2025版高考数学一轮总复习考点突破第8章平面解析几何第6讲双曲线第1课时考点3双曲线的几何性质

双曲线的几何性质角度1双曲线的焦点、焦距、实轴、虚轴、顶点、范围1.(2024·浙江浙南名校联盟联考)双曲线C：y2－eq\f(x2,3)＝1的焦点坐标为(D)A．(±2,0) B．(±eq\r(2)，0)C．(0，±eq\r(2)) D．(0，±2)[解析]由题意可知双曲线的焦点在y轴上，c2＝1＋3＝4，故焦点为(0，±2)，故选D.2．(2023·福建福州一中模拟)已知双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,4)＝1，过E的右顶点A且与一条渐近线平行的直线交y轴于点B，△OAB的面积为2，则E的焦距为(D)A.eq\r(2) B．2eq\r(2)C．4 D．4eq\r(2)[解析]由题意可得，A(a,0)，且直线AB与双曲线的一条渐近线平行，所以kAB＝eq\f(2,a)，则可得直线AB的方程为y＝eq\f(2,a)(x－a)，令x＝0，可得y＝－2，即B(－2,0)，所以|OA|＝a，|OB|＝2，则S△OAB＝eq\f(1,2)|OA|·|OB|＝eq\f(1,2)×a×2＝2，解得a＝2，所以c2＝a2＋b2＝4＋4＝8，即c＝2eq\r(2)，则E的焦距2c＝4eq\r(2).故选D.【变式训练】(2024·河南名校联考)已知双曲线C：x2－eq\f(y2,m)＝1的离心率为3，则C的虚轴长为4eq\r(2).[解析]由题意得eq\f(c,a)＝3，则c＝3，b＝eq\r(c2－a2)＝2eq\r(2)，故虚轴长2b＝4eq\r(2).角度2双曲线的渐近线1.(2022·北京)已知双曲线y2＋eq\f(x2,m)＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x，则m＝－3.[解析]对于双曲线y2＋eq\f(x2,m)＝1，所以m<0，即双曲线的标准方程为y2－eq\f(x2,－m)＝1，则a＝1，b＝eq\r(－m)，又双曲线y2＋eq\f(x2,m)＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x，所以eq\f(a,b)＝eq\f(\r(3),3)，即eq\f(1,\r(－m))＝eq\f(\r(3),3)，解得m＝－3.2．(2024·重庆巴蜀中学月考)已知双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在E上，且cos∠F1AF2＝eq\f(3,5)，|AF1|＝2|AF2|，则E的渐近线方程为(C)A．y＝±eq\f(5,8)x B．y＝±eq\f(8,5)xC．y＝±eq\f(2\r(10),5)x D．y＝±eq\f(\r(10),4)x[解析]由双曲线的定义可得：|AF1|－|AF2|＝2|AF2|－|AF2|＝|AF2|＝2a，则|AF1|＝2|AF2|＝4a，在△AF1F2中由余弦定理得|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|·cos∠F1AF2，即4c2＝16a2＋4a2－2·4a·2a·eq\f(3,5)，即c2＝eq\f(13,5)a2⇒a2＋b2＝eq\f(13,5)a2⇒eq\f(b,a)＝eq\f(2\r(10),5)，E的渐近线方程为y＝±eq\f(2\r(10),5)x，故选C.名师点拨：求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，即得两渐近线方程eq\f(x,a)±eq\f(y,b)＝0.或确定焦点位置并求出eq\f(b,a)或eq\f(a,b)的值，从而写出渐近线方程．注：如图F为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点，l为渐近线；FH⊥l于H，则|FH|＝b，|OH|＝a.提醒：两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数．两条渐近线关于坐标轴对称．【变式训练】(2024·福建泉州质检)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,6)＝1的焦距为4eq\r(3)，则C的渐近线方程是(A)A．y＝±x B．y＝±eq\r(3)xC．y＝±eq\f(\r(3),3)x D．y＝±eq\f(\r(7),7)x[解析]由已知，可得b2＝6,2c＝4eq\r(3)，所以c＝2eq\r(3)，a2＝c2－b2＝12－6＝6，即C的方程为eq\f(x2,6)－eq\f(y2,6)＝1.所以C的渐近线方程是y＝±x.故选A.角度3双曲线的离心率1.(2023·河北衡水中学模拟)若双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2eq\r(3)，则C的离心率为eq\f(2\r(3),3).[解析]不妨设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为bx＋ay＝0，因为圆心到渐近线的距离为d＝eq\r(22－\r(3)2)＝1，故eq\f(|2b＋0|,\r(a2＋b2))＝1，整理得eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,3)，所以双曲线C的离心率为e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\f(2\r(3),3).2．(2024·湖南名校联合体联考)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与双曲线在第二象限的交点为A，在△AF1F2中，|F1A|＝|F1F2|，∠AF2F1＝30°，则双曲线C的离心率是eq\f(\r(3)＋1,2).[解析]因为|F1A|＝|F1F2|，所以|AF1|＝|F1F2|＝2c，由双曲线的定义知|AF2|－|AF1|＝2a，所以|AF2|＝2a＋2c.如图，取M为AF2的中点，所以|F2M|＝eq\f(1,2)|AF2|＝a＋c，又∠AF2F1＝30°，得|F1M|＝c，所以在直角ΔF1MF2中，|F1M|2＋|F2M|2＝|F1F2|2，即c2＋(a＋c)2＝(2c)2，得a2－2c2＋2ac＝0，所以1－2e2＋2e＝0，解得e＝eq\f(±\r(3)＋1,2)，因为e>0，所以双曲线C的离心率是eq\f(\r(3)＋1,2).3．(2024·湖北部分重点中学联考)已知圆C1：x2＋y2＝b2(b>0)与双曲线C2：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，若在双曲线C2上存在一点P，使得过点P所作的圆C1的两条切线，切点为A、B，且∠APB＝eq\f(π,3)，则双曲线C2的离心率的取值范围是(B)A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(5),2))) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，＋∞))C．(1，eq\r(3)] D．[eq\r(3)，＋∞)[解析]连接OA、OB、OP，则OA⊥AP，OB⊥BP，由切线长定理可知，|PA|＝|PB|，又因为|OA|＝|OB|，|OP|＝|OP|，所以，△AOP≌△BOP，所以，∠APO＝∠BPO＝eq\f(1,2)∠APB＝eq\f(π,6)，则|OP|＝2|OA|＝2b，设点P(x，y)，则y2＝eq\f(b2x2,a2)－b2，且|x|≥a，所以|OP|＝2b＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(x2＋\f(b2x2,a2)－b2)＝eq\r(\f(c2x2,a2)－b2)≥eq\r(\f(c2,a2)·a2－b2)＝a，所以eq\f(b,a)≥eq\f(1,2)，故e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(c2,a2))＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)≥eq\r(1＋\f(1,4))＝eq\f(\r(5),2)，故选B.名师点拨：求双曲线离心率或其范围的方法1．直接法：由题设条件求出a，c，从而得e.2．等价转化法：由e＝eq\f(c,a)或e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))等公式将已知条件转化为e的等式，从而得e.3．列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．解题时要特别注意几何特点，以简化运算或寻求不等关系．【变式训练】1．(2023·广东梅州一模)由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)下支的部分，且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为60°，则该双曲线的离心率为(D)A.eq\f(\r(3),3) B．eq\r(3)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(2\r(3),3)[解析]由题意知一条渐近线的倾斜角为60°.∴k＝eq\f(a,b)＝tan60°＝eq\r(3)，∴e＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\f(2\r(3),3).故选D.2．(2024·广西北海模拟)已知直线y＝x＋1与双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线交于A，B两点，且A在第一象限．O为坐标原点，若|OA|＝2|OB|，则双曲线C的离心率为(B)A.eq\r(5) B．eq\r(10)C．2 D．5[解析]因为|OA|＝2|OB|，所以xA＝－2xB，设B(m，m＋1)，则A(－2m，－2m＋1)，因为kOA＋kOB＝0，所以eq\f(m＋1,m)＋eq\f(－2m＋1,－2m)＝0，解得m＝－eq\f(1,4)，所以Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))，所以eq\f(b,a)＝3，则e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(10).故选B.3．(2024·河南顶尖名校联盟期中)已知双曲线C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，A为C的上顶点，B(0,5a)．若在C的渐近线上存在一点P，使得∠APB＝90°，则C的离心率的取值范围为(D)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3\r(2),4))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3\r(2),4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3\r(5),5))) D．eq\b\lc\(\rc\](\