高考数学五年真题(2019-2023)分项汇编19 坐标系与参数方程不等式选讲系列 （老师用）

五年(2019-2023)年高考真题分项汇编

冷题19坐标东鸟乐级方程及不等式送神束利

高存•送瓶分衍

考点01坐标系与参数方程

考点02不等式选讲系列

高存真卷精折

考点01坐标系与参数方程

%=2+/COSOL

1.(2023年全国甲卷理科)已知点P(2,l),直线(t为参数)，。为/的倾斜角，/与x轴正

y=l+?sina

半轴，y轴正半轴分别交于4B两点，且|PA|-|P5|=4.

(1)求a；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求/的极坐标方程.

3兀

【答案】⑴下

4

(2)夕cos，+psin，-3=0

jr

【解析】：(1)因为/与九轴，y轴正半轴交于两点，所以一＜。＜兀，

2

21

令x=0,"=------，令y=0,=一~:—，

cosasina

24

所以|PA||Pg|=，2%|=---------=..=4,所以sin2a=±l,

sin。cosasin2a

TTTTI

即2。二一+左兀，解得。=—十—左兀，左£Z,

242

L.、r兀LL-371

因为一＜兀，所以a=—.

24

(2)由⑴可知，直线/的斜率为tana=—1,且过点(2,1),

所以直线/的普通方程为：y-l=-(x-2),即x+y—3=。，

由x=pcosy=夕sin6可得直线/的极坐标方程为夕cos，+夕sin，-3=0.

2.（2023年全国乙卷理科•第22题）在直角坐标系九0y中，以坐标原点。为极点，％轴正半轴为极轴建

八「兀八兀、f%=2cosa

立极坐标系，曲线G的极坐标方程为夕=2sin8;《夕〈彳，曲线G：—.（。为参数，

<42）[y=2sino

71、

—<a<7i）.

2

（1）写出G的直角坐标方程；

（2）若直线丁=%+相既与G没有公共点，也与G没有公共点，求加的取值范围.

[答案]（1）^2+（j-l）2=l,%e[0,l],jG[l,2]

⑵（-8,0）一（2逝,+°q）

【解析】：（1）因为夕=2sin。，即夕2=2psin8,可得/+）/=2/，

整理得/+（>-1『=1,表示以（0,1）为圆心，半径为1的圆，

又因为元=pcos0=2sin6cos。=sin20,y=psinff=2sin29=1一cos26,

且:则（兀，则九二sin26w[0,l],y=1—cos20£[l,2],

故G：%2+（y_i）2=]心

（2）

%=2cos。兀

因为C2M.（a为参数，一<々<兀），

y=2sma2

整理得必+y2=4,表示圆心为0（0,0）,半径为2,且位于第二象限的圆弧,

如图所示，若直线丁=尤+加过（U）,则1=1+加，解得m=0；

国=2

若直线V=x+7",即x—y+机=0与。2相切，贝卜也，解得根=2近，

m>0

若直线y=*+加与G，G均没有公共点，则根〉2Ji或加<o，

即实数m的取值范围（—00,0）「（20,+00）.

3.（2022年高考全国乙卷数学（理））在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为1*=近c°s21a为参

y=2sin?

数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线/的极坐标方程为

/?sin^0+y^+m=O.

（1）写出/的直角坐标方程；

（2）若/与C有公共点，求m的取值范围.

【答案】（1）瓜+y+2根=0

,、195

（2）---<m<—

122

【解析】：【小问1详解】

因为/：Psin[e+?]+/n=0,所以32.5111，+^^P<0$，+m=0，

又因为夕•sin6=y，夕-cose=x,所以化简为+"x+m=0，

22

整理得/的直角坐标方程：y/3x+y+2m=0

【小问2详解】

联立/与C的方程，即将x=J^cos2t，y=2sin/代入

石工+丁+2根=0中，可得3cos2f+2sin/+2m=0,

所以3（l-2sin"）+2sinf+2〃7=0,

化简为一6sin"+2sin/+3+2m=0>

要使/与C有公共点，则2m=6sii?，—2sin/—3有解，

令sinf=a,则令/（a）=6/-2a-3,（-IWaWl）,

对称轴为。=,，开口向上,

6

所以/（“）〃四=/（—1）=6+2-3=5,

所以----<2m<5

6

195

m的取值范围为---<m<—.

122

2+/

x=-----

4.（2022年高考全国甲卷数学（理））在直角坐标系X0Y中，曲线G的参数方程为6为参数），曲

y=4t

2+s

x-

线c2的参数方程为6（S为参数）.

y=-4s

⑴写出的普通方程；

⑵以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为2cos，-sin6=0,求C3与G

交点的直角坐标，及G与C2交点的直角坐标.

【答案】⑴：/=6x-2（yN0）；

（296的交点坐标为即，（1,2）,C3c的交点坐标为卜;（-1,-2）.

【分析】（1）消去即可得到的普通方程；

（2）将曲线C?,C3的方程化成普通方程，联立求解即解出.

【详解】（1）因为x=U，'=〃，所以x=即G的普通方程为y2=6x-2（yN。）.

66

2+v/—

（2）因为x=所以6x=-2-y2,即C2的普通方程为y=_6x—2（y4。），

o

由2cos6-sine=On277cose-x?sin6=0,即C3的普通方程为2%-y=0.

联立]，2=6》-2（*）,解得：或即交点坐标为1],（1,2）；

I2尤-y=0J：][y=2（2J'

1

y2=-6x-2（j<0）x=-l

联立,解得:「一―2或，即交点坐标为（-1,-2）.

2x-y=0y=—2

」=T

5.（2021年高考全国甲卷）在直角坐标系犬0y中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲

线C的极坐标方程为P=2y/2cose.

（I）将c的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设点A直角坐标为（1,0）,M为c上的动点，点P满足=写出P的轨迹q的参数

方程，并判断C与G是否有公共点.

【答案】⑴-+=2；（2）P的轨迹G的参数方程为「一；一+（。为参数），C

与G没有公共点.

【解析】：（1）由曲线C的极坐标方程p=2、/5cos。可得p1=2\/2pcos3,

将_¥=/785。》=25山。代入可得/+,2=2①一即（x—后了+/=2,

即曲线C的直角坐标方程为（x—+J=2；

⑵设P（x,y）,设“（行+后cosaJ^sind）

AP=J2AM，

（x-1,y）=A/2（0+A/2COS0-1,0sin8）=（2+2cos0-^2,2sin8）,

x—1=2+2cos0—x=3—A/2+2cos0

贝叫，即《，

y=2sin£[y=2sin。

故p的轨迹G的参数方程为—一"3+2c°se（g为参数）

y=2sin6

曲线C的圆心为（J5,o）,半径为&,曲线G的圆心为（3-忘，0），半径为2,

则圆心距为3-20，3-2后＜2-四，二两圆内含，

故曲线C与G没有公共点.

6（2021•全国•统考高考乙卷真题）在直角坐标系x0y中，；=C的圆心为C（2,l）,半径为L

（1）写出了C的一个参数方程；

（2）过点尸（4,1）作。C的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线

的极坐标方程.

fx=2+coscr

【答案】（1）{।.,（。为参数）；

[y=1+sma

(2)夕sin［e+葛)=2-告和即,+看)=2+%

【分析】(1)直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；

(2)先求得过(4,1)的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.

【详解】(1)由题意，C的普通方程为(x-2)2+(y-1>=1,

=2+cosa

所以c的参数方程为।,(a为参数)

［y=l+sma

(2)［方法一］:直角坐标系方法

①当直线的斜率不存在时，直线方程为1=4,此时圆心到直线的距离为2>小故舍去.

②当切线斜率存在时，设其方程为，=奴工-4)+1,即米-y-4k+1=0.

,|2左一1—4左+1|,,-------八,

故y/m?=1'即|27i=ji+/,442=1+/,角军得％=±飞_.

所以切线方程为y=［^(x-4)+l或y=-^-(x-4)+l.

两条切线的极坐标方程分别为夕sin8=+l和夕sin8=-^^pcos^+^y^-+l.

BP/?sin［e+=2一等和0sin(e+?)=2+*.

［方法二］【最优解】：定义求斜率法

如图所示，过点尸作(C的两条切线，切点分别为A,B.

在△ACF中，tanZAFC=—=^,又CF〃x轴，所以两条切线的斜率分别且和-3.

AF333

故切线的方程为、=乎。-4)+1,y=-^.(x-4)+l,这两条切线的极坐标方程为

即夕$桁［夕+葛］=2-9和0sin(6>+?］=2+*.

7.(2。2°年高考课标I卷)在直角坐标系助中’曲线G的参数方程为］…皿”为参数兀以坐标原点

为极点，尤轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C?的极坐标方程为40cos160sin6+3=O.

（1）当％=1时，C是什么曲线？

（2）当％=4时，求G与C2的公共点的直角坐标.

【答案】（I）曲线G表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）（；1）.

【分析】（1）利用Sin2f+cos2/=l消去参数求出曲线G的普通方程，即可得出结论；

4x=cos21

（2）当％=4时，^>0,y>0,曲线C1的参数方程化为。为参数），两式相加消去参数心得C]

y/y=sint

普通方程，由夕cosO=x,0sinO=y,将曲线G化为直角坐标方程，联立C»G方程，即可求解.

fx—cost

【详解】（1）当左=1时，曲线C]的参数方程为.。为参数），

[y=sin?

两式平方相加得f+V=1,

所以曲线G表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；

（Y—cos4t

（2）当左=4时，曲线G的参数方程为一,（/为参数），

[y=sint

Vx=cos2/

所以％NO,yNO,曲线G的参数方程化为厂.2。为参数），

yjy=sint

两式相加得曲线a方程为«+4=i，

得4=1-平方得丁=%-2\/7+1,0«X<1,0（><1,

曲线c2的极坐标方程为4pcose-16/?sin。+3=0,

曲线CZ直角坐标方程为4x-16y+3=0,

y=尤-25/7+1

联立G，G方程<

4x-16y+3=0

整理得12》-32«+13=0,解得«或«=?（舍去），

26

二G，a公共点的直角坐标为（1,1）.

【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关键,

要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题.

X=t~\—,

%—4cose,

8（2020•全国II）.已知曲线Q,C2的参数方程分别为G：（一.2八（2为参数），C2：<

y=一Ac••八2/6ZJ1

4siny=t——

为参数）.

（1）将Q,C2的参数方程化为普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设Q,C2的交点为P,求圆心在极轴上，且经过

极点和P的圆的极坐标方程.

17

22

【答案】（1）:x+j=4（0<x<4）；C2:x-y=4-（2）p=—cos3.

【分析】（1）分别消去参数。和，即可得到所求普通方程；

（2）两方程联立求得点P,求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极

坐标方程.

【详解】⑴访法一］:消元法

由cos26>+sin26»=l得G的普通方程为x+y=4（0WxV4）.

2

由参数方程可得x+y=2f,尤-y=—,

t

两式相乘得普通方程为x2-y2=4.

［方法二］【最优解】：代入消元法

由cos20+sin2。=1得G的普通方程为x+y=4（0<x<4）,

由参数方程可得/=亨，

代入x=f+；中并化简得普通方程为x2-y2=4.

⑵【方法一］:几何意义+极坐标

f1

将<:代入x+y=4中解得仁2,故尸点的直角坐标为尸［|,力.

y=t-I7

设尸点的极坐标为尸（外,q）,

p2=X2+y2,—,—

由,y得/J。=——,tan0O=—,cos00=§”.

tan6=』25034

.x

故所求圆的直径为2r=4==,

cos。5

所求圆的极坐标方程为0=2rcos6,即0=丁85。.

［方法二］:

53

2J2

55

设圆C的极坐标方程为0=2acos6>,所以cos8=

2|。尸|一赤'

从而=2a,,解得2a=工-

2V345

17

故所求圆的极坐标方程为P=ycos^.

［方法三］:利用几何意义

5

龙+股与x一2，

由；所以尸点的直角坐标为尸1不

5

化为极坐标为P,a,其中cosa=有.

如图，设所求圆与极轴交于E点，则/OPE=90。,

OP1717

所以=g所以所求圆的极坐标方程为P=丁3。.

cosa

［方法四］【最优解】：

由题意设所求圆的圆心直角坐标为(。，。)，则圆的极坐标方程为0=2acos6.

5

x=

心丁丁得2，

联立;解得尸

x—y=4

y=5，

设。为圆与X轴的交点，其直角坐标为Q(2a,0),。为坐标原点.

又因为点2,。(0,0),。(2。,0)都在所求圆上且。2为圆的直径，

所以。尸・尸。=0,解得。=布.

17

所以所求圆的极坐标方程为〃=(cose.

［方法五］利用几何意义求圆心

由题意设所求圆的圆心直角坐标为(。，0)，

则圆的极坐标方程为。=2“cos/

'_5

［尤+y—4=0X~2

联立…一得3,

ri

即尸点的直角坐标为pg,3.

所以弦OP的中垂线所在的直线方程为10x+6y-17=0,

17

将圆心坐标代入得10a+6x0-17=0,解得。=而.

所以所求圆的极坐标方程为夕=£17cosO.

【整体点评】⑴1方法一］利用乘积消元充分利用了所给式子的特征，体现了解题的灵活性，并不是所有的问

题都可以这样解决；

［方法二］代入消元是最常规的消元方法之一，消元的过程充分体现了参数方程与普通方程之间的联系.

⑵［方法一］利用几何意义加极坐标求解极坐标方程是充分利用几何思想的提现，能提现思维的；

［方法二］首先确定交点坐标，然后抓住问题的本质，求得2。的值即可确定极坐标方程；

［方法三］首先求得交点坐标，然后充分利用几何性质求得圆的直径即可确定极坐标方程；

［方法四］直径所对的圆周角为三是圆最重要的性质之一，将其与平面向量垂直的充分必要条件想联系进行解

题时一种常见的方法；

［方法五］圆心和半径是刻画圆的最根本数据，利用几何性质求得圆心的坐标即可确定圆的方程.

9.(2020•全国•统考III)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为卜二：二一：(t为参数且KI),C与坐

［y=2-3t+t

标轴交于A,B两点.

(1)求||：

(2)以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.

【答案】(1)4710(2)3/?cos6>-/?sin6>+12=0

【分析】(］)由参数方程得出的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出的值；

（2）由A8的坐标得出直线A3的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.

【详解】（]）令尤=0,则»+/一2=0,解得，=一2或f=l（舍），则y=2+6+4=12,即A（0,12）.

令y=0,则产一3/+2=0,解得f=2或t=l（舍），则x=2—2—4=-4,即2（-4,0）.

.-.|AB|=7（0+4）2+（12-0）2=4710；

12-0

（2）由（1）可知.0=门（八=3,

则直线AB的方程为y=3（x+4）,即3x-y+12=0.

由x=0cosay=0sin。可得，直线4B的极坐标方程为3/cos6-sin6+12=0.

【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.

人一2，

10（2019年高考课标I卷）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为1+r。为参数），以坐标原

4?

y=l+tI

点。为极点，龙轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为20cos0+百0sin9+ll=O.

（1）求C和/的直角坐标方程；

（2）求C上的点到/距离的最小值.

2_

【答案】⑴C:/+匕=/:2x+岛+11=0；（2）77

4

【分析】（1）利用代入消元法，可求得C的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得/的直角坐

标方程；（2）利用参数方程表示出C上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的

形式，从而根据三角函数的范围可求得最值.

1_十21—丫216/

【详解】（1）由冗=二得：/—>o,xe（-i,i],又y=77=

1+/l+x1+r

1於I—%

16x---

•••/I+X2

2=4(1+x)(l-x)=4-4x

1+L

1+X)

2

整理可得C的直角坐标方程为：X2+^=1,XG（-1,1]

4

又x=/9cos。，y=psmd

；./的直角坐标方程为：2无+百丁+11=。

（2）设C上点的坐标为：（cos6,2sin。）

则C上的点到直线/的距离,|2cos8+26sine+ll|4sin^+-^+ll

------布---------=-77-

当sin/+小=-1时，d取最小值

则%,=将

【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.

求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.

_1

\-4cos20,x=t+-,

11（2019•全国n•）已知曲线J,C2的参数方程分别为G：■.2八（什为参数），Q：\,（t

y=4snr。+1

I，y=t--

l-t

为参数）.

（1）将G,C2的参数方程化为普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设Q,C2的交点为P,求圆心在极轴上，且经过

极点和P的圆的极坐标方程.

17

22

【答案】（1）C1:x+_y=4（0<x<4）；C2:X-J=4；（2）p^—cosO.

【分析】（1）分别消去参数e和f即可得到所求普通方程；

（2）两方程联立求得点尸，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极

坐标方程.

【详解】⑴［方法一］：消元法

由cos261+sin20=1得G的普通方程为x+y=4（0WxV4）.

2

由参数方程可得x+y=2f,尤-y=—,

t

两式相乘得普通方程为x2-y2=4.

［方法二］【最优解】：代入消元法

由32。+$皿2。=1得。1的普通方程为》+，=4（0/44）,

由参数方程可得”中，

2

代入无=/+；中并化简得普通方程为x2-y2=4.

（2）［方法一］:几何意义+极坐标

X=/_|__1

将<；代入x+y=4中解得/=2,故尸点的直角坐标为尸（3，£］.

y=t-I7

设尸点的极坐标为尸（悬,4）,

p2=x2+y2i—々i—

汨<34z._3八5V34

由«y付Pa=--f---，t皿％一二，COSOr.=-------

tan6=225034

x

故所求圆的直径为2r=二17

cos"T

17

所求圆的极坐标方程为夕=2rcos/即2=ycos8.

［方法二］:

14-

55

设圆C的极坐标方程为夕=2acos6),所以cos6=

2|OP|一卮，

从而巫=2"•提，解得2a=1

2取5

故所求圆的极坐标方程为p=g17os®.

［方法三］:利用几何意义

5

x+y=4,/曰

%2，所以。点的直角坐标为2

由「2=4倚'

片5,

、5

化为极坐标为P,a，其中cosa=的彳.

如图，设所求圆与极轴交于E点，则/OPE=90。,

所以0E=*O二P=兰17，所以所求圆的极坐标方程为P=1(7cos6.

cosa55

［方法四］【最优解】：

由题意设所求圆的圆心直角坐标为30),则圆的极坐标方程为0=2〃cos。.

5

x-2，

元+1=。，得\解得产

联立-2=4侍14-

y=5,

设。为圆与X轴的交点，其直角坐标为。（2“,0）,。为坐标原点.

又因为点P,50,0）,。（2氏0）都在所求圆上且。。为圆的直径,

17

所以。尸）。=0,解得。=正

所以所求圆的极坐标方程为夕==17cos。.

［方法五］利用几何意义求圆心

由题意设所求圆的圆心直角坐标为（。，0）,

则圆的极坐标方程为。=2acos6.

5

x=—

元+y一4=02

联立x2-y2=4作

3

15

即尸点的直角坐标为尸14-

所以弦0P的中垂线所在的直线方程为10x+6〉-17=0,

17

将圆心坐标代入得10a+6x0—17=0,解得〃=仿.

17

所以所求圆的极坐标方程为p=—cos0.

12.（2019•全国III•）如图，在极坐标系3中，A（2,0）,3（行（），。（①拳，。（2,兀），弧.

TT

BC，CD所在圆的圆心分别是（1,。），（1,耳），（1,万），曲线加1是弧AB，曲线加2是弧8C，曲线又3

是弧CD-

⑴分别写出M2,M3的极坐标方程;

⑵曲线M由M］,构成，若点P在M上，且尸|=百，求尸的极坐标.

【答案】

兀TT37r

（1）Mx：p=2cosd（0<^<-）,M2：p=2sin0（-^^—）,

37r

M：夕=-2cos6（——WeWi）；

4

（2）（Af）或（百与或（百，多）或（后苧）

6336

【解析】（1）由题设可得，AB,BC,CD所在圆的极坐标方程分别为

p=2cos。，夕=2sin夕=-2cos6.

JTTT3乃

所以Mi的极坐标方程为Q=2COS£（0<^<-）,加2的极坐标方程为夕=2sine（/WeWz-）,

37r

心的极坐标方程为夕=-2cos，（7wew幻.

■jr■jr2-jr

⑵设P（〃，e）,由题设及⑴知，2COS6=JL解得6=7；2sin，=JL解得6=—或，=下;

633

Sn

—2cos0=A/3，解得3―――.

6

综上尸的极坐标为（、/§,：）或（、/3,7）或（、6,7-）或.

6336

【点评】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题.

考点02不等式选讲系列

1（2023年全国乙卷理科）.已知〃力=2|乂+卜—2|.

⑴求不等式〃力46-%的解集；

f（）

（2）在直角坐标系xOy中，求不等式组,fx<y所确定的平面区域的面积.

［尤+y-6<0

【答案】⑴［-2,2］；

（2）8.

【分析】（1）分段去绝对值符号求解不等式作答.

（2）作出不等式组表示的平面区域，再求出面积作答.

3x-2,x>2

【详解】（1）依题意，/«=x+2,0<x<2,

-3x+2,x<0

x>2|0<x<2\x<0

不等式f(x)W6-x化为:或或

3x—246—n1|x+246—九I-3x+2<6—%

x>20<x<2[x<0t

解，得无解；解得。X2,解_3X+246T，得-2-。，因此—,

3元一2W6—xx+2<6-x

所以原不等式的解集为：[-2,2]

⑵作出不等式组《::琵。表示的平面区域，如图中阴影

Iy=x+2

由\y=-3x右+2，解得4—2,8),由厂,，解得。(2,4),又3(0,2),。(0,6),

[x+y=6[x+y=6

所以ABC的面积$8O|xX-x/=g|6-2|x|2-(-2)|=8.

2(2023年全国甲卷理科)2.设a>0,函数/(*)=2x一4一。.

⑴求不等式〃x)<x的解集；

(2)若曲线y=〃x)与x轴所围成的图形的面积为2,求a.

【答案】

(2)2

【分析】(1)分和讨论即可；

(2)写出分段函数，画出草图，表达面积解方程即可.

【详解】(1)若则/(%)=2a—2%—

即3%>a，解得x>^,^^<x<a,

若贝Uf(x)=2x-2a-a<xf

解得％v3a,即av%v3a,

综上，不等式的解集为，,3“.

-2x+a,x<a

(2)/«=

2x—3a,x>a

画出了（x）的草图，则/（x）与x轴围成ABC,

3。

一ABC的高为所以|AB|=a,

2

所以5的0=＜14引刈=：4=2,解得“=2.

333

3.（2022年全国乙卷理科）已知a,6,c都是正数，且辰+/+a=1，证明:

(l)aZ?c<!；

abc1

(2)----+----+----<—1=

b+ca+ca+b2y1abc

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；

（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可.

•333

【详解】（1）证明：因为。＞0,b＞。,c＞0,贝1a5＞0,以＞0，洒＞0，

333

所以五丝土

3

J_11333/1

即所以HcWg,当且仅当*=我=9，即〃=人=。='L时取等号.

(2)证明：因为〃>0,b>0,c>0,

所以b+c之2y[bc,a+c>2y[ac,a+b>2y/ab，

333

所以〃w〃二〃2,b幺b=b2,0工.二合

b+c2\fbc21abea+c2y[ac2y/abca+b2y[ab2y1abc

333333

abc田源+京+/1

b+ca+ca+b21abe2y]abc2y1abc2y[abc2y1abc

当且仅当a=b=c时取等号.

4.(2022年全国甲卷理科)已知a,b,c均为正数，且/+〃+4/=3,证明:

⑴a+/?+2cV3；

(2)若6=2c,则l+43.

ac

【答案】⑴见解析

（2）见解析

【分析】（1）方法一：根据/+^+4°2=/+/+（2,）2,利用柯西不等式即可得证；

（2）由（1）结合已知可得0<a+4c43,即可得到」丁再根据权方和不等式即可得证.

【详解】（1）［方法一］:【最优解】柯西不等式

由柯西不等式有［4+6?+（24］（尸+/+F）2g+6+2c『，

所以a+Z?+2c<3,当且仅当"=/?=2。=1时，取等号，所以a+b+2cK3.

［方法二］:基本不等式

由a?+8222ab，b1+4c2>4bc，a1+4c2>4ac，

222122

（a+Z?+2c）2=a+b+4c+lab+4bc+4ac<3（a+Z?+4c）=9,

当且仅当〃=Z?=2c=l时，取等号，所以a+b+2cW3.

（2）证明：因为b=2c,a>0,b>0,c>0,由（1）得a+〃+2c=a+4c<3,

即0va+4c<3,所以一-—>—,

a+4c3

由权方和不等式知工+工=上+互23互=J-23，

aca4ca+4ca+4c

当且仅当一1=丁2，即“=1,C=1=时取等号，

a4c2

所以工+、N3.

ac

【点睛】（1）方法一：利用柯西不等式证明，简洁高效，是该题的最优解；

方法二：对于柯西不等式不作为必须掌握内容的地区同学，采用基本不等式累加，也是不错的方法.

5.(2021年全国乙卷理科)已知函数〃力=卜-4+卜+3].

(1)当。=1时，求不等式的解集；

(2)若求a的取值范围.

【答案】(1)~，T[2,网.(2)

【分析】(1)利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.

(2)利用绝对值不等式化简/(*)>一即由此求得“的取值范围.

【详解】(1)[方法一]:绝对值的几何意义法

当a=l时，/(x)=|x-l|+|%+3|,|x-1+|x+3|表示数轴上的点至IJ1和一3的距离之和，

则/(另26表示数轴上的点到1和-3的距离之和不小于6,

当x=T或x=2时所对应的数轴上的点到1,-3所对应的点距离之和等于6,

回数轴上到1,-3所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是xWT或x22,

所以的解集为(F,T][2,4W).

[方法二]【最优解】：零点分段求解法

当4=1时，/(x)=|x-l|+|x+3|.

当尤V-3时，(1—x)+(—x—3)>6,解得xWT；

当-3<x<l时，(1—x)+(x+3)>6,无解；

当时，(尤一1)+(尤+3)26,解得x22.

综上，lx—11+1尤+3巨6的解集为(Y>,T]U[2,E).

(2)[方法一]:绝对值不等式的性质法求最小值

依题意即,一同+卜+3|>_。恒成立，

|尤一一%|+k+3|引4+3],

当且仅当(a—x)(x+3"。时取等号，

・"(")丽=1。+3|，

故|a+3]>-a,

所以a+3>—ci或a+3<a,

角军得〃>一］3.

所以0的取值范围是，■!，+，］.

［方法二］【最优解】：绝对值的几何意义法求最小值

由是数轴上数x表示的点到数〃表示的点的距离，得，(%)=|%-。|+|%+3以〃+