湖南省衡阳县三校联考2023-2024学年高二年级下册4月月考数学 含解析

高二数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选择性必修第三册第七章7.4.1.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知名此11,复数（储i+D（l+济）=一3+5i,贝，"+历|=（）

A.君B.5C.73D.3

2.已知函数"％）图象的一个对称中心为,则"%）的解析式可能为（）

2A

A.〃x)=X—XH-----B./(x)=sin3x+—

4

C/(x)=cos^|x-^j3x-|

D.〃x)=tan

3.已知随机变量X35,；,则D(X)=(

)

151555

A.—B.D.-

16T84

4.甲与10名同学参加了一场一对一乒乓球友谊赛，这10名同学中有6名同学球技一般，有4名同学球

技高超.甲打赢球技一般的同学的概率为0.9,打赢球技高超的同学的概率为0.1.甲从这10名同学中随机

选取一名作为对手，则他打赢这场比赛的概率为（）

A.0.54B.0.58C.0.60D.0.64

5.在中，BD=6CD，则AD=（)

A-AB+-ACB.--AB+-AC

6655

16

C.-AB+-ACD.——AB+-AC

6655

6.将一个母线长为3cm,底面半径为1cm的圆锥木头加工打磨成一个球状零件，则能制作的最大零件的

表面积为（）

0957r237r2

A.2ncm~B.兀cm-C.—cm-D.—cnr

22

22

7.已知耳，鸟分别是椭圆j+与=l（a〉6〉0）的左、右焦点，A是/的右顶点，过月的直线与直

ab

+c2JT

线1二-―交于点射线耳尸与“交于点。，且/。耳片=/丛片=可，则M的离心率为

（）

R6-1£A/2-I

A.D.-------

~2242

8已知函数/(%)满足/a+y)=/(x)+〃y)+2犯"O1，则"100)=()

A.10000B.10082C.10100D.10302

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.2017年至2022年湖南省年生产总量及其增长速度如图所示，则（）

亿元%

60000—总量—增长速度15

50000…45713548670.4

QAQia-739894.141542.612

4000033828」363297

9

30000

8.0

200007.86

100003.83

00

2017年2018年2019年2020年2021年2022年

A.2017年至2022年湖南省年生产总量逐渐增加

B.2017年至2022年湖南省年生产总量的极差为14842.3亿元

C.2017年至2022年湖南省年生产总量增长速度的众数为7.6%

D.2017年至2022年湖南省年生产总量的增长速度的60%分位数为7.7%

10.己知内角A瓦C的对边分别为a,反勒。为线段上的一点，且

CD=J3BD=y/3,ZBAD=45,ZCAD=60，贝I()

A.c=\[lbB.c=y/2

C.AD=1D.AADC的面积为石

11.已知集合4,3满足5=｛（九/,2）|%+丁+2=11,%,，26人｝,则下列说法正确的是（）

A.若A=｛-2,0,1,13｝,则3中的元素的个数为1

B.若4=｛讨x=2左+1,左eN｝,则8中的元素的个数为15

C,若A=N+，则8中的元素的个数为45

D.若4=^^,则3中的元素的个数为78

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.双曲线C:49g2-16my2=1的渐近线方程为.

13.C；6+C+C^6++C累被17除的余数为.

14.（x-d）2+（%2-21nx-3a+4）一的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知数列｛直｝为等差数列，且6=1,4=4.

（1）求4；

,11,、

口）若勿="+而1，数列｛2｝的前几项和为S"，证明：Sn<2.

16.如图，在正方体ABC。—A4GR中，E,歹分别为BG，A3的中点，点G在。。的延长线上，且

CG=-CD.

2

（1）证明：前，平面3。］。.

（2）求平面BQ。与平面的夹角余弦值.

17.已知产是抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点，过产的直线/与。交于A3两点，且A3到直线为=—3

的距离之和等于|A却+4.

（1）求C的方程；

(2)若/的斜率大于0,A在第一象限，过尸与/垂直的直线和过A与x轴垂直的直线交于点。，且

\AB\=\AD\,求,的方程.

18.A盒子中有6个小球，2盒子中有8个小球，甲、乙两人玩摸球游戏，约定：甲先投掷一枚质地均匀的

骰子，若骰子朝上的点数为偶数，则从A盒子中取出2个小球放入3盒子，否则从A盒子中取出3个小

球放入B盒子，乙再投掷一枚质地均匀的骰子，若骰子朝上的点数大于4,则从3盒子中取出3个小球放

入A盒子，否则从8盒子中取出2个小球放入A盒子，整个游戏过程为一个回合.

(1)求第一个回合后A,3两个盒子中小球个数相同的概率；

(2)两个回合后，记A,3两个盒子中小球的个数分别为X,F,求x-y的分布列与期望.

19.已知函数/(x)=ae*-x-a.

(1)讨论/(X)的单调性;

(2)若/(x)20恒成立，求。的取值集合；

JTJT

(3)若存在一,<为<0<々<,，且/(王)+XI(1—COSXI)=/(X2)+X2(1—COSX2)=0,求。的取值范

围.

高二数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选择性必修第三册第七章7.4.1.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知a，〃eR,复数（一+1）（1+济）=-3+5）则|"+同=（）

A.75B.5C.73D.3

【答案】A

【解析】

【分析】利用复数的乘法运算，结合复数相等及复数模求解即得.

【详解】由(a2i+l)(l+b2i)=—3+5i,得(1—+(/+〃)1=—3+5],而a,>eR,

因此a2+Z;2=5，所以+=Ja?+〃2=书.

故选：A

2.已知函数了（%）图象一个对称中心为,则/（%）的解析式可能为（)

/(x)=sinf3x+

A.f(%)=x2-x+—B.

7171

C.〃x)=cos—X------D./(x)=tan|3x--

24l2

【答案】D

【解析】

【分析】借助二次函数、正弦函数、余弦函数、正切函数的性质逐项计算即可得.

【详解】对A：二次函数不是中心对称图形，故A错误；

可得尸(A)=0.6,尸(4)=0.4,尸(814)=0.9,P(BI4)=0.1,

所以由全概率公式,可得P(B)=P(Al)P(B\A)+P(A)P(B|A)=0.58.

故选：B.

5.在」15。中，BD=6CD，贝i」AD=()

A.-AB+-ACB,--AB+-AC

6655

C.-AB+-ACD.--AB+-AC

6655

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算求解即得.

1—6

【详解】由3D=6cD，得AD-A3=6(AD-AC),整理得4£>=一143+《4。.

故选：D

6.将一个母线长为3cm,底面半径为1cm的圆锥木头加工打磨成一个球状零件，则能制作的最大零件的

表面积为()

,。57r237r2

A.2ncnrB.兀cm-C.—cm"D.—cm"

22

【答案】A

【解析】

【分析】原问题可转化为求该圆锥的内切球表面积，由圆锥的结构特征可得其内切球的半径与该圆锥过顶

点与底面直径的轴截面的内切圆半径相等，借助等面积法求出该半径，结合球的表面积公式即可得.

【详解】原问题可转化为求该圆锥的内切球表面积，

该内切球的半径与该圆锥过顶点与直径的轴截面的内切圆半径相等，

画出该轴截面如图，

由母线长为3cm,底面半径为1cm可得该圆锥的高/2=于=2j1cm，

设内切球的半径为厂，则有S=—X2X2A/2=—x3r+—x3r+—x2r,

2222

解得r=----cm，即内切球表面积为4兀r2=2兀cm?.

2

故选：A.

其中/(x+1)—/(x)=2x+2,①

/(x+2)-/(x+l)=2(x+l)+2=2x+4,②

/(x+3)-/(x+2)=2(x+2)+2=2x+6,③

/(x+99)-/(x+98)=2(x+98)+2=2x+198,

上面99个式子相加得，

/(x+99)-/(x)=99x2x+2+4++198=198x+"X^2+198^

=198%+9900,

令x=1得/(100)-/(l)=198+9900=10098,

=〃x)+x+：中，令x=1■得/⑴=+g+；33=2,

424

故/(100)=10098+/(l)=10100.

故选：c

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.2017年至2022年湖南省年生产总量及其增长速度如图所示，则()

亿元口%

60000—总量—增长速度15

50000,141542.64^S71-a5s48670.412

39894

5329,7

400003-

)828.F9

300007,6、/常、

8.06

200007.8

100003.8453

°20___0

17£F2()18年2019年2020年2021年2022年

A.2017年至2022年湖南省年生产总量逐渐增加

B.2017年至2022年湖南省年生产总量的极差为14842.3亿元

C.2017年至2022年湖南省年生产总量的增长速度的众数为7.6%

D.2017年至2022年湖南省年生产总量的增长速度的60%分位数为7.7%

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据给定的条形图及折线图，结合极差、众数及60%分位数的意义判断即得.

【详解】对于A,2017年至2022年湖南省年生产总量逐渐增加，A正确；

对于B,2017年至2022年湖南省年生产总量的极差为48670.4—33828.1=14842.3(亿元)，B正确；

对于C,2017年至2022年湖南省年生产总量增长速度的众数为7.6%,C正确；

对于D,2017年至2022年湖南省年生产总量的增长速度从小到大依次为：

3.8%,4.5%,7.6%,7.6%,7.8%,8.0%,而6义60%=3.6,所以该组数据的60%分位数为7.6%,D错

误.

故选：ABC

10.已知二ABC内角的对边分别为为线段上的一点，且

CD=y/3BD=73,ZBAD=45,ZCAD=60，贝I()

A.c=\[2bB.c—y/2

C.AD=1D.AADC的面积为班

【答案】BC

【解析】

【分析】根据题意，结合正弦定理和余弦定理，以及三角形的面积公式，逐项判定，即可求解.

BDbCD

【详解】对于A中，由正弦定理得

sinZADBsin/BADsinZADCsinACAD

因为sin/AZM=sin/AZ)C,所以£==也,即b=J5c，所以A错误;

bCDABAD2

对于B中，由N84D=45,NC4D=60,可得=，

可得cosN5AC=cos(45+60)=cos45cos60-sin45sin60=-------

由余弦定理2=b2+c2-2)ccosA，可得(1+6『=2c22-2

a+c后x—

解得C=拒，所以B正确;

bCD-r,曰•bsinZCAD.

对于C、D中，由，可得sinNADC=----------二1,

sinZADCsinZC4DCD

可得NADC=],所以A0=1,则△ADC的面积为5=1^卜6=¥，所以C正确，D错误.

故选：BC.

11.已知集合满足8={(x,y,z)|x+y+z=lL%,y,zeA},则下列说法正确的是()

A.若4={—2,0,1,13},则B中的元素的个数为1

B.若4={%|x=2左+1,左eN},则8中的元素的个数为15

C.若A=N+，则8中的元素的个数为45

D.若4=^^,则8中的元素的个数为78

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A,由集合8的定义即可列举出集合B中所有的元素即可判断；对于B,A中的元素均为正

奇数，对％分类讨论即可验算；对于C,原问题等价于将11个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3

个人，每人至少分1个，利用隔板法即可验算；对于D,原问题等价于将14个大小相同、质地均匀的小球

分给甲、乙、丙3个人，每人至少分1个，利用隔板法验算即可.

【详解】由题意得3={(-2,0,13),(—2,13,0),(0,—2,13),(13,0,—2),(13,—2,0),(13,0,—2)},所以8中的

元素的个数为6,A错误.

由题意得A中的元素均为正奇数，在B中，

当x=1时，有(LL9),(1,3,7),(1,5,5),(1,7,3),(1,9,1)共5个元素，

当工=3时,有(3,1,7),(3,3,5),(3,5,3),(3,7,1)共4个元素,

当x=5时，有(5,1,5),(5,3,3),(5,5,1)共3个元素，

当x=7时，有(7,1,3),(7,3,1)共2个元素，

当尤=9时，有(9,1,1)共1个元素，

所以B中的元素的个数为5+4+3+2+1=15,B正确.

5={(x,y,z)|x+y+z=ll,x,j,zeN+},可转化为将11个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3

个人，每人至少分1个,

利用隔板法可得分配的方案数为C；0=45,所以B中的元素的个数为45,C正确.

3={(x,y,z)|x+y+z=ll,x,y,zeN}={(x,y,z)|(x+l)+(y+l)+(z+l)=14,x+l,y+l,z+lwN+},

可转化为将14个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙3个人，每人至少分1个，

利用隔板法可得分配的方案数为C；3=78,所以5中的元素的个数为78,D正确.

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：判断CD选项的关键是将问题进行适当的转换，并利用隔板法，由此即可顺利得解.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.双曲线C:49m2—16/nF=r的渐近线方程为.

【答案】7x±4y=0

【解析】

【分析】根据给定的方程，直接求出渐近线方程即可.

【详解】双曲线。：49租/一16切2=i的渐近线方程为49如2—16根,2=o,即7%土4y=0.

故答案为：7x±4y=0

13.C：6+C；6+C：6++C2被17除的余数为.

【答案】15

【解析】

【分析】根据二项式系数的性质得到C；6+C；6+C：6++C=2x244,再化简得到

441110

2X2=2C°117-2C；117++2C；°171-2=17(a-l)+15,aeN+,得到答案.

【详解】由题意得—+*3-

因为2x2"=2x16"=2x(17-l)u=2X(C°1711-C；,1710++C；；17i—C；；17°)

11101

=2C°17-2C1117++2C；°17-2=17a-2=17(a-l)+15,aeN+,

所以所求的余数为15.

故答案为：15

14.(%-tz)2+-21nx-3a+4^的最小值为.

［答案］|(l-ln2)2

【解析】

【分析】"一。）2+卜2-21n%—3a+4『可以看作P（x/2—21m;）,Q（a,3a—4）两点距离的平方，即可转化

为研究直线y=3x-4上的点到曲线g（x）=f—21nx的距离的平方的最小值，借助导数的几何意义计算即

可得.

【详解】（x-a）2+（必一21wc一3a+4了可以看作P（x,x2-21nx）,Q（a,3a—4）两点距离的平方，

动点P在函数g（x）=f—21nx的图象上，动点。在直线y=3x—4上,

2

g'（x）=2x——,当曲线y=g（x）在P处的切线与y=3x—4平行时，|PQ『最小,

X

21

则g'（x）=2x——=3,得x=2或尤=—不（负根舍去），所以切点P（2,4—21n2）,

X乙

6-4+21n2-4|21n2-2|

产到y=3x-4的距离d=

710回

（QI°D、G

所以的最小值为屋=1n~1=-（l-ln2）2.

IWJ5

故答案为:fa-M2-

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知数列｛«｝为等差数列，且％=1,4=4.

（1）求4；

,11，、

（2）若〃=y+I-------,数列｛〃｝的前〃项和为S,,证明：S,,<2.

747a科后

2

【答案】（1）an=n

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可求解；

（2）根据（1）结论及指数的运算，利用分组求和法、等比数列的前〃项和公式及裂项相消法即可求解.

【小问1详解】

设等差数列｛向｝的公差为d，则

q=1,%=4

d=yj'a^—=^4-/=1,

，数列｛、w：｝的通项公式为JZ=1+("-l)xl=",即a"=〃2.

【小问2详解】

2

由(1)知，an-n,:.an+l=(n+l)",

：.b,=-1-|__1___1__।____1______1_।_1___1___

""Id2""5+1)Tnn+1)

c,,,,111111111111

"123n211222232334Tnn+1

11

+—+

23n+1

2

A2^+00,———>0,----->0,

2nn+1

16.如图，在正方体ABC。—44G2中，及尸分别为3G，AB的中点，点G在。C的延长线上，且

CG=-CD.

2

(1)证明：EGJ_平面Bq。.

(2)求平面Bq。与平面。跖夹角余弦值.

【答案】(1)证明见解析；

⑵叵.

7

【解析】

【分析】(1)建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得.

(2)由(1)的坐标系，利用面面角的向量求法求解即得.

【小问1详解】

在正方体ABC。-A4G2中，以。为原点，直线分别为苍y，z轴建立空间直角坐标系,

令AB=2，则0(0,0,0),B(2,2,0),Q(0,2,2),E(l,2,1),G(0,3,0),F(2,l,0),

于是。3=(2,2,0),DQ=(0,2,2),EG=显然DB•EG=0,DC1•EG=0,

则DBJ_EG,DC{_LEG,而DB\DCX=D,DB,DCXu平面BC}D；

所以EG,平面BCQ.

【小问2详解】

由(1)知平面Bq。的一个法向量为EG=(—1,1,—1),=(2,1,0),DE=(1,2,1),

n-DF=2x+y=0

设平面DEF的一个法向量”=(x,y,z),贝^,取X=l,得〃=(L—2,3),

n-DE=x+2y+z=0

..n-EG-6V42

则ncos(n,EG)=----------=—/=~i==----,

\n\\EG\V3xV147

所以平面BG。与平面。所夹角的余弦值是&.

7

17.己知尸是抛物线。：丫2=2/5>0)的焦点，过户的直线/与。交于A3两点，且A3到直线x=—3

的距离之和等于|A@+4.

(1)求C的方程；

(2)若/的斜率大于0,A在第一象限，过尸与/垂直的直线和过A与*轴垂直的直线交于点。，且

\AB\=\AD\,求/的方程.

【答案】(1)V=4%

(2)4x-3y-4=0

【解析】

【分析】（1）由因为A3到直线k=-3的距离之和等于|A国+4,根据抛物的定义和焦点弦长，列出方程

2（--|+3）=|AB|+4-|AB|,求得P的值，即可求解；

（2）设/:尤=冲+1（加＞0）,联立方程组，得到%+为=4加,%%=-4,结合跑线的焦点弦长得到

|AB|=4（7K2+1）,再设。&/）,求得|加=（加+1）%,根据闫相＞|,求得加的值，即可求解.

【小问1详解】

解：由题意，抛物线C:y2=2px（p＞0）的焦点为JF（■，0）,准线方程为犬=一1，

则A,B到准线x=-g的距离之和等于|"|+忸同=\AB\,

因为A,5到直线x=—3的距离之和等于|AB|+4,可得2（-＞|+3）=|+4—|A.,

解得夕=2,所以抛物线C的方程为V=4x.

【小问2详解】

解:由焦点/（1,。），可得设/：%=阳+1（近＞0）且A（XQI）（%〉0）,5（%,%）,

x=my+l,

联立方程组＜2，整理得丁-4/町-4=0,

[y=4%

则A=（-4m）2+16＞0且%+%=4m,%%=-4，

所以[AB]=%+为2+2=m(x+%)+4=4(/+1),

,t1

设D(XiJ),由左“jABU-l，可得殳F=---7=一^一=一〃，，

%—1kAB

即/=一加(玉_1)=_m2yl,

22

所以|阳=X+myl=(m+1)乂，

由|朋=4(m2+1)=|AD|=(m2+1)%,可得%=4,

Ay2-Amy-4=0,可得16—16加一4=0,解得根=1,

所以直线/的方程为4x—3y—4=0.

18.A盒子中有6个小球，2盒子中有8个小球，甲、乙两人玩摸球游戏，约定：甲先投掷一枚质地均匀的

骰子，若骰子朝上的点数为偶数，则从A盒子中取出2个小球放入8盒子，否则从A盒子中取出3个小球

放入3盒子，乙再投掷一枚质地均匀的骰子，若骰子朝上的点数大于4,则从B盒子中取出3个小球放入

A盒子，否则从8盒子中取出2个小球放入A盒子，整个游戏过程为一个回合.

(I)求第一个回合后A,B两个盒子中小球个数相同的概率；

(2)两个回合后，记A,3两个盒子中小球的个数分别为X/，求x-y的分布列与期望.

【答案】(1)-

6

Q

(2)分布列见解析，E(X-y)=--

【解析】

【分析】(1)分别计算出每种情况的概率后借助相互独立事件的乘法公式计算即可得；

(2)分别计算出每个回合的各种情况的概率后，借助相互独立事件的乘法公式计算两个回合的不同情况的

概率即可得.

【小问1详解】

由题意可得从A盒子中取出2个小球放入B盒子的概率为g,

从A盒子中取出3个小球放入B盒子的概率也为

从8盒子中取出3个小球放入A盒子的概率为

3

2

从8盒子中取出2个小球放入A盒子的概率为§,

设A,.、4(z=2,3)分别表示从A盒子和从3盒子中拿出i个小球放入另一个盒子的情况，

则第一个回合后A3两个盒子中小球个数相同的概率为:

P=P（AB3）=1X|=1;

【小问2详解】

一个回合中，从A盒子中取出2个小球后再从8盒子中取出2个小球的概率为:

i21

P（AB2）=-X-=-,此时A盒子、8盒子中分别有6个、8个小球,

从A盒子中取出2个小球后再从3盒子中取出3个小球的概率为：

P（A,B3）=-X-=-,此时A盒子、8盒子中分别有7个、7个小球,

从A盒子中取出3个小球后再从B盒子中取出2个小球的概率为：

121

P（A3B2）=-X-=-,此时A盒子、2盒子中分别有5个、9个小球,

从A盒子中取出3个小球后再从B盒子中取出3个小球的概率为：

P（AB）=-X-=-,此时A盒子、8盒子中分别有6个、8个小球,

33236

即一个回合中，甲盒子中减少一球的概率为工，

3

甲盒子中小球数量不变的概率为-+-=

362

甲盒子中小球数量增加一个的概率为,，

6

设第一回合中甲盒子中小球减少一球、数量不变及增加一个的情况分别为Ci，CO,C1,

第二回合中甲盒子中小球减少一球、数量不变及增加一个的情况分别为21，D0,D1,

则X—y的可能取值为一6、-4>一2、0、2,

P（X-y=-6）=P（C1Dl）=|x|=|,

P（X-y=-4）=P（C1D0）+P（C0D1）=|xl+1x|=|

（iA2ii13

P（X-y=-2）=P（C0D0）+P（C1D1）+JP（ClD1）=^-J+2x-x-=-,

P（X-y=O）=P（CoDl）+P（C,Do）=2x|x1=1

p（x-y=2）=p（*）=*=£

即其分布列为:

X-Y-6-4-202

111311

P

9336636

ii[3]18

其期望为石(X_y)=_6x—+(-4)x_+(-2)x—+0><—+2><—=——.

93366363

19.己知函数/(x)=ae*-x-a.

(1)讨论了(尤)的单调性；

(2)若7(x)20恒成立，求。的取值集合；

兀71

(3)若存在一,(/<0<々<万，且/'(X1)+X1(1—COSX1)=/(X2)+X2(1—COSX2)=0,求。的取值范

围.

【答案】(1)答案见解析；

⑵{1}；

(3)(0,1).

【解析】

【分析】(1)求出函数/(刈的导数，再分类讨论导函数值正负即可得解.

(2)由已知可得a>0,再利用(1)的结论求出函数/(x)的最小值，并构造函数探讨函数最大值即得.

(3)根据条件，将问题转化为函数g(x)=ae，-xcosx-a在(-*0)和(0,5)存在零点，再分类讨论并借

助导数、零点存在性定理探讨零点即得.

【小问1详解】

函数/(x)=ae'-x-a的定义域为R,求导得/'(x)=«e'-1,

当aW0时，f'(x)<0,函数/(x)在R上单调递减；

当a>0时，由/'(%)<0,得x<—Ina,/a)递减，由/''(%)>0,得x>-lna,/(丈)递增，

所以当aW0时，函数/a)在R上单调递减；

当a>0时，函数/(尤)在(-8,Tna)上单调递减，在(一Ina,卡对单调递增.

【小问2详解】

依题意，/(。)=0,由/(x)20恒成立，得/(l)=a(e—1)—120,则。>0,

由(1)知，=/(-Ina)=l+\na-a,令/z(a)=l+lna-a,a>0,

求导得"(a)=L—l,当0<a<1时，h'(a)>0,函数递增，当a>l时，h\a)<0,函数