2024届辽宁省沈阳市高三数学第一学期期末联考试题含解析

2024届辽宁省沈阳市高三数学第一学期期末联考试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知/（九）是定义是R上的奇函数，满足/一彳+%=/~+x，当%e0,不时，/（x）=ln（x2-x+l）,

k2JJI

则函数“X）在区间［0,6］上的零点个数是（）

A.3B.5C.7D.9

2.若（1—无户9=%+%（*+1）++出019（%+1）犯°，xeR，则+++々。191皿的值为（）

2019201920192019

A.-1-2B.-1+2C.1-2D.1+2

k］nY1

3.已知函数/（x）=—（左eN+）,g（x）=——,若对任意的c>l,存在实数。力满足0<a<b<c,使得

Xx-1

g（a）=/3）=g（c）,则攵的最大值是（）

A.3B.2C.4D.5

4.设S“是等差数列｛4｝的前"项和，且S4=%+3,则%=（）

A.-2B.-1C.1D.2

5.已知数列｛〃〃｝中，q=2,a=l----（n>2）,则。2018等于（）

nan-\

11

A.一B.一一C.-1D.2

22

6.函数/（x）=cos2x（xw［—»,2乃］）的图象与函数g（x）=sinx的图象的交点横坐标的和为（）

A.—B.2"C.—D.兀

36

7.已知a=（2sin学,cos券）力=（J^cos等,2cos学），函数/（x）=9在区间［0,『］上恰有3个极值点，则正

实数。的取值范围为（）

85、75、57、7〜

A.［r―,—）B.r［一,一）C.［r―,一）D.（一,2］

5242344

8.下列函数中，既是偶函数又在区间（0,+?）上单调递增的是（）

A.y=GB./(%)=xsin%C./(x)=x2+|%|D.y=|x+l|

9.设，，b,c分别是AABC中NA,DB,NC所对边的边长，则直线511174-无一砂一。=0与法+51116++5111。=0

的位置关系是()

A.平行B.重合

C.垂直D.相交但不垂直

10.设小，"为直线，£、£为平面，则相，a的一个充分条件可以是()

A.aL/3,a/3=n,m±nB.a11(3,mL/3

C.aL/3,m///3D."ua,m±n

11.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是().

A.收入最高值与收入最低值的比是3：1

B.结余最高的月份是7月份

C.1与2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同

D.前6个月的平均收入为40万元

12.若函数/(%)=3cosx+4sin尤在％=夕时取得最小值，贝()cosd=()

3443

A.-B.——C.-D.--

5555

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.满足约束条件|回+2|田忘2的目标函数2=丁一兀的最小值是.

14.已知数列｛凡｝满足：点在直线2x—y+l=O上，若使可、%、品构成等比数列，贝！1加=

15.学校艺术节对同一类的A5四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对

这四项参赛作品预测如下：甲说：“4作品获得一等奖”；乙说：“C作品获得一等奖”；丙说：“3,。两项作品未获

得一等奖，，；丁说：“是4或。作品获得一等奖”，若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是_

16.点(2,1)到直线3x+4y=0的距离为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=x/—2x

(1)求函数Ax)在(L/⑴)处的切线方程

(2)设函数g(x)=/(x)-21nx,对于任意,g(x)>a恒成立，求。的取值范围.

18.(12分)已知函数f(x)=|x-a|+|x+2].

(1)当a=1时，求不等式f(x)W3的解集；

(2)3x0eR,f(x0)<3,求a的取值范围.

19.(12分)已知抛物线c：y=4x的焦点为r，过c上一点p(i/)。>o)作两条倾斜角互补的直线分别与c交

于N两点,

(1)证明：直线的斜率是一1；

(2)若8|板|,|MN|,|Nb|成等比数列，求直线MN的方程.

11

%=—+—COS6Z,

42

20.(12分)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是(a是参数)，以原点为极点，x轴的正

1.

y=——+—sina

-42

半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)在曲线C上取一点"，直线绕原点。逆时针旋转交曲线C于点N,求的最大值.

22

21.(12分)已知椭圆C:j+2=l(a〉6〉0)的短轴长为26，左右焦点分别为月，F2,点3是椭圆上位于第一

象限的任一点，且当时书月=0时，,闾=,.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若椭圆C上点A与点3关于原点。对称，过点3作6。垂直于X轴，垂足为。，连接AD并延长交C于另一点

M,交y轴于点N.

(i)求△OZW面积最大值；

（ii）证明：直线AB与斜率之积为定值.

22.（10分）万众瞩目的第14届全国冬季运动运会（简称“十四冬”）于2020年2月16日在呼伦贝尔市盛大开幕，期

间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校100名教职工在“十四冬”期间每天收看比赛转播的时间作了一

次调查，得到如图频数分布直方图：

频率/组距

0.30男女合计

2O

O.SJ8

冰雪迷20

0.12U

0.。非冰雪迷20

,09

合计

0123456收看时间（小时）

（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“冰雪迷”，否则定义为“非冰雪迷”，请根据频率分布直

方图补全2x2列联表；并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关；

（2）在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座.记其中女职

工的人数为之求的J分布列与数学期望.

附表及公式:

2

P(K>k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

烂n(ad-be)一

n=a+b+c+d

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解题分析】

根据“力是定义是R上的奇函数，满足1+力=/1|+4,可得函数〃力的周期为3,再由奇函数的性质结

合已知可得/（--）=/（-1）=/（0）=/（I）=/（-）=0,利用周期性可得函数”可在区间［0,6］上的零点个数.

【题目详解】

•••/（X）是定义是R上的奇函数，满足/，|+［=d|+x

/(-13+x+|3)=/(j3+x+|3),可得

/(x+3)=fCx),

函数的周期为3,

1•当时，/(x)=ln(x2-x+1),

令/(2=0,则无2一%+1=1,解得％=o或1,

又；函数“X）是定义域为R的奇函数，

33

二在区间［—工以上，有/（—D=—/a）=o,/（o）=o.

22

3333

,取尤=0,得/（一5）=/（万）得/（；）=/（-；）=0,

/(-13)=/(-1)=/(0)=/(1)=/(13)=0.

又•••函数”力是周期为3的周期函数，

aQ

二方程/（尤）=0在区间［0,6］上的解有0,1,$2,3,4,：,5,6.共9个,

故选D.

【题目点拨】

本题考查根的存在性及根的个数判断，考查抽象函数周期性的应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于中档题.

2、A

【解题分析】

2019

取x=—1,得到q=220\取x=2,则4+。/3+4-32++a2019-3=-1,计算得到答案.

【题目详解】

2019

取1=—1,得至!)旬=2~"9；取了=2,则/+%,3+生,3?++a2oi9,3=—1.

20192019

故。「3+%.32++G2019.3=-1-2.

故选：A.

【题目点拨】

本题考查了二项式定理的应用，取x=-1和％=2是解题的关键.

3、A

【解题分析】

根据条件将问题转化为电叫>七，对于1>1恒成立，然后构造函数/z(x)=x•生三口，然后求出力(X)的范围，进

龙一1XX-1

一步得到女的最大值.

【题目详解】

kliqy1

/(%)二—(AwN+),g(x)=-对任意的。>1,存在实数。力满足Ovavbvc,使得g(〃)=/S)=g(c),

Xx-1

二易得g(c)=/3)>/(c)，即生出>^恒成立，

c-1C

lnx+1k-..

------>-,对于X>1恒成U,

x-1X

…,、lnx+1…，/、x-2-ln%

设h(x)=x-------，则h(x)=-----,

x-1(x-1)

令q(x)=x—2-Inx,二/(%)=1-工>0在1>1恒成立，

x

q⑶=3—2—ln3<0,q(4)=4—2—ln4>0,

故存在.“e(3,4),使得q(x())=O,即%—2=In/,

当xe(L%)时，q(x)<0,//(x)单调递减；

当尤e(%,+oo)时,q(x)>0,丸(x)单调递增.

，/、，/、xnInx„+xn

•••Mx)min=Mx°)=」―，将%-2=Inx0代入得:

xo-1

ZwN+，且左<〃(%)*=%，

:.k<3

故选：A

【题目点拨】

本题考查了利用导数研究函数的单调性，零点存在定理和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属于难题.

4、C

【解题分析】

利用等差数列的性质化简已知条件，求得％的值.

【题目详解】

由于等差数列｛4｝满足§4=4+3,所以+。2+/+。4=。4+3,4+%+%=3,

故选：C

【题目点拨】

本小题主要考查等差数列的性质，属于基础题.

5、A

【解题分析】

分别代值计算可得，观察可得数列｛4｝是以3为周期的周期数列，问题得以解决.

【题目详解】

,1

解：；4=2,an=1(«>2),

%—1-2=-19

。4=1—(—1)=2,

=1—二一，

22

二数列｛%｝是以3为周期的周期数列,

2018=3x672+2,

故选：A.

【题目点拨】

本题考查数列的周期性和运用：求数列中的项，考查运算能力，属于基础题.

6、B

【解题分析】

根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可.

【题目详解】

令sinx=cos2x,有sinx=l-2sin2x，

x.或x关,所以函数/(x)=cos2x(xe[-汉2切的图象与函数g(x)=sinx的图象交点的横坐标的和

7c37r7c57r_,

s=-----1------1----1-----=2〃,故f选B.

2266

【题目点拨】

本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.

7、B

【解题分析】

Jr47r

先利用向量数量积和三角恒等变换求出/(x)=2sin(^x+-)+l,函数在区间［0,丁］上恰有3个极值点即为三个最

63

值点，。工+2=々+左肛左eZ解出，x=—+—,^eZ,再建立不等式求出左的范围，进而求得。的范围.

623a>a>

【题目详解】

解：/(x)=Gsins+2cos=Gsins+coss+l

=2sin(^x+—)+1

令OX+-=工+左〃，左eZ,解得对称轴工=二+红，左eZ,/(0)=2,

623a)co

又函数/(X)在区间［0,四］恰有3个极值点，只需^-+—<^<^+—

33。。33。。

一75

解得74co<—.

42

故选：B.

【题目点拨】

本题考查利用向量的数量积运算和三角恒等变换与三角函数性质的综合问题.

(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y=Asin3x+e)+/^y=Acos3x+e)+Z的形式；(2)根据

自变量的范围确定0X+9的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值或参数范围.

8、C

【解题分析】

结合基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可.

【题目详解】

A：y=«为非奇非偶函数，不符合题意；

B:/（力=次皿*在（0,+8）上不单调，不符合题意；

C:>=/+卜|为偶函数，且在（0,+8）上单调递增，符合题意；

D：y=|x+l|为非奇非偶函数，不符合题意.

故选：C.

【题目点拨】

本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.

9、C

【解题分析】

试题分析：由已知直线5足4%—0；—。=0的斜率为二上1,直线区+sin"y+sinC=0的斜率为二，又由正

asinB

弦定理得出'=期，故以lf_W；=变±f—/_]=T,两直线垂直

色1岁at泞曲s•'bg刖更£

考点：直线与直线的位置关系

10、B

【解题分析】

根据线面垂直的判断方法对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【题目详解】

对于A选项，当。J_，，a/3=n,〃时，由于机不在平面£内，故无法得出

对于B选项，由于a//月，mVp,所以加J_a.故B选项正确.

对于C选项，当。，分，机//，时，机可能含于平面a,故无法得出力，a.

对于D选项，当〃ua,〃时，无法得出

综上所述，加，。的一个充分条件是“a//尸，

故选:B

【题目点拨】

本小题主要考查线面垂直的判断，考查充分必要条件的理解，属于基础题.

11、D

【解题分析】

由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3:1,故A项正确；

结余最高为7月份，为80-20=60,故B项正确；

1至2月份的收入的变化率为4至5月份的收入的变化率相同，故C项正确

前6个月的平均收入为-(40+60+30+30+50+60)=45万元，故D项错误.

6

综上，故选D.

12、D

【解题分析】

利用辅助角公式化简了(%)的解析式，再根据正弦函数的最值，求得〃%)在x=8函数取得最小值时cos。的值.

【题目详解】

(34、34

解：/(x)=3cosx+4sinx=5—cosx+—sinx=5sin(x+6z),其中，sma=—,cosa=—

155J559

故当e+a=(AeZ),即6=2版■一]-a(AeZ)时，函数取最小值/⑻=—5,

冗冗3

所以cos0=cos(2A%----a)=cos(----«)=-sinar=——，

225

故选：D

【题目点拨】

本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值的应用，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、-2

【解题分析】

可行域|x|+21y|W2是如图的菱形ABCD,

代入计算,

知J=0-2=-2为最小.

14、13

【解题分析】

根据点在直线上可求得凡，由等比中项的定义可构造方程求得结果.

【题目详解】

(n,«„)S2x-y+l=0±,:.an=2n+l,

%,%，金成等比数列，，说=卬*，即81=3(2m+1),解得:m=13.

故答案为：13.

【题目点拨】

本题考查根据三项成等比数列求解参数值的问题，涉及到等比中项的应用，属于基础题.

15、C

【解题分析】

假设获得一等奖的作品，判断四位同学说对的人数.

【题目详解】

A,B,C,D分别获奖的说对人数如下表：

获奖作品ABCD

甲对错错错

乙错错对错

丙对错对错

T对错错对

说对人数3021

故获得一等奖的作品是C.

【题目点拨】

本题考查逻辑推理，常用方法有：1、直接推理结果，2、假设结果检验条件.

16、2

【解题分析】

直接根据点到直线的距离公式即可求出。

【题目详解】

|3x2+lx4|0

依据点到直线的距离公式，点(2,1)到直线3x+4y=。的距离为~二2。

V32+42

【题目点拨】

本题主要考查点到直线的距离公式的应用。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)y=(2e-2)x-e；(2)a<2-21n2

【解题分析】

(1)求出了'(X),/'⑴,/⑴，即可求出切线的点斜式方程，整理即可；

(2)。的取值范围满足avgCx).,xe(O,4w),求出g'(x),当x40,+8)时求出g'(x)>0,g'(x)<0的解，

得到单调区间，极小值最小值即可.

【题目详解】

(1)由于/'(X)=(1+x)ex-2,f'(I)=2e—2,

此时切点坐标为(l,e-2)

所以切线方程为y=(2e—2)%—e.

(2)由已知g(x)=xe、'-2x-21nx,

故g'(x)=(x+l)e'_2(1")­)=(x+1)(e*—).

由于xe(0,+oo),故x+l>0,

22

设h{x}=ev——由于A(x)=ev——在(0,+oo)单调递增

XX

同时x—>0时，h{x}-oo,xf+8时，/z(x)f+8,

故存在天〉0使得〃(%)=0

且当xe(0,%)时h(x)<0,当xe(x0,+oo)时/z(x)>0,

所以当xe(O,xo)时g'(x)<0,当xe(%，+°°)时g'U)>0,

所以当x=/时，g(x)取得极小值，也是最小值，

故g(X)min=g(/)=X0eX°-2(%+也%)

2

x

由于A(x0)=e"----=0=>xoe°=2=>Inx0+x0=In2,

「'%,

所以g(x)min=2-21n2,

a<2—21n2.

【题目点拨】

本题考查导数的几何意义、不等式恒成立问题，应用导数求最值是解题的关键，考查逻辑推理、数学计算能力，属于

中档题.

18、(1){x|-2<x<l}；(2)[-5,1].

【解题分析】

(1)当a=l时,/"(%)=|x—1|+|x+2|,

①当xW—2时，f{x}=-2x-\,

令〃x)W3,即—2x—1W3,解得x=—2,

②当—2<x<l时，/(%)=3,显然/(x)W3成立，所以—2<x<l,

③当时，f[x)=2x+l,

令/⑺W3,即2%+lW3,解得x=l,

综上所述，不等式的解集为{R-

(2)因为/(尤)=卜_。|+|尤+2|2|(尤_。)_(尤+2)=卜+2],

因为有/(尤)<3成立，

所以只需|。+2归3,

解得一5<Q<1,

所以a的取值范围为[-5,1].

【题目点拨】

绝对值不等式的解法：

法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.

19、(1)见解析；(2)y=—x+1

【解题分析】

y—y4

(1)设河(石，％),N(%2，%)，由已知左”尸+左NP=0，得%+%=-4,代入左MN=」_-2=---------------中即可；

国一％2X+丁2

(2)利用抛物线的定义将|MN『=8|板||NP|转化为(石+%7—8百%—4(%+无2)-4=0,再利用韦达定理计算.

【题目详解】

(1)尸在抛物线射=4x上，:"=2,P(l,2)

设以(七,%),N8,%)，

y_2y_2

由题可知，^p+^p=0-•,.^-r+^9-r=0.

石_1x?-1

•/2+*2=。

A_I

44

44

-----1------=0,•••X+%=-4,

y+2%+2

・k%一%

・・~MN

X]-x2

X+为

（2）由（i）问可设：I：y=-x+m,

贝！即，NF

||ACV|=a|X]—l"F|=Xi+l,I|=x2+1,

...|2W『=8|MP||NF|,...（虚后―=8（Xi+1）（/+1），

即（X]+无2）一一8尤1龙2—4（玉+尤2）—4=0（*），

y=-x+m、,

将直线/与抛物线C联立，I、可得：犬-（2根+4）x+7/=0,

y=4x

A=16加+16>0

所以<%+%2=2加+4,

2

再马-m

代入（*）式，可得加=1满足/>0,・'・/：y—+1.

【题目点拨】

本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，在处理直线与抛物线位置关系的问题时，通常要涉及韦达定理来求解，本

题查学生的运算求解能力，是一道中档题.

20、（1）p=sin（0+^J（2）最大值为：

【解题分析】

（D利用sin2（z+cos2o=l消去参数戊，求得曲线C的普通方程，再转化为极坐标方程.

（2）设出M,N两点的坐标，求得|OM|・|ON|的表达式，并利用三角恒等变换进行化简，再结合三角函数最值的求

法，求得|OM|・|ON|的最大值.

【题目详解】

11

x=—+—cos«,

4273

(1)由，消去a得曲线C的普通方程为/+y=0.

石1.22

y=-------1—sina,

4--2

所以。的极坐标方程为叱争小人。,

即p=sin16+£

（2）不妨设/（A，。），2VL,0+1I,日£万)，

2Pi>。,p2>0,[0,2

则

\OM\-\ON\=pg=sin=sin0+—\cos0=——sin，+—cos，-cos。

I6j122J

V3111.1cz万)1

=——sin2,+—cos2。+—=~sin20i+—+—

4442I4

773

当”不时，伙卜QM取得最大值，最大值为了.

【题目点拨】

本小题主要考查参数方程化为普通方程，普通方程化为极坐标方程，考查极坐标系下线段长度的乘积的最值的求法,

考查三角恒等变换，考查三角函数最值的求法，属于中档题.

21、（1）—+^=1；（2）（i）且；（ii）证明见解析.

434

【解题分析】

A23L

（1）由乙=±,2b=26解方程组即可得到答案；

a2

122

⑵（i）设3（冷弘），/（%,%），则4（—%,—%）,。（玉,0）,易得工0勤=1±%,注意到全+,=1,利用

基本不等式得到事必的最大值即可得到答案；（ii）设直线A3斜率为左=叶（左＞0）,直线AQ方程为y=g（x-%）,

联立椭圆方程得到"的坐标，再利用两点的斜率公式计算即可.

【题目详解】

（1）设月（c,0）,由5耳.耳月=0,得4心.

将x=c代入£+与=1,得丁=以，即忖鸟|=名=。，

a2b②-a121a2

由8=如，解得a=2,

22

所以椭圆C的标准方程为L+匕=1.

43

⑵设矶不弘），M（x2,y2）,则4（一为,—%）,。（玉,0）

（i）易知ON为△ABD的中位线，所以N］。,-曾，

所以ZOON=^i|--y=；|当卜民|=；为必，

22

又3（尤］,%）满足亍+三_=1,所以

22

—，得…

故当且仅当:之，即玉=3,时取等号,

44乙732

所以△ODN面积最大值为叵

4

左〉。），则直线A。斜率为言=5

（ii）记直线AB斜率为左=

k

所以直线AO方程为y=5（x-%）.

y专xf)

由＜，”,,得(3+/卜2—242/1+左2无：—]2=0,

土+j

[43

由韦达定理得（-6"含，所