2024年高考数学复习：圆的综合问题（重点突围）(教师版)

高考复习材料

专题09圆的综合问题

.【中考考向导航】

目录

【直击中考】...................................................................................1

【考向一利用圆性质求角的度数】...........................................................1

【考向二利用圆性质求线段的长度】.........................................................3

【考向三利用圆性质求圆的半径】..........................................................11

【考向四利用圆性质求线段的最值】........................................................12

【考向四利用圆性质求阴影部分的面积】....................................................15

【考向五切线的证明综合应用】............................................................16

3:1

£学【直击中考】

【考向一利用圆性质求角的度数】

例题：（2022秋・浙江杭州•九年级校联考阶段练习）如图，四边形N8CD内接于e。，4B=CD,4为3D中

点，ZBDC=60°,则等于（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】B

【分析】根据48=，/为助中点求出ZCBD=ZADB=ZABD,再根据圆内接四边形的性质得到

ZABC+ZADC=1SO°,即可求出答案.

【详解】解：以为分。中点，

励=初，

ZADB=ZABD,AB=AD,

AB=CD,

：.NCBD=NADB=ZABD,

•••四边形/BCD内接于e。，

ZABC+ZADC=1SO°,

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.•.3//。2+60°=180°,

ZADB=40°,

故选民

【点睛】此题考查圆周角定理，解决本题的关键是掌握在同圆中等弧所对的圆周角相等、相等的弦所对的

圆周角相等，圆内接四边形的性质：对角互补.

【变式训练】

1.（2022•湖北省直辖县级单位•校考二模）如图，一块直角三角板的30。角的顶点尸落在e。上，两边分别

交e。于48两点，连结NO,BO,则的度数是（）

【答案】B

【分析】根据圆周角定理解决问题即可.

【详解】解：•.•/」=30。,

又•：4AOB=2ZP,

ZAOB=60°,

故选：B.

【点睛】本题考查了圆周角定理，解决问题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型.

2.（2022•黑龙江哈尔滨•校考二模）如图，A、B、C、。四个点均在eO上，ZAOD=70°,AO//DC,

【答案】55。##55度

【分析】首先连接AD,由A、B、C、。四个点均在e。上，ZAOD=70°,AO//DC,可求得/4D。与

/8C的度数，然后由圆的内接四边新的性质，求得答案.

【详解】解：连接

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・・・OA=OD,ZAOD=70°,

AO//DC,

ZODC=ZAOD=10°,

ZADC=ZADO+ZODC=125°,

ZB=180°-ZADC=55°.

【点睛】此题考查了圆的内接四边形的性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质.此题比较适中，注意

掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.

3.（2022•内蒙古通辽•模拟预测）如图所示，已知四边形是e。的一个内接四边形，且

ZBOD=110°,则/。C£=

【答案】55。##55度

【分析】先根据圆周角定理求出//的度数，再由圆内接四边形的性质即可得出结论.

【详解】解：

ZA=-ZBOD=55°.

2

•••四边形/BCD是圆内接四边形，NDCE是四边形的一个外角，

ADCE=ZA=55°.

故答案为：55°.

【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理等内容，熟知圆内接四边形的任意一个外角等于

它的内对角是解题的关键.

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【考向二利用圆性质求线段的长度】

例题：（2022•四川绵阳・东辰国际学校校考模拟预测）如图，点/,B,C,。在e。上，点N为Qc的中点,

CM交弦2c于点E.若N/DC=30。，AE=l,则2C的长是（）

【答案】C

【分析】连接OC,根据圆周角定理求得4。。=60。，在Rt^COE中可得O£=goC=；ON,可得OC的

长度，故CE长度可求得，即可求解.

【详解】解：连接。C,

ZAOC=60°,

OE1

在RtZiCOE中，一=cos60°=-,

OC2

：.OE=-OC=-OA,

22

AE=-OC=-OA

22

AE-1,

**.OA=OC=2,

•••C£=V3

•••点4为2c的中点，

BC=ICE=2百，

故选：D.

【点睛】本题考查圆周角定理和垂径定理，解直角三角形，作出合适的辅助线是解题的关键.

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【变式训练】

1.(2022,江苏盐城•盐城市第四中学(盐城市艺术高级中学、盐城市逸夫中学)校考模拟预测)如图，以43

为直径的e。与/C相切于点A,点。、E在e。上，连接4£、ED、DA,连接AD并延长交/C于点C,

AE与BC交于点、F.

⑴求证：NDAC=NDEA；

⑵若点E是弧AD的中点，e。的半径为3,BF=2,求/C的长.

【答案】⑴见解析

(2)8

【分析】(1)根据切线的性质可得NC4D+4840=90。，再由N2为e。的直径，可得+/54D=90。,

从而得到=再由圆周角定理，即可求证；

(2)根据点£是弧AD的中点，可彳导/D4E=/BAE,再由NC4D=NB,可得NC4F=/CE4,从而得到

CA=CF,设C4=CF=x,贝lj8C=x+2,在中，根据勾股定理，即可求解.

【详解】(1)证明：・・・e。与4C相切，

.-.AC1AB,即/A4c=90。，

.■.ZCAD+ZBAD=90°,

••・AB为eO的直径，

ZADB=90°,

:.NB+NBAD=90°,

；.NCAD=2B,

■■■ZAED=ZB,

：.ZDAC=ZDEA；

(2)解：••・点♦是弧3是的中点,

•••ZDAE=ABAE,

ZCAD=ZB,ZCAF=ZCAD+ZDAF,ZCFA=ZEAB+ZDBA,

ZCAF=ZCFA,

CA=CF,

^CA=CF=x,贝！|8C=x+2,

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・•,eO的半径为3,

AB-2,

在RtZ^/BC中，AB2+AC2=BC2,

：.62+x2=（2+x）2,

解得：x=8,

即/C=8.

【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质、勾股定理，解题的关键是利用同角的余角相等求得

ZCAD=ZB.

2.（2022•内蒙古通辽•模拟预测）如图，e。与V48c的8C边相切于点3,与4C、边分别交于点。、

E,DE//OC,E8是eO的直径.

⑴求证：4c是eO的切线；

（2）若/。=2,AE=\,求CD的长.

【答案】⑴见解析

（2）3

【分析】（1）连接OD,根据切线的性质得到£）8=90°,根据平行线和等腰三角形的性质可得

NCOD=ZCOB,再利用“边角边"证明ACODmACOB,根据全等三角形的性质得到ZCDO=ZCBO=90°,

即可证明/C是eO的切线；

（2）设e。的半径为厂，则。。=。£=。8=.，根据勾股定理解RtZk4DO求出厂，进而求出42的长度，再

根据相似三角形的性质得到8C的长度，根据全等三角形的性质即可求解.

【详解】（1）证明：如图，连接OD.

•••eO与\IABC的BC边相切于点B,EB是eO的直径,

05=90°.

•••DE//OC,

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/DEO=ZCOB,/ODE=/COD.

OD—OE,

/DEO=/ODE,

・..ZCOD=ZCOB,

在△COD与△COB中，

OD=OB

</COD=/COB,

co=co

△COD之△COB(SAS),

ZCDO=ZCBO=90°,

力c是e。的切线；

(2)解：设eO的半径为厂，

OD=OE=OB=r.

AE=1,

AO=r+1.

ZADO=90°,

•••AD2+OD2=AO1,

：.22+r2=(r+l)2,

3

解得：r=],

3

AB=AE+2r=l+2x-=^,

2

vZADO=ZB=90°,ZA=ZA,

「•MADO^MABC,

.ADOD

3

2=2,

4

BC=3,

由(1)知，△COD之△COB,

CD=BC=3.

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理,

平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键.

3.(2022•湖北省直辖县级单位•校考一模)如图，e。是VZ5C的外接圆，4。是e。的直径，咒是4D延长

线上一点，连接C。，CF,且=

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⑴求证：CF是eO的切线；

3

⑵若cos8=y,AD=5,求FD的长.

【答案】⑴见解析

（2）T

【分析】（1）连接OC,是e。的直径，则N/C£>=90。，得到/4DC+/C/D=90。，由OC=OD得到

ZADC=ZOCD,又由/DCF=NC4D得到/DCF+/OCD=90。，即可得到结论；

（2）解直角三角形得到。）=3,AC=4,得到段=1,再证明VR2DSVE4C,得到段===磐=

AC4ACFAFC

315

—,设ED=3x,FC=4x,AF=3x+5,进一步求得x二一，即可得到答案.

47

【详解】（1）解：连接OC,

•・•4。是eO的直径，

・•.ZACD=90°,

.-.ZADC+ZCAD=90°,

又OC=OD,

・•.ZADC=ZOCD,

又•；/DCF=/CAD.

/.ZDCF+ZOCZ>=90°,

即OC_LCF,

••.C户是eO的切线；

3

(2)•;/B=NADC,COSB=M，

3

・..cosZADC=—,

5

在Rt^/CD中，

3CD

•・•cosZADC=—=-----,AD=5,

5AD

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3

：.CD=ADcosZADC=5x-=3f

-AC=yjAD2-CD2=4,

CD_3

AC4

vZFCD=ZFAC,NF=NF,

:NFCDsVFAC,

,CD_FC_FD_3

"AC~FA~FC~4f

设FD=3x,FC—Ax,AF=3x+5,

又,•,FC2=FD*FA,

即（4X）2=3X（3X+5）,

解得X=］（取正值），

FD—3x=—.

7

【点睛】此题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，熟练掌

握相关定理是解题的关键.

4.（2022•四川绵阳•东辰国际学校校考模拟预测）如图，为e。的直径，4c为弦,过点C的切线与43

的延长线交于点P,£为e。上一点，且CE=/C,连接班并延长交CP于点

⑴求证：BHLCP.

⑵若48=36，tanZE=,求/归的长.

【答案】⑴见解析

⑵逑

5

【分析】（1）连接OGOE,由切线的性质可知NOCP=90°,再证明E"〃OC,则/A9P=/OCP=90°,可得

BHLCP-,

（2）连接OC,8C,根据48为e。的直径得a4c8=90°,根据//=/£■得tan/E=tanNN=第=；,得

AC=2BC,利用勾股定理/C?+Be?：//,解得5c=3或8c=-3（舍去），则/C=28C=6,证明

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PBpcCBi

MPCB^MPAC,则五==封=方=不，设尸8=x,贝ijPC=2尸8=2尤，PA=2PC=4x,可得

ULFAAO乙

PHPR2

4x—x=3A/5,解1=V5,则P5=V5,PC=2A/5,由(1)可得BH//OC,~pQ=~PQ=g，从而可得

PH=-PC=^~.

55

【详解】(1)解：如图①，连接OC,OE,

图①

AC=EC

在△zco和VECO中，\oc=oc,

OA=OE

/.△4CO也△ECO(SSS),

NACO=NECO,

vOA=OC,

N4=NACO,

NZ=NECO,

又=NA=NCEB,

/./ECO=/CEB,

EH//OC,/BHP=ZOCP

•・•。尸与eO相切，

二•OC1CP,

・••BH1CP.

(2)解：如图②，连接OC,BC,

图②

・・•为eO的直径,

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，ZACB=90°,

/A=/E,

/厂,从BC1

tanZ-E-tanNA==一,

AC2

AC=2BC,

AC2+BC2=AB2,

（25C）2+5C2=（3V5）\解得BC=3或BC=—3（舍去），

AC=2BC=6,

・・•C尸为切线,

•*-ZOCP=NOCB+NPCB=NOBC+NPCB=90°.

•••为e。的直径，

二.ZOBC+ZA=90°,

NPCB=ZA,

又丁/P=/P,

MPCB^MPAC,

.PBPC_CB_3_j_

,lPC~^A~14C~6~2f

设=贝iJPC=2PB=2x,PA=2PC=4x,

PA-PB=AB=35

4x-x=3y[5,解％=退，

：•PB=有,PC=2#,由（1）可得BH〃OC,

PH_PB_V?2

-~PC~~PO~r-375-5，

^5+—

PH=-PC=-x245=—.

555

【点睛】此题考查切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股

定理、二次根式的化简等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，构造出直角三角形、全

等三角形、相似三角形、矩形，利用全等三角形、相似三角形、矩形的性质以及勾股定理求得结果.

【考向三利用圆性质求圆的半径】

例题：（2022•福建福州,校考一模）如图，四边形"BCD内接于e。，ZABC=135°,AC=4,贝ije。的半径

为（）

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B

A.4B.2V2C.273D.472

【答案】B

【分析】先根据圆内接四边形对角互补得出/4DC=45。，由圆周角定理得出N2OC=90。，根据O/=OC可

得出答案.

【详解】连接04，0C,

・四边形N3C。内接于e。，ZABC=135°

.-.ZADC=45°

.-.ZAOC=90°

由勾股定理得：OA2+OC2=AC2

•；0A=0C,AC=4

■■OA=272

.,.eO的半径为：2亚

故选：B.

【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角与圆心角的关系，解题的关键是熟练运用相关定理.

1.（2022•福建福州•校考一模）如图，2C为eO的直径，P为C8延长线上的一点，过尸作e。的切线尸/,

/为切点，PA=4,PB=2,则e。的半径等于.

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【答案】3

【分析】连接。1,因为尸/是e。的切线，得/尸/。=90。，结合已知在比V/M。中运用勾股定理即可求

解.

【详解】连接

••・尸/是e。的切线，

ZPAO=90°,

•••PA=4,尸2=2,

在R/VP/O中，

PO2=PA2+AO2，

即（80+2『=42+/02,

.-.（AO+2）2=42+AO2,

解得AO=3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查了切线的性质和勾股定理的运用；掌握切线的性质构造直角三角形是解题的关键.

2.（2022・湖北省直辖县级单位•校考一模）如图，点/,B,C在e。上，440c=90。，4B=20,

BC=1,则e。的半径为.

【分析】过点/作交CB的延长线于点E,连接/C,先求出N/8C=135。，则/4BE=45。，利用

等腰直角三角形的性质得到/£=即=2,则EC=3,利用勾股定理求出/C的长即可得到答案.

【详解】解：过点工作4ELC8交C8的延长线于点£,连接/C.

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•・•/4。。=90。，

NABC=1(360°-90°)=135°,

.-.ZABE=45°,

•••ZE=90°,AB=2逝,

AE=EB=2，

vBC=\,

:・EC=3,

■■AC=YIAE2+CE2=V13，

.-.OA=OC=—AC=^-.

22

故答案为：叵.

2

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定,

正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

3.（2022•云南文山•统考三模）如图，在V/8C中，44=90。，D、E分别是/3、2C上的点，过3、D、E

三点作e。，交延长线于点/，4C=3,BC=5,AD=\.

⑴求证：VCDEdCBF；

⑵当e。与CD相切于点。时，求e。的半径;

⑶右S'CDE=3S、BDF，求DF的值.

【答案】⑴见解析

⑵巫

2

⑶梦

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【分析】(1)根据圆内接四边形的性质得到/CED=/BED,即可证明；

13

(2)连接过点。作垂足为求出80=3,DM=-BD=~,再证明\/0儿/0-心。,

从而求出求e。的半径

(3)过点。作DHL5C,垂足为X,过点8作BGLCP,垂足为G,利用等积法求出

DH=-,BG=-^Wf设QF=5x,则C£=15x,利用VCD£sVCBE即可求出。尸的值.

【详解】(1)•・•四边形B即尸是。0的内接四边形，

・•./BED+/BFD=\800,

•；/BED+NCED=18。。,

ZCED=/BFD,

vZDCE=ZBCF,

.NCDENCBF、

(2)连接0。，过点。作垂足为M,

；,/ODM+/MOD=90。，

/=90。，BC=5,AC=3,

/.AB=yjBC2-AC2=V52-32=4,

•••AD=1,

'.BD=AB-AD=4-1=3,

13

:.DM=—BD=一,

22

在用VADC中，CD=>JAC2+AD2=732+12=V10，

•.・e。与。。相切于点Z),

・・・/。。。=90。，

ZODM+ZADC=180°-ZODC=90°,

・•.ZMOD=/ADC,

-ZOMD=ZA=90°f

・•.MDMO^MCAD,

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。o

cD

3

-

2

-

3

£>

••・e。的半径为巫；

2

(3)过点。作垂足为X,过点3作垂足为G,

^.^V8。C的面积=■1■BC.。H=LB。./c=工8G.CD,

222

BC-DH=BD-AC=BG-CD,

5DH=3x3=ABG,

:.DH=-,BG=—y/\Q,

510

，?S'CDE-3S、BDF，

:.-CE-DH=3x-DF-BG,

22

：.CEDH=3DFBG,

:2CE=3DF2M,

510

9

.DF飞M

"~CE~27-Vio-IT'

10

.,・设。尸=JT金，则CE=15x,

由（1）得：YCDE小CBF,

.CDCE

"cs"cF'

,V1015x

"5"Vw+V10x，

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2

解得：=~,

2

经检验：工=耳是原方程的根，

.-.£）F=VH）x=—V10,

13

尸的长为《®

【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆的切线的性质、相似三角形的性质与判定，解题的关键是能够

根据题目的条件，进行推理证明.

【考向四利用圆性质求线段的最值】

例题：（2022•安徽合肥,校联考三模）如图，AB是eO的直径，=8,点”在e。上，NMAB=20。”是

顺的中点，P是直径上的一动点，若MN=2,贝UVPMN周长的最小值为（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】根据动点最值，将军饮马模型，如图所示，作点N关于的对称点N',连接W交48于尸，

YPMN周长为PM+PN+MN=2+PM+PN,由对称性知VP71W周长为=2+PM+PN=2+PM+PN',根

据两点之间线段最短可知VP九W周长的最小为2+MM,利用圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质进行

计算即可得到答案.

【详解】解：作点N关于的对称点N',则点V在e。上，连接交4B于P，

由对称性知PN=PN',

7PMN周长为PM+PN+MN=2+PM+PN=2+PM+PN',

根据两点之间线段最短可知VPMN周长的最小为2+MN',

•・•点N是加的中点，NMAB=20。,

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:.沟N=NB=BN，

ZBAN'=10°,

・•./M4N'=20°+10°=30°,

:"MON=60°,

・•.△MON'是正三角形，

：.OM=ON'=MN'=-AB=4,

2

■：MN=2,

MPMN周长的最小值为2+4=6,

故选：C.

【点睛】本题考查动点最值问题-将军饮马模型，涉及圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称性质,

掌握圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质是解决问题的关键.

【变式训练】

1.（2022•广东江门•校考一模）矩形/BCD中，AB=2,3c=6,点尸为矩形内一个动点且满足

4PBe=4PCD,则线段PD的最小值为.

【答案】V13-2##-2+A/T3

【分析】通过矩形的性质和等角的条件可得4BPC=90。，所以尸点应该在以3c为直径的圆上，根据两边

之差小于第三边及三点共线即可解决问题.

【详解】解：如图，

•.•四边形/BCD为矩形，

...AB=CD=2,ZBCD=90°,

.-.ZPCD+ZPCB=90°,

•••/PBC=ZPCD,

\BPBC+BPCB=90°,

NBPC=90°,

.•.点尸在以为直径的e。上，

在RtAOCD中，OC=—BC=—x6=3,CD=2,

22

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由勾股定理得，0D=<0C2+CD?=&S=屈，

■：PD>OD-OP,

当尸,D,。三点共线时，PD最小，

PD的最小值为OD-OP=5-2.

故答案为：V13-2.

【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，线段最小值问题及圆的性质，分析出尸点的运动轨迹是解题的

关键.

2.（2022・广东江门•校考一模）V/8C中，AB=AC=13,3c=24,点。，。为V48c的对称轴上一动点，

过点。作e。与3C相切，与e。相交于点E,那么4E的最大值为.

【答案】6+VM##VM+6

【分析】设VNBC的对称轴交于尸，连接所，根据圆周角定理及题意得出点E在以3尸为直径的圆上,

由勾股定理得出//=，/尸+尸/2=后行=用，结合图形即可得出最大值.

【详解】解：设V/8C的对称轴交8C于尸，连接斯，

•••AB=AC,

：.MABC的对称轴DF1BC,

.，.e。切8C于尸,

••・Z）尸是e。的直径,

ZDEF=90°,

ZBEF=180°-ZDEF=90°,

.・•点E在以AF为直径的圆上，

AFLBC,AB=AC=13,

；.BF=CF=12,BI=FI=6,

AF=yjAB2-BF2=5，

Al—VAF2+FI2—J52+62=y[6\，

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；•-/+£7=6+时

故答案为：V61+6.

【点睛】题目主要考查圆周角定理及等腰三角形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出相应辅助

线是解题关键.

【考向四利用圆性质求阴影部分的面积】

例题：（2022・广东江门•校考一模）如图，正方形的边长为2,则图中阴影部分的面积为（）

TT7TJTJT

A.2——B.1——C.2——D.——1

2442

【答案】D

【分析】如图，根据1/用，求解即可.

【详解】解：如图，

•・•四边形45CQ是正方形，

ZEAF=45°,

•・•EFLAB,

••.△AEF是等腰直角三角形，

AB=AE=2,

・•・AF=EF=6，

•••6阴—S扇形ABE~»四=^^一;X后X收-1.

36022

故选：D.

【点睛】本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的

关键是学会利用分割法解决问题，属于中考常考题型.

【变式训练】

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1.（2022•湖北省直辖县级单位•校考一模）如图，在半径为2,圆心角为90。的扇形内，以2C为直径作半圆,

交弦于点。，则图中阴影部分的面积是（）

A.K—\B.7T—2C.-7T—1D.—乃+1

22

【答案】A

【分析】已知8C为直径，则/CDB=90。，在等腰直角三角形4BC中，CD垂直平分48,CD=DB,D

为半圆的中点，阴影部分的面积可以看作是扇形/CB的面积与△/DC的面积之差.

【详解】解：在RtaZCB中，AB=^22+22=272，

••・BC是半圆的直径，

ZCDB=90°,

在等腰RtZ\/C8中，C7）垂直平分48,CD=BD=叵，

为半圆的中点，

S阴影部分=S扇形，CB-=『x22-]X（V^）=万-1.

故选：A.

【点睛】本题考查扇形面积的计算公式及不规则图形面积的求法，掌握面积公式是解题的关键.

3

2.Q022春•九年级课时练习）如图，矩形/BCD中，48=2,BC.，尸是48中点，以点A为圆心，AD

为半径作弧交于点以点3为圆心，8尸为半径作弧交8C于点G,则图中阴影部分面积的差岳-昆为

【分析】根据图形可以求得3尸的长，然后根据图形即可求得d-邑的值.

3

【详解】解：；在矩形NBCD中，AB=2,BC=~,尸是中点,

高考复习材料

BF=BG=L

..S[=S矩形/BCD-S扇彩4DE_S扁形BGF+*^2>

90-^x—,

31<2J90-^-xI2_313万.

2360360~~{6

故答案为：3--

lo

【点睛】本题考查了扇形面积的计算、矩形的性质，解本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件,

利用数形结合的思想解答.

3.(2022秋•四川泸州•九年级统考期中)如图，AB,/C分别是e。的直径和弦，半径于点。.过

点A作e。的切线与OE的延长线交于点尸，PC,的延长线交于点尸.

⑴求证：PC是e。的切线；

(2)若PC=2/。，A8=10,求图中阴影部分的面积.

【答案】⑴见解析

⑵25#_

26

【分析】(1)连接OC,可以证得尸丝△COP,根据全等三角形的性质以及切线的性质定理可以得到

NOCP=90。，即OCL尸C,即可证得PC是eO的切线；

(2)根据垂径定理得到AD=CD=^AC,根据切线的性质得到PA=PC,求得ZCAF=ZPAO-ZPAC=30°,

根据等腰三角形的性质得到/C/F=//CO=30。，根据勾股定理得到W尸-OC。=Ji。。-5?=5#，根

据三角形和扇形的面积公式即可得出结论.

【详解】(1)证明：连接。C,

；尸4是e。的切线，48是e。的直径,

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ZPAO=90°,

•.・C^_LZC于点。，

岫=班，

:.ZAOE=NCOE,

在MOP和ACO尸中,

AO=CO

</AOP=NCOP,

OP=OP

:.△AOP"XCOP(SAS),

ZPCO=ZPAO=90°,

/.OC1PC,

・・,。。是e。的半径，

尸C是eO的切线.

(2)解：4c于点Q,

/.AD=CD=-AC,

2

-PA,PC是eO的切线，

:.PA=PC,

PC=2AD,

：.PA=PC=AC,

...ZPAC=60°f

/.NCAF=ZPAO-ZPAC=30°,

vOA=OC,

ZCAF=ZACO=30°,

ZCOF=2ZCAF=60°,

/F=90°-ZCOF=30°,

:.OF=2OC=10,

在RtMOCF中，CF=yloF2-OC2=V102-52=5G，

60•万§_25425万

S阴影=S^COF_S扇形80C=5X5邓x5一

36026

故答案为：

26

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，三角形和扇形的面积公式，全等三角形的判定和性质,

正确地作出辅助线是解题的关键.

4.（2022•江苏扬州•校考三模）如图，放A43C中，08=90。，ZC=30°,。为4C上一点，OA=2,以。

高考复习材料

为圆心，以为半径作圆与48相交于点尸，点E是。。与线段2c的公共点，连接OE、OF、EF,并且

/EOF=2/BEF.

⑴求证：8C是。。的切线;

⑵求图中阴影部分的面积.

【答案】⑴见解析

(2)-73--^-

23

【分析】(1)连接。尸、DE,由4D是直径，得出NDFE+NBFE=90°,进而得出/SEP=NDFE,由圆周

角定理得出/=2/ED尸，进而得出/5£尸=/瓦)尸，然后得出/DFE=/EDF,再证明

NODE或OFE,WtHZEOD=ZEOF,再证明△必尸是等边三角形，进而得出400=60。，证明0E〃48,

即可得出OEL8C,即可得出结论.

(2)先求出等边三角形尸的面积为：!x2xV3=V3,由(1)可得出NCOF=120。，求出扇形。0/

的面积为：N=了,再由勾股定理得出5c=3g,求出V28C的面积为：-x3x3V3=-V3,然后

360322

可求得阴影部分的面积.

【详解】(1)如图，连接。尸、DE,

・•・AD是直径，

DF工AB,

/.ZDFE+ZBFE=90°9

-DB=90°,

/.ZBEF+ZBFE=90°,

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・••/BEF=ZDFE,

-ZE0F=2ZBEF,ZEOF=2ZEDF,

^ZBEF=ZEDF,

・•・/DFE=NEDF,

DE=EF,

•：OD=OF,

:.VODE出OFE,

・•.ZEOD=/EOF,

•・・£)8=90°,ZC=30°,

ZA=60°f

•・•OA=OF,

△。4尸是等边三角形，

ZAOF=60°,

.­.ZEOD=60°,

.-.OE//AB,

・•.ZOEC=90°

；,OEIBC,

••・o石是半径，

・••BC是。。的切线.

(2)•••△O4尸是等边三角形，

：,ZAOF=60°,

•••OA=2,

.・.△O4产的面积为：-x2xV3=V3,

2

vZCOF=120°,

••・扇形。。尸的面积为：上整万，

3603

•：/OEC=90。,/C=30。，OA=OE=2,

OC=2OE=4,

：,AC=OC+OA=6,

AB=-AC=?>,

2

二由勾股定理可得：BC=3如,

・•.V/8C的面积为：-X3X3A/3=-V3,

22

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・•・阴影部分的面积为：3△一右一3兀二6一3兀.

2323

【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，扇形的面积，等边三角形的判定与性质，正确作辅助线是解

题的关键.

5.(2022秋•全国•九年级专题练习)如图，已知AB,CD为e。的直径，过点/作弦/E垂直于直径CD于

F,点、B恰好为£)E的中点，连接BC，BE.

D

⑴求证：AE=BC-

(2)若AE=2后,求e。的半径；

(3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积.

【答案】⑴证明见详解；

(2)2；

(3)|^-V3.

【分析】(1)连接3。，AB,。。为e。的直径，得到两个直角及两条线段相等，再根据弧的中点得到弧

相等，从而等到角相等，证明两个三角形全等即可得到答案；

(2)连接OE,根据弧的中点得到弧相等，从而等到圆周角圆心角的关系，结合平角/40E,求出//的

度数，在如A4O尸中根据勾股定理即可得到答案；

(3)由(2)可得圆心角度数直接求扇形面积，再算出AO8E的面积即可得到阴影部分面积.

【详解】(1)证明：连接AD,

・：AB,为e。的直径，

ZAEB=ZABD=90°,AB=CD,

高考复习材料

丫点B是的中点，

朋=AD，

NA=NC,

在\AEB与&CBD中，

•••NN=NC,ZAEB=ZABD=90°,AB=CD,

：.\AEB=ACBD,

/.AE=BC；

(2)解：连接OE,

,:点、B是DE的中点，

•-RE=RD，

/DOB=ZEOB,ZA=ZC=-/BOE,

2

•・・ZE垂直于直径C£＞于RAO=EO,

ZAOF=ZCOF,ZAFO=ZCFO=90°fAF=EF=-AE=y/3,

2

•・•/DOB=ZAOF,

・•.ZAOF=ZCOF=Z.BOE,

vZAOF+ZCOF+/BOE=180°,

/AOF=ZCOF=NBOE=60°,

.・.NA=NC=30°,

：.OE=-OA=-r,

22

在RfZUO尸中，

r2-(1r)2=(V3)\

解得：r=2；

(3)由(2)可得，

高考复习材料

60x^-x222

扇形—一360—~371'

在R/A4即中，

.,.//="=30°,

.-.BE=-AB=r=2,OF=-OA=l,

22

x

S^OBE=~S1MOE=5xAExBE~~xOF=—x2^/3x2——x2^/3x1=^3,

•1•$阴影=$扇形一S^OBE=§■万一6.

【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、扇形的面积以及解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角

形和等边三角形是解题的关键.

【考向五切线的证明综合应用】

例题：(2022•湖南株洲•校考二模)如图，在菱形/BCD中，。是对角线8。上一点(2。＞。。)，OE1AB,

垂足为E,以OE为半径的e。分别交。C于点反，交E。的延长线于点尸，EF与DC交于点G.

⑴求证：8C是eO的切线；

(2)若G是。尸的中点，0G=2,Z)G=1.

①求扇形。上行的面积；

②求的长.

【答案】⑴见解析

⑵①|万，②

【分析】(1)过点。作(WLBC于点证明OM=OE即可；

(2)①先求出/G〃O=30。，再求出/欧汨'=60。，077=4,代入扇形面积公式即可;

②过A作NN_L8D,由△DOGs△£)/%,对应边成比例求出4D的长.

【详解】(1)解：证明：如图，过点。作(WL8C于点”，

高考复习材料

Q8。是菱形ABCD的对角线，

/ABD=ZCBD,

•：OMIBC,OE1AB,

OE=OM,

「•5C是eO的切线.

(2)①G是。尸的中点，OF=OH,

OG=-OH,

2

vAB//CD,OELAB,

OFLCD,

40GH=90°,

sin/G//O=—,

2

AGHO=30°,

/.4GOH=60°,即ZFOH=60°,

•••OG=2,

「.O"=4,

...扇形。的面积=竺禁=：)；

3603

②如图，过A作/N,5。于点N,

DG=1,OG=2,OE=OH=4,

：.OD=E,OB=OH=2V5,BD=OB+OD=3y/5,

•・・AD=AB,AN1BD,

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2

ZADB=ZODH,ZAND=ZDOH=90°,

/.ADOG^ADAN,

.OP_DG

"AD~丽，

V5=1

•,AD3y/5，

:.AD=—.

2

【点睛】本题考查了圆的切线判定定理、菱形的性质、矩形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，

关键在于熟练掌握证明是圆的切线的方法、菱形的