2024年中考数学一轮复习讲义 二次函数的应用 专项练习

二次函数的应用专项练习

一、课标导航

课标内容课标要求目标层次

能通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式★★

二次函数的应用

能用一次函数解决简单的实际问题；能解决一次函数与其他知识综合的问题★★★

二、核心纲要

1.建立二次函数模型解决实际问题

利用二次函数模型解决实际问题的一般步骤：

(1)设变量：找出问题中的常量和变量，并用X、y分别表示自变量和因变量.

(2)列函数关系式：找出符合题意的等量关系，并用含X、y的式子表示等量关系，得出二次函数关系式.

(3)求值：根据二次函数解析式，求出特定条件下x或y的值.

(4)检验：检验由函数关系式所得的结果是否与实际情况相符，判断后作出取舍.

(5)作答.

2.实际问题与二次函数

(1)利用二次函数求实际问题中的最值的方法：

①将实际问题中两个变量用二次函数表示；

②将二次函数写成y=a(x-h)2+k形式，求出顶点坐标；

③求实际问题中的最值(注意自变量的取值范围，有时最值可能不在顶点处取得，有可能在端点处取得).

(2)有些物体具有抛物线形状，用二次函数解决此类问题的方法：

①合理建立平面直角坐标系；

②合理设对应的二次函数关系式，利用待定系数法求出二次函数的关系式；

③利用函数的知识解决实际问题.

本节重点讲解：一个应用(二次函数的应用)

三、全能突破

基础演练

1青岛市举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛.在比赛中.某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=-\2+bx+c的一部分(如

图22-3-1所示)，其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到0点的距离是4m,那么这条抛物线的解析式是().A.y=

12I1-1D12I-1r1231112i

——x+-%+1B.y=——%+-%—1C.y=——x——%+1Drl.y=——x——%—1

44^44z44^44

2.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图22-3-2所示，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的

曲线是抛物线y=-X2+4x(单位：m)的一部分，则水喷出的最大高度是().

A.lmB.2mC.3mD.4m

3.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，如图22-3-3所示，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=-

-4尸+3,由此可知铅球推出的最大局)度是__m,最远距禺是___m.

图22-3-2

4.小汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数关系式为s=三户,一辆小汽车速度为lOOkm/h,在前方80m处停放一辆故障车，此

时刹车有危险(填“会”或“不会”).

5.某种火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h=-5t2+150t+10表示.经过s,火箭达到它的最

局点.

6.图22-3-4(a)是抛物线形拱桥，当水面在n时，拱顶离水面2m,水面宽4m.若水面下降1m，则水面宽度将增加多少米(图22-3-4(b)是

备用图)?

7.某汽车租赁公司拥有20辆汽车.据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车

将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元.设公司每日租出x辆车时,日收益为y元.(日收益=日租金收入-平均每日各项支

出)

(1)公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为一元(用含x的代数式表示).

(2)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？

(3)当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？

能力提升

8.图22-3-5所示是一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=a/+bx.小强骑自行车从拱梁一端O沿直线

匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通/——

过拱梁部分的桥面OC共需一秒..

9.在函数中，我们规定：当自变量增加一个单位时，因变量的增加量称为函数的平均变化率.例如，对于函数y=3x+l,当自变量x增加1

时,因变量y=3(x+l)+l=3x+4,较之前增加3,故函数y=3x+)的平均变化率为3.

⑴①列车已行驶的路程s(km)与行驶的时间t(h)的函数关系式是s=300t，该函数的平均变化率是一；其蕴含的实际意义是一.

②飞机着陆后滑行的距离y(m)与滑行的时间x(s)的函数关系式是y=-1.5/+60乂求该函数的平均变化率.

⑵通过比较(1)中不同函数的平均变化率，你有什么发现.

10.有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m,拱顶距离水面4m

⑴在如图22-3-6所示的平面直角坐标系中，求出该抛物线的解析式.

(2)在正常水位的基础上，当水位上升h(m)时，桥下水面的宽度为d(m)，试求出用d表示h的函数关系式.

⑶设正常水位时桥下的水深为2m,为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m,求水深超过多少米时就会影响过

往船只在桥下顺利航行?

11.某市政府大力扶持大学生创业.李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现，每月销售量y（件）

与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=-10x+500.

⑴设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

⑵如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？

⑶根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的

成本最少需要多少元（成本=进价x销售量）？

12.X市与W市之间的城际铁路正在紧张有序地建设中，在建成通车前，进行了社会需求调查，得到一列火车一天往返次数m与

该列车每次拖挂车厢节数n的部分数据如下：

车厢节数n4710

往返次数m16104

⑴请你根据上表数据，在三个函数模型:①丫二叁+可卜》为常数，原0）;

circle2y=%k为常数，脖0）;③y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a/0）中,选取一个合适的函数模型，求出m关于n的函数

关系式是m=____（不写n的范围）.

（2）结合你求出的函数，探究一列火车每次挂多少节车厢，一天往返多少次时，一天的设计运营人数Q最多（每节车厢载客量设

定为常数P）.

14.如图22-3-8所示，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上,剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角

形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一

点）.已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x（cm）.

（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V.

（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？

图22-3-8

15.“城市发展交通先行”,成都市今年在中心城区启动了缓堵保畅的二环路高架桥快速通道[〃（千米/时）

建设工程，建成后将大大提升二环路的通行能力.研究表明，某种情况下，高架桥上的80上、

车流速度V（单位：千米/时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，且当0<x<28时,V=8

0；当28<x<l88时,V是x的一次函数.函数关系如图22-3-9所示.||

（1）求当28<xS188时,V关于x的函数表达式.028

（2）若车流速度V不低于50千米/时，求当车流密度x为多少时，车流量P（单位：辆/图22-3-9

时）达到最大，并求出最大值.

（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度x车流密度）

16.如图22310所示，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE、ED、DB组成，

已知河底ED是水平的,ED=16m,AE=8m,抛物线的顶点C到ED距离是11m,以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y

轴建立平面直角坐标系，

⑴求抛物线的解析式.

⑵已知从某时刻开始的40h内，水面与河底ED的距离h（单位：m）随时间t（单位：h）的变化满足函数关系h=-击Q-19）2+8

（0<t<40）.且当水面到顶点C的距离不大于5m时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需禁止船只通行多

少小时？

图22-3-10

17.如图22-3-11所示，排球运动员站在点O处练习发球,将球从。点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的

水平距离x（m）满足关系式y=。（久-6）2+九.已知球网与O点的水平距离为9m,高度为2.43m,球场的边界距O点的水平距离为

18m.

（1）当h二2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）.

⑵当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由.

（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围.

6

图22-3-11

18.某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元.调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上

涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元.设每件玩具的销售单价上涨了x元时(x为年整数)，月销售利润

为y元.

(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围.

(2)每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？

(3)每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大?最大的月利润是多少？

19.已知在.△4BC中，边BC的长与BC边上的高的和为20.

(1)写出△4BC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长.

⑵当BC多长时,△4BC的面积最大？最大面积是多少？

(3)当A4BC面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说明理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明.

巅峰突破

20.知识迁移:当a>0且x>0时，因为(石-纾>0,所以x-2仿+注0,从而x+1>26当x=网寸取等号).记函数y=x+

£(a>0,x>0),由上述结论可知：当x=超时，该函数有最小值为2&i.

直接应用：已知函数yi=x(久>0)与函数%=：(久>。),则当x=时,%+以取得最小值为___.

2

变形应用：已知函数月=久+1(久>-1)与函数y2=(%+I)+4(久)-1),求也的最小值，并指出取得该最小值时相应的x的

值.

实际应用：已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用，共360元；二是燃油费，每千米为1.6元；三是折

旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001.设该汽车一次运输的路程为xkm,求当x为多少时，该汽车平均每千米的运

输成本最低?最低是多少元？

基础演练

LA2.D3.3:104.会5.15

6.建立下图所示平面直角坐标系，由题意得:A(2,-2).

设解析式为y=ax2,：.a=-i

，解析式为y=-jx2.

当y=-3时,则有:-12=-3.

Ax=±V6..\CD=2V6.CD-AB=2V6-4.

答：水面宽度将增加((2例-4)m.

7.(l)1400-50x;

(2)根据题意得出:y=x(1400-50x)-4800

=-50(x-14)2+5000.

当x=14时，在0<x<20范围内,y有最大值5000.

当每日租出14辆时，租赁公司日收益最大，最大值为5000元.

(3)要使租赁公司日收益不盈也不亏，即y=0.即50(%-14)2-5000=0.解得:xx=24,X2=4.

,；x=24不合题意,舍去.

，当每日租出4辆时，租赁公司日收益不盈也不亏。

能力提升

8.36

9.(1)①300;列车的速度.

②该函数的变化率为：

-1.5(®+I/+60(x+1)-[-1.5/+60x]=-3x+58.5,

(2)一次函数的变化率是常量，二次函数的变化率是变量.

10.(l)y=-拉2

(2)设水位上升hm时，水面与抛物线交于点得，h-4),则”4=-卷x],「.仁-4+4.

\Z/Zb41UU

(3)当d=18时,h=0.76Q.76+2=2.76.

当水深超过2.76m时会影响过往船只在桥下顺利航行。

11.⑴由题意得w=(x-20>y=(x-20).(-10x+500)=-10x2+700x-10000,x=-£=35.

答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润.

⑵由题意得：-10/+700%-10000=2000,解得:XF30,x2=40.

答：李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元.

(3)Va=-10<0,.\抛物线开口向下..I当30<x<40时，论2000.：xW32,/.当30<x<32时,wN2000.

设成本为P(元)，由题意彳导:P=20(-10x+500)=-200x+10000.

k=-200<0,.-.P随x的增大而减小.，当x=32时,PRd=3600,

答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元.

12.(l)m=-2n+24;

(2)Q=pmn=pn(—2n+24)=—2pn2+24pn.

；-2p<0,，Q有最大值.

二当葭=一差；、=6时，Q取最大值.

止匕时,m=-2n+24=-2x6+24=12.

；•一列火车每次挂6节车厢，一天往返12次时，一天的设计运营人数最多.

13.⑴在RtAAOC中,；ZAOC=30°,OA=8/3,

.,.AC=4V3,OC=12.

..•点A的坐标为(12,4V3).

设OA的解析式为y=kx把点A(12.4巡)的坐标代入得:4V3=12k".k=y.AOA的解析式为y=fx.

(2),・•顶点B的坐标是(9,12),点O的坐标是(0,0),

，设抛物线的解析式为y=a(x-9)2+12.把点O的坐标代入得:0小(0一9)2+12,解得。=-5

・•・抛物线的解析式为y=—?(%—9)2+12.

(3)二•当x=12时,y=当。4次，小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点.

14.⑴根据题意，可知这个正方体的底面边长a=V2x,EF=42a=2x,

...x+2x+x=24.解得:x=6.贝a=6V2.

V=a3=(6&)3=432V2(cm3).

(2)设包装盒的底面边长为acm,高为hem,则a=V2x,h=上养=V2(12-%),

:.S=4ah+a2=4&九.V2(12-x)+(&%『=-6x2+96%=-6(比-8)2+384.

,.,()vxvl2,・••当x=8时,S取得最大值384cm2.

15.⑴当28<x<188时，设V=kx+b(k/)).

80=28&+6.“=一1

0=】88A+J[Q942.；・V=—1-x+94.

(2)根据题意，得P之50..-.-|x+94>50.x<88.

P=U%=(-)+94)x=—|^2+94%

当0<x<88时,y随x的增大而增大,・♦・当x=88时,P取最大值为X882+94X88=4400.

可见，当车流密度x为88辆/千米时，车流量P最大，为4400辆/时.

2

16'."(l)y64=——X+11

(2)-唳(t-19)2+8=11-5解得五=35,t2=3

由h=-l+述(0Wt*0)图像变化趋势可知，当3<t<35时，水面到顶点C的距离不大于5米，需禁止船只通行,

禁止船只通行时间为35-3=32(时)

中考链接

x产+

17.(l)y=O~U7^(~62.6.

(2)当x=9时,y=2.45>2.43,・・・球能越过网.

■:当y=0时，即一专(％-6尸+2.6=0,解得

=6+2V39,X2=6-2V39<0(舍去).

V6+2/39>18,・,•球会出界.

22

(3)把x=0,y=2代入到:y=a(x-6)2+h得a=当x=9时.y=(9—6)+h=社迎>2.4①当x=18时.y=(18—6)+/i=8—

'.3636436

3h<0(2)

由①、②解得九2,••.：若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围为/i>|.

18.(1)依题意得y=(30+x-20)(230-l0x)=-10x2+l30x+2300

自变量x的取值范围是：0<x<10且x为正整数.

(2)当.y=2520时彳导-10x4130x+2300=2520,

解得XI=2,X2=11(不合题意，舍去).

当x=2时,30+x=32.

；•