20204年高考模拟数学试卷二（新结构）含答案

2024年高考模拟数试题（二）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.从小到大排列的数据1，2,3,%4,5,6,7,8,%9,10的第三四分位数为（）

3+x8+y

A.3B.----C.8D.--

22

【答案】D

【解析】

【分析】由百分位数的估计方法直接求解即可.

【详解】12x75%=9,••.该组数据的第三四分位数为竺L

2

故选：D.

22

2.若椭圆C：上+匕=1（加〉0）上一点到C两个焦点的距离之和为2/%，则相=（）

m9

A.1B.3C.6D.1或3

【答案】B

【解析】

【分析】讨论焦点的位置利用椭圆定义可得答案.

【详解】若相>9,则由=2根得〃z=1（舍去）；

若0<〃z<9,则由2m=6得“2=3.

故选：B.

3.设等差数列｛%,｝的前〃项和为S“，若生+。5=-1°，$6=—42,则/=（）

A.12B.10C.16D.20

【答案】B

【解析】

【分析】设等差数列｛4｝的公差为d,根据已知条件可得出关于％、d的方程组，解出这两个量的值，在

利用等差数列的求和公式可求得I。的值.

【详解】设等差数列｛4｝的公差为d,则=（01+21）+（4+42）=24+61=—10,①

6x5

S6=6q+、d=6q+15d=-42,②

联立①②可得q=-17,d=4,

因此，S10=10^+^—^=10«I+45^=10x（-17）+45x4=10.

故选：B.

4.同一个宿舍的8名同学被邀请去看电影，其中甲和乙两名同学要么都去，要么都不去，丙同学不去，其

他人根据个人情况可选择去，也可选择不去，则不同的去法有（）

A.32种B.128种C.64种D.256种

【答案】C

【解析】

【分析】分甲和乙都去和甲和乙都不去两类，利用分类计数原理求解.

【详解】若甲、乙都去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有25种去法；

若甲、乙都不去，剩下的5人每个人都可以选择去或不去，有25种去法.

故一共有+2§=64种去法.

故选：C.

5.在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板ABC折起,

使得二面角A-5C-。为直二面角，得图2所示四面体A3CZ）.小明对四面体ABCD中的直线、平面的

位置关系作出了如下的判断：①CD,平面ABC；②平面ACD；③平面平面ACD；④平

面平面BCD.其中判断正确的个数是（）

图1图2

A.1B.2

C.3D.4

【答案】C

【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.

【详解】对于①中，因为二面角A—5C—。为直二面角，可得平面A5C1平面BCD,

又因为平面ABCc平面5co=5。，DCVBC,且。Cu平面BCD,

所以DC，平面ABC,所以①正确；

对于②中，由DC,平面ABC,且A5u平面ABC,可得A6LCD,

又因为AB1AC,且ACCD=C,AC,CDu平面ACD,

所以平面ACD，所以②正确；

对于③中，由平面ACD,且ABu平面AB。，所以平面A3D_L平面ACD,所以③正确;

对于④，中，因为。C,平面ABC,且。Cu平面BCD,可得平面ABC1平面BCD,

若平面ABD，平面BCD,且平面ABDc平面ABC=AB,可得AB1平面BCD,

又因为BCu平面BCD,所以

因为A3与BC不垂直，所以矛盾，所以平面ABD和平面BCD不垂直，所以D错误.

故选：C.

6.已知点P在圆（x-iy+y?=1上，点A的坐标为卜1,、回）,。为原点，则A。.AP的取值范围是（）

A.[-3,3]B.[3,5]C.[1,9]D,[3,7]

【答案】D

【解析】

【分析】设P（九,y），利用平面向量数量积的坐标运算结合直线与圆的位置关系可得结果.

【详解】设？（％/）,因点A的坐标为（—1,6）,所以AO=（1,一百）,AP=（x+l,y—豆），

则AO-AP=x+1-y/3（y-A/3—x—yfiy+4,

设/=x—Gy+4,即y=+,

依题意，求f的范围即求直线y=^x+[（4T）与圆（x-lf+y=l有公共点时在y轴上截距的范围，

即圆心（1,0）到y=[x+#（4—）的距离d="4wi，解得3W/W7,

所以AO的取值范围为[3,7],

故选：D.

7.若/(x)=2sinx(若cosx—sinx),且/(内)/(/)=一3,则归一々|的最小值为()

7171

A.兀B.—C.2兀D.一

24

【答案】B

【解析】

【分析】化简人无)解析式，得函数最大最小值与周期，利用/(%)/(9)=-3条件转化为与最值的关系,

再由最值与周期的关系可得.

【详解】/(%)=2sinx^A/3cosx-sinxj

=^/3sin2x-2sin2x-A/3sin2x+cos2x-l

=2sin"x+W1—1,/(x)的周期为丁=兀，且

令/=sin12x+W],则

则f(x)=g«)=2f—1,由g。)的值域为[—3』，

故/(XU=l"(X)min=—3，

-3</(%,)<1

则＜,故—34/(国)/(%)<9,

-3</(%2)<l

"(九1)=1

由/(%)/(々)=-3知，1区)=—3'，(无2)=1

即/(%),/(%)为函数的最大与最小值，或最小与最大值,

当人,马对应/(X)图象上相邻两最值点时，|玉-々I的值最小，

故Hl-X21mhi=5=5.

故选：B.

22

8.如图，已知耳，工是双曲线C：-4=1的左、右焦点，RQ为双曲线。上两点，满足耳P〃心。，且

a'b-

I耳。卜优P|=3寓P|,则双曲线C的离心率为()

>/5「亚

AVioRnVio

5232

【答案】D

【解析】

【分析】根据双曲线的定义和性质分析可得r=。，进而可得/^「'。=/片2工=90,结合勾股定理运算

求解.

【详解】延长。工与双曲线交于点P',

因为耳尸〃用P,根据对称性可知任占=|鸟尸］,

设其尸|=|耳尸卜方,则后尸|=|项2|=3才,

可得国P|-国产|=2r=2a,即/=々,

所以|P'Q|=4r=4a,则|Q4|=依闾+2a=5a,|耳尸1=|鸟尸|=3a,

即卢。「+闺可2=血耳「，可知/耳PQ=/4P与=90,

在.P耳鸟中，由勾股定理得优P『+闺P「=|片闾2,

即/+（3a）2=4c2,解得《=.啜

故选：D.

【点睛】方法点睛：1.双曲线离心率（离心率范围）的求法

求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a,b,c的等量关系或不等关系，然后把b

用a,c代换，求e=—的值;

a

2.焦点三角形的作用

在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设复数（口/6口且/,/。），则下列结论正确的是（）

a+bi

A.z可能是实数B.目=同恒成立

若2+^eR,贝“z|=l

C若z2eR，则a=0D.

z

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据复数的运算和复数的类型的概念求解即可.

1a—biab

【详解】对于A：若z=-------=----------=----------------------i是实数,

a+bia2+b2a2+Z?2a2+b1

则）=0,与已知矛盾，故A错误;

bi

对于B：由A项知z=-3-"1己T

a+bQ+Z?

22

所以忖=a-b

a2+b2I++/

22

a!+bI=同，故B正确;

a2+b2

b22aba2-b2lab

对于C：若三i二ieR

2(4+/)2(/+62)2(4+旷心⑹y

lab

则=°,因为bwO,所以a=0,故C正确;

11a

对于D：zH—=--------+ci~^~bi—ieR,

za+bia1+Z?2)\a2+b2

b

则。-亦=。，因为五。，所以储+*1,

所昨Nt-=L故D正确.

故选：BCD.

^-^=sinC,

10.在，15C中，若tan则下列结论正确的是()

2

tanA1

A.--------=lB.0<sinA+sinB<\/2

tan5

C.sin2A+cos2B=1D.cos2A+cos2B=sin2C

【答案】BD

【解析】

4_i_R

【分析】由tan--------=sinC化简得到C=90。，再逐项判断.

2

C

cos—万厂

A+B71C12c•C

【详解】解：由tan--------=sinCntan------W=2sin——cos——C,

2I-2"C.C22

tan—sin—

22

CnC

因为0<—<—,所以COS：H0,

222

Cr

所以l=2sin22nl—2sin2：=0ncosC=0nC=90°,

22

ItanA,4.一、，…

所以tanB=tan|-A----------=1211-4不一定为1,A错;

tanAtanB

因为sinA+siaB=sinA+cosA=V2sin（A+45°）,0°<A<90°n45。<A+45°<135°,

.,•^<sin（A+450）<l^l<V2sin（A+450）<72>

从而有0<sinA+sinB<，所以B正确,

万一A卜sinA,所以sin^A+cos?^=2sin2A也不一定等于l，C错;

XcosB=cos

而COS2A+COS2B=cos2A+sin2A=1=sin2C，D正确；

故选：BD

11.已知函数的定义域为R,满足/(x+y)+/(x—y)=2/(x)/(y),且/⑴=—I,则()

A.八°）=1

B./(%)为奇函数

C./⑴+〃2）++/（2024）=0

2

D.[/W]2+f=1

【答案】AD

【解析】

【分析】采用赋值法为突破口，分析函数的有关性质.

【详解】对A：令x=l,y=0,则2/⑴=2/⑴/(O),

因为/。)=—1，所以/(。)=1，故A正确；

对B：令尤=0得:/(y)+/(-y)=2/(O)/(y),结合"0)=1可得〃?)=〃—月,

所以/(九)为偶函数，故B错误；

对C：令y=l可得：/(x+l)+/(x-l)=2/(x)/(l),因为=

所以/(x+l)+/(x—l)=—2/(x)n/(x+l)+/(%)=—[/(%)+/(工-1)],

进一步可得：/(x+2)+/(x+l)=-[/(x+l)+/(x)]=/(x)+/(x-l),

又/(0)=1,=

所以：/(0)+/(1)=/(2)+/(3)=?-=/(2023)+/(2024)=0,

所以/⑴+/(2)+〃3)+?+/()+/(2023)=—科—，故C错误；

对D：令x=y可得:八2冷+/(0)=2卜(龙甘n[/(切2="2;)+1；

用x+；代替x,y得：〃2X+1)+〃0)=2/,+g]nJ/'+J，

结合C的结果，可得：[〃x)T+5+*/(2x)+9x+l)+2J⑼+1)+2j故口正

确.

故选：AD

【点睛】关键点睛：如何赋值是解决问题的关键.AB相对简单，对C,令y=l得到

/(x+l)+/(x)=-[/(x)+/(x-l)]后进一步可得到数列相邻项之间的关系，可求结果，对D,用％=V

和用工+工代替x,y是解决问题的关键.

2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若关于x的不等式0<加+乐+。<2(4>0)的解集为何―lKx<3},则3a+b+2c的取值范围是

【答案】I，4

【解析】

【分析】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出。的取

值范围，最后3a+/?+2c都表示成。的形式即可.

【详解】因为不等式0462+陵+c<2（a>0）的解集为{H—1KXK3},

所以二次函数/（%）=依2+法+。的对称轴为直线1=i,

/（T）=2a-b+c=2

b=-2a

且需满足|/（3）=2,即<9a+3Z?+c=2,解得<

c——3a+2

J⑴2。a+b+cN。

以Q+Z?+C=Q—2Q—3a+2之0——a<—,所以

所以3a+b+2c=3a—2Q—6〃+4=4—5。£14

故答案：j,4

【点睛】关键点睛：一元二次不等式的解决关键是转化为二次函数问题，求出对称轴和端点的值，继而用

同一个变量来表示求解.

13.己知直三棱柱ABC-A.B^ABlBC,AC=2AB,4C=2,则三棱柱ABC-4耳&的体积的最大值

为；此时棱柱的高为.

【答案】①.|②.孚##gg'

【解析】

【分析】利用直三棱柱的特征、体积公式结合导数求单调性及最值计算即可.

如图所示，不妨设|A@=x,由题意则AC=2x,BC=相=—4=2（xe（0,I》,

则V=74-4X2X-XX氐=V3^(1-X2)X4,

令/⑺=(1—3t2(?=x2e(O,l))=>f'(t)=2t-3/,

,

则i>/〉t时,1f(><0,§>>>o时,/(r)>0.

即/(,)在1°，|］上单调递增，在||」］上单调递减，

则/⑺=心］=巴=%=岛伍=2,

max

J\/max，(3127Ai273

止匕时Z=x2=-^-=>,4-4x2=A4,==~~■

故答案为：j巫.

33

22

14.已知正实数a,4c,d满足</-仍+1=0,c+d=l,则当(a-cp+S-dy取得最小值时，

ab=.

【答案】正+i

2

【解析】

【分析】将(a-c)2+3-d¥转化为(。力)与(c,d)两点间距离的平方，进而转化为(a,。)与圆心(0,0)的

距离，结合基本不等式求得最小值，进而分析求解即可.

【详解】可将(«-c)2+3-d)~转化为(。1)与(G")两点间距离的平方，

由a?—ab+l=0，得=—,

a

而C2+Q2=1表示以(0,0)为圆心，1为半径的圆,(c,d)为圆上一点，

则(。力)与圆心(0,0)的距离为：

j2a24+2=也0+2

当且仅当2/=：,即。=±6时等号成立，

此时(a,b)与圆心(0,0)的距离最小，即(a,。)与((r,d)两点间距离的平方最小

即(a-c)2+(b-d)~取得最小值.

当a=:口时，ab-a2+1-+1，

V22

Ji

故答案为：注+1.

2

【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是能够将问题转化为圆°?+Q2=1上的点到人=a+L上的点的距离

a

的最小值的求解问题，进而求解.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.己知函数/'(x)=2111%+；以2-(2a+l)x.

(1)若曲线y=/(x)在(1,7■⑴)处切线与x轴平行，求。；

(2)若/(X)在x=2处取得极大值，求。的取值范围.

【答案】(1)1(2)[-00]]

【解析】

【分析】(1)先对/(X)求导，利用导数的几何意义即可得解；

(2)分类讨论。的取值情况，利用导数分析/(%)的单调情况，从而得到其极值情况，由此得解.

【小问1详解】

因为了(力-21nx+—ax2一(2〃+1)%(%>0),

所以广⑺=[以心+1)=*-(2：+1卜+2=("*一2),

因为曲线丁=/(%)在。，/⑴)处切线与x轴平行，

所以解得a=l,

又/(l)=；_3=_gw0,所以a=l.

【小问2详解】

〃九)的定义域为(0,+“)，,(耳=3-1)—2),

X

①当a=0时，令得0<%<2,令/'(“<0,得x>2,

\/(9在(0,2)上单调递增，在(2,+8)上单调递减.

\/⑴在x=2处取得极大值，满足题意；

②当时，令/得0<x<2,令/'(x)<0,得x>2,

\F(x)在(0,2)上单调递增，在(2,+8)上单调递减.

\/在x=2处取得极大值，满足题意；

③当〃>0时，

(i)当。=’时，-=2,fr(x)>0

2a

所以/(%)在(0,+8)上单调递增，/(%)无极值，不满足题意；

(ii)当一时，一<2,

2a

令r(x)<0,得工<x<2,令户")>0,得0<x<工或光>2.

aa

\/(x)在上单调递增，在W上单调递减，在(2,+◎上单调递增.

\"尤)在x=2处取得极小值，不满足题意；

(iii)当0<。<一时，一>2,

2a

令/得2<X<L,令/得0<九<2或X〉L

aa

\/(X)在(0,2)上单调递增，在［2,£|上单调递减，在上单调递增.

\/(X)在x=2处取得极大值，满足题意；

综上所述，”的取值范围为啊；］

16.盒子中装有红球、白球等多种不同颜色的小球，现从盒子中一次摸一个球.不放回.

(1)若盒子中有8个球，其中有3个红球，从中任意摸两次.记摸出的红球个数为X.求随机变量X的

分布列和数学期望.

(2)若A盒中有4个红球和4个白球，3盒中在2个红球和2个白球.现甲、乙、丙三人依次从A号盒中

摸出一个球并放入8号盒，然后丁从3号盒中任取一球.已知丁取到红球，求甲、乙、丙三人中至少有一人

取出白球的概率.

3

【答案】（1）分布列见解析；期望为一

4

44

（2）——

49

【解析】

【分析】（1）列出X的所有可能的值，求出对应的概率，可得分布列，并求期望.

（2）用条件概率公式求解.

【小问1详解】

c；c*5C；C；A；_15c；c；3

X可取0,1,2.且:p(x=o)=P(X=1)=p(X=2)=

14C；C；2828

所以X的分布列为:

X012

5153

P

142828

3

则:EX

4

小问2详解】

设事件。="丁取到红球"，事件E="甲、乙、丙三人中至少有1人取出白球”.

3C；C；C；4

当甲、乙、丙三人取得1个白球,则丁取到红球的概率为X—;

7

3cle[C；乂3

当甲、乙、丙三人取得2个白球,则丁取到红球的概率为

^C1C17'

C：C；C；2

当甲、乙、丙三人取得3个白球,则丁取到红球的概率为111X—；

C；C；C：7

C；C；C；5

当甲、乙、丙三人取得3个红球,则丁取到红球的概率为X—,

dcic47'

3C：C；C：x4।3C：C；C；,<3।C：C；C；,二2

7C；C；C；7C；C；7744

则所求概率为:3展需3/6

3C：C©53C：C；C；43C：C；C；33C：C；C；249

/5//j〜y/

一71

17.在梯形ABC。中，ABCD,ZBAD=~,AB=2AD=2CD=4,尸为AB的中点，线段AC与0P

3

交于。点（如图1）.将，ACO沿AC折起到△ACO位置，使得平面D'AC，平面R4c（如图2）.

(1)求二面角A—8。'—C的余弦值;

(2)线段W上是否存在点。，使得CQ与平面BC。'所成角的正弦值为迈？若存在，求出岑的值;

8PD'

若不存在，请说明理由.

【答案】17.—立

7

18.存在，华2

PD'3

【解析】

【分析】(1)建立空间直角坐标系，由空间向量求解；

(2)设尸0=表示出CQ,利用向量的夹角公式代入列式，即可得解.

【小问1详解】

JT

因为在梯形ABCD中，AB//CD,AB=2AD=2CD=4,NBAD=—,P为AB的中点，所以，

3

CD//PB,CD=PB,

所以△ADP是正三角形，四边形DP6C为菱形，

可得ACSBC,AC±DP,

而平面D'AC_L平面B4C，平面力ACc平面B4C=AC，

Z>Ou平面。AC，DOJ.AC，

.•.£>0，平面R4C,所以04,OP,。力两两互相垂直，

如图，以点。为坐标原点，OA,OP,OD'分别为4>，z轴建立空间直角坐标系,

则A(石,0,01C(-V3,0,0),网-疯2,0bD(0,0,1),尸(0,1,0),

.­.AD'=(-V3,O,1),AB=(-2A/3,2,0),8。'=(6,-2,1),CD=(73,0,1),

设平面ABZ)'的一个法向量为机=(%,%,zj,则

m•AD'=0—A/3XJ+ZJ—0

即《,令再=1,则y=Z]=后,

m•AB=0-2y[^X]+2%—0

:・m=0,6,6).

设平面圆力的一个法向量为"=（%，%，Z2），则

几・BD'=OV3X一2%+z,=0l

,即《9，令无2=1，则%=0，Z2=-V3,

nCD'=OV3X2+z2=0

1x1+73XO+A/3x^-^/3^^

/\m-n

COS(Z72,71)—I—FT-i

、/\m\\n\71+3+3x71+3—7，

所以二面角A-BD-C的余弦值为-且

7

设PQ=4PQ'（O〈XVl）,因为CP=（百,1,0）,PD=（0,-1,1）,所以

CQ=CP+PQ=CP+APD=（y[3,\-A,A\,

CQ-n\_73(1-2)_V6

设C。与平面BCD所成角为。，则sin8=cos（CQ,〃

COM242%-2K+48

即342—74+2=0，•0<^,<1,解得彳=：，

所以线段P。'上存在点。，且器■=：,使得CQ与平面8C力所成角的正弦值为络.

18.已知抛物线V=4x,顶点为。，过焦点的直线交抛物线于A,8两点.

y

（1）如图1所示，已知|A却=8],求线段A3中点到＞轴的距离；

（2）设点尸是线段A3上的动点，顶点。关于点P的对称点为C,求四边形。4cB面积的最小值；

（3）如图2所示，设。为抛物线上的一点，过D作直线DM,DN交抛物线于M,N两点，过。作直线

DP，。。交抛物线于尸，。两点，且。暇，DN,DP±DQ,设线段MN与线段尸。的交点为T,求

直线OT斜率的取值范围.

【答案】（1）3（2）4

【解析】

【分析】（1）根据抛物线的性质求解即可;

（2）由题意可知四边形。4BC的面积等于2sOOB，设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理和

2SVA°B=2*|。司|%一%|求解即可；

（3）设£＞点坐标为（〃,2可，将抛物线方程与直线DM,DN联立,利用韦达定理将点M和点N坐标用

。表示，进而可得到直线的方程，证明直线过定点即可求解.

【小问1详解】

因为过焦点的直线交抛物线于A,B两点,且|A@=8,

设A（HX）,3（%2，%），

由抛物线的性质可得%+尤2+2=|4耳=8,

所以为+%2=6,

所以线段A5中点的横坐标，即为线段A3中点到y轴的距离为士*=3.

2

【小问2详解】

由点C与原点。关于点尸对称，可知P是线段0C的中点，

IJ

及

所以点。与点C到直线/的距离相等，所以四边形。43C的面积等于2s△加"，

设直线/的方程为％=阳+1,联立《,，消去x可得/一4根〉—4=0,

〔y=4x

设4（$,%），8（尤4，”），由韦达定理可得力+翅=4m，为乂二-4，

所以2S“B=2砌叫讣J（%+JO—%%：4而7，

当机=0时，四边形Q4BC的面积取最小值为4.

【小问3详解】

设£＞点坐标为（片,2a），M点坐标为（如,丁“），N点坐标为（乙，%），

由题意可知直线DM的斜率左存在，且不为0,

则直线的方程为y-2a=k（x-a2）,与抛物线9=4%联立，消去x得/一+%-4/=0,

kk

44一

由韦达定理可得2a+丁知=7，解得yM=：—2a,

kk

直线。N的方程为y-2a=--（x-与抛物线丁=©联立，消去了得产+伙W8te.4/=0,

k

由韦达定理可得2a+=-4k,解得yN=-4k-2a,

显然直线MN斜率不为零,

X-X4(X-x)_4(X-X、)

当直线肱V斜率存在时，直线的方程为，一%MM

XN-XMyl-yl(y+y)(y-%)

yN-yMNMN

44+%裕

整理得：＞=

yN+yM

4

将=7—2〃，=-4k-2a代入l得:

kMN

0

底1

以+/2续4k-2a)4^,2a+2ak?+a2kk(x-a-4)

---A-------------------------------;------=-2a+--------------7—

--2a-4k-2abak'k'1-ak'k~

k

°

所以直线LN过定点(4+2a),即T点坐标为(4+2a),直线07的斜率为％=——二

4+«

当a＞°时，然一七21

-4

2,当且仅当一=a,即。=2时，等号成立,

aa

1

0<4

当。＜0时,2当且仅当--=-a,即a=-2时，等号成立,

a

当a=0时，k0T-0,

当直线MN的斜率不存在时，设M点坐标为(产,2。，N点的坐标为(『,-2。，

UULIUUUU

则a2,It-2a),DN=(t2-a2,-It-2a),且根据题意储彳。，

uuiniuuir2

所以DM7DN(t2-a2)--4(r-a2)=0,解得产=4+/,

所以直线aW的方程为％=4+1过点(4+a2,-2a),

综上所述，直线07斜率的取值范围为-.

【点睛】解决直线与圆锥曲线相交(过定点、定值)问题的常用步骤:

(1)得出直线方程，设交点为4(%,