z的最大值是

A.14B.12C.10D.8

5.在圆/+y2=5工内，过点住,I）有几条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项的,最大

弦长为an，若公差de那么n的取值集合为

A.{4,5,6,7}B.[3,4,5,6}C.[4,5,6}D.{3,4,5}

6.已知在△ABC中，BC=3,角4的平分线交BC于点。，若CD=2BD,则△2BC面积的最大值

是

A.1B.2C.3D.4

7.已知直线I与抛物线C:y2=4久交于4,B两点，若市=—4,则|4B|的最小值是

A.4B.4V2C.8D.16

8.若函数/（无）=a^+b久在（0,+8）上单调递增，则a和b的可能取值是

A.a=In1.1,b=10B.a=In11,b=0.1

C.a=e02,b—0.8D.a=e~02,b—1.8

二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个

正确选项，每选对一个得2分.）

9.若△ABC的三个内角为则下列说法正确的有

A.sin2,sinB,sinC一定能构成三角形的三条边

B.sin22,sin2B,sin2c一定能构成三角形的三条边

C.sin2A,sin2B,sin2C一定能构成三角形的三条边

D.，sin4,，sinB,A/sinC一定能构成三角形的三条边

10.已知离散型随机变量X服从二项分布B（n,p），其中nCN*,pC（0,1）,记X为奇数的概率为a,

X为偶数的概率为b,则下列说法正确的有

-1

A.a+b=1B.p=5时，a=b

C.pe（0,；）时，a与九正相关D.时，a与几负相关

11.已知函数/（%）的定义域为R，函数/（/+%）是定义在R上的奇函数，函数g（%）=/（/一[）,

则下列式子正确的有

A.g(£)=oB.f(2)=0

C.f(4)=oD.g(x+1)=—g(x)

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分.)

12.已知a为第四象限角，sina+cosa=|,则tana=.

13.设a,b为实数，且abA0,虚数z为方程a/+bx+a=0的一个根，则|z|的值为.

14.已知首项为2、公差为d的等差数列满足：对任意的不相等的两个正整数i,1,都存在正整

数k,使得%+%=ak成立，则d的取值范围是.

四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)

15.(13分)

已知数列｛an)的前n项和Sn满足Sn=2an-n.

(1)求数列的通项公式；

(2)设“=(2n+1)(%+1)，求数列｛%｝的前n项和勒.

16.(15分)

聊天机器人(chatterbot)是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.当一个问题输入给聊天机

器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的

问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%,若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%.假

设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.

(1)求一个问题的应答被采纳的概率；

(2)在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳

的个数为X,求当P(X=k)最大时k的值(kCN*).

17.(15分)

已知函数/(久)=ex—aln(x+1).

(1)当a=l时，求的最小值;

(2)若a24,判断/(%)的零点个数.

参考数据：ln2《0.693,e«2.718.

18.（17分）

如右图，已知RtAABC的直角边ZB=6,BC=4,点后,尸2是

BC从左到右的四等分点（非中点）.已知椭圆厂所在的平面_1_平面

ABC,且其左右顶点为B,C,左右焦点为0,尸2,点P在「上.

（1）求三棱锥A-aF2P体积的最大值；

（2）证明：二面角Fi—AP—Fz不小于60°.

19.⑴分）

“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求

作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当aaBC

的三个内角均小于120。时，使得乙4。8=/36^=2。。4=120。的点0即为费马点；当△2BC有一

个内角大于或等于120。时，最大内角的顶点为费马点.

已知△4BC的内角所对的边分别为a,b,c,且

cos2B+cos2C—cos2A=1

（1）求Z；

（2）若bc=2,设点P为△ABC的费马点，求丽•丽+丽•丽+正•百；

（3）设点P为△ABC的费马点，\PB\+\PC\=t\PA\,求实数t的最小值.

2024年新高考改革适应性练习（7）（九省联考题型）

数学参考答案

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.）

题号12345678

答案BDCAACBD

二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，有选错的得。分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个

正确选项，每选对一个得2分.具体得分如【附】评分表.）

题号91011

答案ADABCABD

【附】评分表

9-11题（每题满分6分）得分情况

2个选对1个（选A或D）3分

（如AD）选对2个（选AD）6分

正确选项个数选对1个（选A或B或C）2分

3个

选对2个（选AB或BC或AC）4分

（如ABC）

选对3个（选ABC）6分

（注：有选错的得0分）

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）

题号121314

3

答案1de脩血eN*}u{—2}

~4

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

15.（13分）

（1）由题意Sn=2an—n，

当71=1时，%=Si=2al-1,解得%=1,

当?122时，Sn—2an—n,①

SJJ-I-2an_1—n+1,②

①-②得—2lZn-l+1即Cl"+1=2（dn一i+1）,

Vai+1=2*0,+=2,

an-i+l

••.{an+1}是以首项为2,公比为2的等比数列，

71nn

则厮+1=2•2T=2,：.an=2-1.

n

(2)由上可知：bn=(2n+1)-2,

所以〃=3・2+5•22+7•23+…+(2九一1)•2n-1+(2n+1)-2n,

27^=3-22+5•23+7-24+-+(2n-1)-2n+(2n+1)-2n+1,

34nn+1

：.-Tn=6+2(22+2+2+…+2)-(2n+1)-2,

=2+(2九一l)2+i.

16.(15分)

(1)记“输入的问题没有语法错误”为事件A,“一次应答被采纳”为事件B,

由题意P(4)=0.1,P(B|4)=0,8,P(B|Z)=0.3,则PQ4)=1—P(A)=0.9,

P(B)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(BIA)+P(A)P(BlA)=0.9X0.8+0.1X0.3=0.75

(2)依题意，X〜B(8,g,

P(X=k)=

P(X=k)2P(X=k+1)

当最大时，有

P(X=k)P(X=k)2P(X=k—1)'1

(力城"啕飞厂

3k9-k

,4.W

解得子WkW+kEN,

故当P(X=k)最大时，k=6.

17.(15分)

(1)当a=l时，f(x)—ex—aln(x+1)(%>—1),则/'(%)=ex-W，

1

r(%)=^+———>0

(%+I)21

所以广o)单调递增，注意到/(0)=0,

所以当％e(-1,0)时,f'M<fW=0,/(x)单调递减；当％e(0,+8)时，f(x)>f(o)=0,/(x)

单调递增.

所以X=0是/(X)的极小值点,/(0)min=/(0)=1.

(2)由题意，/(%)=ex—aln(x+1)(%>—1),//(%)=ex-,

f〃(吗=〃+广/，又。24,所以/〃(%)>0,((%)单调递增，

因为尸(。)=1—a<。，f'(lna)。，

由零点存在性定理，存在唯一的&C(0,lna),使尸(出)=0,

所以当久e(-I,X。)时，fz(x)<0,/(%)单调递减;当之€(&,+8)时,f(x)>0,/(%)单调递增.

又/■(())=1,/(I)=e-aln2<e-41n2«2.718-4x0.693=-0.054<0,

所以f(x)在(0,1)上有1个零点.

令/i(a)=/(a—1)=ea-1—aIna(a>4),则/i'(a)=ea-1—Ina—1,

令p(a)=ea-1—Ina-l(a>4),则p，(a)=ea-1—^>e3—^>0.

所以p(a)单调递增，p(a)>p(4)=e3-ln4-l>0,

所以h(a)单调递增，h(a)>h(4)=e3—41n4>23—4x2=0,

即/'(a—l)〉0,故f(久)在(l,a—1)内有1个零点.

综上，当a24时，〃久)的零点个数为2.

18.（17分）

取BC中点0,在AC上取一点Q使得OQ,

以。为坐标原点，泥为久正方向，BC的中垂线1的方向向量比为y轴正方向，而为z轴正方向,

建立空间直角坐标系Oxyz.

22

（1）设点P（xo，yo）.椭圆厂的方程为a+1=l（a>b>0）.

由题意，易知OB=OC=|fiC=2,。&=OF2==BC=1,

22

22

则a=。。=2,c=OF1=yja-b=1,解得b=遮，所以厂:（+?=1.

11

=hS

VA-F^P2,SgF2P=^F1F2P=27F/2I•|yol=|y（）|〈b=百

故三棱锥A-F#2P体积的最大值是V3.

（2）易知4（-2,0,3）,Fi（0,—l,0），F2（0,1,0）,设P（V^cos，，2sin，，0）（cos。A0）,

贝ij瓯=（0,1,-3）,F\P=（V3cos0,2sin6+1,0）,

设平面APB的一个法向量%=（久,y,z）,则

(%•AFr=y-3z=0

(叫•F\P=V3xcos6+(2sin8+l)y=0

令y=3cos0,则％=-V3(2sin0+1),z=cos6,

所以平面APR的一个法向量%=(-73(2sin0+1),3cos6fcos0),

同理可求得平面ZPF2的一个法向量%二(—(2sin0—1),V3cos0,cos0),

令七=sin9+l,贝lj(化简后得)

n-n3A/3

cos<nn>=i——±；~~：——2：=,

n2432

l«il•\n2\V-4t-16t+12t+73t+27

(i)当te(o周时，则巴子巨>o,

所以一4t4-16t3+12t2+73t+27<-4t4-yt3+12t2+72t+等,

令f(t)=-4t4-yt3+12t2+721+等，广(t)=-8(t-1)(2/+6t+9),

因为所以2t2+6t+9>0,令((t)=0得t=l,

当te(0,1)时，/⑴>0,f(t)单调递增；当te(L：)时，/⑴<o,f(t)单调递减.

(n)当tC信2)时，令g(t)=-4t4-16t3+12t2+73t+27,

g'(t)=—1613—48t2+24t+72,g"(t)=24(—2t2—4t+1)<0,所以g'(t)单调递减，所以g'(t)<

g'(£)<o，即g⑴单调递减，g(t)<g(£)=鬻<io8,

综上，—4d-16t3+12t2+73t+27<108对te(0,2)成立，

即cos<nr,n2>>~==|,即<nr,n2»g,

故二面角Fi—4P—F2不小于60°得证.

19.(17分)

(1)由已知在△ABC中

cos2B+cos2C—cos2A=1

即

1—2sin2B+1—2sin2C—1+2sin2A=1

故sin2A=sin2B+sin2C,由正弦定理角化边得a2b2+c2,

故△ABC直角三角形，即4=(

(2)作答图如右图所示，由(1)得4=]，所以

11

S^ABC=,MB|■\AC\=-be=1

由点P为△4BC的费马点得乙APB=乙BPC=ACPA=y,

由正弦定理，

1V3

S&APB=5-\pA