四川省达州市2023-2024学年中考数学最后一模试卷含解析

四川省达州市2023-2024学年中考数学最后一模试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列说法中，错误的是（）

A.两个全等三角形一定是相似形B.两个等腰三角形一定相似

C.两个等边三角形一定相似D.两个等腰直角三角形一定相似

2.为了解中学300名男生的身高情况，随机抽取若干名男生进行身高测量，将所得数据整理后，画出频数分布直方图

3.为了支援地震灾区同学，某校开展捐书活动，九（1）班40名同学积极参与.现将捐书数量绘制成频数分布直方图

如图所示，则捐书数量在5.5〜6.5组别的频率是（）

九（I）宏40名同学捐书致最情况

B.0.2

C.0.3D.0.4

4.不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征.甲同学：它有4个面是三角形；乙同学:

它有8条棱.该模型的形状对应的立体图形可能是（）

A.三棱柱B.四棱柱C.三棱锥D.四棱锥

5.下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

7.已知等腰三角形的周长是10,底边长y是腰长X的函数，则下列图象中，能正确反映y与X之间函数关系的图象

是（）

A

C.,

8.如图，将△ABC绕点C（0,-1）旋转180。得到△A，B，C,设点A的坐标为（a,b）,则点A，的坐标为（）

-a,-b-1)C.(-a,-b+1)D.(-a,-b-2)

9.下列各数中,最小的数是（）

A.0B.V2C.1D.~n

10.若正多边形的一个内角是150。，则该正多边形的边数是()

A.6B.12C.16D.18

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

2%+3y—k

11.已知关于x,y的二元一次方程组c,的解互为相反数，则k的值是__________.

x+2y=­l

12.如图，四边形ABC。是菱形，NA=60。，AB=2,扇形E5尸的半径为2,圆心角为60。，则图中阴影部分的面积

13.已知图中的两个三角形全等，则N1等于

第14题图

14.如图，直线旷=区(左>0)交。于点A，B,。与X轴负半轴，y轴正半轴分别交于点D,E，AD,BE的

延长线相交于点C,则CB:CD的值是

15.已知：如图，AB为。O的直径，点C、D在。O上，且BC=6cm,AC=8cm,ZABD=45°,则图中阴影部分

的面积是.

16.如图，经过点B(-2,0)的直线y=kx+b与直线y=4x+2相交于点A(-1,-2),则不等式4x+2<kx+b<0

的解集为

y

y=4x+2

y=kx+b

Ox

三、解答题（共8题，共72分）

3k

17.（8分）在平面直角坐标系中，一次函数丁=—-X+人的图象与反比例函数v=—（k#0）图象交于A、B两点,

4x

与y轴交于点C,与x轴交于点D,其中A点坐标为（-2,3）.

求一次函数和反比例函数解析式.若将点C沿y轴向下平移4个单位长度至点F,连接AF、

3k

BF,求△ABF的面积.根据图象，直接写出不等式--x+b>—的解集.

4x

18.（8分）小丽和哥哥小明分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小丽开始跑步，遇到哥哥后改为步行,

到达图书馆恰好用35分钟，小明匀速骑自行车直接回家，骑行10分钟后遇到了妹妹，再继续骑行5分钟，到家两人

距离家的路程yGn）与各自离开出发的时间xCmin）之间的函数图象如图所示：

J'阿个r

4500k-...................f

O10A35x（m四

（1）求两人相遇时小明离家的距离；

（2）求小丽离距离图书馆500加时所用的时间.

19.（8分）如图，已知二次函数y=ax?+2x+c的图象经过点C（0,3）,与x轴分别交于点A,点B（3,0）.点P是

直线BC上方的抛物线上一动点.求二次函数y=ax2+2x+c的表达式；连接PO,PC,并把APOC沿y轴翻折，得到

四边形POPC.若四边形POP9为菱形，请求出此时点P的坐标；当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积

最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积.

20.(8分)已知：如图.D是ABC的边上一点，CNHAB,DN交AC于点M,MA=MC.

(1)求证：CD=AN；

(2)若N/VWD=2NMCD,试判断四边形ADCN的形状，并说明理由.

2

21.(8分)先化简，再求值：(x-3)+(--------1),其中x=-L

X-1

22.(10分)如图，已知。O经过△ABC的顶点A、B,交边BC于点D,点A恰为的中点，且BD=8,AC=9,

sinC=-,求。。的半径.

3

23.(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知两点A(0,3),B(1,0),现将线段AB绕点B按顺时针方向旋转90。

得到线段BC,抛物线y=ax2+bx+c经过点C.

(1)如图1,若抛物线经过点A和D(-2,0).

①求点C的坐标及该抛物线解析式；

②在抛物线上是否存在点P,使得NPOB=NBAO,若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明

理由；

(2)如图2,若该抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点E(2,1),点Q在抛物线上，且满足NQOB=NBAO,若符合

条件的Q点恰好有2个，请直接写出a的取值范围.

24.数学兴趣小组为了解我校初三年级1800名学生的身体健康情况，从初三随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均

为整数，单位：kg）分成五组（A：39.5〜46.5；B：46.5〜53.5；C：53.5〜60.5；D：60.5〜67.5；E：67.5〜74.5）,并

依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图.

补全条形统计图，并估计我校初三年级体重介于47kg至53kg的学生大约有多少名.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、B

【解析】

根据相似图形的定义，结合选项中提到的图形，对选项一一分析，选出正确答案.

【详解】

解：A、两个全等的三角形一定相似，正确；

B、两个等腰三角形一定相似，错误，等腰三角形的形状不一定相同；

C、两个等边三角形一定相似；正确，等边三角形形状相同，只是大小不同；

D、两个等腰直角三角形一定相似，正确，等腰直角三角形形状相同，只是大小不同.

故选B.

【点睛】

本题考查的是相似形的定义，联系图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换.特别注意，本题

是选择错误的，一定要看清楚题.

2、C

【解析】

解:根据图形，

12

身高在169.5cm〜174.5cm之间的人数的百分比为：--------------xl00%=24%,

6+10+16+12+6

,该校男生的身高在169.5cm-174.5cm之间的人数有300x24%=72（人）.

故选C.

3、B

【解析】

•.•在5.5〜6.5组别的频数是8,总数是40,

2=0」.

而

故选B.

4、D

【解析】

试题分析：根据有四个三角形的面，且有8条棱，可知是四棱锥.而三棱柱有两个三角形的面，四棱柱没有三角形的面,

三棱锥有四个三角形的面，但是只有6条棱.

故选D

考点：几何体的形状

5、B

【解析】

根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【详解】

解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；

B、是轴对称图形，故本选项正确；

C、不是轴对称图形，故本选项错误；

D、不是轴对称图形，故本选项错误.

故选:B.

【点睛】

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

6、D

【解析】解：:EC=EA.ZCAE=30°,/.ZC=30°,AZAEZ>=30°+30°=60°.'：AB//CD,：.ZBAF=ZAED=60°.故

选D.

点睛：本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解答此题的关键.

7,D

【解析】

先根据三角形的周长公式求出函数关系式，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第

三边求出x的取值范围，然后选择即可.

【详解】

由题意得，2x+y=10,

所以，y=-2x+10,

'2x>-2x+lQ®

由三角形的三边关系得,

<x-(-2%+10)〈遮

解不等式①得，x>2.5,

解不等式②的，xV5,

所以，不等式组的解集是2.5VxV5,

正确反映y与x之间函数关系的图象是D选项图象.

故选：D.

8、D

【解析】

设点A的坐标是（x,y）,根据旋转变换的对应点关于旋转中心对称，再根据中点公式列式求解即可.

【详解】

根据题意，点A、A，关于点C对称，

设点A的坐标是（x,y）,

a+xb+y

贝!I-------=0,-------=-1,

22

解得x=-a,y=-b-2,

.,.点A的坐标是（-a,-b-2）.

故选D.

【点睛】

本题考查了利用旋转进行坐标与图形的变化，根据旋转的性质得出点A、A，关于点C成中心对称是解题的关键

9、D

【解析】

根据实数大小比较法则判断即可.

【详解】

一兀<0<1<应,

故选D.

【点睛】

本题考查了实数的大小比较的应用，掌握正数都大于0,负数都小于0,两个负数比较大小，其绝对值大的反而小是解

题的关键.

10、B

【解析】设多边形的边数为n,则有（n-2）xl80°=nxl50°,解得：n=12,

故选B.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11、-1

【解析】

2x+3y=左①

••・关于X,y的二元一次方程组｛C._的解互为相反数，

x+2y=-1②

；.x=-y③，

把③代入②得：-y+2y=-1,

解得y=-L所以x=l,

把x=l,y=-l代入①得2-3=k,

即k=-l.

故答案为-1

12、边-6

3

【解析】

连接5。，易证A是等边三角形，即可求得AABO的高为再证明△A3Gg即可得四边形GB即的

面积等于AABO的面积，由图中阴影部分的面积为S扇形EBF-SAABD即可求解.

【详解】

如图，连接AD.

•••四边形ABC。是菱形，NA=60。,

：.ZADC=120°,

.*.Nl=N2=60。，

：./\DAB是等边三角形，

；A3=2,

.•.△A3O的高为G，

•.•扇形BE广的半径为2,圆心角为60。，

...N4+N5=60。，N3+/5=60。，

/.Z3=Z4,

设AO、8E相交于点G,设5尸、。。相交于点H,

Z=Z2

在4456和4。577中，\AB=BD,

Z3=Z4

：./\ABG^ADBH(ASA),

二四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，

二图中阴影部分的面积是：S扇形EBF-SAABD=――——---x2x-73.

3602v3

故答案是：——A/3.

3

【点睛】

本题考查了扇形的面积计算以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出四边形GBHD的面积等于△ABD的

面积是解题关键.

13、58°

【解析】

272°

b

如图,N2=180°-50°-72°=58°,

•.•两个三角形全等，

；./1=/2=58°.

故答案为58°.

14、0

【解析】

连接BD,根据NE8=90。可得NAO£)+N3OE=90°,并且根据圆的半径相等可得△OAD、△OBE都是等腰三

角形，由三角形的内角和，可得NC=45。，则有汨是等腰直角三角形，可得CB:CD=6

即可求求解.

【详解】

解：如图示，连接BD,

V/EOD=90。,

:.ZAOD+ZBOE=90°,

VOB=OE,OA=OD,

AZOAD=ZODA,ZOBE=ZOEB,

AZOAD+ZOBE=1(360°-90°)=135°,

:.Z4CB=45。，

；AB是直径，

:.ZADB=ZCDB=90°,

•*.△CD8是等腰直角三角形，

CB:CD=42.

【点睛】

本题考查圆的性质和直角三角形的性质，能够根据圆性质得出△CD8是等腰直角三角形是解题的关键.

15、(—7t——)cm2

42

【解析】

__905「x5x5=至二型病.

用影=S*»-SAOBD=-------冗,

36024

故答案是：咛°cm2.

16、—2<x<—1

【解析】

分析：不等式4x+2<kx+b<0的解集就是在x下方，直线y=kx+b在直线y=4x+2上方时x的取值范围.

由图象可知，此时一2<x<—l.

三、解答题（共8题，共72分）

,、33-6-

17、(1)--x+~,y=—;(2)12;(3)x<-2或0<xV4.

42x

【解析】

（1）将点A坐标代入解析式，可求解析式；（2）一次函数和反比例函数解析式组成方程组，求出点3坐标，即可求

△A3歹的面积；（3）直接根据图象可得.

【详解】

3k

（1）.・次函数尸-厂方的图象与反比例函数尸〕厚。）图象交于"一3,2）、5两点,

3

3=---x(-2)+b,k=-2x3=-6

4

3

b=—,k=-6

2

33-6

••・一次函数解析式+反比例函数解析式

x

33

y=~—x+—

-42

（2）根据题意得：<

-6

y=­

X

尤2=4

X]=-2

解得：<3

%=3%=_'

1

SAABf=—x4x(4+2)=12

2

（3）由图象可得：x<-2或0VxV4

【点睛】

本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，待定系数法求解析式，熟练运用函数图象解决问题是本题的

关键.

1QC

18、(1)两人相遇时小明离家的距离为1500米；(2)小丽离距离图书馆500,"时所用的时间为丁分.

【解析】

(1)根据题意得出小明的速度，进而得出得出小明离家的距离；

(2)由(1)的结论得出小丽步行的速度，再列方程解答即可.

【详解】

解：(1)根据题意可得小明的速度为:4500+(10+5)=300(米/分)，

300x5=1500(米)，

•••两人相遇时小明离家的距离为1500米；

(2)小丽步行的速度为：(4500-1500)-r(35-10)=120(米/分),

设小丽离距离图书馆500m时所用的时间为x分，根据题意得，

1500+120(x-10)=4500-500,

解得*=学.

6

1QC

答：小丽离距离图书馆500〃7时所用的时间为端分.

【点睛】

本题由函数图像获取信息，以及一元一次方程的应用，由函数图像正确获取信息是解答本题的关键.

19、(1)y=-X2+2X+3⑵(生回，-)⑶当点P的坐标为(之，粤)时，四边形ACPB的最大面积值为§

22248

【解析】

(1)根据待定系数法，可得函数解析式；

(2)根据菱形的对角线互相垂直且平分，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标；

(3)根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PQ的长，根据面积的和差，可得

二次函数，根据二次函数的性质，可得答案.

【详解】

(1)将点B和点C的坐标代入函数解析式，得

9〃+6+c=0

c=3,

二次函数的解析式为y=-X2+2X+3；

（2）若四边形POP-C为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上,

如图1,连接PP，，则PELCO,垂足为E,

3

.•.点P的纵坐标2,

2

当y=2时，即—Y+2x+3=及,

-22

生普.（不合题意，舍）,

解得七二2±普,

•••点P的坐标为（江®

设直线BC的解析式为y=kx+b,

将点B和点C的坐标代入函数解析式，得

加+3=0

<b=3,

k=~l

解得

b=3.

直线BC的解析为y=-x+3,

设点Q的坐标为（m,-m+3）,

PQ=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m.

当y=0时，-X2+2X+3=0,

解得Xl=-1,X2=3,

AB=3-(-1)=4,

S四边彩ABPC=SAABC+SAPCQ+SAPBQ

=^ABOC+^PQOF+^PQFB,

=gx4x3+g(一一+3mjx3,

3

当m=一时，四边形ABPC的面积最大.

2

当m二』时,—m2++3=—

2m即P点的坐标为

24

当点P的坐标为时，四边形ACPB的最大面积值为?.

【点睛】

本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用菱形的性质得出P点的纵坐标，又

利用了自变量与函数值的对应关系；解（3）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质.

20、（1）证明见解析；（2）四边形ADCN是矩形，理由见解析.

【解析】

（1）根据平行得出NDAM=NNCM,根据ASA推出△AMD名△CMN,得出AD=CN,推出四边形ADCN是平行

四边形即可；

（2）根据NAMD=2/MCD,NAMD=/MCD+NMDC求出NMCD=/MDC,推出MD=MC,求出MD=MN

=MA=MC,推出AC=DN,根据矩形的判定得出即可.

【详解】

证明：（1）VCN//AB,

NDAM=NNCM,

•.•在△AMD和4CMN中,

NDAM=NNCM

MA=MC

NDMA=NNMC,

/.△AMD^ACMN(ASA),

；.AD=CN,

又；AD〃CN,

二四边形ADCN是平行四边形,

/.CD=AN；

(2)解：四边形ADCN是矩形,

理由如下：VZAMD=2ZMCD,ZAMD=ZMCD+ZMDC,

/.ZMCD=ZMDC,

.,.MD=MC,

由(1)知四边形ADCN是平行四边形,

.\MD=MN=MA=MC,

，AC=DN,

四边形ADCN是矩形.

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，矩形的判定的应用，能综合运用性质进行推理是解

此题的关键，综合性比较强，难度适中.

21、-x+1,2.

【解析】

先将括号内的分式通分，再将乘方转化为乘法，约分，最后代入数值求解即可.

【详解】

原式=(x-2)-(工-二)

X-1X-1

=(x-2)巨

X-1

=(x_2).

-(x-3；

=-X+1,

当x=-1时，原式=1+1=2.

【点睛】

本题考查了整式的混合运算-化简求值，解题的关键是熟练的掌握整式的混合运算法则.

25

22、。。的半径为一.

6

【解析】

如图，连接OA.交BC于H.首先证明OA_LBC,在RtZkACH中，求出AH,设OO的半径为r,在RtABOH中,

根据BH2+OH2=OB2,构建方程即可解决问题。

【详解】

解：如图，连接OA.交BC于H.

•••点A为5。的中点，

AOAIBD,BH=DH=4,

:.ZAHC=ZBHO=90°,

.•厂1AH

•sinC=—=-----,AC=9,

3AC

.\AH=3,

设。O的半径为r,

在RtABOH中，VBH2+OH2=OB2,

42+(r-3)2=r2,

._25

••r=一,

6

25

.•.(DO的半径为3.

【点睛】

本题考查圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线,

构造直角三角形解决问题.

23、(1)①y=--x2+—x+3；②P(-----",')或「(---'_,-'_)；(2)--<a<l；

36444128

【解析】

(1)①先判断出△AOB^^GBC,得出点C坐标，进而用待定系数法即可得出结论；②分两种情况，利用平行线(对

称)和直线和抛物线的交点坐标的求法，即可得出结论；(2)同(1)②的方法，借助图象即可得出结论.

【详解】

(1)①如图2,VA(1,3),B(1,1),

/.OA=3,OB=1,

由旋转知，NABC=91。，AB=CB,

.,.ZABO+ZCBE=91°,

过点C作CGLOB于G,

.,.ZCBG+ZBCG=91°,

ZABO=ZBCG,

/.△^AOB^AGBC,

/.CG=OB=1,BG=OA=3,

/.OG=OB+BG=4

AC(4,1),

抛物线经过点A(1,3),和D(-2,1),

16a+4b+c=l

/.{4a—2b+c=0,

c=3

1

a=——

3

•••“5,

{b=—

6

c=3

2

.••抛物线解析式为y=-7X+|X+3；

36

②由①知，AAOBgaEBC,

.\ZBAO=ZCBF,

VZPOB=ZBAO,

/.ZPOB=ZCBF,

如图1,OP/7BC,

VB(1,1),C(4,1),

・・・直线BC的解析式为y=1x-J,

工直线OP的解析式为y=gx,

V抛物线解析式为y=-底+3X+3；

36

3+3折3-3717

x=-----------x=----------

联立解得，｛二4或｛二4