广东省佛山市2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题（含答案解析）

广东省佛山市城北中学2023-2024学年八年级下学期第一次

月考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.下列不等式中是一元一次不等式的是（

A.y+3>xB.3-4<02X2-4>1D.2-x<4

如果。＞b,那么下列不等式中正确的是（）

A.a-b<0B.tz+3<—3

3.如图，小刚荡秋千，秋千旋转了70。，小刚的位置从4点运动到了H点，贝的

A.50°B.55°C.65°D.70°

4.不等式2x+123x-l的解集在数轴上表示正确的是（）

A—1_I_I_I_I_R—I_I_I_1_I_

-101234-101234

P—1——।——I_I—।——D—1——1——1_!_I——

-101234-101234

5.如图，ZC=ZZ）=90°,添加一个条件，可使用“HL”判定与全

等.以下给出的条件适合的是（）

A

B

A.AC=ADB.AC=BCC./ABC=NABDD./BAC=

/BAD

6.如图，在中，AB=AC,44=120。，5C=6cm,45的垂直平分线交BC于点

试卷第1页，共6页

M,交4B于点E,ZC的垂直平分线交2C于点N,交力。于点尸，则的长为（）

A.4cmB.3cmC.2cmD.1cm

2<0的解集是()

D.—2

8.把一些书分给同学，设每个同学分x本.若—；若分给11个同学，则书有剩余.可

列不等式8（x+6）>llx,则横线的信息可以是（）

A.分给8个同学，则剩余6本

B.分给6个同学，则剩余8本

C.如果分给8个同学，则每人可多分6本

D.如果分给6个同学，则每人可多分8本

9.已知“3。中，AB=AC,求证：AB<90°,下面写出运用反证法证明这个命题的

四个步骤：

①乙4+N8+NC>180。，这与三角形内角和为180。矛盾

②因此假设不成立..../Sv90°

③假设在“8C中，Z5>90°

④由=得/8=/C290°,即ZB+/C2180°.

这四个步骤正确的顺序应是（）

A.④③①②B.③④②①C.①②③④D.③④①②

10.如图，在“3C中，44cs=90。，AC=BC=A,。为3c的中点，DE1AB,垂

足为区过点3作3尸///C交的延长线于点尸，连接CF,/尸.现有如下结论：

①AD平分/C48；②BF=2；③/。，。〃；④/尸=2后；⑤NCAF=NCFB.其中

试卷第2页，共6页

正确的结论有（)

二、填空题

11.如图，左边物体的质量为Xg,右边物体的质量为50g,用不等式表示下列数量关系

12.不等式2x-3<2的非负整数解为.

13.已知等腰三角形的两边长为10和12,则等腰三角形的面积为.

14.“全等三角形的对应边相等”的逆命题是.

15.E厂是8C的垂直平分线，交BC于点D,点/是直线E尸上一动点，它从点。出发

沿射线DE方向运动，当/A4c减少X。时，/4BC增加丁°,则y与x的函数表达式

三、解答题

16.解下列不等式2（3》-2）>》+1；并把解集在数轴上表示出来.

17.下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成填空.

2x—13x—2

解不等式:-------<-----------1

32

试卷第3页，共6页

解：去分母，得：2(2x-l)<3(3x-2)-6第①步

去括号，得：4x-2<9x-6-6第②步

移项，得：4x—9x<—6—6+2第③步

合并同类型，得：-5x<-10第④步

系数化为1,得x<2第⑤步

(1)以上运算步骤中，去分母的依据是;

(2)以上解题过程中，第②步是依据(运算律)进行变形的；

(3)第步开始出现错误，这一步错误的原因是;

(4)直接写出该不等式的正确解集为.

18.(1)请认真阅读并完成填空：

根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：

①如果a-6<0,那么ab；

②如果a—6=0,那么。b；

③如果a-6>0,那么ab.

这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”；

⑵请运用这种方法尝试解决下面的问题：比较3x?-3x+7与4/-3X+8的大小.

19.如图，在等边三角形中，点。，E分别在边BC,AC±,且DE〃4B,过

苴E作EFLDE,交3c的延长线于点尸.

⑴求证：CE=CF；

(2)若CD=2,求。尸的长.

20.某校为改善教师的办公条件，计划购进A、8两种办公椅共100把.经市场调查：

购买A种办公椅2把，B种办公椅5把，共需600元；购买A种办公椅3把，B种办公椅

1把，共需380元.

(1)求人种5种办公椅每把各多少元？

(2)因实际需要，购买A种办公椅的数量不少于B种办公椅数量的3倍.学校与中标公司

签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下(不考虑其他因素)，实际付款总金额按

试卷第4页，共6页

市场价九折优惠，请设计一种购买办公椅的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的

费用.

21.阅读下面的“数学活动报告”，并完成相应学习任务.

作的平分线

活动内容：

已知N/Q8,作出N/O8的平分线OC.

方法展示：

方案一：如图①，分别在NZO8的边。4,03上截取OM=ON,再分别以点M,N为

圆心，大于!”N长为半径画弧，两弧相交于点C,则射线OC就是的平分线.

方案二：如图②，分别在//O3的边CM,0B上用圆规截取0M=CW,再利用三角尺

分别过点W,N作出04,(出的垂线，两条垂线交于点C,作射线OC,则OC就是

ZAOB的平分线.

方案三：如图③，在。4上取一点P,过点尸作=然后在尸。上截取

PC=OP,作射线OC,OC就是的平分线.

图①图②图③图④

活动总结：

全等三角形、等腰三角形的性质是证明两角相等的重要依据，根据全等三角形、等腰三

角形的有关知识可以用多种方法作N/O8的平分线.

活动反思：

利用等腰三角形“三线合一''的性质可以作出N/O8的平分线吗？

学习任务：

(1)方案一依据的一个基本事实是;方案二"判定直角三角形全等”的依据是

(2)同学们提出的方案三是否正确？请你利用图③说明理由；

(3)请依据等腰三角形“三线合一”的性质，在图④中作出//O8的平分线，并简要叙述

作图过程.

22.阅读材料:

对于两个正数a、b,则a+(当且仅当a=b时取等号).

试卷第5页，共6页

当ab为定值时，6有最小值；当6为定值时，有最大值.

例如：已知x>0,^y=x+—,求V的最小值.

x

解：a+b>l4ab>得y=x+,之2、%,=2xVT=2,当且仅当无=,即x=1时，>有

xVxx

最小值，最小值为2.

根据上面的阅读材料回答下列问题：

9

(1)已知x>0,若了=4x+—,则当x=_时，y有最小值，最小值为—；

x

9

(2)已知x>3,若了=》+—则x取何值时，了有最小值，最小值是多少？

x—3

(3)用长为100m篱笆围一个长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所

围的长方形花园面积最大，最大面积是多少？

23.△N8C和△DEC是等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°,AC=BC,CD=CE.

(1)【观察猜想】当△A8C和△OEC按如图1所示的位置摆放，连接3。、AE,延长AD

交AE于点F,猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系.

(2)【探究证明】如图2,将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度c(0°<a<90。)，线段

和线段/E的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明：如果不成立,

请说明理由.

(3)【拓展应用】如图3,在△/CD中，ZADC=45°,CD=6，AD=4,将/C绕着

点。逆时针旋转90。至8C,连接8。，求的长.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.D

【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可.

【详解】下列不等式中是一元一次不等式的是2-XW4,

故选D.

【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关

键.

2.D

【分析】根据不等式性质，逐一排除就可得到正确答案.

【详解】•••d>b

A：a-b>0,选项错误；

B：无论Q、b取何值，。+3>6-3,选项错误；

22

C：C2>o时，启>be?;。2=（）时，ac=bc-o,选项错误；

D-.不等式两边同时乘以-;，符号发生改变，选项正确.

故选：D

【点睛】本题考查的是不等式的性质，根据相关的性质逐一排除是常用的求解选择题方法.

3.B

【分析】根据旋转角的定义、旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行解

答.

【详解】•••秋千旋转了70。，小刚的位置从/点运动到了©点，

AAAOA=70°,AO=OA',

：.ZOAA'=ZOA'A=180°-70。=55。，

2

故选B.

【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.

4.A

【分析】

先求出不等式的解集，在数轴上表示出解集，进行判断即可.

【详解】解：由2x+l»3x-l,得：x<2,

在数轴上表示如下：

答案第1页，共15页

-101234

故选A.

【点睛】本题考查在数轴上表示不等式的解集.正确的求出不等式的解集，是解题的关键.注

意在数轴上表示不等式的解集时，含等号，用实心点，不含等号，用空心点.

5.A

【分析】由已知两三角形为直角三角形，且斜边为公共边，若利用HL证明两直角三角形全

等，需要添加的条件为一对直角边相等，即BC=BD或AC=AD.

【详解】解：需要添加条件为：BC=BD或AC=AD,理由为：

若添加的条件为：BC=BD

在RtAABC与RtAABD中，

/BC=BD

[AB=AB

ARtAABC^RtAABD(HL);

若添加的条件为：AC=AD

在RtAABC与RtAABD中，

(AC=AD

[AB=AB

ARtAABC^RtAABD(HL).

故选：A.

【点睛】本题考查了利用HL公理判定直角三角形全等，熟练运用HL公理是解题的关键

6.C

【分析】

此类题要通过作辅助线来沟通各角之间的关系，首先求出△33与VCM4是等腰三角形，再

证明AAMN为等边三角形即可.

【详解】

解：连接/M,AN.

：的垂直平分线交BC于交AB于E,/C的垂直平分线交3c于N,交AC于F,

：.BM=AM,CN=AN,

:.NMAB=NB,/CAN=NC.

答案第2页，共15页

•：AB=AC,ZA=12O°,

：./5=/C=300,

・•・ZBAM+/CAN=6(F,ZAMN=ZANM=6(F,

・・・△㈤W是等边三角形，

AM=AN=MN,

：.BM=MN=NC.

BC=6cm,

MN=2cm.

故选：C.

【点睛】

本题考查了等边三角形的判定与性质、线段的垂直平分线性质以及等腰三角形的性质；正确

作出辅助线是解答本题的关键.

7.C

【分析】找出直线V=丘-2落在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围即可.

【详解】解：根据图象可知当x<l时，直线了=h-2落在x轴下方，

即不等式丘-2<0的解集是x<l,故C正确.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，从函数的角度看，就是寻求使

一次函数》=履+6的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就

是确定直线>=履+6在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.

8.C

【分析】根据代数式8（x+6）的意义，结合题意，根据不等式表示的意义解答即可.

【详解】解：设每个同学分x本，8G+6）的意义为如果分给8个同学，则每人可多分6本,

由不等式8（x+6）>1卜,可得：把一些书分给几名同学，如果分给8个同学，则每人可多分

6本；若每人分11本，则有剩余.

故选C.

答案第3页，共15页

【点睛】本题考查根据实际问题列不等式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，

找到所求的量的不等关系.

9.D

【分析】本题考查的是反证法.根据反证法的一般步骤判断即可.

【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤，

1、假设在。8C中，Z5>90°,

2、由=得/8=/。290。，即N3+/O180。，

3、.•./N+/8+/C>180。，这与三角形内角和为180。矛盾，

4、因此假设不成立..1/Bv90。，

综上所述，这四个步骤正确的顺序应是：③④①②.

故选：D.

10.B

【分析】①由CZ)=Z>5,推出ND是的中线，如果是角平分线，则NC=/3,显然

与已知矛盾，故错误.

②易证ADB尸是等腰直角三角形，&BF=BD=2.

③由A/CD0VCAF,推出/C1D=/BCF,由/8CF+N/C尸=90。，推出

ZCAD+ZACF=90°,即_LCF.

④在比A/CD中，AD=ylAC2+CD2=742+22=275>易证4F=4D=2石.

⑤由于A/CDGVCBF,推出=B=/尸，推出Bd尸=B尸C4,于AC11BF,即可推

出ZCFB=NFCA=ZCAF.

【详解】解：①错误，

•1-CD=DB,

.:/。是4/。3的中线，如果是角平分线，则=显然与已知矛盾，故错误.

②正确•

■：BFHAC,4cB=90°,

ZCBF=90°,

,：DELAB,

ADBF是等腰直角三角形，板BF=BD=2.

③正确.••,/C=BC,ZACD=ZCBF,CD=BF,

答案第4页，共15页

:."CD义YCBF,

ZCAD=/BCF,

'：/BCF+//C尸=90。，

ZCAD+ZACF=90°f

/.AD1CF.

④正确•在放△4C。中，AD=yjAC2+CD2=A/42+22=275，

•：DELAB,是等腰直角三角形，

AF=AD=2E

⑤正确.入ACDmVCBF,

/.AD=CF=AF,

ZCAF=NFCA,

QACHBF,

ZCFB=ZFCA=ZCAF.

故选B.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰直角三角形的性质、角平

分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

11.x>50

【分析】根据图形可知左边的物体质量比右边的物体质量大，从而可得答案.

【详解】由图可知，x>50.

故答案为x>50.

【点睛】本题考查了列不等式，仔细观察图形得出左边物体的质量比右边物体的质量大是解

答本题的关键.

12.0,1,2

【分析】

本题考查求不等式的解集，先求出不等式的解集，再求出非负整数解即可.

【详解】解：•••2x-3<2,

2x<2+3,

/.2x<5,

答案第5页，共15页

不等式2无-3<2的非负整数解为0,1,2；

故答案为：0,1,2.

13.48或5布^

【分析】

本题考查等腰三角形的定义，勾股定理，分10为腰长和12为腰长两种情况，进行讨论求解

即可.

【详解】解：当等腰三角形的腰长为10时：如图，过/作ND13C于。，

AB=AC,AD±BC,

：.BD=DC=6,

由勾股定理得：AD=y]AB2-BD2=8，

”3C的面积是S'BCXAD」X12X8=48.

22

当等腰三角形的腰长为12时，则：BD=CD=5,

AD=dAB?-AD。=V119，

的面积是S'8CxNO」xlOxVn?=5VTT?；

22

故答案为：48或5而？.

14.对应边相等的两个三角形全等

【分析】

本题考查逆命题，将原命题的条件和结论互换，即可得出结果.

【详解】解：“全等三角形的对应边相等”的逆命题是对应边相等的两个三角形全等；

故答案为：对应边相等的两个三角形全等

1

15.y=­x

2

【分析】

根据线段垂直平分线的性质得出=,结合三角形内角和定理得出

答案第6页，共15页

ZABC=ZACB=90P-^-ZBAC.由此可求出当/A4c减少x。时，/4BC的变化量，进而

2

即得出y与x的函数表达式.

【详解】解：尸是BC的垂直平分线，

AB=AC,

NABC=NACB=1(180P-ABAC)=90P--^BAC,

：.当NBAC减少X。时，即此时为ABAC=ABAC-x°,

止匕时//'BCugOO-g/BHCngO。一^-(ZBAC-X0),

ZA'BC-ZABC=90°^-(ZBAC-x^叶］90。

y0=T/2/cj三x,

与x的函数表达式是〉=gx.

故答案为：y=

【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理的应用，等腰三角形的判定和

性质，一次函数的应用.利用数形结合的思想是解题关键.

16.x>l,在数轴上表示解集见解析

【分析】

本题考查解一元一次不等式，及在数轴上表示不等式解集，先解不等式，再在数轴上表示解

集即可得到答案，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决问题的关键

【详解】解：2(3x-2)>x+l,

/.6x—4〉x+1,

/.5x>5,则x>l,

在数轴上表示不等式的解集，如图所示：

-----1——।——1A

-101

17.(1)不等式的性质

(2)乘法分配律

(3)⑤，不等式的两边同除同一个负数时，不等号的方向没有改变

(4)x>2

答案第7页，共15页

【分析】

本题考查解一元一次不等式：

(1)根据不等式的性质，进行作答即可；

(2)根据乘法分配律进行作答即可；

(3)第⑤步出现错误，系数化1时，不等号的方向没有改变；

(4)求出不等式的解集即可.

【详解】(1)解：去分母的依据是不等式的性质；

故答案为:不等式的性质；

(2)第②步的依据为乘法分配律；

故答案为：乘法分配律；

(3)

第⑤步出现错误，原因是不等式的两边同除同一个负数时，不等号的方向没有改变；

⑤，不等式的两边同除同一个负数时，不等号的方向没有改变；

(4)V-5%<-10,

x>2.

故答案为：x>2.

18.(1)®<；®=；®<；(2)3X2-3X+7>4X2-3X+8

【分析】

本题考查阅读理解，涉及等式和不等式的基本性质、整式加减运算等知识，读懂(1)中“求

差法比较大小”，灵活运用是解决问题的关键.

(1)根据等式和不等式的基本性质，移项即可得到答案；

22

(2)由(1)中“求差法比较大小”，E±34X-3X+8-(3X-3X+7),计算后与0比较大小即可

得到答案.

【详解】解：(1)根据等式和不等式的基本性质，移项可得：

①如果。-6<0,那么。<6；

②如果a-6=0,那么。=6；

③如果。一6>0,可B么。>6；

故答案为：①<；②=；③<；

(2)4x?-3x+8-(3x~-3x+7)

答案第8页，共15页

—4%2—3x+8—3F+3x—7

=/+1

Qx2>0,

f+1之1,

4x2-3x4-8-^3x2-3x+7)〉0,即3x2—3x+7>4x2-3x4-8.

19.(1)见解析

(2)4

【分析】

本题考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质：

(1)证明△CDE为等边三角形，进而推出/CM=NC/花=30。，即可得证；

(2)根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质，求解即可.

【详解】(1)解：:等边三角形力BC,

：.ZACB=ZB=ZA=60°f

丁DE〃AB,

；.ZEDC=/B=60°,ZCED=ZA=60°,

・・・△CZ)E为等边三角形，

♦：EFIDE,

；・NDEF=90。,

：.ZCEF=/DEF-/CED=30°,ZDFE=90°-ZEDC=30°,

JZCEF=ZCFE,

CE=CF；

(2)由(1)知：为等边三角形，

：.CE=CD=2,

又CE=CF=2,

：.DF=CD+CF=4.

20.(1)4种办公椅100元/把，5种办公椅80元/把

⑵当购买75把A种办公椅，25把5种办公椅时，实际所花费用最省，最省的费用为8550元

答案第9页，共15页

【分析】(1)设A种办公椅x元/把，B种办公椅y元/把，根据题意列出二元一次方程组,

解方程组即可求解；

(2)设购买A种办公椅加把，则购买8种办公椅(100-加)把，根据题意列出不等式得出

m>75.设实际所花费用为卬元，根据题意列出已阐述，根据一次函数的性质即可求解.

【详解】(1)解：设A种办公椅x元/把，8种办公椅V元/把,

2x+5y=600x=100

依题意得,解得

3x+y=380J=80

答:A种办公椅100元/把，5种办公椅80元/把.

(2)设购买A种办公椅加把，则购买5种办公椅(100-机)把,

依题意得加23(100-，〃)，

解得加275.

设实际所花费用为w元，贝!]w=[100加+80(100-加)]x09=18加+7200.

左=18>0,

二卬随着加的增大而增大，

...当加=75时,w取最小值，

最小值=18x75+7200=8550,

此时100—m=25.

答：当购买75把A种办公椅，25把3种办公椅时，实际所花费用最省，最省的费用为8550

元.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的性质，熟

练掌握以上知识是解题的关键.

21.(1)全等三角形的对应角相等，HL

(2)正确，理由见解析

(3)见解析

【分析】

(1)根据全等三角形的对应角相等，以及HL判断直角三角形全等，进行作答即可;

(2)利用等边对等角，以及外角的性质，即可得证；

答案第10页，共15页

(3)分别在的边CM,03上用圆规截取(W=ON,连接MN,利用三角板过点。作

的垂线即可.

【详解】(1)解：方案一：连接MC,NC,

图①

由作图方式可知：OM=ON,CM=CN,

又":OC=OC

Z.AMOCANOC(SSS),

：.ZMOC=ZNOC(全等三角形的对应角相等)；

•••方案一依据的一个基本事实是：全等三角形的对应角相等；

故答案为：全等三角形的对应角相等；

方案二：由作图方式可知：ZOMC=ZONC=90°,OM=ON,

'：OC=OC,

：.RMOMC丝RMONC(HL)；

二方案二“判定直角三角形全等”的依据是“HL”；

故答案为：HL；

(2)解：正确，理由如下：

PC=OP,

：.ZPOC=ZPCO,

ZAPQ=ZPOC+ZPCO=2.ZPOC,

NAPQ=NAOB,

：.NAOB=24Poe,

0c是//的平分线；

(3)分别在的边。4,08上用圆规截取(W=ON,连接九W,利用三角板过点。作

九W的垂线，交于点C,则：0C就是的平分线，如图所示：

答案第11页，共15页

图④

OM=ON,OC1MN,

：.NMOC=ZNOC,

0c为//OB的平分线.

【点睛】本题考查基本作图一角平分线，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质.熟

练掌握相关知识点，是解题的关键.

3

22.⑴h⑵⑵当x=6时，7有最小值，最小值是9；⑶当长方形花园的长、宽

均为25时，所围的长方形花园面积最大，最大面积是625.

【分析】(1)根据0+622而化简求值即可得;

(2)先将y变形为>=》-3+々+3,再根据0+622新化简求值即可得；

x-3

(3)设这个长方形花园的长为X",则宽为粤二机，再根据长方形的面积公式可得

2

S=x100；2x=x(50—%),然后利用Q+622疝化简求值即可得.

【详解】(1)由Q+62得>=4x+22=2xV^=12

X\X

93

当且仅当4x=—,即x时，>有最小值，最小值为12

x2

3

故答案为：4,12；

2

(2)/x>3

/.x-3>0

,-aQIQ-/-

由Q+6N2,ctb得y=x~\------=%—3H---------F322J(x—3)--------i~3=2xj9+3=9

x—3x—3Vx—3

9

当且仅当x-3=-即x=6时，》有最小值，最小值为9

x-3

答：x=6时，V有最小值，最小值是9；

100-2%

(3)设这个长方形花园的长为x加，则宽为----------m