湖北省十四校协作体2023-2024学年高一年级下册3月质量检测数学试卷 含解析

湖北省十四校协作体2023〜2024学年度第二学期高一年级三月质量检测

数学试卷

注意事项：

1.本试卷共4页，19小题，全卷满分150分，考试时间120分钟.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.回答选择题时，选出每小题答

案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂

其他答案标号.回答非选择题时，用签字笔将答案写在答题卡上.考试结束后，将本试卷和答

题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要

求.

1+2

z.(0

1.复数1-2，贝Ijz的共软复数在复平面内对应的点在

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数z,求出］在复平面内对应的点的坐标得答案.

一(1+疗2i2i-(l+i)

【详解】z=='=--；.\=-1+Z,.-.Z=-1-i,

1-i1-i(l-z)-(l+z)

即z的共辗复数在复平面内对应的点在第三象限.

故选C.

【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.

2.集合A={x|tanx=0},6={x|cosx=0},则()

A.A=BB.AcrBC.AoBD.AoB=0

【答案】D

【解析】

【分析】根据条件，求出集合AB,再利用集合的运算，即可求出结果.

【详解】由tanx=0,得到x=E，左$Z,所以A==左$Z},

由COSX=0,得到％=]+E,%£Z,所以B=='71+

2

所以4门6=0,

故选：D.

3.ABC中，。为A5中点，E为边上靠近2的三等分点，CD,AE交于G,BG交AC于歹，若

2

BF=ABE+juBD,则］=()

2343

A.—B.-C.—D.一

3432

【答案】B

【解析】

【分析】由2G,C三点共线，A,G,E三点共线，氏G,歹三点共线，用BE,BD表示8尸，可求人的值.

【详解】由D,G,C三点共线，设BG=Q—k)BC+kBD=Q—k)BC+；BA,

由A,G,E三点共线，设3G=(1—/)痴+/3石=(1—0痴+；3。，

—

BEC

-=l-k\t=-

35

则有1，解得＜

k,,4

12〔5

2343

所以BG=—BA+—BE=—8。+—BE,

5555

由5G,歹三点共线，设BF=aBG言BD+g

3E=ABE+RBD,

3a

则有4=手-=

〃色4

T

故选：B.

4.已知cos(a—⑶=3cos(a+0,则tanstan,的值为()

【答案】C

【解析】

【分析】利用两角和差的余弦公式结合商数关系式可求两角的正切的乘积.

【详解】由题设有cosacos+sintzsin/3=3cosecos/?-3sinasin/3,

整理得到cosacos/3=2sin<zsin/3,

若cos(zcos/7=0,贝!lcos<z=0或cos，=0,此时。,万的正切不存，不合题意;

故cosacos，w0,故tanatan〃=；,

故选：C.

5.中A民C所对的边分别为〃也。，若/+02+a=〃，sinAsinC=，则cos（A-C）=

（）

AeRiRA/6+\/2A/6—^2

2244

【答案】A

【解析】

2冗71

【分析】a-+c2+ac=b2余弦定理求得B=—,则A+C=-,由

33

cos（A-C）=cos（A+C）+2sinAsinC,代入求值即可.

【详解】由1+02+。°=尸，得。2+。2—/=一呢,

由余弦定理得cos3=

2aclac2

Be（O,7i）,则有3=年，所以A+C=],

cos（A-C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC-sinAsinC+2sinAsinC

=cos（A+C）+2s1nAs1nC=1+2x^=^

故选：A

6.锐角一A5C中，AB,5C,CA的中点分别为D,瓦尸，且ASC所对的边分别为a,若三角形内。

点满足4(OD『-C2=4(OE『—片=4(0尸『_/,则SAB0：SA"：SBOC=()

A.sinC:sinB:sinAB.cosC:cosB:cosA

C.tanC:tanB:tanAD.sin2C:sin2B:sin2A

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量运算，化简条件等式，证明点。为的垂心，连接A。,80,CO并延长交

BC,AC,AB与点、M,N,P,由此可求SAB0-SA0C:SBOC.

【详解】因为4(OD『—0?=4(0E『—/=4(OF『—

所以-AB2-BC。=4(0d-G42,

(2OD『-AB2=(2OE『-BC'=(2OF^-CA,

所以(05+OA^~(OB-0A)2^(OC+OB^-(OC-OB^=(OA+OC^-(OA-OC^\,

所以OAO3=OBOC=OCOA，

所以0C)=0C(05-OA)=O4(O5-OC)=0,

所以O8C4=OCA3=OACB=0，

所以点。为_ABC的垂心，

连接AO,BO,CO并延长交BC,AC,AB与点、M,N,P,

所以SAB。BMAMtanCtanC,

rSAOC-AOCMCMtanBtanB

2

SAB。：B°AN''BNtMCtanC,

SBOC£BOCNCNBNtanAtanA

所以SAM：SA。。：SBOC=tanC:tanB:tanA,

故选：C.

A

BE/0C

7.—ABC的三边为a,b,C,满足相+Z?"=c"（〃>2,〃GR）,则.ABC是（）

A.钝角三角形B.直角三角形

C.锐角三角形D.无法确定

【答案】C

【解析】

【分析】根据指数函数和黑函数性质由条件证明c>a,c>b,由条件结合指数函数性质可得/>c?,

根据余弦定理和）1边对大角即可判断三角形形状.

【详解】因为0,Z?>0,c>0,〃>2,

所以a">O,Z;”>0,c〃>0,

又a"+8"=c",

所以c">a",c">>bn,

所以c>a,c>b

所以。。b1

<3<1<一<1,

Cc

>2,"eR）U+]J=l

由优

n眇©>图+（平-

VcJ\cjlab2

故一ABC为锐角二三角形，

故选：C.

力,满足同=卜|=，则的最小值是（）

8.平面内有向量,7c2.|=2,0=0|a—c|+2,-c]

A.2B.275C.2A/3D.276

【答案】B

【解析】

【分析】用几何图形表示向量和向量的线性运算，构造相似三角形，表示出忖-。|+21-c|,利用三点共

线求最小值.

【详解】a-b=O>则有。工匕，如图，AB=a,AC=b,AE=c,

BE=\a-c\,CE=|z?-c|,

延长AC至O,使得AO=4AC=2AE,

AEAC1

ZEAC=ADAE,——=——=—,则有ACEAED,得DE=2CE,

ADAE2

\a-c\+2,-c|=BE+2CE=BE+DE>BD=,同同时=2蓬.

当B,E,。三点共线且E在线段50上时，|。-c|+2,-c|的最小值是20.

故选：B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分；部分选对的，若此题有两个正确选项得3分，若此题有三个正确选

项，选对一个得2分；有选错的得0分.

9.现有向量a,O,c,满足(a2]c=(a-c”=(4c>a,这三组向量中共线的组数可能有且仅有()

A.0B.1C.2D.3

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据已知条件进行分类讨论，列举出A,C,D三个选项的可能情况即可，利用反证法判断B错误.

【详解】若C至少有两个为0,不妨设4=8=0，

则(a-b)-c=O-c=O,^a-cj-b=O-b=O,[b-cj-a=O-c=O

满足条件=,

此时三组向量中两两共线的有3组，D正确

若仇。有且仅有1个为0，

不妨设a=0，b，c均为非零向量，则

ya-byc-Q,\a-cyb-Q,\b-cya=Q9

所以(。/)七=(。七)为二(人式)〃，此时6，c可能共线，也可能不共线,

此时三组向量中两两共线的有2组或3组，C正确，

若向量a，b，c均为非零向量，且向量a，b，c两两互相垂直，

则(a.0).c=(〃•c).b=伍.c).a=0,

此时三组向量中两两共线的有。组，A正确，

若三组向量中两两共线的有1组，则向量a，b，c均为非零向量，

不妨设共线，dc不共线，G〃不共线，

与=矛盾，B错误,

故选：ACD

10.下列说法中正确的有()

m2+n2—2

A.cosx+cosy—m,sinx+siny=〃，贝！Jcos(x—y)=

2

2m

B.cosx+cosy=m,sinx+siny=贝|tan(x+y)=(

m+n^^m—n^n

、m

C.cos(x+y)=m,sin2x—sin2y=〃，则sin(%一加五

sin2x,tan(x+y)_k+1

D.则

tan(x-y)k-1

【答案】AD

【解析】

【分析】对于A,由条件等式平方相加，结合两角差余弦公式，平方关系化简可求cos(x-y),即可判断，

对于B,结合两角和差余弦公式和正弦公式化简求tan三上，再由二倍角正切公式求tan(x+y),即可判

断，对于C,结合两角和差正弦公式化简sin2x—sin2y=",由此可求sin(x-y),即可判断，对于D,

tan(x+y)+tan(x-y)

利用两角和差正弦公式，结合同角关系可得一7——;----7——<=k,化简判断D.

tan(x+y)_tan(1_y)

【详解】对A,因为cosx+cosy=加，sinx+siny=

分别平方可得，cos2x+cos2y+2cos%cosy=m2,sin2x+sin2y+2sinxsiny=n2,

相加可得，2+2cos(x-y)=m2+zz2,

所以cos(x—y)=£q二2,A正确；

x+yx-y

对B,因为cosx+cosy二加，所以cos£+2+£zZ+COS=m,

2222

所以2cos-+-cos-~~-=m,

22

%+yx-y

因为sinx+siny=〃，所以sin£+2+£ZZ+sin=〃，

2222

所以2sin*+ycos^--=n,

22

所以tan9=',

2m

2tan虫2--

m2mn2mn

所以tan(x+y)=----------^―2r=7wv，B错误;

1-tai?…hm—n\m+nj\m—n)

2m2

对C,因sin2x-sin2y=n,

所以sin[(x+y)+(x-y)]-sin[(x+y)-(x-y)J=

所以2cos(x+y)sin(x-y)二〃，又cos(x+y)=相，

所以sin(尤—y)=~，C错误；

2m

对D,因为sin2x=sin[(x+y)+(x-y)]=sin(x+y)cos(九一y)+cos(jr+y)sin(x-y),

sin2y=sin[(x+y)-(x-y)]=sin(x+y)cos(x-y)-cos(x+y)sin(x-y),

sin2xsin(%+y)cos(x-y)+cos(x+y)sin(x-y)tan(x+y)+tan(x-y)

sin2ysin(%+y)cos(x-y)-cos(%+y)sin(x—y)tan(%+y)—tan(%-y)

tan(x+y)+tan(x-y)

所以=k,

tan(x+y)-tan(x-y)

所以tan(x+y)+tan(x_y)=^tan(x+y)-^tan(x-y),

tan(x+y)k+1

所以就寸二QD正确;

故选：AD.

H._ABC的三条高交于一点从43,。所对的边分别为4,加。,1211〃（2旧/4+上力）+1211。"。=0,下

列说法中正确的有（）

A.A=2B

B.SBHC=2SAHC

C.3sin2A+cos2（A+B）=3sin2B+l

D.若tan6e[l,2],则tanC的取值范围为1,3

【答案】BCD

【解析】

【分析】先利用奔驰定理tanAHA+tanBHB+tanCHC=O＞从而结合题干得到tanA和tan8的关

系，据此即可判断A选项，根据A选项的结论即可判断B选项，根据A选项的结论以及余弦定理即可判

断C选项，利用tan函数用A和B表示出C,根据tanA和tan8的关系用tan6表示出tanC,据此即可

判断D选项.

【详解】根据奔驰定理可得xHA+yH3+zHC=0,

其中|x|:|y|:|z|=S,HCB-SHAC：S，

延长CH交5C于点。，

又SACH：SBCH=1：皿=

所以SACH：SBCH=tanB:tanA,

同理可得SBCH：SACH:SABH=tanA:tanB:tanC,

所以12!14.曲+12113.7/3+12110.”0=0，12113（2的+"3）+1211。"。=0,

所以tanA=2tan5,故A错;

由SBHC：SAHC=tanA:tan3=2可知B正确;

@a1+c2-b1

,,,sinAcos3a-

因为tanA=2tan5,所以-----―—―=—涔---丁-----r=2,

cosAsin57b+c-a

b---------------

2bc

所以3a2=3步+。2,所以3sin2A=3sin2§+sin2（A+5）,

所以Bsin?A+cos2（A+_B）=3sin25+1,故C正确;

tanA+tanB,_

因为tanC=-tan（A+B）---------------,tanA=2tanB,

tanAtaaB-1

3tanB3

所以taG

2tan2B-l1

D2tanB--------

tanB

3

tan5£[1,2],tanC=------------：-e3

乂2tanB-----?---,故D正确.

tanB

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：本题关键在于求出tanA和tan8的关系，利用此结论即可求解.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若xeR,贝『2—cosx—sinxi—i|的最小值为.

【答案】75-1##-1+75

【解析】

【分析】根据复数的模的公式求2-cosx-sinxi-i,再结合三角函数知识求其最小值.

【详解】因为|2-cos尤-sinxi-i

所以|2-cosx-sinxi-i1=V4-4COSA:+COS2x+l+2sinx+sin2%,

化简得，|2-cosx-sinxi-i|=j6+2sinx—4cosx

/

所以2—cosx-sinxi—i|=，6+26sinxx----------COSXX

5

设cos"冬in"竽,

贝42—cos%-sinxi-i|=《6+26sin（6）＞^6-245=非-1,

当且仅当sin(x—。)=—1时等号成立，止匕时sinx=—好,cosx=2^，

55

所以|2—cosx—sinxi-i|的最小值为b―1，

故答案：V5-1.

13.已知三角函数/(x)=sin(ox+o)、〉0,|d<3，又已知函数y=/(x)满足如下条件x=为

/(%)的一个零点，x=:为/(%)的一条对称轴，且/(%)在区间上单调.则。的最大值为

【答案】5

【解析】

/、(71兀1

【分析】由零点和对称轴可构造方程组求得。和0,由此可得。为奇数，利用/(力在元，《上单

调，可得。W10,对范围内的0逐个验证可得。的最大值.

【详解】因为x是/(%)的一个零点，所以一?0+0=6兀(6€2)；

因为x=：是/(%)的一条对称轴，所以+0=&兀+'化eZ)；

兀

匕T兀

——/IG+0=兀兀

由・得：一口=(42-％1)兀，所以0=2(^2_%1)+1,

7①+0=&兀+—

(JT兀)

因为y=/(x)在区间而，,上单调，设函数”力的周期为7,

兀71兀LL…兀、兀

贝”——2-------二—，所以——N—，

251010刃10

所以GW10,所以。的可能取值为9,7,5,3,1,

当°=9时，9=：，/(x)=sin[9x+：],

一，八「兀、兀c八兀兀5兀

因为9x+—=-2K,9x—+—=—~>

I4J4442

尤=_：为/(力一个零点，x=:为/(%)的一条对称轴，

【答案】1

【解析】

b

【分析】根据条件，利用辅助角公式得到“工卜④^两口卜in(x+*+kos(x+9)|]tano=一,令

a

|sin(x+^)|=m,|cos(x+^)|=«,从而将问题转化成CT不"(2机+”)的最大值是百，再利用柯西

不等式，得到g+角=1,即可求出结果.

【详解】

b

/(x)=|2asinx+26cosx|+\acosx-bsinx\-\ja2+b212卜in(x++|cos(x+tan0=—

a

令忖n(x+o)|=/w,|cos(x+(p^=n,则疗+“2=1,

原条件转化为JX+尸⑵%+冷的最大值是否,

2

由柯西不等式，(2,m+n)Y+n54+1)=5,当且仅当加=2〃时取等号,

所以(2772+冷的最大值是6，则有+匕2=],

所以复数z=a+bi的模为目=J/+/=1,

故答案为：1.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

.7兀..11兀

-sin---Fisin—

15.(1)计算:3015

2兀..3兀

cos---1-1sin—

55

(2)求值：(1+J^tan10°sin130°.

【答案】(1)(2)1

22

【解析】

【分析】(1)根据复数三角表示的除法运算计算即可;

(2)先化切为弦，然后根据辅助角公式，诱导公式及倍角公式化简即可得解.

.7兀，..11兀„兀7兀..1171cos^+isin1171

-sin---bisin---cpons2+30+ism---

3015151515

【详解】

2兀..3兀2兀2兀..2兀

cos---1-1sin—cos—+isin|71cos+isin—

555I55

不妨设AB=l,AE=xe[O,l],

则4（0』）,5。』）,。（1,0）,0（0,0）,石（国1）,歹（1,1—%）,

可得DE=（x,l）,A/=（l,—x）,

,,uumuuiuuuiuuuiu~,

因为。E-AF=x—x=O，可知。E_LAb，所以DE_LA产.

【小问2详解】

UUUULUUUUL

因为A,G,尸三点共线，且£)G=/IQA+〃£)E，可知X>O,〃2O,X+〃=1,

由（1）可知加=（0,1）,。£=（1,1一x）,Q£=（x,l）,

则DG=ADA+juDF=（〃,2+〃（1-⑼=（〃,1一〃无）,

UUUUUIU9

又因为。G//DE，贝iJ〃=%一〃%，

2—

可得〃=—*7'%=1一4=%X+1

1+X1+x2

X

,U2

则丝=,1+Xr—=f--X----

2x2~x+l%2-x+1

1+X2

若x=0,则与=0；

2

N_X

若X£（0,l],贝1J2x2-x+1

当且仅当X=L,即X=1时，等号成立;

X

综上所述：与■的最大值为1;

2

又因为为《（2了）=:,

当且仅当7=〃=L，即X=1时，等号成立;

2

所以％”的最大值为L.

4

）Cz-»fh

17.如图，三角形A5C中，4瓦。所对的边分别为。涉,。，满足——=-----,c=acosB+-,

bcosB2

TT

RE为线段BC上两点，满足/DAE=—.

6

（1）判断，ABC的形状，并证明;

(2)证明：BD~+EC2+BDEC=DE~;

s

（3）直接写出《3的最小值.

3ABC

【答案】（1）等边三角形，证明见解析

（2）证明见解析（3）26-3

【解析】

7T7T

【分析】（1）根据条件，利用正弦定边边转角，得到B=A=j,即可求出结果；

（2）作NC4F=NB4D,AF=AD,连接CF,EF,过产作FG,5c的延长线于G,

根据几何关系，利用石，得至ijCF=SD,DE=EF,SRtEGF,

利用勾股定理，即可证明结果;

qB_________1_________

（3）利用三角开面积公式和正弦定理，得到,不妨令NADE=。,

SABC4sinZADE-smZAED

则NAED=--6>,得到sinZADE-sinZAED=—sin(20--)+—,求出sinZADE-sinZAED的

6234

最大值，即可解决问题.

【小问1详解】

等边三角形，证明如下，

2a-ccosC।一一一〜口…2sinA—sinCcosCr

因为------二------，由正正弦定理得到-----：--------=------，即13

bcosBsinBcosB

2sinAcosB—sinCcosB=sinBcosC，

所以2sinAcosB=sinCcoSjB+sinBcosC=sinCB+C）=sinA,又Aw（0,兀），所以sinAwO,

1兀

得到cos3=—,又5£（0,兀），所以5二二，

23

bsinB

5ic=acosB+~,由正弦定理得sinC=sinAcos3+------，

22

又sinC=sinCB+A）=sin5cosA+cosBsinA,所以sinBcosA二"一,得到cosA=—，

22

又Ae（O,兀），所以a=£,c=n-A-B=~,故一ABC为等边三角形.

33

【小问2详解】

如图，作NC4尸=N5AD,AF=AD,连接CRM,过产作FG,的延长线于G,

JT

由（1）知AC=AB,所以△BADwACAF,得到B==

又ZACB」,所以NECG=3,在RtZ\CGE中，CG，CF，BD,FG=2cF=袅BD，

332222

又ZDAE=/，A=-,所以N3A£>+NEAC=NCAb+NEAC=3,

636

所以/DAF=/FAF,又AF=AD,AE=AE,所以「工凶石,,石4石，得到。E=防，

在Rt一EGF中，

DE?=EF?=EG?+FG?=（EC+—DY+*BD）2=EC?+EC•BD+小口2+：BD?,

即BD~+EC2+BD-EC=DE2.

A

//A\\\【小问3详解】

8DECG

1兀

S—AD-AEsin一

因为沁=]-----------6=73ADAE

s*7*12

SABC-ABACsin^3AB-AC'

23

.71.兀

sin—Sm

在八ABD中，AD_sinB,3，在/XAEC中，AE_sinCJ,

AB-sinZADL?sinZADEACsinNAECsinNAED

3

所以SADE_64上\，

SARC3sinZADE-sinZAED4sinZADE-sinZAED

5兀

不妨令NADE=9,则NAED=——8,

6

所以sin/ADE•sinZAED=sinOsin(-^-6)=sin6(；cos0+sin6)=：sin2。+sin2。

1・恒।6l—cos26\M।石1•sn冗、H

=—sm29H------------------=—sm20------COS2〃H---=—sm(20—)d------,

422444234

当。=生时，即NADE=NAED=空，sin/4DE-sin/A£。取到最大值1+且，

121224

s

此时《巫最小，最小值为26-3.

»ABC

18.已知函数/(x)=binR+|cosM

(1)求函数的值域；

g(/)<f(x)+^|^恒成立，求2兀

(2)设g(x)=binx+cosX-2sinxcosx,若V光,时t

的最大值.

【答案】（1）[1,72]

、7兀

（2）——

12

【解析】

【分析】（1）讨论X的象限，化简函数/（%）,再求其值域,

（2）利用（1）的结论求/（可+4|二1的最小值，化简条件，解不等式求f的最大值.

【小问1详解】

的排列顺序.已知向量外积满足分配律，且4ax〃沙axb].

（1）直接与出结果：①axa=,②axi>+i>xa=；

（2）空间直角坐标系中有向量a=（九b=（x2,y2,z2）,

①若c=axb，用含Xi，%*],%,%，％2的坐标表示：；

②0=（演，为，Z3）证明：（ax/?）x