专题07直线的方程（1个知识点4个拓展8种题型3个易错点）（原卷版）

专题07直线的方程（1个知识点4个拓展8种题型3个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.直线方程的几种形式拓展1.灵活选择直线方程的几种形式拓展2.利用直线方程判定直线的位置关系拓展3.直线方程过定点问题拓展4.利用直线系方程求直线的方程【方法二】实例探索法题型1.直线的点斜式方程题型2.直线的斜截式方程题型3.两条直线的位置关系题型4.直线的两点式方程及其应用题型5.直线的截距式方程及其应用题型6.中点坐标公式及其应用题型7.直线的一般式方程与其他形式的转化与应用题型8.一般式形式下直线的平行与垂直问题【方法三】差异对比法易错点1.有关截距相等问题忽略截距为零致错易错点2.已知两直线平行求参数的值未验证致错易错点3.未讨论参数的取值致错【方法四】成果评定法【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.直线方程的几种形式【例1】(1)一条直线经过点(2,5)，倾斜角为45°，则这条直线的点斜式方程为________．(2)经过点(－5,2)且平行于y轴的直线方程为________．【变式】分别求出经过点P(3,4)，且满足下列条件的直线方程，并画出图形．(1)斜率k＝2；(2)与x轴平行；(3)与x轴垂直．【例2】根据条件写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.【变式】已知直线l的斜率为eq\f(1,6)，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程．【例3】(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为________．(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.【变式】求经过两点A(2，m)和B(n,3)的直线方程．【例4】求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程．拓展1.灵活选择直线方程的几种形式求直线方程常用的方法是直接法和待定系数法，但在待定条件下，应考虑下面的设法。（1）已知直线的纵截距，常设方程的斜截式；（2）已知直线的横截距和纵截距，常设方程的截距式（截距均不为0）；（3）已知直线的斜率和所过的定点，常设方程的点斜式，但如果只给出一个定点，一定不要遗漏斜率不存在的情况；（4）仅知道直线的横截距，常设方程形式：（其中是横截距，m是参数），注意此种设法不包含斜率为0的情况，且在后面要学的圆锥曲线章节中经常使用。如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式（A,B不同时为0.)【例5】已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，(1)求BC边的方程；(2)求BC边上的中线所在直线的方程．拓展2.利用直线方程判定直线的位置关系【例6】(1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？【变式】已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求直线l′的一般式方程，l′满足(1)过点(－1,3)，且与l平行；(2)过点(－1,3)，且与l垂直．拓展3.直线方程过定点问题【例7】已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围．【变式1】（2022秋•朝阳区期中）直线kx﹣y+1﹣3k＝0，当k变动时，所有直线都通过定点（）A．（3，1） B．（0，1） C．（0，0） D．（2，1）【变式2】（2022秋•金水区校级期末）已知直线m：（a+2）x+（1﹣2a）y+4﹣3a＝0．（1）求证直线m过定点M；（2）过点M作直线n使直线与两负半轴围成的三角形AOB的面积等于4，求直线n的方程．【变式3】（2022秋•益阳期末）已知直线l：kx﹣y+1+2k＝0（k∈R）．（1）证明：直线l过定点；（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．【变式4】（2022秋•碑林区校级期末）设直线l的方程为（a+1）x+y﹣5﹣2a＝0（a∈R）．（1）求证：不论a为何值，直线l必过一定点P；（2）若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点A（xA，0），B（0，yB），当△AOB面积最小时，求△AOB的周长及此时的直线方程；（3）当直线l在两坐标轴上的截距均为正整数且a也为正整数时，求直线l的方程．拓展4.利用直线系方程求直线的方程【方法二】实例探索法题型1.直线的点斜式方程1．（2022秋•河南月考）经过点（2，5），斜率为﹣2的直线的点斜式方程为（）A．y+5＝﹣2（x+2） B．y﹣5＝﹣2（x﹣2） C．y﹣5＝2（x+2） D．y﹣5＝﹣2（x+2）2．（2022秋•广州期末）经过点（1，0），倾斜角为150°的直线方程是（）A． B． C． D．3．（2023·江苏·高二假期作业）已知在第一象限的中，，，，，求直线BC的点斜式方程.题型2.直线的斜截式方程4．（2022秋•广州月考）与直线y＝2x+1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是（）A．y＝x+4 B．y＝2x+4 C．y＝﹣2x+4 D．y＝﹣x+45．（2022秋•上蔡县校级月考）已知直线l的斜率是直线的斜率的相反数，在y轴上的截距为2，则直线l的方程为（）A． B． C． D．6．（2023·江苏·高二假期作业）根据条件写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.题型3.两条直线的位置关系7．（2023春·江西赣州·高二校联考阶段练习）已知命题：直线与平行，命题，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．（2023春·广东·高二统考阶段练习）直线和直线的位置关系是（

）A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．重合9．（2022秋•沙市区校级月考）若直线l1：ax+（1﹣a）y﹣3＝0与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣2＝0互相垂直，则a的值是（）A．﹣3 B．1 C．0或 D．1或﹣310．（2022秋•宝山区校级期中）若直线l1：ax+3y﹣5＝0与l2：x+2y﹣1＝0互相垂直，则实数a的值为．11．（2022秋•宛城区校级月考）已知两条直线l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m，l2：2x+（5+m）y＝8，m为何值时，l1与l2：（1）相交？（2）平行？（3）垂直？题型4.直线的两点式方程及其应用12．（2022秋•广州期中）经过两点（x1，y1），（x2，y2）的直线方程都可以表示为（）A．＝ B．＝ C．（y﹣y1）（x2﹣x1）＝（x﹣x1）（y2﹣y1） D．＝13．（2022秋•衡阳县期中）已知一直线经过点M（﹣3，4）和点N（2，6），则这条直线的方程为．14．（2022秋•南阳月考）已知△ABC的三个顶点分别为A（0，4），B（﹣2，6），C（﹣8，0）．（1）求边AB所在直线的方程；（2）求边AC上的中线BD所在直线的方程．题型5.直线的截距式方程及其应用15．（2022秋•平谷区期末）直线3x+2y+1＝0在x轴上的截距为（）A． B． C． D．16．（2022秋•七里河区校级期末）已知直线l过点（2，4），且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为（）A．x+2y﹣10＝0 B．x+2y+10＝0 C．2x﹣y＝0或x+2y﹣4＝0 D．2x﹣y＝0或x+2y﹣10＝017．（2022秋•长春期末）已知直线x+y﹣k＝0与两坐标轴围成的三角形的面积不小于8，则k的取值范围为．18．（2022秋•郑州期末）已知△ABC的顶点A（﹣2，0），B（4，3），C（2，﹣2）．（1）求AB边上的中线所在直线的方程；（2）求经过点B，且在x轴上的截距和y轴上的截距相等的直线的方程．题型6.中点坐标公式及其应用19．（2022秋·高二校考课时练习）已知的三个顶点分别为，M为AB的中点，则中线CM所在直线的方程为()A． B．C． D．20．（2023·江苏·高二假期作业）已知A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，(1)求BC边所在的直线方程；(2)求BC边上的中线所在直线的方程．21．（2023秋·四川成都·高二校考期末）已知的三个顶点是，，．(1)求边所在的直线方程；(2)求经过边的中点，且与边平行的直线的方程．题型7.直线的一般式方程与其他形式的转化与应用22.(1)已知直线l的一般式方程为2x－3y＋6＝0，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距．(2)根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．①斜率是－eq\f(1,2)，经过点A(8，－2)；②经过点B(4,2)，平行于x轴；③在x轴和y轴上的截距分别是eq\f(3,2)，－3；④经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)．23．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．(1)斜率是eq\r(3)且经过点A(5,3)；(2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点；(3)在x，y轴上的截距分别是－3，－1.题型8.一般式形式下直线的平行与垂直问题24.(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直．25．已知直线l1：x＋my＋6＝0，直线l2：(m－2)x＋3y＋2mm的值，使得l1和l2：(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.【方法三】差异对比法易错点1.有关截距相等问题忽略截距为零致错1、直线l过点,且在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程为2．过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_________________．易错点2.已知两直线平行求参数的值未验证致错3．已知直线ax＋3y＋1＝0与x＋(a－2)y＋a＝0平行，则a的值为________．易错点3.未讨论参数的取值致错4.已知直线：，：，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【方法四】成果评定法一．选择题（共8小题）1．（2022秋•资兴市校级期末）在直角坐标系xOy中，在y轴上截距为﹣1且倾斜角为的直线方程为（）A．x+y+1＝0 B．x+y﹣1＝0 C．x﹣y+1＝0 D．x﹣y﹣1＝02．（2022秋•广州期末）经过点（1，0），倾斜角为150°的直线方程是（）A． B． C． D．3．（2022秋•滕州市期中）经过两点（x1，y1）、（x2，y2）的直线方程都可以表示为（）A． B． C．（y﹣y1）（x2﹣x1）＝（x﹣x1）（y2﹣y1） D．4．（2023秋•沧县校级月考）经过两直线l1：x﹣2y+4＝0和l2：x+y﹣2＝0的交点P，且与直线l3：3x﹣4y+5＝0平行的直线l的方程为（）A．3x﹣4y+8＝0 B．3x﹣4y+6＝0 C．4x+3y﹣6＝0 D．4x+3y+6＝05．（2022秋•钦州期末）若直线过点（，﹣3）和点（0，﹣4），则该直线的方程为（）A．y＝x﹣4 B．y＝x+4 C．y＝x﹣6 D．y＝x+26．（2023春•柯坪县校级期末）直线（2k﹣1）x﹣y﹣1＝0所过定点的坐标为（）A．（0，） B．（，0） C．（﹣1，0） D．（0，﹣1）7．（2023秋•蕉城区校级月考）过点A（1，4）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）A．x﹣y+3＝0 B．x+y﹣5＝0 C．4x﹣y＝0或x+y﹣5＝0 D．4x﹣y＝0或x﹣y+3＝08．（2022秋•永昌县校级期末）已知直线l1：x﹣2y﹣2＝0的倾斜角为θ，直线l2的倾斜角为2θ，且直线l2在y轴上的截距为3，则直线l2的一般式方程为（）A．x+y﹣3＝0 B．4x﹣3y+9＝0 C．3x﹣4y+3＝0 D．2x+y﹣3＝0二．多选题（共4小题）（多选）9．（2022秋•吉水县校级期末）若直线过点P（1，2）且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为（）A．x﹣y+1＝0 B．x+y﹣3＝0 C．2x﹣y＝0 D．x+y+1＝0（多选）10．（2023•高邮市开学）下列说法正确的是（）A．过点（2，4）并且倾斜角为90°的直线方程为x﹣2＝0 B．过点A（﹣2，﹣3）且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为x+y+5＝0 C．经过点P（1，1），倾斜角为θ的直线方程为y﹣1＝tanθ（x﹣1） D．过（5，1），（2，﹣2）两点的直线的方程为x﹣y﹣4＝0（多选）11．（2023秋•凤城市校级月考）下列结论正确的是（）A．方程k＝与方程y﹣2＝k（x+1）可表示同一直线 B．直线l过点P（x1，y1），倾斜角为90°，则其方程是x＝x1 C．直线l过点P（x1，y1），斜率为0，则其方程是y＝y1 D．所有的直线都有点斜式和斜截式方程（多选）12．（2023秋•江苏月考）已知直线l1：ax﹣y+2＝0，直线l2：x﹣ay+2＝0，则（）A．当a＝0时，两直线的交点为（﹣2，2） B．直线l1恒过点（0，2） C．若l1⊥l2，则a＝0 D．若l1∥l2，则a＝1或a＝﹣1三．填空题（共4小题）13．（2022秋•新化县期末）若直线l1：ax+3y﹣4a＝0与直线l2：2x﹣y+2＝0平行，则a＝．14．（2023秋•三元区校级月考）过点（1，﹣1）且与直线2x+3y﹣6＝0垂直的直线方程为．15．（2023秋•九龙坡区校级月考）过点（2，﹣3）斜率为的直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为．16．（2022秋•喀什市校级期末）过点