2.5函数的微分培训课件

2.5函数的微分一、函数的微分二、微分的几何意义三、基本微分公式与微分运算法则四、微分在近似计算中的应用

2.5函数的微分一、函数的微分1.引例边长为x的正方形，当边长增加了时，其面积改变了多少？设正方形的面积为A,则面积的改变量为当边长由x

变到时，关于△x

的线性主部高阶无穷小时为故称为函数在的微分高阶的无穷小（当时），则称函数给自变量以增量仍在该邻域内），如设函数在x点的某邻域内有定义，2.微分的定义定义2.2果函数的增量可表示为(1)其中A是x的函数但不依赖于而

是比

在点x是可微分的，的微分，记作即简称在点x可微，叫做函数在点x相应于自变量增量2.5函数的微分(1)什么是函数的微分？所以，当很小时，说明：2.5函数的微分实质：是函数的增量的线性主部其中A是与无关的常数，但与和点x有关；(2)是比高阶无穷小，(3)当时，与是等价无穷小；定理2.4

函数在点x可微的充分必要条件是3.可微的条件2.5函数的微分在点x可导，且有证明（必要性）在点x可微，即函数在点x可导，且有（充分性）因为函数在点x可导，即极限存在，根据极限与无穷小的关系，显然所以有其中不依赖于因此函数在点x可微，结论：可微可导，从公式(2)可以看出，说明：2.5函数的微分记作

，可记为通常把自变量的增量称为自变量的微分，(2)因此,导数也叫做微商.于是函数在点x的微分导数就是函数的微分与自变量的微分的商，即即，2.5函数的微分解

因为所以解

因为的微分.例1

求例2

求函数在点的微分.所以MNT）

PQ二、微分的几何意义2.5函数的微分设函数在点可微，则曲线在点的斜率为在曲线上另取一点图中即有MNT）

PQ二、微分的几何意义2.5函数的微分设函数在点的微分就是曲线在点切线的增量的改变量。当很小时，线段。纵坐标相应于自变量比小得多，因此在点M的临近，我们可以用切线段来近似代替曲求法:

计算函数的导数，再乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式2.5函数的微分三、基本微分公式与微分运算法则2.函数四则运算的微分法则微分形式不变性3.复合函数的微分法则的微分为：则复合函数都可导,设函数其中u是中间变量。结论：无论x是自变量还是中间变量，微分形式保持不变。（3）2.5函数的微分解

解

求dy

.例3

设例4

设求dy

.2.5函数的微分解

求dy

.例5

设2.5函数的微分四、微分在近似计算中的应用设函数在x0点的导数，且很小，则我们有即（4）或（5）（6）

(4)式可用于近似计算函数的增量，而公式(5)、(6)常用于近似计算函数值。2.5函数的微分解

把化为弧度，得的近似值

.例6

利用微分计算则有

由公式(5),有

设取2.5函数的微分量的近似值.半径增加了的篮球,给篮球充气后,例7

有一个半径取由公式(4)得篮球容积的

试用微分求篮球容积改变解

篮球容积的计算公式为改变量

2.5函数的微分例8

证明当很小时,有近似公式证明

设类似地,当很小时,有如下近似公式:则有

而又（x为弧度）

（x为弧度）

取,则由公式(6),有2.5函数的微分内容小结1.微分的概念

微分的定义

微分的条件

可微可导3.微分运算法则微分形式不变性:(u

是自变量或中间变量)4