湘豫联考2023-2024学年高二年级上册1月阶段性考试数学试题

湘豫名校联考2023-2024学年高二上学期1月阶段性考试

数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.己知复数z=4H,其中i为虚数单位，则复数z的虚部为（）

1-i

3333

A.-iB.--iC.-D.--

2222

2.从小到大排列的一组数据：29,31,a,39,42,58.若第60百分位数与平均数相等,

则该组数据的中位数为（）

A.35B.36C.37D.39

3.已知抛物线c：/=2.（p>0）的焦点为尸，点河是。上一点，9的延长线交。

的准线，：x=T于点N,若两二工丽，则因囱=（）

4

357

A.-B.2C.-D.-

233

4.1640年法国数学家费马提出了猜想：£=22”+l（〃£N）是质数，我们称凡为“费马

数”.设=log2（£T），〃eN*，若%+%+2+…+*=218—2%则人（）

A.7B.8C.9D.10

19

5.某次数学测试只有两道题目，若甲答对第一道题和第二道题的概率分别为上三，乙

23

答对第一道题和第二道题的概率分别为4,，甲、乙两人独立解题，每人各题答对与

34

否互不影响，则这两道题都被答对的概率为（）

试卷第11页，共33页

53

72

6.阅读下面材料：在空间直角坐标系。中z中，过点尸Go/o/o)且一个法向量为

沅=(〃,仇c)的平面。^^^^^(x-x0)+Zj(y-<y0)+c(z-z0)=0,过点"/,为/。)且

方向向量为宕=("，匕M("川丰0)的直线’的方程为七包=匕江==L.根据上述材料,

解决下面问题：已知平面a的方程为2x-y+z-7=0，直线/是两个平面

x_y+2=0与2x-z+l=0的交线，则直线/与平面a所成角的余弦值为()

显

C.D.B

32

7.己知双曲线6：1_《=1(°>0,6>0),尸〃分别为0的左焦点和右顶点，点尸。3)

是。上的点，若A/R7的面积为？，则0的离心率为(

2

D.a

8.如图，在正三棱柱由［耳G中,48=441=2,。为NG的中点,E为线段上

的动点，当出)时'/E=

试卷第21页，共33页

A.2B-6C-nD-2V2

二、多选题

9-己知圆C］：x2+y2=l和圆C2：（x-2）2+（"2）2=l，点尸，。分别是圆£，圆C2上

的动点，则下列说法正确的是（）

A.与圆G和圆C?都相切的直线有三条

B.直线x_y=后与圆£和圆。2都相切

C.卢@的取值范围是［2应一2,2收+2］

D.过点。作圆0的两条切线，切点分别为M,N,则存在点。，使得NMQV='

10.已知数列｛%｝的前"项和为$“，％=1，且对任意正整数〃，s“+4a,M=a,+3恒

成立，b„=f-^-2-y„,数列｛a｝的前”项和为则下列说法正确的是（）

A.数列｛26+「%｝是等比数列B-%=5+1>2”

C.S=3-^^D.T=1---W（w+2）

"2""2"2

IL在正方体力BCD一中，旦尸,G分别为棱42,CD的中点，则下列说法

正确的是（）

A.BCBFB.直线与G与BE所成的角为四

3

C直线皿交平面于点'，则D.直线产与平面座所成

角的正弦值为正

3

试卷第31页，共33页

12.已知椭圆0：£+《=1（.>6>0）的长轴长为4,离心率为士耳,每分别为椭圆0的

｛b22

左、右焦点，过点工的直线/与椭圆。相交于45两点，则下列说法正确的是（）

C22

A,椭圆°的标准方程为上+2L=i

43

B.椭圆C上存在点赫，使得砺.砺［=0

C.尸是椭圆C上一点，若=］则/^

D.若耳心,人241的内切圆半径分别为外,々，当q=2々时，直线/的斜率

,,V5

k=±——

2

三、填空题

13.已知向量。=（一1，"），否=（〃，2）,若“二，且**9，则—.

14.已知直线/：x—加7+1=0与圆c：x?+,2+4尤_2出;）/一2=0相交，则当圆C截直线/

所得的弦长最短时，直线/的方程为—.

15.已知正项等差数列｛/｝中，q=1，其中出+1，6,%构成等比数列，“=2"”，

数列出｝的前〃项和为5“，若V〃eN*，不等式;Leos”<S“+%恒成立，则实数2的取

值范围为_.

16.在直三棱柱48c由百q中，AB1BC>且48=8C=2,CG=4，已知£为线段

CG的中点，设过点4，用,E的平面为a，则平面。截此三棱柱的外接球所得截面的面

积为—.

试卷第41页，共33页

四、解答题

17.已知数列｛与｝的前"项和为s"(〃eN*),%=l，当”22时，

1

〃S,+]+(〃+1)S“T=(2"+1)S“+1数列｛4｝中，b

(1)求｛与｝的通项公式；

(2)记他，｝的前“项和为北，求满足7；<冬的”的最大取值.

17

18.已知抛物线c：/=4x，尸为C的焦点，直线/与C交于不同的两点A、B,且点

A位于第一象限.

⑴若直线/经过C的焦点厂，且|/a=6,求直线/的方程；

(2)若直线/经过点£(2,0)，O为坐标原点，设“03的面积为S1，A3O厂的面积为邑,

求W+E的最小值-

19.已知等差数列｛%｝的前"项和为s"，且满足％=4，55=3%-4；数列也,｝的前”

项和为北，4=3，且&i=31+2”+3-

(1)求｛.“｝的通项公式；

(2)设0=(%+2)(或+1),求数列｛，｝的前〃项和

"3

20.已知双曲线£：£_1.=19>0,6>0)的右焦点为尸(后°)，且“过点

a2b2

p1一瓜叵.

2

试卷第51页，共33页

(1)求户的标准方程；

(2)已知点/为£的右顶点，M,N是£上异于点”的两个不同点，且证明：

直线"N过定点，并求出定点坐标.

21.如图，在四棱锥P-/5C。中，底面N5CD为梯形，AB//DC,AB=2BC=2.CD=2,

ZABD=60°,PBVAD,PB=PD=\.

(1)求点P到平面N3CD的距离；

(2)在棱尸0上是否存在点“，使得平面D8尸与平面心C夹角的余弦值为1?若存在，

5

求出点厂的位置；若不存在，请说明理由.

r

22.已知椭圆c：W+，=l(a>6>0)的离心率为5，且左顶点/与上顶点3的距离

|叫=3.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)不经过坐标原点0的直线/交椭圆°于尸，。两点(P,Q两点不与椭圆上、下顶点重

合)，当△。尸0的面积最大时，求％的值.

试卷第61页，共33页

参考答案:

1.D

【分析】利用复数的除法化简复数Z，利用共物复数的定义结合复数的概念判断可得出合

适的选项.

［详解］..z=2=(2+i)(l+i)=l±ji」+」i，则』

'1-i(l-i)(l+i)22222

一3

故z的虚部为-三.

2

故选：D.

2.C

【分析】由第60百分位数与平均数相等，求出。的值，再由中位数的定义求解.

【详解】因为有6个数据，60%x6=36,所以第60百分位数为39.

所以平均数为39,29+31+0+39+42+58=39,求得“=

6

所以该组数据的中位数为生土生=吆=37.

22

故选：C.

3.A

【分析】根据抛物线定义以及向量的坐标运算法则直接计算求解即可.

【详解】如图所示，

答案第11页，共22页

因为抛物线c：/=2PMp>0)的准线/为X=-1，

所以K=l,P=2,

2

所以抛物线C的方程是r=4x，则/(1,0)・

____1___►

因为FM=—bN,

4

所以(%-1,加)=；(-1-1，%)，即x“T=；x(-2),解得

所以仍叫=%+y=|.

故选：A

4.B

【分析】由对数运算性质结合等比数列的前〃项和公式求解即可.

【详解】因为b=22"+1J所以。〃=log2((—1)=2〃,

所以/9八_i899,

为+1+4+2+…+&+9=----；~~彳--------=ak+i,-1)=2-2

1—Z

所以％+1=29，即2%+I=29，解得左巡,

故选：B.

5.D

【分析】由相互独立事件概率的乘法公式直接求解即可.

【详解】设4=”甲答对了第i道题"，用="乙答对了第i道题"，i=l,2,C="两道题

答案第21页，共22页

都被答对"，贝|尸(4)=5,尸(4)=§,尸(珀=§,尸(与)=屋

方法一：易知

C=ByB+4+4^2B[B2+B2+4B[B2++4y424a2+4,22

所以

P(C)=T5A^A^B^B2+448182+44.8避2+AyA^B^B2+44坊B?+^^2+4/2B1B?+

卜（工瓦层）+（瓦）+（

二P(445]52)+P([44员)+尸(4逊山)+0(44瓦52)+网4,2瓦瓦卜p4P444P44A

1223八1、2231八2、2312入2、3

233412J3342t3)3423(3)4

122J3、1J21J2、3乙1、22r3)

23314)2(3八3)412J334J

(A1"21231221f13]

12八3；342313八4；

55

-72,

方法二：

P(C^l-P^AABB)-P^AABB)-P^AABB)-P(AABB)-P(/与鸟）一小十）一尸（用斗）二

l2l2l2t2l2l2l2t2ixA2P（AXA244

*啜・

方法三：P(C)=P(44)+P(BIB2)^2)+/,(44

故选：D.

6.D

【分析】由所给信息可得平面x-y+2=0与2xi+l=0的法向量,后利用向量知识

可得直线/的方向向量，即可得答案.

答案第31页，共22页

【详解】因为平面。的方程为2x_了+Z-7=0，所以平面a的一个法向量为

%=（2,T,1）-

同理可知，显=（1，T°）与冠=（2,0，T）分别为平面X7+2=°与2xi+l=0的一个法

向量.

1〃o=（xj，z）-H=x-y=o

设直线的方向向量为，则|----0-。八，

不妨取x=l,则〃。=（1，1，2）.设直线’与平面。所成的角为“，

|2-1+2|=1_

则sin6rr^cos（二,

一，46x^62

所以c°"=E而=等

故选：D.

7.C

【分析】根据题意得到“十°=3和3-斗=i,进而化简求得"=1,°=2即可得到答案.

ab

【详解】设双曲线的焦距为2c（c>0），

由题设知‘恒尸上"+c,则=g力可/尸|=（

所以a+c=3,且c>\易知0<°<2,

2

答案第41页，共22页

又因为点尸3）在。上，所以,_9=i,所以4/-9/=/小

ab

fJ]o\I4-x

因为/+/=02，

所以4（/—/）—9〃2="2—/），

则Q4-13tz2=c2（a1-4）=（3-Q『x^a2-4）,

化间倚一3。2一4。+6=（。-1乂〃2一2。一6）=0，

解得a=l或a=l±W（舍去）.

所以"1,C=2,故c的离心率为£=2.

a

故选：C

8.A

【分析】根据空间向量的基本定理，利用一组基底表示所求向量，结合垂直向量建立方程,

可得答案.

【详解】因为E为线段C4上的动点，所以可设赤=%西,；Le[0,1]，

所以次=就+区=就+；1函=就+；1空+沟=就+；1（刀_/+间

=AAB+（1-A）AC+AA^■

答案第51页，共22页

RDIAF___►________1____►____1____.1________►

因为,^BD=AD_AB=_ACAB=_AC+_AA_AB!

222

所以赤.万=[衣+；石_回.[2京+(1_；1)%+；11可=0.

因为五。万=0・五。正=0，

，”“1，““1”》21.2.2/“.

^\^BD-AE=-^AC-AB+-(\-^)AC+-XAAx-^AB"-(l-^AB-AC.

_______►---------2---------2____•?

因为/C-/5=2・^4=AB=AC=4,

所以而.京=；1+2（1_；1）+2；1_4；1_2（1_2）=_；1=0，

所以2=0，即点£与点c重合，所以NEuNCuZ，

故选：A.

9.BC

【分析】A项，判断两圆位置关系为相离可得公切线有四条；B项，由圆心到直线距离都

等于半径可得；C项，数形结合可得与圆心距及半径的不等关系；D项，由相切性质

得垂直关系，求出=结合范围可排除该选项.

【详解】选项A,由题意可得，圆£的圆心为q（o,o）,半径外=1，

圆C,的圆心为G（2,2），半径厂,=1，

则两圆圆心距CG|=2V2＞耳+/；=1+1，所以两圆外禺，

故与圆G和圆C2都相切的直线有四条，A错误;

答案第61页，共22页

Q（0,0）x-y=41的距离心舁

选项B,点到直线

Vi2+i2

（）（）

C（0,0C22,2x-y=s/22-2-

点与点到直线的距禺4=—/一二］=弓，

V12+12

故直线X_y=&与圆G和圆。2都相切，B正确;

选项C,结合图形，由圆的对称性可知，

|P2|<|PC2|+^<|C2CI|+Z1+7；=2A/2+2'

如图，当P,0,C“C2四点共线时，等号成立・

且I尸0闫尸勾一々NBalfr=20-2,

如图，当p,0，G，G四点共线时，等号成立・

答案第71页，共22页

|POLTGGHr=20-2,C正确:

选项D,如图，若=W时，由GM=GN=1,NNQM=NGN0=NGMO=9O。,

则ZNQM=90°，故NCJ/QM,CXMHNQ，

所以四边形gMQN是平行四边形，且为正方形，

所以10Gl=血，而10climin=2后-1>/，产生矛盾，D错误・

故选：BC.

10.AC

【分析】A选项，由〃22时%=S“_S,i，定义法证明数列｛2a“+「a,J是等比数列；B选

项，由A选项的结论，构造｛2%,｝为等差数列，求出通项得％；C选项，利用B选项中的

结论验证；D选项，利用分组求和法求数列加“｝的前”项和.

答案第81页，共22页

【详解】对于A,由S“+4%=%+3,当”=1时，E+4%=%+4%=%+3,解得/=3

当“22时，%+乜=%+3,所以%+4%-4%=%-%,即2%_%=；（2%一%）.

a=

又2%~i~J所以｛2。向-%｝是首项为公比为的等比数列，A正确.

对于B,由A易得，2%+「4=工，则2"4+「2%”=1.

n+in2”

又2%=2,所以｛2"%,｝是首项为2,公差为1的等差数列.

则有2%“="+1,所以.叶1,B错误.

〃2〃

对于C,因为邑+4-=%+3,*=*,所以S.=一他m+a“+3=3-空，C正确.

对于D,因为6=[———2"L„=f——一2"L^1=--

"(〃+1)"L«+l)2"2"

所以…一［2+3+…+（〃+1）］=1一（一^，口错误.

故选：AC.

11.AC

【分析】以。为原点，建立空间直角坐标系，结合瓦不.丽=0,可判定A正确；结合

而.屉=0，可判定B错误；延长ERZM相交于点M,结合△£/!尸三AM4尸，和

△MAFs^MDC,得至口尸=工业可判定C正确；求得平面的的法向量五=（2/，2）,

3

结合向量的夹角公式，可判定D错误.

答案第91页，共22页

【详解】如图I所示，以。为原点，所在直战分别为X轴、V轴、z轴,

建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2,

则。(0,0,0),/(2,0,0),5(2,2,0),C(0,2,0),A,(2,0,2),Bx(2,2,2),Dx(0,0,2)>

因为E,F,G分别为棱的中点，所以E(l,0,2),尸(2,0,l),G(0,l,0)・

对于A中，因为近=(_2,_1,12),丽=(0,-2,1”所以布.丽=0，

所以而_L而，即81GJ_8尸，所以A正确；

对于B中，因为而=(_1,_2,2)，可得丽傣=0,所以而_L而，

即用G_L8E，所以B错误；

如图2所示，分别延长££/)/相交于点V,连接MC交于点尸，

因为尸为棱Z4的中点.所以//=/尸=1，

因为/£4尸=乙忆4尸=90。,/4尸£=乙4尸"，所以△"尸泌四尸，所以E4=M4=1，

△MAFS^MDCf-MAAP

又因为所C以hl——=—

MDDC

因为所以［先‘可得"尸所以C正确.

BEFYYI—(xyz)m•BE=-x-2y+2z=0

对于D中，设平面的法向量为‘‘，贝丫

m-BF=-2y+z=0

不妨令歹=1,可得蔡=(2,1,2)，

又由庭=(0,_2,_i),设直线87与平面8E尸所成的角为0,

答案第101页，共22页

而石|-4|475

则sin。=卜05(耳尸,〃2)=所以D错误.

817rMV5x315

故选：AC.

12.ACD

【分析】对于A,根据题意直接得到a=2和c=l进而得到/=/_02=3即可得到椭圆方

程；对于B,判断/+/=］与椭圆是否有公共点即可判断是否存在满足题意的点屈；对

于C,设/耳尸6=夕，根据余弦定理得到cos£，进而得到sin。，结合三角形面积公式即

可求解面积；对于D,设直线//=川+1,8(%,%)，将直线与椭圆方程联立，得

至U%+为=--必%=—?—，根据a=2々得至。%=一2%,进而得到r=3,从而求

123/2+4123r+45

解直线斜率即可.

【详解】对于A,因为椭圆0的长轴长为2a=4,所以q=2，

又因为椭圆。的离心率e=£=,，所以°\1，

a2

7222O22

所以6=a-c=3,所以椭圆c.±+2L=i，故A正确；

43

答案第111页，共22页

对于B,若椭圆C上存在点使得函.叱=0，则点〃■在圆/+必=］上,

X2+y2=1

又因为方程组2：2无解，故B错误;

土+匕=1

143

对于c,设4尸巴=闺叫=川*=九贝朋=g,

△Pg|p与用2-闺到2

p2+q2-4c2

在中，由余弦定理可得cos6=J_12Mp-L

2Pq

7

5+疗-22”4C2_4-2、2-4、5

2Pq一2x7一7’

2

所以5加=；面|叫sin"冏=；pqsin”；x：x半故C正确;

乙乙乙乙/乙

对于D，巴（1,0），显然直线/斜率不为0,设直线/：》=。+1,/（再,必）,5仁,为），

答案第121页，共22页

由卜=什+1,整理得：（3/+4犷+6）_9=0,

[3x2+4y2=12

A36t23€3（f24）0>恒成立，

所以必+了2=----T~~％=——F'

123/2+4123t2+4

依题意有;（|/司+|/用|+2c）/=；x2c|yj,得g（2a+2c=gx2c|yj,

所以gx（4+2）igx2|R,即4=；|必|，

同理可得刃，

因为"=2马，所以闻=2冈，又因为M％<0，所以必=-2%，

因为%+%=-一?—，所以一2%+%=--?—，解得力=^-,必=一一^，代入到

123产+4223产+4-3r+413〃+4

答案第131页，共22页

r972产92=4

几2-3产+4,得一记了=一下着，解得一二，

所以直线’的斜率为才=，=±立，故D正确.

t~2

故选：ACD

【点睛】方法点睛：本题考查解析几何的综合问题，此类问题常见的处理方法为：

(1)几何法：通过图形特征转化，结合适当的辅助线与图形关系进而求解；

(2)坐标法：在平面直角坐标系中，通过坐标的运算与转化，运用方程联立与韦达定理等

知识，用坐标运算求解答案.

13.±3

【分析】利用平面向量的坐标运算求解参数即可.

【详解】因为刑=(-1,/),1=(〃,2)国_1_仁，所以ZU=O,则-"+2加=0,得n=2m，

^a-b=(-l-n,m-2)；所以归_1+(加_2)2=加++仅一加丫=厢,

解倚"7=±1，所以加+〃=3加=±3•

故答案为：+3

I*x-岛+1=0

【分析】首先由题意得/:x-吁+1=0恒过点尸(-1,0)，尸点在圆内，则可知当尸C_L/时，

所截得弦长最短，计算可得答案；或者由圆0截直线/所得的弦长最短时，直线/的方向向

量为满足.,所，计算也可得答案.

【详解】由题意得/:尤-叼+1=0恒过点尸(_1,0)-

答案第141页，共22页

圆。:无2+/+以-26广2=0的标准方程为卜+2)2+卜_6/=32,

所以圆心。卜2,3)/=3,

^\PC\=2<r，可知点尸在圆。内.

方法一：由直线与圆的几何性质知，当尸c,/时，所截得弦长最短，

此时原c4=T.即=_0。=),

P，-2-(-1)7

所以直线/的方程为x_Gv+l=O-

方法二：易得直线’的方向向量为力=("/)，定=c，g),

当圆C截直线/所得的弦长最短时，nVPC-

所以蔡定=0,解得m=5

所以直线/的方程为工_百)+1=0.

故答案为：》-6了+1=0-

15-(-3,13)

【分析】根据等差数列的通项公式、等比数列的性质，结合等比数列前”项和公式分类讨

论进行求解即可.

【详解】设等差数列｛2｝的公差为“，则〃>0.

因为％=1，且％+1，6,%构成等比数列，

答案第151页，共22页

所以〃5（%+1）=（q+4d）（q+d+l）=（l+43）（2+a）=36，

整理得41+9d一34=0,解得"=2或"=_卫_（舍去）

4

所以。"=1+2（〃-1）=2〃—1，则6〃=22〃一1，

所以S=2+23+---+22"-1=2X（「4）=<（邛_］）,

"1-43I）

由4cos加<S“+%,将加0$加<|x（4"-l）+2n-l.

当为奇数时，-4<§x（4"-1）+2〃-1,

「72

即;l>-x（l-4n）-2n+l1=-x（l-41）-2xl+l=-3;

_3_max3

当n为偶数时，％<：?x（/4〃—1\）+2〃—1.

「？12

即；L<-x（4,,-l）+2n-l=-X（42-1）+2X2-1=13-

-3Jmin3

（或当时由2<gx（42-l）+2x2-l,等。<“<13；当时，由

_A<|x（4-l）+2xl-l,得-3<人0）

综上所述，实数2的取值范围为（-3,13）•

故答案为：（_3,13）

【点睛】关键点睛：根据余弦函数的性质分类讨论进行求解.

答案第161页，共22页

16.—K

2

【分析】如图，建立空间直角坐标系，可得三棱柱外接球为为以34分别为长、宽、

高的长方体的外接球，后由向量知识可得平面&到球心的距离，即可得截面面积.

【详解】如图，以点8为坐标原点，3仁8484所在直线分别为》轴，了轴，z轴，建立

空间直角坐标系8-孙Z,则E（2,0,2）,5,（0,0,4）-

连接4CMG相交于点。,直三棱柱ABC由181cl中，AB-LBC<

故此三棱柱的外接球即为以848C,84分别为长、宽、高的长方体的外接球，

且点。为外接球球心.因为4（0,2,4）,C（2,0,0）>所以

所以外接圆半径为=71+1+4=V6-

CQ

AiBiEn=（x,y,z）n-B、AT=2y=0

设平面的法向量为

n•BXE=2x-2z=0

解得取"I则z=l所以"=（1，°」）.又OE=（LT，0）,

（9（1,1,2）AXBXE\OE'n\

所以点到平面的距离为d=咻」

H

a________

所以平面截此三棱柱的外接球所得的截面圆的半径为R=^co2-d2故

截面面积为薪空

答案第171页，共22页

故答案为：9

'7.⑴a"=2"-l(〃eN*)

⑵7

【分析】（1）由％与S“的关系，结合累加法即可得答案；

（2）利用裂项相消法即可求和，再解不等式即可.

【详解】（1）因为当"N2时，"S"+i+（〃+l）S"_i=（2"+l）S,+l・

所以〃（S"+1-S"）=（〃+l）（S“-S“_J+l，即"%-+=1，

所以4也一&=J一_L.

72+1nn\n+\）n〃+1

所以£1二册%+%%-2幺+幺

rin-1)n-2)(32)2

所以%=2〃一1・

又6Z]=2义1-1=1满足上式，故Q[=2〃-1(〃£N*

答案第181页，共22页

111

（2）由（1）知，bn==—_—

an^an+2)(2〃-1)(2〃+1)2(2〃-12n+\

所以北=。+&+…+。

111

=­x1-

2〃+122«+1

又4哈解得‘数的最大值为7・

电By=①x-叵或y=-历x+垃

(2)46

【分析】（1）分析可知，直线/不与x轴重合，设直线/的方程为》=冲+1,设点

4（国,必）、8（x2，%），将直线/的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用抛物线的

焦点弦长公式求出加的值，即可得出直线/的方程；

（2）分析可知，直线/不与x轴重合，设直线/的方程为x=）+l，设点/（士,其）、

2（%，%）,将直线’的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，可得出力=-9,利用三

必

角形的面积公式结合基本不等式可求得耳+S2的最小值.

【详解】（D解:依题意知,77（1,0）-

若直线/与X轴重合，此时，直线/与抛物线c只有一个交点，不合乎题意，

答案第191页，共22页

设直线/的方程为x=my+l，设点/（国,%）、8（%,%），

联立］》=叼+1,可得「一4切一4=0,贝|jA=16机2+16>0,

\y2=4x

由韦达定理可得%+%=4加，

2

所以，同=%+工2+2=myx+1+叩2+1+2=m（乂+%）+4=4m+4=6，

解得加=土也，所以，直线’的方程为》=立夕+1或x=_也了+1，

222

即y=V2x-V2或y=-V2x+V2,

（2）解：若直线/与％轴重合，此时，直线/与抛物线°只有一个交点，不合乎题意,

设直线/的方程为*=zy+2,设点4（工］,必）、/马,%），

联立卜=沙+2,可得「一4卬一8=°,则A=16『+32>°,

1）2-4x

由韦达定理可得,+%=4/,则弘％=一8,即%=_/.

不妨设必>0，贝lJ%<0，

所以，"°B的面积为E=^\OE\-\yi-y2\=yi-y2,

"B°F的面积为邑=J明也|=一卜，

所以，SI+S2=yt-y2-^-y2=M-口=%+空22日.空=46，

22%丫必

答案第201页，共22页

当且仅当必=U（%>o）时，即必=2班时取等号.

必

所以5+S2的最小值为4行・

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；

二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用

基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.

19•⑴°,,=3附-2[?eN*）

⑵（2”-1）3+1

【分析】（1）由已知条件，结合等差数列的性质，列方程组求出数列首项和公差，可求通

项；

（2）由1与”的关系，求出数列也,｝的通项，利用错位相减法求数列｛%｝的前〃项和.

【详解】（1）方法一：设｛为｝的公差为"，

=3a,-4/,=4f5x4,/

因为且一，得5%+《-d=3（%+4d）-4.

%+d=4.

解得.

[d=3.

所以=ax]+—=3〃—2（几wN*）.

答案第211页，共22页

方法二：设｛4,｝的公差为，.

因为S5=3%-4且④=4，

由等差数列的性质得S5-5a3=5（%+d）=5（4+d），3%-4=3（4+34）-4=3（4+3"）-4，

所以3（4+3d）-4=5（4+d），解得d=3-

所以a“=a2+（〃-2）d=4+3（"-2）=3〃-2（〃eN*），

（2）数列｛4｝中，Tn+l=3Tn+2n+3-

当"22时，Tn=37；_1+2w+l-

两式相减,得&「北=3（（-射）+2,即％=3“+2.

所以加+1=3（〃+1〉

又当〃=1时，[=37]+5，所以4+62=34+5，又4=3，所以4=11・

从而仇+1=3伍+1），故总有bll+l+1=3（6“+eN*•

又因为4=3,所以，+1*°,从而组±1=3.

2+1

所以也,+1｝是以4+1=4为首项，3为公比的等比数列.

所以6“+1=4X3"-L所以"=4X3"T-1-

由⑴知，=3.2,所以'=d+2）/+l）="x4x3"T=4"x3"T-

"3

设d“=〃x3f｛"“｝的前”项和为4，

则3〃T①.

4n=1+2x3+3x32H-----X

答案第221页，共22页

所以34=1x3+2x32+3x33+…+("-l)x3"T+"x3"②^

①一②得-24=(1+3+3?+…+3"i)-〃x3"3-7x3"

2

、

3〃—1

所以匕=4/“=-2'----nx3"=(21>3"+卜

2/

2

20.⑴土_/=]

4-

（2）证明见解析，[^,0

【分析】（1）由焦点坐标，可知6+^=5,又由£过点可得/，〃即可得答

[2>

案；

（2）当直线的斜率存在时，设儿W：y=Ax+加,片土;｝将其与双曲线方程联

立，由加•病=°结合韦达定理，可得（3加+10初加+2%）=°,即直线过定点go）；当

直线"N的斜率不存在时，可得直线过定点15,o1

【详解】（1）设双曲线£的半焦距为。，则,=右，所以/+/=5①-

又“过点/一八立],所以二一工=1,

7'2a22b2

\7

可解得|'=4,所以E的标准方程为2=].

"14'

答案第231页，共22页

（2）①当直线"N的斜率存在时，设MN：了=履+机卜工±；1

M（xx,yx）,N[x2,y2y

y=kx+m了（4左2-l）x?+8Amx+4（加?+1）=0

由/，消去可得‘

—-/=1

[4-

由题意知A8=（km^-A（加4