无锡市南长区2024年中考数学最后冲刺模拟试卷含解析

无锡市南长区2024年中考数学最后冲刺模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.不解方程，判别方程2--30%=3的根的情况（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.有一个实数根D.无实数根

2.某学校组织艺术摄影展，上交的作品要求如下：七寸照片（长7英寸，宽5英寸）；将照片贴在一张矩形衬纸的正

中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的3倍.设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如

图），下面所列方程正确的是（)

A.(7+x)(5+x)x3=7x5B.(7+x)(5+x)=3x7x5

C.(7+2x)(5+2x)x3=7x5D.(7+2x)(5+2x)=3x7x5

3.如图，在五边形A3CDE中，ZA+ZB+ZE=300°,OP,CP分别平分NEDC、ZBCD,则NP的度数是（）

C.55°D.50°

4.从标号分别为1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，下列事件中不可能事件是（）

A.标号是2B.标号小于6C.标号为6D,标号为偶数

5.已知函数y=（左-3）炉+2%+1的图象与x轴有交点.则％的取值范围是（）

A.k<4B.k<4C.k<4且1#3D.七4且呼3

41

6.在^ABC中，ZC=90°,cosA=—9那么NB的度数为（)

2

A.60°B.45°C.30°D.30。或60。

7.一10—4的结果是（）

A.-7B.7C.-14D.13

8.设a,。是一元二次方程x?+2x—1=0的两个根，则的值是()

A.2B.1C.-2D.-1

9.如图，正方形A5CD中，对角线AC、BD交于点O,NA4C的平分线交6。于E,交5。于凡bHLAb于H,

交AC于G,交CD于P,连接GE.GF,以下结论:①AOAEmAOBG；②四边形BEGF是菱形;③5E=CG；④——=

AE

-1;⑤SAPBC：S&AFC=1：2,其中正确的有()个.

11.如图是棋盘的一部分，建立适当的平面直角坐标系，已知棋子“车”的坐标为(-2,1),棋子“马”的坐标为(3,-1),

则棋子“炮”的坐标为()

A.(1,1)B.(2,1)C.(2,2)D.(3,1)

12.对于代数式ax2+bx+c(a/)),下列说法正确的是()

①如果存在两个实数p^q,使得ap2+bp+c=aq?+bq+c,贝!Ja/+bx+c=a(x-p)(x-q)

②存在三个实数mrn#s,使得am2+bm+c=an2+bn+c=as2+bs+c

③如果ac<0,则一定存在两个实数m<n,使am2+bm+c<0<an2+bn+c

④如果ac>0,则一定存在两个实数m<n,使am2+bm+c<0<an2+bn+c

A.③B.①③C.②④D.①③④

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13.2018年贵州省公务员、人民警察、基层培养项目和选调生报名人数约40.2万人,40.2万人用科学记数法表示为

人.

14.飞机着陆后滑行的距离S（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）之间的函数关系式是s=60t-l.2t2,那么飞机

着陆后滑行秒停下.

15.抛物线y=-x?+4x-1的顶点坐标为.

16.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A,B为格点

（I）AB的长等于—

3

（II）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中求作一点C,使得CA=CB且AABC的面积等于一，并简要说明点C

2

的位置是如何找到的__________________

17.如图，BD是。。的直径，BA是。O的弦，过点A的切线交BD延长线于点C,OELAB于E,且AB=AC,若

CD=2后，则OE的长为.

18.如图，一次函数yi=kx+b的图象与反比例函数y2=—（x<0）的图象相交于点A和点B.当yi>y2>0时，x的取

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转.如果这三种可能性大小相同，现有两

辆汽车经过这个十字路口.

⑴试用树形图或列表法中的一种列举出这两辆汽车行驶方向所有可能的结果；并计算两辆汽车都不直行的概率.

⑵求至少有一辆汽车向左转的概率.

20.（6分）（操作发现）

（1）如图1,△ABC为等边三角形，先将三角板中的60。角与NACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋

转角大于0°且小于30。），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D,在三角板斜边上取一点F,使CF=CD,线段AB

上取点E,使NDCE=30。，连接AF,EF.

①求NEAF的度数；

②DE与EF相等吗？请说明理由；

（类比探究）

（2）如图2,△ABC为等腰直角三角形，ZACB=90°,先将三角板的90。角与NACB重合，再将三角板绕点C按顺

时针方向旋转（旋转角大于0。且小于45。），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D,在三角板另一直角边上取一点

F,使CF=CD,线段AB上取点E,使NDCE=45。，连接AF,EF.请直接写出探究结果：

①NEAF的度数；

21.（6分）如图，在AABC中，AB=AC,点P、D分另I］是BC、AC边上的点，且NAPD=NB,求证：AC«CD=CP«BP；

若AB=10,BC=12,当PD〃AB时，求BP的长.

22.（8分）如图，点A是直线AM与。。的交点，点3在。。上，BDLAM,垂足为O,50与。。交于点C,OC

平分NAOB,ZB=60°.求证：AM是。。的切线；若。。的半径为4,求图中阴影部分的面积（结果保留兀和根号）.

23.（8分）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客

一房空.诗中后两句的意思是：如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房住9人，那么就空出一间房.

求该店有客房多少间？房客多少人？

24.（10分）如图，已知AB是圆O的直径，F是圆O上一点，NBAF的平分线交。O于点E,交。O的切线BC于

点C,过点E作ED_LAF,交AF的延长线于点D.

①求王的值；②若点G为AE上一点，求

求证：DE是。。的切线；若DE=3,CE=2.

AE

25.（10分）某楼盘2018年2月份准备以每平方米7500元的均价对外销售，由于国家有关房地产的新政策出台后,

购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格连续两个月进行下调，4月份下调到每平方米6075元的均

价开盘销售.

（1）求3、4两月平均每月下调的百分率；

（2）小颖家现在准备以每平方米6075元的开盘均价，购买一套100平方米的房子，因为她家一次性付清购房款，开

发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每

月1.5元，小颖家选择哪种方案更优惠？

（3）如果房价继续回落，按此平均下调的百分率，请你预测到6月份该楼盘商品房成交均价是否会跌破4800元/平方

米，请说明理由.

26.（12分）新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外销售.某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4000

元/米2,从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价降低30元，

已知该楼盘每套房面积均为120米2

若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案：降价8%,另外每套房赠送。元装修基金；降价10%,没有

其他赠送.请写出售价y（元/米2）与楼层x（l±W23,x取整数）之间的函数表达式；老王要购买第十六层的一套房，若他

一次性付清所有房款，请帮他计算哪种优惠方案更加合算.

27.（12分）如图在由边长为1个单位长度的小正方形组成的12x12网格中，已知点A,B,C,D均为网格线的交点

在网格中将△ABC绕点D顺时针旋转90。画出旋转后的图形△AiBiCi；在网格中将△ABC放大2倍得到△DEF,使A

与D为对应点.

A

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、B

【解析】

一元二次方程的根的情况与根的判别式A有关，

A=〃—4ac=(—3夜)2—4x2x(—3)=42>0,方程有两个不相等的实数根，故选B

2、D

【解析】

试题分析：由题意得；如图知；矩形的长="7+2*”宽=5+2x.•.矩形衬底的面积=3倍的照片的面积，可得方程为

(7+2X)(5+2X)=3x7x5

考点：列方程

点评：找到题中的等量关系，根据两个矩形的面积3倍的关系得到方程，注意的是矩形的间距都为等量的，从而得到

大矩形的长于宽，用未知数x的代数式表示，而列出方程，属于基础题.

3、A

【解析】

试题分析：根据五边形的内角和等于540。，由NA+NB+NE=300。，可求NBCD+NCDE的度数，再根据角平分线的

定义可得NPDC与NPCD的角度和，进一步求得NP的度数.

解：•五边形的内角和等于540。，ZA+ZB+ZE=300°,

AZBCD+ZCDE=540°-300°=240°,

VZBCD,ZCDE的平分线在五边形内相交于点O,

/.ZPDC+ZPCD=-(ZBCD+ZCDE)=120°,

2

AZP=180°-120°=60°.

故选A.

考点：多边形内角与外角；三角形内角和定理.

4、C

【解析】

利用随机事件以及必然事件和不可能事件的定义依次分析即可解答.

【详解】

选项A、标号是2是随机事件；

选项3、该卡标号小于6是必然事件；

选项C、标号为6是不可能事件；

选项。、该卡标号是偶数是随机事件；

故选C.

【点睛】

本题考查了随机事件以及必然事件和不可能事件的定义，正确把握相关定义是解题关键.

5、B

【解析】

试题分析：若此函数与x轴有交点，则(左—3)—+2x+l=0,A>0,即4-4(k-3)K),解得：k*,当k=3时，此函数为一

次函数，题目要求仍然成立，故本题选B.

考点：函数图像与x轴交点的特点.

6、C

【解析】

根据特殊角的三角函数值可知NA=60。，再根据直角三角形中两锐角互余求出N5的值即可.

【详解】

解：VcosA=—,

2

:.ZA=60°.

VZC=90°,

:.ZB=90°-60°=30°.

点睛：本题考查了特殊角的三角函数值和直角三角形中两锐角互余的性质，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的突

破点.

7,C

【解析】

解：-10—4=-1.故选C.

8、D

【解析】

试题分析：：a、口是一元二次方程的两个根，...郎=?=-1,故选D.

考点：根与系数的关系.

9、C

【解析】

根据AF是NBAC的平分线，BH±AF,可证AF为BG的垂直平分线，然后再根据正方形内角及角平分线进行角度

转换证明EG=EB,FG=FB,即可判定②选项；设OA=OB=OC=a,菱形BEGF的边长为b,由四边形BEGF是

菱形转换得到CF=0GF=0BF,由四边形ABCD是正方形和角度转换证明△OAE丝aOBG,即可判定①；则

△GOE是等腰直角三角形，得至UGE=J^OG,整理得出a,b的关系式，再由△PGCs^BGA,得到而■=1+e，

从而判断得出④；得出NEAB=NGBC从而证明小EAB^AGBC,即可判定③；证明△FAB^APBC得到BF=CP,

s

即可求出三比，从而判断⑤.

.AFC

【详解】

解：YAF是NBAC的平分线，

；.NGAH=NBAH,

VBH1AF,

...NAHG=NAHB=90°,

在4AHG和小AHB中

ZGAH=ZBAH

<AH=AH,

ZAHG=ZAHB

/.△AHG^AAHB(ASA),

；.GH=BH,

-,.AF是线段BG的垂直平分线，

，EG=EB,FG=FB,

•••四边形ABCD是正方形，

1

...NBAF=NCAF=-x45°=22.5°,NABE=45°,ZABF=90°,

2

/.ZBEF=ZBAF+ZABE=67.5°,ZBFE=900-ZBAF=67.5°,

；./BEF=/BFE,

/.EB=FB,

；.EG=EB=FB=FG,

二四边形BEGF是菱形；②正确；

设OA=OB=OC=a,菱形BEGF的边长为b,

•••四边形BEGF是菱形，

，GF〃OB,

.,.ZCGF=ZCOB=90°,

...NGFC=NGCF=45°,

/.CG=GF=b,ZCGF=90°,

••.CF=®GF=0BF,

•••四边形ABCD是正方形，

.\OA=OB,ZAOE=ZBOG=90°,

VBH1AF,

，ZGAH+ZAGH=90°=ZOBG+ZAGH,

.•./OAE=NOBG,

在/kOAE和4OBG中

ZOAE=ZOBG

<OA=OB,

ZAOE=ZBOG

/.△OAE^AOBG(ASA),①正确；

,\OG=OE=a-b,

二AGOE是等腰直角三角形，

；.GE=0OG,

；・b=e(a-b),

整理得a=¥b,

AAC=2a=(2+0)b,AG=AC-CG=(1+72)b,

•••四边形ABCD是正方形，

，PC〃AB,

.BG=AG=(l±2/2)^=6

"PGCGb''

VAOAE^AOBG,

.\AE=BG,

AE「

••---=1+y/2，

PG

PG1

•..靠=*方=1一叵④正确；

VZOAE=ZOBG,NCAB=NDBC=45。，

/.ZEAB=ZGBC,

在4EAB和4GBC中

ZEAB=ZGBC

<AB=BC,

ZABE=ZBCG=45°

/.△EAB^AGBC(ASA),

；.BE=CG,③正确；

在小FAB和4PBC中

NFAB=ZPBC

<AB-BC,

ZABF=ZBCP=90°

/.△FAB^APBC(ASA),

/.BF=CP,

e-BCCPBF

・.PBC_2-CP-一屈⑤错误.

,,s1CFV2BF-T0珀次;

AFCABCF

2

综上所述，正确的有4个,

故选：c.

【点睛】

本题综合考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形，菱形的判定与性质等四边形的综合题.该题难度较大，需要

学生对有关于四边形的性质的知识有一系统的掌握.

10>B

【解析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念解答.

【详解】

A.不是轴对称图形，是中心对称图形；

B.是轴对称图形，是中心对称图形；

C.不是轴对称图形，也不是中心对称图形；

D.是轴对称图形，不是中心对称图形.

故选B.

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对

称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

11、B

【解析】

直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系进而得出答案.

【详解】

解：根据棋子“车”的坐标为（-2,1）,建立如下平面直角坐标系：

二棋子“炮”的坐标为（2,1）,

故答案为：B.

【点睛】

本题考查了坐标确定位置，正确建立平面直角坐标系是解题的关键.

12、A

【解析】

设y=ax2+bx+c(a丰0)

(1)如果存在两个实数pWq,使得ap?+bp+c=aq2+bq+c,则说明在y=ox?+bx+c(aW0)中，当x=p和x=q时的y

值相等，但并不能说明此时p、q是y=以2+法+c(aw0)与x轴交点的横坐标，故①中结论不一定成立；

(2)am2+bm+c=an2+bn+c=as2+bs+c,则说明在y=奴？+Z?x+c(a/0)中当x=m、n、s时，对应的y值相等，因

此m、n、s中至少有两个数是相等的，故②错误；

(3)如果acVO,贝！|b2-4ac>0,则y=奴？+法+式。彳0)的图象和x轴必有两个不同的交点，所以此时一定存在两个

实数mVn,使am2+bm+cVOVaM+bn+c,故③在结论正确；

(4)如果ac>0,则b?-4ac的值的正负无法确定，此时y=ax?+法+c(aw0)的图象与x轴的交点情况无法确定，

所以④中结论不一定成立.

综上所述，四种说法中正确的是③.

故选A.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、4.02x1.

【解析】

科学记数法的表示形式为axl°n的形式，其中lW|a|V10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移

动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负

数.

【详解】

解：40.2万=4.02x1,

故答案为：4.02x1.

【点睛】

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中iqa|<10,n为整数，表示时关键要

正确确定a的值以及n的值.

14、1

【解析】

飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出s最大时对应的f值.

【详解】

由题意，s=-1.2?+60/=-1.2(d-50H61-61)=-1.2(/-1)2+750

即当U1秒时，飞机才能停下来.

故答案为1.

【点睛】

本题考查了二次函数的应用.解题时，利用配方法求得f=2时，s取最大值.

15、(2,3)

【解析】

试题分析：利用配方法将抛物线的解析式y=-X2+4X-1转化为顶点式解析式y=-(x-2)2+3,然后求其顶点坐标为:

(2,3).

考点：二次函数的性质

3

16、非取格点P、N(SAPAB=-),作直线PN,再证=作线段AB的垂直平分线EF交PN于点C,点C即为所

求.

【解析】

(I)利用勾股定理计算即可；

3

(II)取格点P、N(SAPAB=-),作直线PN,再证=作线段AB的垂直平分线EF交PN于点C,点C即为所求.

2

【详解】

解：(I)AB=@+仔=75，

故答案为6.

3

(II)如图取格点P、N(使得SAPAB=—),作直线PN,再证=作线段AB的垂直平分线EF交PN于点C,点C即为

2

所求.

3

故答案为：取格点P、N(SAPAB=-),作直线PN,再证=作线段AB的垂直平分线EF交PN于点C,点C即为所求.

2

【点睛】

本题考查作图-应用与设计，线段的垂直平分线的性质、等高模型等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思

考问题，属于中考常考题型.

17、V2

【解析】

连接。4,所以N(MC=90。，因为A8=AC,所以N3=NC,根据圆周角定理可知NAOZ>=2N3=2NC,故可求出

N5和NC的度数，在R3OAC中，求出。4的值，再在RtZkOAE中，求出0E的值，得到答案.

【详解】

连接OA,

由题意可知NOAC=90。，

"：AB=AC,

:"B=NC,

根据圆周角定理可知NAOO=2N5=2NC,

；NOAC=90°

：.ZC+ZAOD=90°,

/.ZC+2ZC=90o,

故NC=3(T=N8,

_—OA1

.•.在RtAOAC中，sinZC=——=-,

OC2

；.OC=2OA,

'：OA=OD,

：.OD+CD=2OA,

:.CD=OA=2五,

'：OB=OA,

...NOAE=NB=30。，

,»OE1

.".在RtAOAE中，sinZOAE------=—,

OA2

：.OA=2OE,

1厂

.'.0E=-0A=y/2,

故答案为

【点睛】

本题主要考查了圆周角定理，角的转换，以及在直角三角形中的三角函数的运用，解本题的要点在于求出04的值,

从而利用直角三角形的三角函数的运用求出答案.

18、-2<x<-0.5

【解析】

根据图象可直接得到yi>y2>0时x的取值范围.

【详解】

根据图象得：当yi>y2>0时，x的取值范围是-2<x<-0.5,

故答案为-2VxV-0.5.

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟悉待定系数法以及理解函数图象与不等式的关系是解题的关键.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

45

19、⑴鼠⑵“

【解析】

（1）可以采用列表法或树状图求解.可以得到一共有9种情况，从中找到两辆汽车都不直行的结果数，根据概率公式

计算可得；

（2）根据树状图得出至少有一辆汽车向左转的结果数，根据概率公式可得答案.

【详解】

⑴画“树形图”列举这两辆汽车行驶方向所有可能的结果如图所示：

/Tx/Tx

左直右左直右左育右

这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，其中两辆汽车都不直行的有4种结果，

4

所以两辆汽车都不直行的概率为§；

⑵由⑴中“树形图”知，至少有一辆汽车向左转的结果有5种，且所有结果的可能性相等

/.P（至少有一辆汽车向左转）=|.

【点睛】

此题考查了树状图法求概率.解题的关键是根据题意画出树状图，再由概率=所求情况数与总情况数之比求解.

20、（1）①110°②DE=EF；（1）①90°②AE1+DBi=DEi

【解析】

试题分析：（1）①由等边三角形的性质得出AC=3C,ZBAC=ZB=60°,求出NAW=N3CZ>,证明△

得出NCA尸=N5=60°,求出NE4尸=N3AC+NCA尸=110°；

②证出NOCEn/^CE,由SAS证明AOCE丝△尸CE,得出Z>E=E^即可；

(1)①由等腰直角三角形的性质得出AC=5C,ZBAC=ZB=45°,证出NAC尸=N3C。，由SAS证明AAC尸也△BC。,

得出NC4尸=N3=45°,AF=DB,求出NEAF=N3AC+NCAF=90°；

②证出/。叱=/尸虚，由SAS证明AOCE也△尸CE,得出。E=E尸；在RSAEb中，由勾股定理得出4砂+4尸鼻石加，

即可得出结论.

试题解析：解：(1)①•.•△A3C是等边三角形，：.AC=BC,ZBAC=ZB^60°."：ZDCF=60°,：.ZACF=ZBCD.

在AACF和△3C。中，'：AC=BC,ZACF=ZBCD,CF=CD,：./\ACF^/\BCD(SAS),：.ZCAF=ZB=60°,

:.ZEAF^ZBAC+ZCAF=UO°；

②DE=EF.理由如下：

,/ZDCF=6d0,/DCE=30。,ZFCE=6d°-30°=30°,AZDCE=ZFCE.在AOCE和AFCE中，,:CD=CF，

ZDCE=ZFCE,CE=CE,：./\DCE^/\FCE(SAS),：.DE=EF；

(1)①；△ABC是等腰直角三角形，ZACB^90°,：.AC=BC,ZBAC=ZB^45°.,：ZDCF^90°,：.ZACF=ZBCD.在

△AC歹和△5。中，'：AC=BC,ZACF=ZBCD,CF=CD,AAACF^ABCD(SAS),：.ZCAF=ZB=45°,AF=DB,

:.NEA尸=NR4C+NCAF=90。；

©AE^DB^DE1,理由如下：

VZDCF=90°,ZDCE=45°,：.ZFCE=9Q°-45°=45°,AZDCE=ZFCE.在AOCE和△尸CE中，,:CD=CF,

ZDCE=ZFCE,CE=CE,：./\DCE^/\FCE(SAS),：.DE=EF.在RtZkAE尸中，AE4A尸JEf4,又•：AF=DB,

J.AE^DB^DE1.

25

21、(1)证明见解析；(2)y.

【解析】

BpAB

(2)易证NAPD=NB=NC,从而可证到△ABPs^pCD,即可得到——=—,即AB・CD=CP・BP,由AB=AC即

CDCP

可得到AC»CD=CP»BP；

(2)由PD〃AB可得NAPD=NBAP,即可得到NBAP=NC,从而可证到ABAPsaBCA,然后运用相似三角形的

性质即可求出BP的长.

解：⑴VAB=AC,/.ZB=ZC.

VZAPD=ZB,，NAPD=NB=NC.

VZAPC=ZBAP+ZB,ZAPC=ZAPD+ZDPC,

/.ZBAP=ZDPC,

.,.△ABP^APCD,

.BP_AB

"CD~CP'

.*.AB»CD=CP«BP.

VAB=AC,

.,.AC»CD=CP»BP；

(2)VPD//AB,.\ZAPD=ZBAP.

VZAPD=ZC,.*.ZBAP=ZC.

VZB=ZB,

/.△BAP^ABCA,

.BABP

""BC~BA'

VAB=10,BC=12,

.10_BP

**12

25

/.BP=—.

3

“点睛”本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质等知识，把

证明AC«CD=CP«BP转化为证明AB«CD=CP»BP是解决第(1)小题的关键，证到NBAP=NC进而得到小BAP^ABCA

是解决第(2)小题的关键.

O

22、(1)见解析；(2)6^/3——7T

【解析】

(1)根据题意，可得△30C的等边三角形，进而可得NBCO=NBOC,根据角平分线的性质，可证得根

据N5ZM/=90。，进而得到NQ4M=90。，即可得证；

(2)连接AC,利用△AOC是等边三角形，求得NO4c=60。，可得/CAZ>=30。，在直角三角形中，求出。、AO的

长，则S阴影=SW®OADC-S扇形O4C即可得解.

【详解】

(1)证明：VZB=60°,OB=OC,

...△5OC是等边三角形，

/.Zl=Z3=60°,

■:OC平分NA05,

.\Z1=Z2,

，N2=N3,

J.OA//BD,

ZBDM=90°9

：.ZOAM=9Q09

又04为。。的半径，

JAM是。。的切线

(2)解：连接AC,

VZ3=60°,OA=OC9

•••△A0C是等边三角形，

：.ZOAC=60°f

：.ZCAD=30°f

VOC=AC=4f

：.CD=2,

***AD=2y/3，

160428

・・S阴影—S梯形OAOC-S扇形。4C——X(4+2)X2君-竺，=6石-匕.

23603

【点睛】

本题主要考查切线的性质与判定、扇形的面积等，解题关键在于用整体减去部分的方法计算.

23、客房8间，房客63人

【解析】

设该店有％间客房，以人数相等为等量关系列出方程即可.

【详解】

设该店有x间客房，则

7x+7=9x-9

解得x=8

7%+7=7X8+7=63

答:该店有客房8间，房客63人.

【点睛】

本题考查的是利用一元一次方程解决应用题，根据题意找到等量关系式是解题的关键.

2

24、(1)证明见解析(2)①一②3

3

【解析】

(1)作辅助线，连接OE.根据切线的判定定理，只需证DELOE即可；

(2)①连接BE.根据BC、DE两切线的性质证明△ADEs^BEC；又由角平分线的性质、等腰三角形的两个底角相

等求得△ABEsaAFD,所以—=—=—；

AEDE3

②连接OF,交AD于H,由①得NFOE=NFOA=60。,连接EF,贝！］△AOF、△EOF都是等边三角形，故四边形AOEF

是菱形，由对称性可知GO=GF,过点G作GM1OE于M,则GM=-EG,OG+』EG=GF+GM,根据两点之间线段最

22

短，当F、G、M三点共线，OG+^EG=GF+GM=FM最小，此时FM=3.故OG+^EG最小值是3.

22

【详解】

(1)连接OE

,/OA=OE,AZAEO=ZEAO

VZFAE=ZEAO,/.ZFAE=ZAEO

；.OE〃AF

VDE±AF,/.OE±DE

.'DE是。O的切线

(2)①解：连接BE

•直径AB/.ZAEB=90°

•.•圆O与BC相切

ZABC=90°

VZEAB+ZEBA=ZEBA+ZCBE=90°

/.ZEAB=ZCBE

ZDAE=ZCBE

VZADE=ZBEC=90°

.,.△ADE^ABEC

.BC_CE_2

**AE-

②连接OF,交AE于G,

由①，设BC=2x,则AE=3x

BCCE

VAABEC^AAABC:.——=——

ACBC

.2x_2

3%+22x

解得：xi=2,x=--(不合题意，舍去)

22

，AE=3x=6,BC=2x=4,AC=AE+CE=8

.•.AB=45ZBAC=30