天津市部分学校2024届高三年级下册第一次质量调查数学试卷（解析版）

天津市部分学校2024届高三下学期第一次质量调查

数学试卷

第I卷（选择题）

4

参考公式：•球的体积公式％=§兀火3,其中R表示球的半径.

•如果事件A,B互斥,那么尸（"B）=P（A）+P（B）.

•如果事件A,2相互独立，那么P（AB）=P（A）P（3）.

・任意两个事件A与'若P（A）>°,则P（9=P（A）P（5|A）.

一、选择题

1.设集合M=N={X*N|TC},则MuN等于（）

A.{0,1}B.{0,1,2)

C.{x|-l<x<2}D.{-1,0,1,2)

K答案XD

K解析讨A^={XGN|-1<X<2}={0,1,2},

MDN={-l,0,l,2}.故选：D.

2.若a,beR,贝『a<。”是"/—a2b<0,,的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

K答案UB

K解析]当a<Z?时，取a=0,则〃一。2b=。，即充分性不成立;

当标―时,有/（』叫<o,则“0,故宗〉。,

所以a—6<0,即。<人，即必要性成立；

综上，"a<6'是0"的必要不充分条件故选：B.

5

3.已知实数a,b,c满足a=[gj=；,则（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a

(答案』A

JJ1

(解析》因为得到6=又0=&)，函数y=(g厂是减函数,

所以a=g1<b=g)：<l，又=1,得到C=log[g=log23〉l,

所以avbvc,故选：A.

2+尤

4.函数〃x)=x21og4——的大致图象是()

2-x

K答案1D

2+x

K解析》方法一：因为三〉0,即(x+2>(x—2)<0,所以—2〈X<2,

2-丫

所以函数/(x)=x21og4—^的定义域为(—2,2),关于原点对称，

2-x

9_

2r

X/(-%)=(-x)log4—=-f(X),所以函数/(%)是奇函数，其图象关于原点对称,

故排除B,C；

当xe(O,2)时，-->1,即log,干>0,因此/(x)>0,故排除A.

2—x2—x

故选:D.

方法二：由方法一，知函数/(%)是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B,C；

又/(l)=；log23>0,所以排除A.故选：D.

5.已知等比数列｛4｝的前〃项和为5“，且4+i=5.+1,则数列｛a；｝的前几项和为(

4n-l□2"-l

AA.-----B.-----

33

C.4,!-lD.2"-1

K答案』A

k解析U因为a”+i=+1,所以当“22时，4=S“_i+l,两式相减，得a“+i=2%,

因为数列｛«„｝是等比数列,所以。2=2%.

由出=51+1=4+1,解得q=1,所以数列｛4｝是首项为1,公比为2的等比数列，

所以a〃=2"T,即a；=（2〃T）2=4"T,所以数列｛a；｝是首项为1,公比为4的等比数列，

所以数列｛片｝的前几项和为2^=三口.故选：A.

6.下列说法不正确的是（）

A.甲、乙、丙三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，若抽取的甲种个体数为9,则样本

容量为18

B.设一组样本数据弓，巧，…，x”的方差为2,则数据4%，4X2,4%"的方差为32

C.在一个2x2列联表中，计算得到力2的值，则力2的值越接近1,可以判断两个变量相关

的把握性越大

D.已知随机变量J~N（2,/）,且尸《＜4）=0.8,则尸（0＜自＜4）=。6

K答案Xc

93

K解析工对于A：设样本容量为〃，则一二:，故〃=18,故A正确.

n6

对于B：设样本数据.，4,…，x”的均值为口

nn

则数据你，4”…，也的均值为爱=4殳=4"

nn

故数据4西,4%,4%的方差为:

I=16x-^^x.-xj=16x2=32,故B正确.

ni=l'

对于C：/2越大，可以判断两个变量相关的把握性越大，越小则把握性越小，故C错误.

对于D：由正态分布的对称性可得:

P(0<^<4)=2P(2<^<4)=2(P(J<4)-0.5)=0.6,

故D正确.

故选：C.

7.已知函数/（%）=cos（a＞x+。）（0＜。＜10,0＜。＜兀）图象的一个对称中心是A

在f（x）的图象上，下列说法错误的是（)

A./（x）=cos[2x+：J

571

B.直线x=是“月图象的一条对称轴

7兀1171

C."X）在—上单调递减

OO

D.是奇函数

[[答案』B

k解析》因为点3在/（x）的图象上,所以/（0）=cose=.又。＜9＜兀，所以

兀

因为/（X）图象的一个对称中心是A低,0,所以竺+工=4+也，左eZ,

18）842

则。=2+8左，左eZ.又0<。<10,所以。=2,则/(x)=cos[2x+：],A正确.

COS；3=0,则直线x5不是/（x）图象的一条对称轴，B不正确.

28

7兀11兀JT

当xe时,2x+—£[2兀,3兀],/（九）单调递减，C正确.

4

=cos2x+-=-sin2x,是奇函数，D正确.故选：B.

l2

8.如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程、高铁里程双双都是世界

第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图

是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD的内切球，中等球与最大球和

正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体A5CD棱

长为26，则模型中九个球的表面积和为（）

A.6兀B.9兀C.---D.2171

4

K答案』B

K解析X如图，取5C的中点£,连接DE,AE,

则CE=8E=A/5，AE=DE=<24—6=3近，

过点A作⑷7，底面BCD,垂足在OE上，且DF=2EF,

所以DF=2&,EF=e,故AF=‘AD?_加=,24-8=4,

点。为最大球的球心，连接。。并延长，交AE于点则DWLAE,

设最大球的半径为R,则OF=,

AOOM4-7?R

因为Rtz\AOA/sRtAEF,所以7万二..，即57^=75，解得尺=1，

即加=。尸=1,则40=4—1=3,故5由/胡F=^^=!

A03

设最小球的球心为J,中间球的球心为K,则两球均与直线AE相切，设切点分别为8,G,

连接则田,KG分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为。力，

则A/=3H7=3a,AK=3GK=3Z?,则欢=曲一A/=3A—3a,

又JK=a+b,所以3/?—3。=。+»,解得力=2a,

又OK=R+b=AO—=3—3Z?,故46=3—H=2,

解得。=工，所以。=」，

24

2

模型中九个球的表面积和为4成N+4；诂2x4+4ita乂4=4兀+4兀+兀=9兀.

故选：B

22

9.如图，已知双曲线C:二—二=1（。/〉0）的左、右焦点分别为耳，心，过耳的直线与C

ab

分别在第一、二象限交于A,3两点，△ABE内切圆半径为人若忸耳|=r=。，则。的离

A屈R26

A.--------D.---------

23

K答案工D

k解析』设|阴=%,内切圆圆心为/,内切圆在即,4月,43上的切点分别为U,V,W,

则\BU\=忸W|,|AV|=|AW],内矶=\F^\,

由忸制=a及双曲线的定义可知，

}

\BF^=3a\AF^=x-a,\F^j\=\F^\=i(\BF^+\AF^-\A^)=a=r,

故四边形〃/片丫是正方形，

得4乙，3乙，于是|%「+|Ag「斗移匕

故x?=9/+(x—a)2,所以x=5a,

3

于是cosN438=COS(71—NA3g)=—在.68工中，

由余弦定理可得闺闾2=|班;「+忸月「_2忸周.忸闾.cosN43g=个〃,

从而4c2=史],所以e=£=《I5.

5a5

故选：D.

第II卷(选择题)

二、填空题

10.设i为虚数单位，若复数z满足屹=1+公.则|z—1|=.

K答案XV2

l+2i(l+2i)(-i)〜,

K解析工由iz=l+2i,得z=—=.,、=2T,

1i-(-i)

所以|z—1|=|1—i|=，7+(—1)2=收

故k答案』：41.

11.已知（2+3x）5=/+。］%+。2%2+%尤3+。4犬,贝-2a2+3%—4%+5%=

.(用数字作答)

K答案X15

52345

K解析H因为(2+3%)=%+qx+a2x+a3x+a4x+a5x,

两边求导可得15(2+3x)4=%+2。2%+3〃3%2+4%%3+5〃5-,

4

令X——1,得至U15(2—3)=%—2%+3%—4%+5%，

即%—2%+3%—4a4+5%=15,

故K答案』为：15.

12.设圆C：（尤—l『+（y+l）2=/（r＞0）上有且仅有两个点到直线x—y+2=0的距离

等于72，则圆半径「的取值范围是.

k答案H（630）

k解析》圆（》—1）2+（丁+1）2=产的圆心坐标为（1,-1）,半径为,，

圆心（1,-1）到直线x—y+2=0的距离d="晨+斗=20,

因为圆上恰有相异两点到直线x-y+2=0的距离等于V2，

所以|4一八（收，即|2a—r|＜亚，

所以0＜厂＜3行.

故（答案》为：（后,3夜）

13.设某学校有甲、乙两个校区和A3两个食堂，并且住在甲、乙两个校区的学生比例分别

为0.7和0.3；在某次调查中发现住在甲校区的学生在A食堂吃饭的概率为0.7,而住在乙

校区的学生在A食堂吃饭的概率为0.5,则任意调查一位同学是在A食堂吃饭的概率为

.如果该同学在A食堂吃饭，则他是住在甲校区的概率为.（结果用分数

表示）

1649

K答案X

2564

k解析》记E为事件“该同学住在甲校区”，产为事件“该同学在A食堂吃饭”,

则P(E)=0.7,P(E)=0.3,

P(F|E)=0.7,P(F|E)=0.5，

——16

^P(F)=P(F|E)P(E)+P(F|E)P(E)=07x05+0.5x0,3=0,64=-,

如果该同学在A食堂吃饭，

p(EF\07X0749

则他是住在甲校区的概率为P(E\F)=Tm='•=—,

P7(F)0.6464

1649

故(答案U为：—；—•

2564

14.在矩形A5CD中，43=2,8。=3,23£=£。,。是平面人6。£)内的一点，且

QD=BE，则|AQ卜；尸是平面ABCD内的动点，且AP.AB=AP~，若0<f<1,

则|BE+tDE\+\PE+(t-l)DE\的最小值为.

k解析X依题意，构建以5为原点，5cB4为轴的直角坐标系，

所以3（0,0）,A（0,2）,£>（3,2）,E（l,0）,F（0,l）,则AT>=（3,0）,跖=（1,0）

又QD=BE,故AQ=AD-QD=AT>—跖=（2,0）,

所以|A@=2；

由APAB=Ap2知AP・（AB—AP）==

所以p在以AB为直径的圆上，尸为圆心，不妨设尸（x,y）,贝U+（y—=i,

因为=（1,0）,DE=（-2,-2）,PE=（1-x,-y）,

所以3E+/DE=(1—2f,—2f),PE+«—1)DE=(3—x—2f,2—y—2f),

故忖石+tDE\+\PE+（Z-1）。耳可转化为点H（3-2r,2-2。到G（2,2）与P（x,y）的距

离之和，

又0</<1,则7/（3-2/,2-2/）在直线1一丁一1=0（1<%<3）上，即对应线段OE,

所以要求\BE+tDE\+\PE+（t-l）DE\,只需求归叫+|GH|的最小值即可，

而G（2,2）关于DE对称点为G'（3,1）,

故(忸知+|8|)同=pG[—1=2,此时8(2,1),即/=；,

所以忸石+tDE\+\PE+(t-l)DE\的最小值为2.

15.记不超过x的最大整数为印.若函数/（x）=|2x-[2%+川既有最大值也有最小值，则

实数方的取值范围是.

[答案X-<r<l

2

K解析UW2x+/=n?+〃,（nzeZ,“e[0』）），

则/（五）=12x-[2x+/]|=|（m+=卜一,

所以函数/（尤）=|2%—[2尤+川既有最大值也有最小值，即g（"）=|〃—4在区间[0,1）上既

有最大值也有最小值，

当/W0时，g（〃）="—♦在区间[0,1）上单调递增，只有最小值，无最大值，不合题意，

当0<。<；时，g（"）=|”—彳在区间[0,。上单调递减，在区间（口）上单调递增，

又g（o）=，,g⑴=1—，，则g（o）<g⑴，此时g（〃）=|〃-4只有最小值，没有最大值，不

合题意,

当;w/<i时，g(m=|“—彳在区间［o,。上单调递减，在区间亿1)上单调递增，

又g(0)=/,g⑴=1T，则g(0)Ng⑴，此时g(〃)=|〃-4有最大值为g(0),最小值为

g(/)=o,当时，g(")=t—”在区间［0,1)上单调递减，只有最大值，无最小值，不

合题意，综上所述，实数方的取值范围是

2

故(答案』为：-<r<l.

2

三、解答题

16在_ABC中，内角AB,C所对的边分别为。，瓦c.已知人+c=2a,5csinB=6asinC.

(1)求cos5的值；

(2)求sin+q］值；

(3)求tanC.

6

解：(1)由5csinjB=6asinC,得至!J5c〃=6ac,即5Z?=6〃，得到人=.〃，

4

又Z?+C=2Q,所以。=不〃,

22

216a36a

^22_,2QH------------------------1

由余弦定理得cos3=----------2525

lac4

2aX—a8

5

(2)由(1)知cosB=』，所以sinB=Jl一二型

8V648

得至Usin2B=2sinBcosB=2x-x,cos2B=2cos2B-l=

88323232

IT\TtTt3-31

所以sin2B+—\=sin25cos—+cos2Bsin—=国

k6)6664

(3)由。=—a,c=—a,得到c=—b,所以sinC=2sinB=，

55334

71

又c<b,由cos3=

3知於。,23

所以Ce|o,5),

得到cosC=Vl-sin2C=J1--=-

V164

所以…鲁T

17.如图，多面体A8CQEE是由一个正四棱锥A-5CDE与一个三棱锥户一AD石拼接而成,

正四棱锥A-BCr比的所有棱长均为3"AFIICD-

(1)在棱。E上找一点G,使得面ABC,面APG,并给出证明;

(2)当AF=—CD时，求点F到面ADE的距离;

2

若4尸二」。。，求直线。尸与面A3C所成角的正弦值.

(3)

3

解：（1）当点G为OE中点时，面面AbC,

证明如下：因为四棱锥A—6CDE是正四棱锥，所以AD=AE,AG，OE.

在正方形笈CDE中，DE//BC,所以AGJ_3C,

在正方形笈。。石中，CD工BC,因为AF//CD,所以

因为4/r^45=人,48人6匚面4尸6,

所以5C上面AFG,

因为BCu面ABC,所以面ABC上面AFG.

（2）连接3£）,CE交于点。，连接AO,0G,则AF//OG,

又因为四棱锥A—6CDE是正四棱锥，所以40上面5cDE,

所以四边形AOGb为矩形，

:.AF±FG,又AFLDE,DEcFG=G,DE,FGu面DEF，

.•."1，面上下，

又bG=A0=3,...匕-FOE=]A『SFOE应x3=5，

_9

设点F到面ADE的距离为h,VF_ADE=VA_FDE=-,

即Lx3义。6)2.][=?,.h=6，

342

所以，点尸到面ADE的距离为g.

(3)因为四棱锥A—6CDE是正四棱锥，所以OC,OD,Q4两两垂直,

以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则4(0,0,3),5(0,-3,0),C(3,0,0),D(0,3,0),F(-l,l,3),

所以Ai=(0,3,3),CA=(-3,0,3),DF=(-1,-2,3),

n-BA=3y+3z=0

设平面ABC的法向量为〃=(x,y,z),则有＜

n-CA=-3x+3z=0

取z=l,则y=-l,x=l,故"=(1,T,1),

设直线DF与平面ABC所成角为e,

DFn4_2742

贝ijsin0=

\DF\\n714x73~21

所以直线。厂与平面ABC所成角的正弦值为毡2.

21

221

18.已知椭圆。：=+3=1(0〉。〉0)的离心率为一,48,。分别为椭圆。的左，右顶点

ab2

和坐标原点，点P为椭圆C上异于A,3的一动点，上4B面积的最大值为2月.

（1）求C的方程；

（2）过椭圆C的右焦点尸的直线,与。交于DE两点，记；。。£的面积为S,过线段

的中点G作直线x=4的垂线，垂足为N,设直线DN,EN的斜率分别为匕,左2.

①求S的取值范围；

S

②求证：卜।定值.

a1=b~+C1

（1）解：由题意知＜一=7解得a=2,b=A/3，

a2

—x2ab=28

12

22

所以C的方程为三+乙=1；

43

（2）①解：易知b（1,0）,

设直线OE方程为％=枢\+1,。（玉,M）,E（X2，%），G（XO，%）,如下图所示:

+4）V+6wy—9=0,

所以△=36m2+36（3根之+4）=144（加？+i）>Q,

6m9

且X+%=一——7，X%------\，

3m2+4123m2+4

22

2-112dm+16个m+1

可得S=S“E।~4yy--------=——不---

}12223m52+43m2+4

c6t6

令府71=31'可得3r+13t+l>

t

由对勾函数性质可得y=3f+,在/»1时单调递增；

t

”6<6，3/3

所以可得一入1一21~2；即S的取值范围为0,彳

t1

2

②证明：易知为=近土造—3m—3m4

3m2+4'°3m2+43m2+4

4-3m—3m

可得G,N4,

3m2+43m2+43m2+4

3m3m3m3m

ViH-----5y---5ViH---—y-i---石-----

13疗+423m2+413加2+4及23加2+4

所以%_左21二

玉一4%2-4myx-3my2-3

[X-3)-(岫-3)13m

H--------9-------

3m2+4

(m%-3)(m%-3)

’3疗'3m2

、3m2+4、3m2+4

m2yy-3m(y+y)+9—9m218m2„

12127——+9——+9

3m2+43m+4

I%一%|2s

33

S3

因此5为定直

19.己知｛4,｝是等差数列，｛%｝是公比不为1的等比数列，出=6，%+%=22,

3%=4伪，且2b2是3bl与b3的等差中项.

⑴求：数列｛叫和也｝的通项公式.

(-1)"牛，〃为奇数

2n

求Z”

—8"+36〃—36、1/中兴分

---------------，〃为偶数Z=1

bn

(3)若对于数列｛a,｝、｛4｝,在为和%+i之间插入々个2keN*),组成一个新的数列

｛%｝,记数列｛g｝的前"项和为7“，求心024.

解：(1)设等差数列｛4｝的公差为d，等比数列｛4｝的公比为q,q，l

由的=6,2+%=22,则%+2d+/+3d=22,故d=2,

所以为=%+(〃-2)1=6+2(〃-2)=2〃+2,贝ijq=4,由3〃i=44，则印=3,

又由22是3々与打的等差中项，所以2x24=34+4,

即124=9+342,解得q=3或q=l(舍去)，故4=加1=3-3"T=3",

(-1)"号，〃为奇数[(-3)"(〃+1)〃为奇数

⑵由"“=<_8“2+36〃_36，则4='-8〃2+36〃一36%便物

*+36〃为偶数-------------/为偶数

1

bn3

2n

24=4+4++&“_1+%"=(4+4++220-1)+(22+4++22,：)=月+Q，

Z=1

则匕=2.(-3)+4(-3)3++(2祖-3产,

叱=2,3—4(-3)5++(2〃)(—3)2向,

两式相减得，—8月=2.(―3)+2(—3丫++2(-3广1_(2〃)(一3广1,

-31-(-3户

—8匕=2.」-(2必-3)”巴

1-9

则kT占

36x2-36+36x4-36++36x2.-36

==-SMn+36Nn

(2n)22242+(2〃)①,

其中叫=1+*+32n-_9"+97+9"

2〃一1132n—l

H-----------=—d---------1-+

32"9929"

2242+包②

=3+/+9〃+i

①-②相减可得,

+3一色匚4p+W+2n-l(2n)2

〃

9n9929n9HlI992+99〃+i

(13

则8M.=36§+至+

(3-24九)9"-34n2

所以0=备，则a，

歹

“i=i32

(3)根据题意可得，%,2,2,2,%,2,2,2,2,2,2,2,2,2,4,…,4箱

则归+1+3+3?++3^^2024,

故左+]_|—(----<2024,贝1^—----------W2024，

1-3-22

371

故当左=6时，6+-------=109942024成立,

22

381

当左=7时，7+^——〉2024成立，

22

所以｛%｝共有7项，共有2017个2,

则%024=2x2017+7("；7+2