辽宁省鞍山市2023-2024学年下学期开学初限时作业训练九年级数学卷

辽宁省鞍山市2023—2024学年（下）开学初限时作业训练卷

数学

一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.一元二次方程2--3x+l=0根的情况是（）

A.没有实数根B.只有一个实数根

C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根

2.如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（）

B.出c.产

3.用配方法解方程N-4x-1=0时,配方后正确的是（

A.(x+2)2=3B.(x+2)2=17C.(x-2)2=5D.(x-2)2=17

4.已矢吟器则等的值是（）

41

AB.-C.3D.

-133

5.在长为30处宽为20机的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468疗,

求道路的宽度设道路的宽度为X（m）,则可列方程（）

A.(30-2%)(20-%)=468B.(20-2%)(30-%)=468

C.30X20-2X30x-20x=468D.(30-%)(20-%)=468

6.如图，在O。中，弦AB=2/、点C是圆上一点且NAC3=45°,则。。的直径为（）

A.2B.3V2C.运D.4

2

C

5题6题

7.已知A（xi,州）、B（&,"）为二次函数y=-（%-1）2+左图象上两点，且xiVx2<l,则下列

说法正确的是（）

A.丁1+丁2〉0B.yi+y2VoC.yi-y2>0D.yi-y2<0

8.若点Pi(a-1,2)和P2(3,b-1)关于x轴对称，则(a+b)2024的值为()

A.-32024B.1C.32°24D.52024

9.二次函数y=ax1-bx-5的图象与x轴交于(1,0)、(-3,0)两点，则关于x的方程ax1-bx-5

=0的根为()

A.%1=1，X2=3B.XI=1,%2=-5

C.xi=-1>12=3D.xi=1,X2=13

10.一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水

平距离为2.5机时,达到最大高度3.5m,然后准确落入篮筐内.已知篮圈中心距离地面高度为3.05m,

在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（）

A.此抛物线的解析式是y=-#+3.5B.篮圈中心的坐标是（4,3.05）

C.此抛物线的顶点坐标是（3.5,0）D.篮球出手时离地面的高度是2根

二.填空题（共5小题）

11.如图，在△ABC中，ZB=30°,AC=5,cosC=|,则A3边的长为.

12.如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常.随机闭合开关Si,S2,S3中的两个，能让两个小

灯泡同时发光的概率是.

」「霍一

11题12题13题

13.抖空竹是中国传统文化苑中一株灿烂的花朵，是国家级的非物质文化遗产之一，可见于全国各地，

天津、北京、辽宁、吉林、黑龙江等地尤为盛行.如图，AC、5。分别与O。相切于点C、D,延

长AC、BD交于点P.若NP=120°,O。的直径为12c/n,则图中前的长为.（结

果保留TT）

14.如图，矩形Q4BC的顶点A,C分别在y轴、x轴的正半轴上，。为A3的中点，反比例函数>='左

>0）的图象经过点。，且与3C交于点E,连接OE,DE,若△ODE的面积为3,则左的值

为.

14题15题

15.如图，是一个底面半径为1cm,高度为2Tlem的无盖圆柱形玻璃容器，A、B两点在容器顶部一

条直径的两端，现有一只小甲虫在容器外A点正下方1c机的“处，要爬到容器内3点正下方距离

底部1cm的N处，则这只小甲虫最短爬行的距离是cm.

三.解答题（共8小题，共75分）

16.（每小题5分，共10分）

（1）计算：cos60°-2sin245°+3tan230°+sin30°；

（2）已知关于X的一元二次方程/+（2机-1）X+/«2=O有实数根.若两根为XI、X2且XJ+X22=7,求

m的值.

17.（8分）在菱形ABCD中，AC为对角线，E、F分别为BC、DC边上的点，^.ZEAF=\z.BCD,

射线AE交DR的延长线于点G,射线AR交BE的延长线于点求证：AF2=FC-FG；

18.（8分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，现有“微信”、

“支付宝”、“银行卡”和“现金”四种支付方式.

（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是;

（2）在一次购物中，小嘉和小琪都想从“微信”、“支付宝”和“银行卡”三种支付方式中选一种

方式进行支付，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率（用画树状图法或列表法求解）.

19.（9分）图1,图2分别是某超市购物车的实物图与示意图，小江获得了如下信息：AE//BC//FG,

AD=8Qcm,CD=6Qcm,CG=3Qcm,ZDAE=15°,ZCGF=60°,ZBCD=120°,ZABC=

90°.请根据以上信息,解决下列问题.（结果精确到0.1c机，参考数据：sinl5°=0.26,cosl5°

心0.97,V3«1.73）

（1）求点。到RG所在直线的距离.

（2）求3C的长度.

,D

20.（8分）某品牌钢笔进价为每支20元，经销商小周在销售中发现，每月销售量y（支）与销售单

价x（元）之间满足一次函数y=-10x+500的关系，在销售中销售单价不低于进价，而每支钢笔

的利润不高于进价的60%,设小周每月获得利润为攻（元）.

（1）当销售单价定为每支多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？

（2）如果小周想要每月获得的利润不低于2000元，那么小周每月的成本最少需要多少元？（成

本=进价X销售量）.

21.（8分）如图，在RtZkABC中，ZACB=90°，点。在边AC上，以AD为直径作。。交3。的延

长线于点E,若CE是。。的切线.

（1）求证：CE=BC；

（2）若CD=4,tanNBEC=/求O。半径的长.

22.（12分）阅读以下材料，完成以下两个问题.

［阅读材料］已知：如图，ZiABC（A3WAC）中，D、E在3c上，5.DE=EC,过。作DR〃痴交

AE于点RDF=AC.求证：AE平分NA4c.

结合此题，DE=EC,点E是。C的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等,

从而转移边和角.有两种考虑方法：①考虑倍长RE,如图（1）所示；②考虑倍长AE,如图（2）

以图（1）为例，证明过程如下：

证明：延长RE至G,使EG=EF,连接CG.

在△DER和△CEG中，

ED=EC

4DEF=/-CEG,

EF=EG

:ADEF2ACEG（SAS）.

：.DF=CG,ZDFE=ZG.

"：DF=AC,

：.CG=AC.

：.ZG=ZCAE.

：.ZDFE=ZCAE.

'JDF//AB,

：.ZDFE=ZBAE.

：.ZBAE=ZCAE.

平分N84c.

问题1：参考上述方法，请完成图（2）的证明.

问题2：根据上述材料，完成下列问题：

已知，如图3,在△ABC中，AD是3c边上的中线，分别以A3,AC为直角边向外作等腰直角三

角形，ZBAE=ZCAF=9Q°,AE=AB,AC=AF,AD=3,求ER的长.

23.（12分）【发现问题】

如图，某公园在一个扇形。ER草坪上的圆心。处垂直于草坪的地上竖一根柱子在A处安装

一个自动喷水装置，喷头向外喷水，爱思考的小腾发现喷出的水流呈现出抛物线形状.

【提出问题】

喷出的水距地面的高度y米与喷出的水与池中心的水平距离x米之间有怎样的函数关系？

【分析问题】

小腾测出连喷头在内柱高芦处喷出的水流在与。点的水平距离4米处达到最高点'点3距离

地面2米.于是小腾以所在直线为y轴，垂直于的地平线为x轴，点。为坐标原点建立如

图1所示的平面直角坐标系，根据测量结果得到点A,点3的坐标，从而得到y与x函数关系式.

【解决问题】

（1）如图1,在建立的平面直角坐标系中，点A的坐标为（0,当），水流的最高点3的坐标为（4,

2）,求抛物线水流对应的函数关系式；

（2）当喷头旋转120。时，这个草坪刚好被水覆盖，求喷水装置能喷灌的草坪的面积（结果用含

n的式子表示）；

（3）在扇形OER的一块三角形区域地块△OER中，现要建造一个矩形花坛，如图2的设

计方案是使“、G分别在OROE上，MN在EF上.设MN=2x米，当x为多少米时，矩形GHMN

花坛的面积最大？最大面积是多少平方米？

参考答案

一.选择题（共10小题）

1.D.2.C.3.C.4.D.5.A.6.D.7.D.8.C.9.D.10.A.

二.填空题（共5小题）

「

12.

11.8.12.13.27icm.14.4.15.V5TT.

3

三.解答题（共9小题）

16.解：（1）1；（2）m=-1

17.证明：•.•四边形A3CD为菱形，

/.ZACB=ZACD,

即ZACD=^ZBCD,

'：ZEAF=寺/BCD,

：.ZACD=ZEAF,

VZAFC=ZGFA,ZFCA=ZFAG,

：.AFAC^AFGA,

：.AF：FG=CF：AF,

：.AF2=FC'FG；

1

18.解：（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”支付方式的概率为

4

1

故答案为:；

4

（2）树状图如图，由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有

1

3种，故P（两人恰好选择同一种支付方式）为3

支付宝银行卡

小翩支付方式微信/\\

微信支付宝银行卡微信支付宝银行卡微信支付下仃卞

19.解：（1）如图，过点。作DNLRG于点N,

交AE的延长线于点交3c的延长线于点P,

在Rt^DCP中，'：CD=6Qcm,ZDCP=60°,

：.DP=CD*sm60°=30V3(cm).

在RtACHG中，'：CG=30cm,ZCGF=60°,

：.CH=CG*sm6Q°=15b(cm),

\'AM//BP,

：.ZAMP=ZBPN=90°,

VZCHN=ZPNH=9Q°,

•••四边形CHNP是矩形，

：.PN=CH=15^3cm,

:.DN=DP+PN=45V3cm«77.9cm；

(2)在RtZXADM中，

"：AD=8Qcm,ZDAM=15°,

：.AM=ADcos15°心77.6cm.

在RtADCP中，

"：CD=6Qcm,ZDCP=60°,

：.CP=CDcos60°=30(cm).

：.BC=BP-CP心77.6-30=47.6(cm),

故BC的长度约为47.6cm.

20.解：(1)由题意得：

w=(x-20)y

=(x-20)(-lOx+500)

=-10^+700%-10000

=-10(x-35)2+2250,

"：a=-10<0,20WxW20(1+60%),

.•.当20WxW32时，攻随x的增大而增大，

・•.当x=32时，w最大=-10(32-35)2+2250=2160.

答：当销售单价定为每支32元时，每月可获得最大利润，每月的最大利润是2160元.

(2)设小周每月的成本需要p(元)，根据题意得：

p=20(-Wx+500)=-200x+10000,

Vw=-10f+700x-10000^2000,

.•.30WxW40,

又,.•20WxW32,-200<0,

...当30WxW32时，心2000,2随x的增大而减小，

当x=32时，p的值最小，p最小值=-200X32+10000=3600.

答：想要每月获得的利润不低于2000元，小周每月的成本最少需要3600元.

21.(1)证明：连接OE,

是O。的切线，

：.OE±EC,

：.ZOED+ZBEC=9Q°,

VZACB=90°,

：.ZCDB+ZCBE=9Q°,

'：OE=OD,

：.ZOED=ZODE,

"：ZODE=ZCDB,

：.ZBEC=ZCBE,

:.CE=BC；

(2)解：设O。的半径为r,

ZBEC=ZCBE,tanZBEC=

tanZCBD=

.CD1

••—•-9

BC2

'：CD=4,

：.BC=8,

：.EC=8,

在RtZ\OEC中，OC2=OE2+EC2,即(r+4)2=^+82,

解得：r=6,即O。的半径为6.

证明：延长AE至G,使EG=AE,连接DG,如图（2）所示:

在△AC石和△G。石中,

AE=GE

Z-AEC=4GED，

CE=DE

:.AACE咨八GDE(SAS).

：.AC=GD,ZCAE=ZG.

'：DF=AC,

：.DG=DF,

：.ZDFG=ZG,

：.ZDFG=ZCAE,

,JDF//AB,

：.ZDFG=ZBAE,

：.ZBAE=ZCAE,

...AE平分NA4c.

图(2)图(3)

问题2：

解：延长AD至G,使DG=AD,连接3G,如图(3)所示:

•.'A。是3c边上的中线，

：.BD=CD,

在△G3D和△ACD中，

BD=CD

Z.BDG=Z.CDAJ

GD=AD

:.丛GBD空丛ACD(SAS),

：.GB=AC,ZG=ZCAD,

：.BG//AC,

：.ZABG+ZBAC=1SO°,

VZBAE=ZCAF=9Q°,

AZEAF+ZBAC=18Q°,

ZEAF=ZABG,

.AC=AF,

：.AF=GB,

在△AER和AR4G中，

AE=AB

^EAF=乙ABG,

AF=BG

:.AAEF2ABAG