2023-2024学年浙江省杭州市富阳区城区中考二模数学试题含解析

2023-2024学年浙江省杭州市富阳区城区中考二模数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.用配方法解方程X2-4X+1=0,配方后所得的方程是（）

A.（x-2）2=3B.（x+2）2=3C.（x-2）2=-3D.（x+2）2=-3

2.下列运算正确的是（）

A.a2+a3=a5B.（a3）2-?a6=lC.a2*a3=a6D.（~+-）2=5

3.如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则该

几何体的左视图是（）

2

12

1

a+b(a<b)

4.对于不为零的两个实数a,b,如果规定：a*b=（a，那么函数y=2*x的图象大致是（）

b）

二上

A./\B.|:、C.,；

厂二'/°/

X71X

5.用配方法解方程式+2%—3=0时，可将方程变形为（）

A.（X+1）2=2B.（X—1）2=2C.（X—1）2=4D.（x+1）2=4

6.估计"i的值在（）

A.4和5之间B.5和6之间C.6和7之间D.7和8之间

7.如图，图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）

个图形中面积为1的正方形有5个，第（3）个图形中面积为1的正方形有9个，按此规律，则第（n）个图形中面积

为1的正方形的个数为（）

2222

8.甲、乙两盒中分别放入编号为1、2、3、4的形状相同的4个小球，从甲盒中任意摸出一球，再从乙盒中任意摸出

一球，将两球编号数相加得到一个数，则得到数（）的概率最大.

A.3B.4C.5D.6

9.如图，AB是。。的直径，点E为BC的中点，AB=4,ZBED=120°,则图中阴影部分的面积之和为（）

A.1B.立C.6D.2百

2

10.关于x的方程x2-3/4=0的一个根是2,则常数k的值为（）

A.1B.2C.-1D.-2

女11

11.如图，已知点A,B分别是反比例函数y=—(x<0),y=-(x>0)的图象上的点，且NAOB=90。，tanZBAO=-,

xx2

则k的值为（）

A.ax(x2-2x)B.ax2(x-2)

C.ax(x+1)(x-1)D.ax(x-1)2

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13.对于一元二次方程式―5%+2=0,根的判别式廿—4ac中的b表示的数是.

_4

14.如图，在矩形A3C。中，DEVAC,垂足为E,且tanNAOE=—,AC=5,则A8的长

3

15.如图，分别以正六边形相间隔的3个顶点为圆心，以这个正六边形的边长为半径作扇形得到“三叶草”图案，若正

六边形的边长为3,贝！1“三叶草”图案中阴影部分的面积为(结果保留兀)

16.因式分解：3a2-6a+3=.

17.如图，在扇形AOB中，ZAOB=90°,正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，点D在OB上，点E在OB的延

长线上，当正方形CDEF的边长为4时，阴影部分的面积为.

18.甲乙两人进行飞镖比赛，每人各投5次，所得平均环数相等，其中甲所得环数的方差为15,乙所得环数如下：0,

1,5,9,10,那么成绩较稳定的是(填“甲”或“乙”).

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.(6分)如图，已知点A,B,C在半径为4的。O上，过点C作。O的切线交OA的延长线于点D.

(I)若NABC=29。,求ND的大小；

(II)若ND=30。，NBAO=15。，作CE±AB于点E,求：

①BE的长；

②四边形ABCD的面积.

20.(6分)解分式方程：-^--1=-一

x-2%2-4

1,

21.(6分)如图，抛物线y=+/ZX+C经过点A(-2,0),点B(0,4).

(1)求这条抛物线的表达式；

(2)P是抛物线对称轴上的点，联结AB、PB,如果求点P的坐标；

(3)将抛物线沿y轴向下平移机个单位，所得新抛物线与y轴交于点，过点。作OE〃x轴交新抛物线于点E,射

线E。交新抛物线于点尸，如果EO=2O尸，求机的值.

22.(8分)某校师生到距学校20千米的公路旁植树，甲班师生骑自行车先走，45分钟后，乙班师生乘汽车出发，结

果两班师生同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，求两种车的速度各是多少？

23.(8分)如图，四边形A5C。的外接圆为。O,AO是。。的直径，过点5作。。的切线，交ZM的延长线于点E,

连接5。，且NE=NO3C.

D

E

(1)求证:平分NAOC；

若E3=10,CD=9,tanZABE=-,求。。的半径.

2

24.（10分）为提高节水意识，小申随机统计了自己家7天的用水量，并分析了第3天的用水情况，将得到的数据进

行整理后，绘制成如图所示的统计图.（单位：升）

（1）求这7天内小申家每天用水量的平均数和中位数;

（2）求第3天小申家洗衣服的水占这一天总用水量的百分比;

（3）请你根据统计图中的信息，给小申家提出一条合理的节约用水建议，并估算采用你的建议后小申家一个月（按

30天计算）的节约用水量.

25.（10分）先化简，再求值：-a）+（1+^^）,其中a是不等式-、历<a<0的整数解.

a2a

26.（12分）定安县定安中学初中部三名学生竞选校学生会主席，他们的笔试成绩和演讲成绩（单位：分）分别用两

种方式进行统计，如表和图.

ABC

笔试859590

口试

—8085

（1）请将表和图中的空缺部分补充完整；图中3同学对应的扇形圆心角为度；竞选的最后一个程序是由初中

部的300名学生进行投票，三名候选人的得票情况如图（没有弃权票，每名学生只能推荐一人），则A同学得票数

为，B同学得票数为,C同学得票数为；若每票计1分，学校将笔试、演讲、得票三项得分按

4：3：3的比例确定个人成绩，请计算三名候选人的最终成绩，并根据成绩判断当选.（从A、B、C、选择一

27.（12分）今年5月，某大型商业集团随机抽取所属的m家商业连锁店进行评估，将各连锁店按照评估成绩分成了

A、B、C、D四个等级，绘制了如图尚不完整的统计图表.

评估成绩n（分）评定等级频数

90<n<100A2

80<n<90B

70<n<80C15

n<70D6

根据以上信息解答下列问题：

（1）求m的值；

（2）在扇形统计图中，求B等级所在扇形的圆心角的大小；（结果用度、分、秒表示）

（3）从评估成绩不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求其中至少有一家是A等级的概率.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、A

【解析】

方程变形后，配方得到结果，即可做出判断.

【详解】

方程/-4%+1=0，

变形得：/-4x=-l，

配方得：X2-4X+4=-1+4,即（X-2>=3,

故选A.

【点睛】

本题考查的知识点是了解一元二次方程-配方法，解题关键是熟练掌握完全平方公式.

2、B

【解析】

利用合并同类项对A进行判断；根据塞的乘方和同底数幕的除法对B进行判断；根据同底数幕的乘法法则对C进行

判断；利用完全平方公式对D进行判断.

【详解】

解：A、a?与a3不能合并，所以A选项错误；

B、原式=a6+a6=L所以A选项正确；

C、原式=a5,所以C选项错误；

D、原式=2+2.w+3=5+27,所以D选项错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查同底数塞的乘除、二次根式的混合运算,:二次根式的混合运算先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二

次根式的乘除运算，再合并即可.解题关键是在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性

质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.

3、D

【解析】

根据俯视图中每列正方形的个数，再画出从正面的，左面看得到的图形：

几何体的左视图是：

故选D.

4、C

【解析】

先根据规定得出函数y=2*x的解析式，再利用一次函数与反比例函数的图象性质即可求解.

【详解】

由题意，可得当2cx,即x>2时，y=2+x,y是x的一次函数，图象是一条射线除去端点，故A、O错误；

2

当2号，即烂2时，y=--,y是x的反比例函数，图象是双曲线，分布在第二、四象限，其中在第四象限时，0V止2,

故8错误.

故选：C.

【点睛】

本题考查了新定义，函数的图象，一次函数与反比例函数的图象性质，根据新定义得出函数的解析式是解题

的关键.

5、D

【解析】

配方法一般步骤：将常数项移到等号右侧，左右两边同时加一次项系数一半的平方，配方即可.

【详解】

解：X2+2X-3=0

x2+2x=3

x2+2x+l=4

（X+1）2=4

故选D.

【点睛】

本题考查了配方法解方程的步骤，属于简单题，熟悉步骤是解题关键.

6、C

【解析】

■:底〈屈〈屈，

•*•6<741<7.

即V41的值在6和7之间.

故选C.

7、C

【解析】

由图形可知：第（1）个图形中面积为1的正方形有2个，第（2）个图形中面积为1的图象有2+3=5个，第（3）个

图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个，…，按此规律，第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+...+n+l=—^——>-

2

【详解】

第⑴个图形中面积为1的正方形有2个，

第⑵个图形中面积为1的图象有2+3=5个，

第（3）个图形中面积为1的正方形有2+3+4=9个，

按此规律，

第n个图形中面积为1的正方形有2+3+4+...+（n+l）=匕2个.

2

【点睛】

本题考查了规律的知识点，解题的关键是根据图形的变化找出规律.

8、C

【解析】

解：甲和乙盒中1个小球任意摸出一球编号为1、2,3、1的概率各为二，

4

其中得到的编号相加后得到的值为｛2,3,1,5,6,7,8)

和为2的只有1+1；

和为3的有1+2；2+1；

和为1的有1+3；2+2；3+1；

和为5的有1+1；2+3；3+2；1+1；

和为6的有2+1；1+2；

和为7的有3+1；1+3；

和为8的有1+1.

故p(5)最大，故选C.

9、C

【解析】

连接AE,OD,OE.

VAB是直径，:.ZAEB=90°.

XVZBED=120°,.,.NAED=30。.二NAOD=2NAED=60。.

VOA=OD..♦.△AOD是等边三角形....NA=60。.

又；点E为BC的中点，ZAED=90°,/.AB=AC.

.,.△ABC是等边三角形，

.•.△EDC是等边三角形，且边长是AABC边长的一半2,高是

/BOE=NEOD=60。，二BE和弦BE围成的部分的面积=DE和弦DE围成的部分的面积.

；・阴影部分的面积=5皿=；26=技故选C.

10、B

【解析】

根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入x2-3x+k=0得4-6+k=0,然后解关于k的方程即可.

【详解】

2

把x=2代入x-3x+k=0得，4-6+k=0,

解得k=2.

故答案为：B.

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的定义，把已知代入方程，列出关于k的新方程，通过解新方

程来求k的值是解题的关键.

11、D

【解析】

首先过点A作AC±x轴于C,过点B作BD±x轴于D,易得△OBDs^AOC,又由点A,B分别在反比例函数y=-

X

(x<0),y=-(x>0)的图象上，即可得SAOBD=L，SAAoc=-|k|,然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平

x22

方，即可求出k的值

【详解】

解：过点A作AC，x轴于C,过点B作BDJ_x轴于D,

.\ZACO=ZODB=90°,

.,.ZOBD+ZBOD=90°,

VZAOB=90°,

.\ZBOD+ZAOC=90°,

.\ZOBD=ZAOC,

/.△OBD^AAOC,

又：NAOB=90。，tanZBAO=-,

2

•0B-1

••=一，

AO2

1

211

解得k=±4,

又；k<0,

/.k=-4,

故选：D.

【点睛】

此题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及直角三角形的性质.解题时注意掌握数形结合思想的应

用，注意掌握辅助线的作法。

12、D

【解析】

先提取公因式ax,再根据完全平方公式把x2-2x+l继续分解即可.

【详解】

原式=ax(x2-2x+l)=ax(x-1)2,

故选D.

【点睛】

本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式

法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法.因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、-5

【解析】

分清一元二次方程中，二次项系数、一次项系数和常数项，直接解答即可.

【详解】

解：b表示一元二次方程/一5%+2=0的一次项系数-5.

【点睛】

此题考查根的判别式，在解一元二次方程时程根的判别式△=b2-4ac,不要盲目套用，要看具体方程中的a,b,c的值.a

代表二次项系数，b代表一次项系数，c是常数项.

14、3.

【解析】

先根据同角的余角相等证明NAOE=NACO,在4ADC根据锐角三角函数表示用含有k的代数式表示出AD=4k和

DC=3k,从而根据勾股定理得出AC=5k,又AC=5,从而求出DC的值即为AB.

【详解】

•••四边形ABC。是矩形，

/.ZADC=90°,AB=CD,

\'DE±AC,

：.NAED=90。,

ZADE+ZDAE^90°,ZDAE+ZACD^90°,

:.ZADE=ZACD,

4AD

/.tanZACZ）=tanZADE=—=-----,

3CD

设AD=4k,CD=3k9贝！）AC=5七

：.5k=5f

:・k=l,

：.CD=AB=3f

故答案为3.

【点睛】

本题考查矩形的性质和利用锐角三角函数解直角三角形，解决此类问题时需要将已知角的三角函数、已知边、未知边,

转换到同一直角三角形中，然后解决问题.

15、1871

【解析】

根据“三叶草”图案中阴影部分的面积为三个扇形面积的和，利用扇形面积公式解答即可.

【详解】

解：•.•正六边形的内角为（6—2）*180°=120。,

6

.•.扇形的圆心角为360°-120°=240°,

“三叶草”图案中阴影部分的面积为竺也立X3=18TT,

360

故答案为187r.

【点睛】

此题考查正多边形与圆，关键是根据“三叶草”图案中阴影部分的面积为三个扇形面积的和解答.

16、3（a—1产

【解析】

先提公因式，再套用完全平方公式.

【详解】

解：3a2-6a+3=3(a2-2a+l)=3(a-l)2.

【点睛】

考点：提公因式法与公式法的综合运用.

17、4n-l

【解析】

分析：连结OC,根据勾股定理可求OC的长，根据题意可得出阴影部分的面积=扇形BOC的面积-三角形ODC的面

积，依此列式计算即可求解.

详解：

连接OC，.,在扇形AOB中NAOB=90。，正方形CDEF的顶点C是的中点，

.,.ZCOD=45°,

.\OC=V2CD=40,

••・阴影部分的面积=扇形BOC的面积-三角形ODC的面积

=X7rx(4^/2)2——x42=4n-l.

3602

故答案是：4n-l.

点睛：考查了正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是得到扇形半径的长度.

18、甲.

【解析】

乙所得环数的平均数为：0+1+^+9+10=5,

2222

S=—[(%!-X)+(X2—X)2+(%3—x)+...+(%„-X)]

n-

=1[(0—5)2+(1—5)2+(5-5)2+(9-5)2+(10—5)2]

=16.4,

甲的方差〈乙的方差，所以甲较稳定.

故答案为甲.

点睛：要比较成绩稳定即比方差大小，方差越大，越不稳定；方差越小，越稳定.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)ZD=32°；(2)①BE=2«;②8指+4

【解析】

(I)连接OC,CD为切线，根据切线的性质可得NOCD=90。，根据圆周角定理可得NAOC=2NABC=29Ox2=58。，根

据直角三角形的性质可得ND的大小.

(II)①根据ND=30。，得到NDOC=60。，根据NBAO=15。，可以得出NAOB=150。，进而证明△OBC为等腰直角三

角形，根据等腰直角三角形的性质得出BC=41OB=4五,

根据圆周角定理得出ZABC==NAOC=30°,根据含30角的直角三角形的性质即可求出BE的长；

2

②根据四边形ABCD的面积=SAOBC+SAOCD-SAOAB进行计算即可.

【详解】

(I)连接OC,

VCD为切线，

AOC1CD,

/.ZOCD=90°,

■:ZAOC=2ZABC=29°x2=58°,

:.ZD=90°-58°=32°；

(II)①连接OB,

在RSOCD中，VZD=30°,

AZDOC=60°,CD=6OC=4M

VZBAO=15°,

AZOBA=15O,

/.ZAOB=150°,

/.ZOBC=150°-60°=90°,

•••△OBC为等腰直角三角形，

**-BC=41OB=4后，

•••ZABC=-ZAOC=3Q°,

2

在RtACBE中，CE=-BC=141,

2

:.BE=6CE=276；

②作BHLOA于H,如图，

VZBOH=1800-ZAOB=30°,

/.BH=-OB=2,

2

二四边形ABCD的面积=SAOBC+SAOCD-SAOAB

【点睛】

考查切线的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，含30角的等腰直角三角形的性质，三角形的面积公

式等，题目比较典型，综合性比较强，难度适中.

20、无解

【解析】

首先进行去分母，将分式方程转化为整式方程，然后按照整式方程的求解方法进行求解，最后对所求的解进行检验，

看是否能使分母为零.

【详解】

解：两边同乘以(x+2)(x-2)得：

x(x+2)—(x+2)(x—2)=8

22

去括号，得：X+2X-X+4=8

移项、合并同类项得：2x=4

解得：x=2

经检验，x=2是方程的增根

...方程无解

【点睛】

本题考查解分式方程，注意分式方程结果要检验.

1,7

21、(1)y=——x-+x+4；(2)P(1,-);(3)3或5.

-22

【解析】

1

(1)将点A、B代入抛物线y=-'V+9Zzx+c,用待定系数法求出解析式.

PGBO

(2)对称轴为直线x=L过点P作PG_Ly轴，垂足为G,由NPBO=/BAO,得tan/PBO=tan/BAO,即——=——,

BGA0

可求出P的坐标.

(3)新抛物线的表达式为丁=一5炉+工+4—7”，由题意可得。E=2,过点F作尸轴，垂足为77,,：DE//FH,

E0=2。尸，匹=孚=型=±.•"由1.然后分情况讨论点。在y轴的正半轴上和在y轴的负半轴上，可求得利

FHOFOH1

的值为3或5.

【详解】

解：(1),••抛物线经过点A(-2,0),点3(0,4)

-2-2b+c=Qb-\

解得

c=4c=4"

二抛物线解析式为y--X2+X+4,

2

12A1/.\29

(2)y=————(x-1)+—,

2x+x+4=2V'2

对称轴为直线x=l,过点尸作尸轴，垂足为G

■:ZPBO=ZBAO,：.tanZPBO=tanZBAO,

.PGBO

••而一而'

•1一2

••—―,

BG1

OG=-,

2

7

：.P(1,-),

2

1

(3)设新抛物线的表达式为y=-]Y9+x+4

则/5e/一冽卜石^八一根)，DE=2

过点歹作尸轴，垂足为H,'：DE//FH,EO=2OF

：.FH=1.

点。在y轴的正半轴上，则l,g-加

:.OH=m——,

2

DO4—m2

:.m=3,

点O在y轴的负半轴上，则尸［l,g-加

9

:.OH=m—,

2

DO777-42

'.m=5,

•••综上所述"的值为3或5.

【点睛】

本题是二次函数和相似三角形的综合题目，整体难度不大，但是非常巧妙，学会灵活运用是关键.

22、自行车速度为16千米/小时，汽车速度为40千米/小时.

【解析】

设自行车速度为x千米/小时，则汽车速度为2.5x千米/小时，根据甲班师生骑自行车先走，45分钟后，乙班师生乘汽

车出发，结果同时到达，即可列方程求解.

【详解】

设自行车速度为X千米/小时，则汽车速度为2.5X千米〃J、时，由题意得

2045_20

x602.5%

解得x=16,

经检验x=16适合题意，

2.5x=40,

答：自行车速度为16千米/小时，汽车速度为40千米/小时.

23、(1)详见解析；(2)OA=—.

2

【解析】

(1)连接OB,证明NABE=NADB,可得NABE=NBDC,贝!|NADB=NBDC；

(2)证明AAEBs^CBD,AB=X,则BD=2X,可求出AB,则答案可求出.

【详解】

(1)证明：连接。凰

E

为。。的切线，

：.OB±BE,

：.ZOBE=90°,

：.ZABE+ZOBA=9Q°,

'：OA=OB,

：.NOBA=NOAB,

：.ZABE+ZOAB=90°,

是。。的直径，

：.ZOAB+ZADB=90°,

:.ZABE^ZADB,

,••四边形ABCD的外接圆为。O,

：.ZEAB=ZC,

"：ZE=ZDBC,

：.NABE=NBDC,

：.ZADB=ZBDC,

即OB平分NADC；

(2)解：'：tanZABE=-,

2

.•.设4B=x,则5Z>=2x,

：•AD=ylAB-+BD2=&，

ZBAE^ZC,ZABE^ZBDC,

BEAB

•*•一_,

BDCD

#10_x

••一,

2x9

解得*=3君,

：.AB=y/5x=15,

.15

・・OA=—.

2

【点睛】

本题考查切线的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题.

24、(1)平均数为800升，中位数为800升；(2)12.5%；(3)小申家冲厕所的用水量较大，可以将洗衣服的水留到

冲厕所，采用以上建议，一个月估计可以节约用水3000升.

【解析】

试题分析：(1)根据平均数和中位数的定义求解可得；

(2)用洗衣服的水量除以第3天的用水总量即可得；

(3)根据条形图给出合理建议均可，如：将洗衣服的水留到冲厕所.

试题解析：解：(1)这7天内小申家每天用水量的平均数为(815+780+800+785+790+825+805)+7=800(升)，

将这7天的用水量从小到大重新排列为:780、785、790、800、805、815、825,

二用水量的中位数为800升；

/、io。

(2)——xl00%=12.5%.

800

答：第3天小申家洗衣服的水占这一天总用水量的百分比为12.5%；

(3)小申家冲厕所的用水量较大，可以将洗衣服的水留到冲厕所，采用以上建议，每天可节约用水100升，一个月估

计可以节约用水100x30=3000升.

251

1+〃

【解析】

首先化简(:-a)+(1+)，然后根据a是不等式-